24.2.2 频率与概率-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（华东师大版·新教材）

@©24.2.2 ①基础在线沙知识要点分类练 知识点1用列表或树状图求简单事件的概率 1.某校在劳动课上，设置了植树、种花、除草三个 劳动项目.九年级(1)班和九年级(2)班都通过 抽签的方式从这三个项目中随机抽取一个项 目，则这两个班级恰好都抽到种花的概率是 () A号 B号 C.g D 2.一天晚上，小张帮助妈妈清洗两个只有颜色不 同的有盖茶杯，突然停电了，小张只好把杯盖 和茶杯随机搭配在一起，则颜色搭配正确的概 率是 3.随着盐城交通的快速发展，城乡居民出行更加 便捷.如图，从甲镇到乙镇有乡村公路A和省 级公路B两条路线；从乙镇到盐城南洋国际机 场，有省级公路C、高速公路D和城市高架E三 条路线.小华驾车从甲镇到盐城南洋国际机场 接人（不考虑其他因素）， (1)从甲镇到乙镇，小华所选路线是乡村公路 A的概率为 (2)用列表或画树状图的方法，求小华两段路 程都选省级公路的概率。 盐城南洋 国际机场 镇 甲镇 知识点2用频率估计概率 4.在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事 件发生的频率为∫，该事件的概率为P.下列 频率与概率 说法正确的是 A.试验次数越多，f越大 B.f与P都可能发生变化 C.试验次数越多，f越接近于P D.当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋 于稳定 5.（中考·贵州)某学习小组抛掷一枚质地不均 匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同 学们获得的试验数据整理如下表： 抛掷次 20 60 100120140160500100020005000 数n “正面朝上州 12 38 58 62 7588 27555011002750 的次数m “正面朝上” 的频率只 0.600.630.580.520.540.550.550.550.550.55 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为 A.0.52 B.0.55 C.0.58 D.0.63 2 能力在线》方法规律综合练 6.(中考·山东)某班学生到山东省博物馆参加 研学活动.博物馆为同学们准备了以镇馆之宝 “亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款 文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为 纪念品.若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙 两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是() A司 B.日 c号 D号 7.如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的 绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数” 用1,2,3这三个数字随机组成一个无重复数 字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为() A.5 c D 第24章112 8.某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的试 验数据如表： 累计 抛掷 50 100 200 300 500 1000 20003000 5000 次数 盖面 朝上 28 54 158 264 527 10561587 2650 次数 盖面 朝上0.56000.5400 0.53000.52670.528 0.52700.52800.52900.530 频率 下面有三个推断： ①通过上述试验的结果，可以推断这枚瓶盖有 很大的可能性不是质地均匀的； ②第2000次试验的结果一定是“盖面朝上”； ③随着试验次数的增大，“盖面朝上”的概率接 近0.53. 其中正确的是 .(填序号) 9.如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求 得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个半 径为1米的圆后，闭上眼睛向封闭图形内掷小 石子（可把小石子近似地看成点），记录如下： 掷小石子的总次数 50150300. 