单元综合复习(一)二次根式&数学活动 怎样摆放所需栅栏最少-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（华东师大版·新教材）

©数学活动 怎样摆放所需栅栏最少 1.如图，某公园小山坡有一处草坪风景欣赏区. 欣欣的方案：如图①，先将铁片分为左右两个 坡顶A到水平面BC的高度为20米，坡底B 全等的正方形，分得的每一块都在其四个直角 到点C的距离为100米.为方便游人观赏，公 处剪掉四个小正方形，再分别沿虚线折起来， 园需要在AB之间修建一条小路.方案一：在 得到两个同样大小、且底面为正方形的无盖长 AB之间修建一条笔直的小路；方案二：在AB 方体铁箱， 之间沿着斜坡修建折线小路.方案二比方案一 畅畅的方案：如图②，先将铁片在中间剪掉一 线路长 米 块正方形②，再在四个直角处剪掉四个小正方 形，最后分别沿着虚线折起来，得到两个同样 大小、且底面为长方形的无盖长方体铁箱， 2.团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉 :① ② 祥如意.某社团组织学生制作团扇，扇面有圆 图① 图② 形和正方形两种，每种扇面面积均为400cm2. (1)若欣欣的方案中剪掉的小正方形的边长为 完成扇面后，需对扇面边缘用绑带进行包边处 √3dm,求裁剪焊接成的铁箱的底面正方形① 理（接口处长度忽略不计），如图所示： 的面积； (1)圆形团扇的半径为 (结果保留r)cm, 正方形团扇的边长为 (2)若畅畅的方案中正方形②的边长为4√2dm, cm; 求裁剪焊接成的一个无盖长方体铁箱的体积； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的 (3)若这两种方案所制作的无盖长方体铁箱的 包边长度更短. 高都是√2dm,则」 的方案中制作的无盖 长方体铁箱的体积更大.（填“欣欣”或“畅畅”） 3.综合与实践 问题情境：学校计划利用长和宽分别为20dm 和10dm的长方形铁片裁剪焊接成两个无盖 的长方体铁箱用于存储备用实验材料，欣欣和 畅畅设计了两种不同的裁剪焊接方案。 第20章14 单元综合复习【一】二闪根式 ■■■热门考点突破■■ 考点④二次根式的运算 9.（中考·徐州)下列运算错误的是 考点1二次根式有意义的条件 A.√2+3=√5 B.2X√=√6 1.二次根式√一x在实数范围内有意义，则实数 C.√⑧÷√2=2 D.(-√3)2=3 x的取值范围在数轴上表示为 C 10.(中考·河北)计算：（√10+√6）（√10一√6） -10i2 -1012 () A.2 B.4 0 1 C.6 D.8 D 11.按如图所示的运算程序，若输入数字“9”，则 2.(中考·广州)要使代数式有意义，则x 输出的结果是 x—3 是，x3+ 的取值范围是 输入÷3-2大于 输出 考点2二次根式的性质 吞*3-2@ 3.实数a在数轴上的位置如图所示，则化简 A.7 B.11-6√2 Wa2-8a+16+√(a-11)产的结果为( ) C.1 D.11-3√2 0 5a10 12.如图，从一个大正方形中裁去面积为16cm A.7 B.-7 和24cm的两个小正方形，则余下的面积为 C.2a-15 D.无法确定 ) 4.已知y=√x-2十√2-x-√3，则(x十y)2o24 16 cm ×(x一y)2023的值为 ( A.2-√3 B.2+√3 24 cm C.-1 D.1 A.16√6cm B.40 cm2 5.如果点A的坐标为(-√m,-m)(m≠0，n C.8√6cm2 D.(2√6+4)cm2 ≠0)，则点A位于第 象限 13.(中考·吉林)计算：√3+√/12= 考点3最简二次根式、同类二次根式 14.(中考·南京)计算（√+√2）（√12一√⑧）的 6.下列二次根式是最简二次根式的是 结果是 A√1.5B.√45 D.Vx十y 15.计算：√a十9-√/1-a+√-a2=, 7.下列二次根式中，能与√6合并的是 ( ) 16.若3一√2的整数部分为a,小数部分为b,则代 A.√/12B.√15 C.√18 D.√24 数式(2十√2a)·b的值是 8.如果最简二次根式√3a一8与√17一2a是同类 17.规定a86-a·6+√后则(284085- 二次根式，则a的值是 ( ) A.1 B.3 C.5 D.7 15探究在线 九年级数学（上）·HD 18.