单元综合复习(二)一元二次方程&数学活动 运用化归的思想方法解决问题-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（华东师大版·新教材）

6.生态园的面积能为40m2,理由如下： ,四边形ABCD是矩形，∴.AB=CD,AD=BC. 10>号∴为让市民得到实惠，x应取10. 设AB的长度为xm,则BC的长度为182m, 答：每盆应降价10元 能力在线 由题意，得x.18,工=40， 5.B6.B7.208.40 2 9.(1)由题意，得256(1+r)2=400, 整理，得x2一18x+80=0, 解得r=0.25=25%或r=-2.25<0(不符合题意，舍去)， 解得x1=10,2=8, 答：月增长率r为25%. .生态园的面积能为40m,AB的长为10m或8m (2)设该品牌头盔的实际售价应定为y(y≥40)元/个，则月销 能力在线 售量为600-10(y-40)=(1000一10y)(个)， 7.28.2或4 由题意，得(y一30)(1000一10y)=10000, 9.(1)设矩形ABCD的边AB=xm,则边BC=70一2x+2= 解得y=50或y=80, (72-2x)m. 要尽可能让顾客得到实惠，∴y=50. 根据题意，得x(72-2x)=640, 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个 化简，得x2一36x十320=0， 拓展在线 解得x1=16,x2=20, 10.(1)由题意，得当x>40时，每台学习机的售价为（单位：元）： 当x=16时，72-2x=72一32=40， 800-5(x-40)=-5x+1000. 当x=20时，72-2x=72一40=32. (2)设图中的直线解析式为y=x十b,把(0,700)和(50， 答：当羊圈的长为40m,宽为16m或长为32m,宽为20m 时，能围成一个面积为640m的羊圈. 60代人0g6o (2)不能.理由如下： 由题意，得x(72-2x)=650, 解得/k一2， 1b=700. 化简，得x2一36x十325=0， 则直线解析式为y=一2x十700， .△=(-36)2-4×325=-4<0， 当x=60时，进价y=-2×60+700=580, 。一元二次方程没有实数根 售价为800-5×(60一40)=700（元）， ∴.羊圈的面积不能达到650m2. 则每台学习机可以获利700-580=120（元）. 拓展在线 (3)当x>40时，每台学习机的利润是（一5x+ 10.(1)根据题意知，0<t3.5,BP=AB-AP=(5一t)cm, 1000)-(-2x+700)=-3x+300, BQ=2t cm. 则x(一3x+300)=4800, (1)根据三角形的面积公式，得 解得x1=80,x2=20(舍)， 合BP,BQ=4,即5-0-4， 当0<x≤40时，每台学习机的利润是800-（-2x+ 700)=2x+100, 整理，得t一5t+4=0, 则x(2x+100)=4800, 解得=1，t2=4(不合题意，舍去). 解得x1=30,x2=-80(舍). 故1s后，△PBQ的面积等于4cm2. 答：该商店可能购进并销售学习机80台或30台. (2)根据勾股定理，得 微专题4一元二次方程的实际应用 PQ2=BP2+BQ2=(5-t)2+(2t)2=25, 1.C2.D 即5t-10t=0, 3.(1)设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x, 解得t1=2,t2=0(不合题意，舍去). 依题意，得 故2s后，PQ的长度等于5cm 1.6(1+x)2=2.5, (3)根据三角形的面积公式，得2BP·BQ=8, 解得x=25%或x=一}（不合题意，合去）， 即t(5一t)=8,整理，得t2一5t+8=0. 