小石子所落的有效区域 石子落在圆内（含圆上）的次数m 144889 石子落在圆以外的阴影部分 3095180 (含外边缘)的次数n (1)当投掷的次数很大时，m:n的值越来越接 近 (精确到0.1)； (2)若以小石子落在有效区域的次数为总数 (即m十n),则随着投掷次数的增大，小石子落 在圆内（含圆上）的频率值稳定在 (3)请你利用(2)中所得频率的值，估计整个封 闭图形的面积（结果保留π）. 113探究在线九年级数学（上）·HD ③拓展在线》培优拔 :培优拔尖提升练 10.为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让 利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活 动.活动规定：凡在商场消费一定金额的顾 客，均可获得一次抽奖机会.抽奖方案如下： 从装有大小质地完全相同的1个红球及编号 为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个 球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品；若摸得 黄球，则不中奖.同时，还允许未中奖的顾客 将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1 个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4 个球完全相同)，然后从中随机摸出1个球， 记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球， 若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得 精美礼品一份.现已知某顾客获得抽奖机会。 (1)该顾客首次摸球中奖的概率为 (2)假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大 机会获得精美礼品，他应往袋中加人哪种颜 色的球？说明你的理由.(2)分别过点C、M作CD⊥AB,ME⊥ 2.(1)如图，过点D作DE⊥AC于点 55 AB,垂足分别为D、E. E,则四边形ABDE是矩形， 13 由(1)知，∠A=∠AMB, 由题意可知，AB=150m, ∴.BM=AB=20海里. ∠CDE=35°，∠ABC=43°， ∴.EM=sin∠EBM·BM=sin60°X20 150m .'DE=AB=150 m,AE=BD. 9×0=105(海里 在Rt△ABC中，tan∠ABC=AS, AB 答：灯塔M到轮船航线AB的距离为10√3海里 .AC=AB·tan43°≈150×0.93=139.5≈140m. (3)由题意易得BD=CD=EM=10√3，BE=BM·cos60 在RACDE中，tan∠CDE=S =10, ∴.CM=DE=BD-BE=10w5-10=10(W5-1)(海里) .CE=DE·tan35°≈150×0.70=105m. ∴.AE=AC-CE=35m. 答：港口C与灯塔M的距离为10(W3-1)海里. ∴.BD=AE=35m. 6.135 答：建筑物AC的高度约为140m,建筑物BD的高度约为 7.(1)3m 35m. (2)①(h+3√3)m (2)②过点D作DF⊥AB,垂足为 (2)平面示意图如下： F,由题意，得 用皮尺测得A、B之间的水平距离为 am,用测角仪在A处测得D点的仰 DF=EA=(33十h)m, 27 DE=AF=3 m, 角为α，在B处测得C点的仰角为P. 45 .AB=h m, 在Rt△ABD中，BD=(AB·tana)m, ∴.BF=AB-AF=(h-3)m. 在Rt△ABC中，AC=(AB·tang)m 在Rt△BDF中，∠BDF=27, 单元综合复习（四）解直角三角形 ∴.BF=DF·tan27°≈0.5(3√3+h)m. 热门考点突破 ∴.h-3=0.5(3W3+h). 1.C2ca29445A6D号&号 解得h=3√3+6≈11， ∴.AB=11m. 9.2E-510.7511.A12.B18.9 14.D15.1.2 .塔AB的高度约为11m. 16.如图，过点C作CG⊥AB于点G,过点D作DH⊥AB于 8.延长HF交CD于点N,延长 点H,则四边形CDHG是矩形， FH交AB于点M,如图所示. ∴.GH=CD=10m,CG=DH. 由题意可得MB=HG=FE 30° 45 ∠1=45°，.CG=AG. ND=1.6 m,HF=GE=8 m, B G+E 设CG=AG=DH=xm, MF-BE,HN-GD,MN-BD =24m. 