计算：1)（中考·青岛）18士5@-(5)°， ■■●核心素养提升■■● √2 20.如果一个三角形的三边长分别为a、b、c,那么 该如何计算它的面积呢？ 我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出 了如下公式：s=√c8-+名C月 2(5v厘-v图)5-√店×v+2②丽： (秦九韶公式)； 古希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给 出了如下公式：S=√p(p-a)(一b)(p一c) (海伦公式)，其中p=a十b十c 2 秦九韶公式和海伦公式都解决了由三角形的 三边长直接求三角形面积的问题，它们虽然 形式不同，但完全等价，请使用这两个公式解 (3)(7+4√3)(7-4√3)-(3√5-1)2. 决下面的问题： (1)如果一个三角形的三边长依次为5，√6， √7，那么它的面积为 (2)如图，在△ABC中，已知AB=13,BC= 14,AC=15. ①△ABC的面积为； 19.已知a=2-√3，b=2+√3. ②作AD⊥BC于点D,求CD的长. (1)求a十b和a-b的值； (2)求(a+b)2-6a+6b-9的值. 第20章16温警提示：清做完后再看答案！ 5.(1)原式=-√6. (2)原式= 2 参考答案 (3)原式=√×g= 6.(1)316 ⑨ 4 (2)94 第20章二次根式 20.1认识二次根式 &原式√厚--子 基础在线 1.D2.A3.D4.A5.B o式-V震-震 6 6.(1)x<0.(2)x为任意实数， 7.A8.79.2-m (3)原式= √0.04×25_ 10.102026(2)号(3)-18 √1.21×16 (4)a2+1 9.D10.211.(1)45 11.C12.D m2语 能力在线 12.y07 210 13.714.m≥2，n=215.C16.C 2 3 13.1 能力在线 1.()x≤2且x≠-1. 14.C15.1216.6W217.375 (2)x为任意实数. 18.(1)原式=-2 ②)原式=一克 18.由图象可知： 3-a<0,b-2<0, 1.依题意，得8√÷8√后-√×- 2 .a>3,b<2,.b<a. 拓展在线 ∴原式=a-b-√(a-3)严-(2-b) 20.:长方形的长为3√10，面积为30W6, =a-b-(a-3)-(2-b) ∴.长方形的宽为30√6÷3√10=√60. =1. (3√10)2=90，（√60）=60,90>60，∴.3√10>√60. 拓展在线 19.a-2027≥0，∴.a≥2027. ∴正方形的最大边长为长方形的宽√0， .2026-a<0. ∴正方形的最大面积为（√60）2=60. .∴.a-2026+√a-2027=a. 20.3二次根式的加减 第1课时二次根式的加减 ∴./a-2027=2026. 基础在线 两边平方，得a一2027=20262， 1.B2.A3.B4.05.D .a-20262=2027. 20.2二次根式的乘除 6.1)原式=23.(2)原式=6v5.(3)原式= 6 20.2.1二次根式的乘法、积的算术平方根 (4)原式=3√5+2√2 基础在线 7.任务一：四 1.C2.D3.24.720m2 任务二：（√48+√20）-（√12-√5） 5.(1)原式=√15.(2)原式=4.(3)原式=6√30. =√48+√20-√12+√5 6.(1)√16√244W2(2)255√25√55√5 =43+2√5-2√3+W5 7.B8.A =23+3√5. 9.(1)原式=40.(2)原式=77.(3)原式=120. 能力在线 10.A11.B 8.B9.D10.1111.-a-b12.3 能力在线 12.A13.A14.515.x2y16.2√6-317.2√30 13.1)原式=25-3×-1+1=25-=5。 3 18.(1)原式= 53X√×号×54X8=-158=-120 (2)原式=45-10×5-3(35-号) (2)原式=√12.9z =√27x°y=3x√3xy. =43-2√5-95+√3=5√3-11V5. 4 (3)原式=x√E+2x√E-2x√E=x√元 拓展在线 14.存在正整数a、b(a>b),使其满足a十√b=√108.理由 19.√a+a2 如下： :√a+6=√108=65， /a3 /a(a2-1)+a ∴√awb与6√3是同类二次根式 20.2.2二次根式的除法 正整数a、b,a>b,√a>√石. 