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%. △=(-5)2-4×1×8=-7<0， (2)设5月份后10天日均接待游客人数是a万人， ∴此方程没有实数根， 由题意可得2.125+10a≤2.5(1十25%)， ∴.△PBQ的面积不能等于8cm2, 解得a≤0.1. 第2课时一元二次方程的应用 —平均变化率问题 答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人 基础在线 4.设每箱西瓜降价x元，则每箱盈利(40一x)元，平均每天可 1.B 售出(30十2x)箱，根据题意，得 2.设2023一2025年买书资金的年平均增长率为x, (40一x)(30十2x)=1400,整理，得x2一25.x十100=0， 则5000(1+x)2=7200, 解得x1=5,x2=20, 解得x=0.2或x=一2.2（舍去） 又要尽快减少库存，.x=20 答：2023一2025年买书资金的年平均增长率为20%. 答：每箱西瓜应降20元. 3.C 5.(1)设y关于x的函数关系式为y=kx+b,将(15,700)， 4.(1)(30-x)(20+1.5.x) (25,500)代入上式，得 (2)由题意，得(30-x)(20+1.5x)=700, 20 5十。相得信1那 1b=1000 解得x1=10,x2=3 ∴.y=-20x+1000(10≤x≤30) 20 一探究在线·九年 (2)依题意，有(x-10)(-20x+1000)=6000, =-m2, 解得x1=20,x2=40, ,-m2≤0， .10≤x≤30，.x=20. .(x1-1)(x2-1)≤0. 答：该书的销售单价为20元 15.(1)设乙种商品每件进价的年平均下降率为x,由题意，得 (3)销售该书每天的利润不能达到9000元.理由如下： 125(1-x)2=80,解得x=0.2=20%或x=1.8(舍去)， 根据题意，得(x-10)(-20x十1000)=9000， 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%. 整理，得x2-60x十950=0， (2)设购进甲种商品m件，则购进乙种商品(100-m)件， .△=602-4×1×950=-200<0， 由题意，得 .该方程没有实数根 (125-25×2)m+80(100-m)≤7800， ∴.销售该书每天的利润不能达到9000元 ∴.75m+8000一80m≤7800，解得m≥40， 6.(1)设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据题意，得 .m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件 1十x+x(x+1)=81,整理，得x2十2x-80=0, 答：最少购进甲种商品40件. 解得x=8,x2=一10（不合题意，舍去）. 16.(1)2tcm(5-t)cm 答：每轮传染中平均一个人传染8个人 (2)由题意，得(5-t)2+(2t)2=52,解得1=0,2=2， (2)81+81×8=729(人). ∴.当t=0秒或2秒时，PQ的长度等于5cm. 答：经过三轮传染后共有729人会患流感. (3)存在，当t=1时，五边形APQCD的面积等于26cm. 7.63 理由如下： 8.设这个最小数为x,则最大数为(x十8)，依题意，得 长方形ABCD的面积是5×6=30(cm2), x(x+8)=65, 若使五边形APQCD的面积等于26cm,则△PBQ的面 解得x1=5,x2=一13（不合题意，舍去）. 积为30-26=4(cm2),即(5-)×2×号=4， 答：这个最小数为5. 9.12 解得=4（不合题意，舍去），t2=1. 10.设初中组共有x个队参加比赛，依题意，得 即当t=1秒时，五边形APQCD的面积等于26cm2. 数学活动运用化归的思想方法解决问题 2x(x-1)=45, 1.3y2-6y-1=0 解得x1=10,x2=-9(不合题意，舍去). 