在Rt△BCG中，∠2=52°， ∴.BG=CG·tan52°≈1.3x(m) 设AM=xm,则CN=xm, 在Rt△BDH中，∠3=65°， 在R△AFM中，M=0=芹-， .BH=DH·tan65≈2.lx(m), 在Rt△CNH中，HN=,CV tan30=3x, ∴.GH=BH-BG=2.1x-1.3x=10, .x=12.5, .HF=MF+HN-MN=x+3x-24. .AB=BG+AG=1.3×12.5+12.5≈29(m), 即8=x十√3x一24，解得x≈11.7， 答：大楼的高度AB约为29m. .AB=11.7+1.6=13.3(m). 核心素养提升 答：教学楼AB的高度AB长约为13.3m. 17.D 数学活动高度的测量 第24章随机事件及其概率 1.由题意，得四边形FGAB、四边形NHAG均为矩形， 24.1在重复试验中观察随机现象 ..FG=AB=AD+BD=10+4=14 m,NG=AH=AD+ 第1课时确定事件与随机事件 BD+BH=4+10+13.5=27.5m, 基础在线 在R△EFPG中，a∠EFG-器， 1.B2.D3.B4.不可能5.必然 tan3r-F≈093. 能力在线 6.C7.C8.A .EG≈14×0.93=13.02m. 拓展在线 在Rt△MNG中，tan∠MNG=MC 9.B NG 第2课时 用频率估计随机事件发生的机会的大小 ∴tan21.8=27.5≈0.40， MG 基础在线 .MG≈11. 1.D2.B3.50% ∴.EM=EG-MG=13.02-11=2.02m. 能力在线 答：校徽的高度EM的值为2.02m. 4.35.B 一探究在线·九年 拓展在线 ()若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有8种， 6.(1)860.3 (2)根据(1)的数据，绘制折线统计图如图所示， 此时该顾客秩得精关礼品的概率户一易=名， 频率 ()若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有 0.38 0.36 0.34 12种，此时该项客我得精关礼品的既窄月-号-号 0.32 0.30 P1<P2. 0.28 0.26 试验 ∴他应往袋中加入黄球. 0.24 次 24.2.3列举所有机会均等的结果 04080120160200240280320360400 (3)从折线统计图可以看出，随着试验次数的增加，摸出黄 基础在线 色球的频率逐渐平稳. 1.C2.C3.A (4)观察折线统计图可知，摸出1个黄色球的频率逐渐稳 4.列表如下： 定在0.34附近，故摸出1个黄色球的机会约为34%. 小顺小利 ⊙ C 24.2随机事件的概率 A (A,A) (B,A) (C,A) 24.2.1概率及其意义 基础在线 (A,B) (B,B) (C,B) 1.B2.A C (A,C) (B,C) (C,C) 3.因为疾病的手术成功率是。，是大量实践得出的成功率， 由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中参与者 并不是10个人就一定有1个人成功，所以这位医生讲得 小顺和小利被分配到同一组的结果数有3种， 不对. “参与者小顺和小利被分配到同一组的概率为号-子 4c5.D6g7.品82 能力在线 号 (2)作树状图（略），由树状图可知，共有6种等可能的结果， 9.A10.C11.B12.1213. 39 其中取出的3个小球上所写数字都不相同的结果有4种， 14.片 2品 “取出的3个小球上所写数字都不相同的概率为告 拓展在线 15.0%-号 3 =2 (2)12+820 27 6.c号 24.2.2频率与概率 能力在线 基础在线 1.D2.2 8A9.司 10.(1)画树状图如下： 3.日 开始 (2)树状图如下： 甲 一共有12种等可能的结果，其中乙选中球拍C有3种可 能的结果， CD EC D E 共有6种等可能的结果，其中小华两段路程都选省级公路 P(乙选中球拍C)=2=4, 31 的结果有1种， (2)公平.理由如下： “小华两段路程都选省级公路的概率为。， 开始 4.D5.B 第1枚正 能力在线 第2枚正反正反 6.A7.C8.①③ 由树状图知，一共有4种等可能的结果，其中两枚硬币全 9.10.5(2号 部正面向上或全部反面向上有2种可能的结果， (3)设整个封闭图形的面积为a平方米.根据题意，得 P(甲先发球)=导-合P忆先发球)-4= 日=号，解得a=3元 :P(甲先发球)=P(乙先发球)， .这个约定公平 经检验，a=3π是原方程的根且符合题意， 拓展在线 则估计整个封闭图形的面积为3π平方米. 拓展在线 1.1D:P(-次拿到8元球)=， 10.(1号 “8元球的个数为4×号-2 (2)他应往袋中加入黄球，理由如下： .这4个球的价格（单位：元）分别为7,8,8,9 由列表或画树状图（略）知，共有20种等可能结果 ∴这4个球价格的众数为8元. 及数学（上）·HD一 27