基础在线 ∴wa=5W3wb=3或√a=4√3，Wb=2√3 1.B2.D3.-24.2 .a=75,b=3或a=48,b=12. 一探究在线·九 拓展在线 (4)原式=2√元-x√E+3√=(5-x)√E. 15.(1)1W5-√61=√6-√5 (5)原式=2+1+2W3-(3-√2)=3+2√3-√3十√2=3+√3 (2)lWm-√n+I|=√n+I-√元 +√2. (3)l1-√2|+W2-√51+.+|√2023-√20241=√2-1 (6)原式=18+6√10+5-(11-5)=18+6√10+5-6= +√3-√2+…+√/2023-√2022+√2024-√2023= 17+6w/10. √2024-1=2√506-1. (7)原式=2-√3+1+3-4=2-√3. 第2课时二次根式的混合运算 (8)原式=22-(W5)2+ 2×(3+√7) 3×W7-2) 基础在线 (3-√7)×(3+√7)6W7+2)×W7-2) 1.C2.A 3.(1)原式=2√3-√3=√3 =4-5+2X(3+D_3×W7-2》=4-5+3+7-√7+2=4 3 (2)原式=35×2×2W2-6√2-12V2-62=62. 3 (9)原式=[22+3)(22-3m(2反-3)-4x号 4.60 W2-1)=-2√2+3-√2-√2+1=-42+4. 5.(1)a=4+2√2，b=4-2√2， 阶段测评1(20.1-20.3) .a+b=(4+2√2)+(4-2√2)=8，a-b=(4+2W2)- 1.B2.B3.C4.A5.B6.D (4-2√2)=4√2， .a2-b2=(a十b)(a-b)=8×4√2=32√2. 19.7 7.c>3且x≠20258. (2)a2-2ab+62=(a-b)2=(4√2)2=32. 10.2511.212.8 6.由题意，得通道的总面积为 y (√35+2)2-4×(W7+1)(W7-1) 13.(1)原式=10√3-9√3+2√3-3√3. =35+4+4v35-4×(7-1) (2)原式=5-1-2+√2-1-1=√2. =39+4√35-24 (3)原式=(6√5-6+4√3)÷2W3+√3+1 =(4√35+15)(m2). =(10V3-6)÷2√5+√3+1=5- +3+1 3 故通道的总面积为(4√35+15)m2. 7.不正确，正确的解答过程为： =5-√3+√3+1=6. 原式=√5÷5+3-15=155-155 (4)原式=5-2√6+(6√3-4√3)×3 W15√5+5 2 =5-2√6+6=11-2√6. 能力在线 14.(1)-√2+2=2-√2..m的值为2-√2. 8.C9.C10.C11.5-212.513.82π (2)当m=2-√2时， 14.(1)原式=（√12-√18）（√12+√18）=12-18=-6. 原式=|2-√2+1+(2-√2+√2-2) (2)原式=2+3-(3+23+1)-号 =3-√2+0=3-√2. 2 15.(1)长方形ABCD的周长=2X(√72+√32) =2+-4-28-9=-2-3 21 =2×(62+4V2)=20√2(m). 15.√5的整数部分为2，∴.7+√5=9+a,7-√5=4+b, 答：长方形ABCD的周长是20W2m. 即a=-2+√5，b=3-√5. (2)种植蔬菜的面积为√72×√32-（√10+1）×（√10 ∴.ab-a+46-3=(-2+√5)×(3-√5)-(-2+√5)+ -1)=48-(10-1)=39(m2), 4×(3-√5)-3=-11+5√5+2-5+12-4√5-3=0. 39×15×8=4680(元). 拓展在线 答：如果张大伯将所种的蔬菜全部销售完，那么销售收入 16.(1)m2+5n2,2mn; 为4680元. (2):a+65=(m十n√5)2， 16.(1)原式=√2-1+√3-√2+√4-√3+…+√2025- .a+65=m2+5n2+2mnV5. √2024=-1+√2025=-1+45=44. .a=m2+5n2,6=2mn. (2)由题意，得√9-√8=√9+V⑧)(V-⑧) ∴.mn=3. √99+√8 ,m、n均为正整数， ∴.m=1,n=3或m=3,n=1. V丽+Vsv丽-V7=v⑧+m)(v丽- √98+√97 ①当m=1,n=3时，a=m2+5n2=12+5×32=46; 1 ②当m=3,n=1时，a=m2+5m2=32+5×12=14. w√98+W/97 综上所述，a的值为46或14. 