2.B 答：初中组共有10个队参加比赛. 11.(1)(51-3x) 3.设(2)班人数是x人，则(1)班人数是（合x+7）人， (2)依题意，得(51一3x)x=210, :八(1)班义卖善款1900元，八(2)班义卖善款2600元， 整理，得x2-17x十70=0， (2)班比(1)班的人均义卖款多5元， 解得x1=7,x2=10. :2600-190=5. 当x=7时，AB=51-3x=30>25,不合题意，舍去； 1 2x+7 当x=10时，AB=51-3x=21<25,符合题意， 整理，得x2十254x-7280=0. 答：栅栏BC的长为10米. 解得x1=26,x2=-280<0(舍去)， 阶段测评3(21.2.4一21.3) 经检验，x=26是原分式方程的解， 1.B2.D3.D4.B5.C6.C7.-38.2027 9.有两个不相等的实数根10.24或1511.7 ∴(2)班人数是26人.∴号×26+7=20. 12.30或32 则(1)班人数是20人. 13.使这个方程有两个不相等的实数根， 4.(1)设乙组每天分拣x件包裹，则甲组每天分拣(x十10)件 .b2>4c,.②③均可， 包裹，根据题意，得 选②解方程，则这个方程为x2+3x+1=0, 15(x+10)-14x=200,解得x=50, x1=-35,4=-325, 则x+10=60. 2 2 答：甲组每天分拣60件包裹，乙组每天分拣50件包裹. 选③解方程，则这个方程为x2+3x-1=0, (2)由题意，得培训后乙组每天分拣(50十y)件包裹，则甲 “m=-3+3 ,-3-5 组每天分拣(60十2y)件包裹，根据题意列方程，得 2 1200_1200=5, 14.(1)把1=-1代入方程(x-1)(x-2)=m2,得m2=6, 50+y60+2y 方程整理，得y2一40y十300=0， ∴.m=士√6， .(x-1)(x-2)=6,即x2-3x-4=0, 解得y=10,y2=30, 解得x1=一1，x2=4, :y≤20，∴y2=30不符合题意，舍去， 经检验，y=10是原方程的解，且符合题意. 故x2=4,m=士√6. 答：y的值为10. (2)证明：方程(x-1)(x一2)=m2可化为x2-3.x十2- 5.(1)-2,-5; m2=0, (2)根据题意，得 ,△=4m2+1>0, ∴.原方程有两个不相等的实数根， 。一日=2的两个解分别为=m,=, 由根与系数的关系，得x十x2=3,1x2=2-m. 则m十n=2,mn=一8， (x1-1)(x2-1)=x1x2-(x十x2)+1=2-m2-3+1 min+mn=mn(m2+n2)=mn[(m+n)2-2mn], 级数学（上）·HD一 代入数值计算，得 核心素养提升 m3n+mm3=-8×[22-2×(-8)]=-160. 16.(1)60(2)144 （3)x-2十=一k+3可化为工-1-2+2=一k+2, (3)(60-2x)平方步(4)(60-2x)2=14424 x-1 x-1 第22章图形的相似 设=x-1,则原方程可化为一2(+2》=一十2， t 22.1成比例线段 即+二2kk+2=(-2k)+(k+2), 22.1.1成比例线段 能力在线 由于x1>x2,k>0,可得>t2, 1.A2.1:10000003.D4.C5.A6.D7.4 且t=k十2，t2=-2k, .x1=k十3，x2=-2k+1. 8设号=学==x=3y=5,2=4 因此，-3=+3-3 义=3h5--2k=- 4k 4k 2… 单元综合复习（二）一元二次方程 号的值为一宁 热门考点突破 1.B2.D3.54.D5.D 9.C10.B1.22cm或 cm或，√2cm 6.(1)分解因式，得(x-1)(x一5)=0， 基础在线 .x一1=0或x-5=0, .x1=1,x2=5. 12.B13.D14.B15号 (2)2x2+x-2=0, 16.