1 微专题1二次根式的运算 V丽+Vs98+V7iV丽-V丽<v丽-Vm. (1)原式=2√2+3√2-4√2=√2 数学活动怎样摆放所需栅栏最少 (2)原式=√6-√6+2√6=2√6. 1.(120-20√/26) (8)原式--4-号+2+4反-15y210 3 2.(1)20丘，20； 4 3 年级数学（上）·HD 17 (2):圆形团扇半径为20y丘cm,正方形团扇的边长为20m, 5.x2=4(答案不唯一)6.B7.A8.A9.A 10.x(x+1)=182x2+x-182=011.-1 ∴.圆形团扇的周长为40√π，正方形团扇的周长为80cm. 能力在线 40√元<40√4=80，.40√斤<80. 12.B13.A14.B15.15x(10-x)=360 ∴圆形团扇所用的包边长度更短. 16.整理a(x十1)2十b(x+1)十c=0,得a.x2+(2a十b)x十(a +b+c)=0, 3.1依题意，(9-25）10-25)=10-405+12= a=3, a=3, (112-40√3)dm2, 则{2a十b=2, 解得b=一4， ∴.裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积为(112一 (a+b+c=-1. c=0. 17.根据题意，得 40√5)dm2. (x-40)[500-10(x-50)]=8000. (2)四个直角处的小正方形边长为号(10-42)=(5- 化为一般形式为 -10x2+1400x-48000=0(或10x2-1400x+48000=0). 2√2)dm, 拓展在线 无盖长方体铁箱的宽为4√2dm, 长为2[20-42-2×(5-22)]=5dm, 18.()由题意，得二2m=4,代人已知方程，得 2x2+5x十11=0. 裁剪焊接成的一个无盖长方体铁箱的体积为(5一2√2)× ∴.二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11， 4√2×5=(100√2-80)dm3. (2)若方程是关于x的一元一次方程，则m的取值应分 (3)欣欣. 单元综合复习（一）二次根式 以下两种情况：①，②+1≠。 m+1≠-1：9 热门考点突破 ∴.m=3或m=2. 1.C2.x≥-1且x≠33.A4.A5.二或三6.D 21.2一元二次方程的解法 7.D8.C9.A10.B11.A12.A 21.2.1直接开平方法和因式分解法 13.3314.215.216.217.5+0 第1课时直接开平方法 2 基础在线 18.(1)原式=3V2+5 -1=8-1=7. 1.x1=1,x2=-12.C √2 3.(1).x2-3=5,.x2=8..x=±2√2. (2)原式=(103-4√3)÷√3一√7+2√7 ∴x1=2√2，x2=-2√2. =6-√7+2√7=6+√7. (2)-0.5x2+2=0,.-0.5x2=-2. (3)原式=72-(4√3)2-(45-6√5+1) .x2=4..x=士2.∴.x1=2,x2=-2. =49-48-46+6√5=6V5-45. 4.根据题意，得3x2-8=2x2-1, 19.(1),a=2-√3，b=2+√3， 整理，得x2=7,所以x1=√7，x2=一√7. .a+b=2-√5+2+√5=4： 所以当x=√7或一√7时，代数式3x2一8与2x2-1的值相等. a-b=(2-V3)-(2+√3)=2-√3-2-√3=-2W3. 5.D6.D (2)由(1)知，a+b=4,a-b=-2√3， 7.(1)(x+1)2=25,.x+1=±5. ∴.(a+b)2-6a+6b-9=(a+b)2-6(a-b)-9 .x1=4,x2=-6. =42-6×(-2√3)-9=16+12√5-9=7+12√3. (2)(3x-1)2=36,.3x-1=±6. 核心素养提升 =a= 20. 8.一4或6 (2)①84 能力在线 ②AD⊥BC,BC=14, 9.D10.6+√311.2或-412.813.x1=0,x2=4 14.由题意，得a-2≥0,4-2a≥0，解得a=2, 2X14×AD=84.AD=12. .b=-3. 又.AC=15,∠ADC=90°， 关于x的一元二次方程ax2+十bz+c=0(a≠0)的一个 ∴.CD=√AC-AD=√152-122=9. 根是1， 第21章一元二次方程 .a+b+c=0.∴c=1. 21.1认识一元二次方程 则方程为少-1=0， 基础在线 整理，得y2=4,=2,2=-2. 1.C2.A3.C 4.(1)一元二次方程(x-5)2=36的一般形式是： 15.:ar2=b(ab>0),.x=±V0 b x2-10x-11=0, 方程的两个根互为相反数. 二次项系数是1，一次项系数是一10，常数项是-11. ∴.(m+1)+(2m-4)=0..m=1. (2)一元二次方程3y(y+1)=2(y十1)的一般形式是： ∴.x1=m+1=2,x2=2m-4=-2, 3y2+y-2=0, 二次项系数是3，一次项系数是1，常数项是一2. =2=4 a 18 / 探究在线·九年 拓展在线 16.±2 7.(1)方程变形，得x2十x=2 1 17.原方程变形成[(x+3)-2][(x+3)+2]=12, .(x+3)2-22=12..(x+3)2=16. 配方，得++=即(+)=， 方程两边同时开平方，得x十3=士4， 解得x1=1,x2=一7. 开方：得+ 第2课时因式分解法 解得x=一 1+3 13 2 +=-2- 基础在线 1.B (2方程变形，得2十号=1， 2.2x+5=02x-5=01=-5, 5 2x2=2 因式分解法 配方，得2+号x+(兮)‘=1+（行）》广 3.D4.x1=4,x2=0 5.(1D=0,4=14、(2)=3,=g 即(x+)'-吕， (3)m=-7a=2 开方，得x+号=士， 3 6.2y2y-32y-3-号号7.z-2x-22 =-1+10 3 81m=-专-手(2)== 4 1 x2=-1-10 3 或写成，=-1+而)】 3 9.小敏和小霞的解法均是错误的. 正确的解答如下： 8.③右边没有加上1五=-1+5 x=-1-6 移项，得3(x一3)一(x一3)2=0， 能力在线 提取公因式，得(x-3)(3-x十3)=0. 9.D10.D11.-512.2113.3 则x一3=0或3一x十3=0， 解得x1=3,x2=6. 14.1)=7,,=-5.(2)x=57,=5,7 2 能力在线 15.方程变形为(a2+2)2-2(a2+b2)+1-1-15=0, 10.A11.D12.C13.C14.0或-4 (a2+b2-1)2=16, 15.(1)方程可变形为2x(x-2)十5(x-2)=0, a2+b2=5或a2十b=-3(不合题意，舍去)， 方程左边分解因式，得(x-2)(2x十5)=0， 即c2=a2+b=5, x-2=0或2x十5=0，解得x1=2,x2=- 5 .c=√5. 2 拓展在线 (2)方程变形为x2-2√3x十3=0. 16.(1)x1=x2=1x1=1,x2=2x1=1,x2=3 即(x-√3)2=0，x1=x2=√3. (2)x1=1,x2=8x2-(1+n)x+n=0 (3)3x3-12x2+12x=0可化为3x(x2-4x+4)=0, 方程左边分解因式，得3x(x一2)2=0， (3)2-9x+8=0,x2-9x=-8,x-9x+81=-8+8 4 41 ∴.3x=0或(x-2)2=0,.x1=0,x2=x3=2. 16.(1)24 (号)广-想x-是-± (2)把-4分解成1×(-4)，且1+(-4)=-3. .x1=1,2=8.猜想正确. .x2-3x-4=(x十1)(x-4)=0. 21.2.3公式法 .x十1=0或x-4=0,解得x1=-1,x2=4. 基础在线 拓展在线 1.A2.C 17.1或-1 3.(1),b-4ac=(-1)2-4×3×(-1)=1+12=13>0, 21.2.2配方法 x=1±3 基础在线 6 1.12(22x(3)号号 =1+压，，=1 6 6 2.2(x-1)2-73.C4.C (2)整理，得2x2-7x-6=0, 5.(1)x2+4x+4-4-6=0, -4ac=(-7)2-4×2X(-6)=49+48=97>0, (x+2)2-10=0, x=7±97 x=-2士√10， 4 ∴.x1=-2-√10，x2=-2+√/10. a=7+7 4 r-8+品-6-1=0 4.D5.(1)①(2)②(3)④⑥(4)③⑤ (-广-=0x-± 6.(1)(x-3)2=4, ∴.x-3=2或x-3=-2. a=2a=- 解得x1=5,x2=1. (2)x2-2x=4,x2-2x+1=4+1, 6.C (x-1)2=5, 级数学（上）·HD