在Rt△ABC中， .a=2,b=1,c=-2, ∠ACB=90°，AC=3,BC=4,.AB=5. ∴.b2-4ac=12-4X2×(-2)=17. “x=-b士YB-4ac=-1±7 Sc=2AB.CD-号BC·AC 2a 4 :.CD-BC-AC-2.4. x1=-1+17 4 ,2=1-17 AB 4 在Rt△ADC中，AD=√AC-CD=1.8, 7.有两个不相等的实数根8.一29.2910.C11.A .BD=3.2, 12.(1)△=b-4ac=22-4X1×(3-k)=-8+4k, .AD:CD=CD:BD, ,方程有两个不相等的实数根， ∴.线段AD、CD、CD、BD是成比例线段， ∴-8+4k>0. 17.△ABC为等边三角形.理由如下： 解得>2. a、b、c是△ABC的三边长，.a十b+c≠0. (2)方程的两个根为α、B, .a-b_b-c-c-a a明=3-k.k2=3-k+3k, b a, 解得k1=3,k2=一1. k>2,∴.k=3. 9-6。-2-a6t6t-2=0, a a+b+c 13.B ∴.a-b=0,b-c=0,c-a=0. 14.设小路的宽度为xm,由题意，得 a=b=c.∴△ABC为等边三角形 (20-4x)(14-4x)=24×9,整理，得2x2-17x+8=0, 能力在线 解得x=号或工=8（舍去， 18.设AB=AD=x, :E是AD的中点，∴AE= x. 答：小路的宽度为2m 15.(1)2x(40-x) 由勾殷定理，得BE=√AB+A区-√2+（合） (2)设每件服装降价x元时，商家平均每天能盈利1200 √5 x,则AH=AF= W51 元，依题意，得 2 (40-x)(20+2x)=1200, AH=5-1, 整理，得x2-30x十200=0， AB 2 解得1=10，x2=20. ∴H就是AB的黄金分割点. 又，需要扩大销售量， 22.1.2平行线分线段成比例 .x=20. 能力在线 答：每件服装降价20元时，商家平均每天能赢利1200元： 1.D2.B3.C (3)商家不能达到平均每天盈利1800元，理由如下： 假设每件服装降价y元，商家能达到平均每天盈利1800 ha,0-器 元，依题意，得 62 (40-y)(20+2y)=1800, ·BC-3BC=9. 整理，得y2-30y+500=0. ,.AC=AB+BC=6+9=15. .△=(-30)2-4×1×500=-1100<0， 5.A6.D .此方程无解， 7.EG∥BC,EBGC AE AG .商家不可能达到平均每天盈利1800元. 一探究在线·九 GF/Dc,2瓷S .AB'-B'C' 瓷或瓷% 铝部即品 300-200004-202 30 30 FD=4. 解得x=1.5或9. ∴AD=AF+FD=10. 故当x=1.5或9时，矩形ABCD与A'B'CD'相似. 8.12或6 拓展在线 能力在线 15.(1)22 9.C10.C11.B12.12 (2)设A1纸的长和宽分别为x,y,则A2纸的长和宽分别 13.(1)1∥2∥13， 怨即360 4 为…号=之∴号-厄 y 22 解得AC=12. 即该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比为√2：1. ②4%%器-咒号 (3),一张A纸的质量为a克，A纸是A纸面积的一半， AB=4,AC=12,.BC=8, 六一张A,纸的质量为弓0克，同理，一张A纸的质量是 0B-28器-是-合 4a克，… 14.(1)该证明的剩余部分： 则0∠2-∠AcE,∠1-∠E -张A纸的质量是（合）》'a克。 22.3相似三角形 AD平分∠BAC,∴∠1=∠2， 22.3.1相似三角形 ∠ACE=∠EAE=AC,8是-80 基础在线 1.A2.D3.A (2)3⑤ 4.(1)∠BAC=45°，∠C=40°， 2 ∠B=180°-45°-40°=95. 拓展在线 ,'△ABCp△ADE, 15.如图，过点C作CF∥DE,交AB ∴.∠AED=∠C=40°，∠ADE=∠B=95. 于点F ME/CF,2器-光 (2:△ABC△ADE怎-e :点M为AC边的中点， 即-S,部得DE-总 ∴.AM=MC..AE=EF. :AB=4MEEF=-子AB,BF-7AB∴BF=2ER DE的长为習cm 5.C6.B CF/DE,器- =2.∴.BC=2CD. 7.△ADE∽△ABC,△EFC∽△ABC,△ADE∽△EFC 能力在线 22.2相似图形 8.C9.C10.1511.15 基础在线 12.图中的相似三角形是△ADE∽△ABC. 1.C2.B3.D4.B5.16 AD=2,EC=3AD,∴.EC=6. 6.设矩形水池的宽为工m,由两矩形相似，得9- 设AE=x, x DB=x+1,AC=AE+EC=x+6, 解得x-号 ∴.AB=AD+DB=2+(x+1)=x十3. ,DE∥BC,.△ADE∽△ABC. ∴矩形水袍的周长为(9+5）×2=2(m),面积为号×5 能品腮异認 由千6异得2+红12-0… 7.两个五边形相似，它们的对应角相等，由此可得∠3=65°， 解得x1=3,x2=一4（不符合题意，舍去）， ∠a=540°-(115°+95°+155°+65)=110°； ∴.AE=3,DB=4. 两个五边形相似，它们的对应边的比相等，由此可得a:12 =27=316=c5,解得a=兰，6=头c=9 ∴△ADE与△ABC的相似比为铝=2异4=号 8.C9.甲与丙 由相似比为日品-日解得BC=4.8 能力在线 拓展在线 10.A11.D12.108013.2√3 13.(1)40 14.(1)不相似.理由：：AB=30,A'B'=28,BC=20,B'C'= (2)△ABD是等腰三角形，分情况讨论： 18,而器≠8，故矩形ABCD与ABCD'不相似. 若BD=AD,则∠ABD=∠BAD=42. ,AD是△ABC的完美分割线， (2),矩形ABCD与A'B'C'D'相似， ∴.△ADC∽△BAC.∴∠CAD=∠B=42°. 年级数学（上）·HD一 21©数学活动 运用化归的思想方法解决问题 1用换元法解分式方程产士-2时，如 5天，且乙组每天增加的数量不超过20件，求y 的值. 果设二1=y,那么原方程可化为关于y的整 式方程是 2.某河的水流速度为每小时2千米，A、B两地相 距36千米，一动力橡皮船从A地出发，逆流而 上去B地，出航1小时，机器发生故障，橡皮船 随水向下漂流，30分钟后机器修复，继续向B 5.我们把形如x+ab=a十b(a、b不为零)，且两 地开去，但船速比修复前每小时慢了1千米， 个解分别为x1=a,x2=b的方程称为“十字分 到达B地比预定时间迟了54分钟，则橡皮船 式方程”. 在静水中起初的速度为千米/时( ) 例如：x十3=4为“十字分式方程”，可化为x A.11 B.12 C.13 D.14 3.为迎接马年的到来，某校进行了大型的迎新慈 +1X3=1十3，x1=1,x2=3. 善义卖活动.八(1)班义卖善款1900元，八 (2)班义卖善款2600元.已知(1)班人数是 再如：十及=一6为“十字分式方程”，可化为 (2)班人数的一半多7人，且(2)班比(1)班的 人均义卖款多5元.请问，(1)班和(2)班的人 x+-2)X(-)=(-2)+(-40, 数各是多少人？ ∴.x1=-2,x2=-4. 应用上面的结论解答下列问题： (1)若x十10=一7为“十字分式方程”，则 (2)若“十字分式方程”x-8=2的两个解分 别为x1=m,x2=n,求代数式mn十mn3的值； 4.(永川专题练习)列方程解答下列问题： (3)若关于x的“十字分式方程”x 2k2+4k 近来，网购在各年龄阶段的人群中愈来愈火 x-1 爆.某物流公司有甲、乙两个分拣小组，每天甲 一k+3(k>0)的两个解分别为x1,x2,其中x 组比乙组多分拣10件包裹，甲组用15天分拣 的包裹总数比乙组用14天分拣的包裹总数多 ≥求的值 200件. (1)求甲、乙两组每天各分拣包裹的件数； (2)为提高效率，公司给两组进行培训.培训后 乙组每天分拣的包裹比原来增加y件，甲组每 日新增分拣量是乙组每日新增分拣量的2倍. 现需分拣两批数量均为1200件的包裹，分别 由甲、乙两组单独完成，结果乙组比甲组多用 43探究在线九年级数学（上）·HD 单元综合复习（二】 一元二次方程 ■■■热/门]考点突破■■● 考点3一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 7.(中考·广东)不解方程，判断一元二次方程 考点①一元二次方程及其相关概念 2x2+x一1=0的根的情况是 1.将方程7x一3=2x2化为一般形式后，常数项 8.(中考·眉山)已知方程x2-2x-5=0的两根分 为3，则一次项系数为 ( A.7 B.-7 C.7x D.-7x 别为1、x2,则（十1）(x2+1)的值为 2.若方程(m十2)xm-2+2x十1=0是关于x的 9.(中考·广安)已知方程x2一5x一24=0的两 元二次方程，则m的值为 ( 根分别为a和b,则代数式a2一4a+b的值为 A.-2 B.0 C.-2或2 D.2 10.(中考·北京)若关于x的一元二次方程ax2 3.若x=1是关于x的一元二次方程x2十mx一6 +2x+1=0有两个相等的实数根，则实数a =0的一个根，则m= 的值为 () 考点2一元二次方程的解法 A.-4 B.-1 C.1 D.4 4.用配方法解一元二次方程x2一6x十8=0，配 11.对于实数a、b定义运算“☒”为 方后得到的方程是 ) a⑧☒b=a2-2ab,例如：3☒2=32-2×3×2= A.(x+6)2=28 B.(x-6)2=28 C.(x+3)2=1 D.(x-3)2=1 一3，则关于x的方程x☒(k+1)=一2k的 5.方程(1-x)(1+x)(1十x2)+15=0的实数根 根的情况，下列说法正确的是 () 是 () A.有两个不相等的实数根 A.1 B.±1 C.2 D.士2 B.有两个相等的实数根 6.解方程： C.没有实数根 (1)x2-6.x+5=0; D.无法确定 12.关于x的一元二次方程x2+2x十3-k=0有 两个不相等的实数根. (1)求的取值范围； (2)若方程的两个根为a、B,且2=a3十3k,求 (2)2x2+x-2=0. 的值. 第21章44 考点④一元二次方程的应用 13.(中考·重庆)某景区2022年接待游客25万 人，经过两年加大旅游开发力度，该景区 2024年接待游客达到36万人，那么该景区 这两年接待游客的年平均增长率为() A.10% B.20% C.22% D.44% 14.（中考·威海)如图，某校有一块长20m、宽 14m的矩形种植园.为了方便耕作管理，在种 植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中 阴影部分).小路把种植园分成面积均为24m 的9个矩形地块，请你求出小路的宽度 ■■●核心素养提升■■● 20m 16.(本书P17T8变式)阅读下面的材料并完成 解答， 《田亩比类乘除捷法》是我国南宋数学家杨辉 的著作，其中记载了这样一个数学问题：“直 田积八百六十四步，只云长阔共六十步，欲先 求阔步，得几何？”意思是：一块矩形田地的面 积为864平方步，只知道它的长与宽之和为 60步，问它的宽是多少步？书中记载了这个 问题的几何解法： 15.一款服装每件进价为80元，销售价为120元 (1)将四个完全相同的面积为864平方步的 时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加 矩形，按如图所示的方式拼成一个大正方形， 利润，经市场调查发现，如果每件服装降价 则大正方形的边长为 步； 1元，那么平均每天可多售出2件， (2)中间小正方形的面积为 平方步； (1)设每件衣服降价x元，则每天销售量增加 (3)若设矩形田地的宽为x步，则小正方形的 件，每件商品盈利 元（用 面积可用含x的代数式表示为 含x的代数式表示)； (2)每件服装降价多少元时，商家平均每天能 盈利1200元？ (4)由(2)(3)可得关于x的方程为 (3)商家能达到平均每天盈利1800元吗？ ,进而解得矩形田地的宽为 步. 请说明你的理由. 45探究在线 九年级数学（上）·HD