24.2.2 频率与概率-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（华东师大版·新教材）

∴.△ABG≌△CDG(AAS), ∴.AG=CG; 1.3-1:2)号 (2)由(1)可知△ABG≌△C 16.anB-,cosB=青 DG,.GD=GB,∴.AG+GB= AD,设AG=x,则GB=8-x, 17.旗杆AB的高度约为17m. 方法技巧专题求锐角三角函数的 在Rt△ABG中，.AB2+AG =BG,即62+x2=(8-x)2, 常见四种方法 解得=子in∠AG 1B2 7 3.sin∠BAD= 3 AG 4 BG 84西 1 4.2 1 5.3 1 6.2 7.C 第2课时特殊角的三角函数值 14 1.C2.A3.D4.A &sn∠EBC- 5.45°6.40 23.4解直角三角形 第1课时解直角三角形 7.(1)1+ 1.C2.A 2 62-合311 8.60°9.60 3.∠A=30°，∠B=60°，AB=46. 4.B5.B6.2 10.B11.A12.30°13.(4w3) 7.AB=15. 14.(1)6;(2)1. 8.60°或120°4或2 15.(503+50)m2. 9.D10.A11.A12.B 16.(1)2-√3；(2)W2-1. 13.60 23.3.2用计算器求锐角 14.AF=2√5-√6， 三角函数值 1.B2.(1)0.4136;(2)0.6115 15.(1)证明略；(2)tan∠EDF= 1 3 3.(1)0=5619';(2)0=414'; 第2课时仰角、俯角 (3)0=73°52'：(4)0=710. 1.B2.B3.C4.18°24 4..cos∠BAC=0.625, 5.9.56.(203-20) .∴.∠BAC≈51.3°. 7.√38.A9.20310.14.4 5.(1)111:(2)11; 11.CD的长度约为54m. (3)设a为锐角，tana·tan(90° 12.如果船不改变航线继续向西 -a)=1; 航行，没有触礁危险. (4)1. 13.(1)AB=25.6(m) 6.(1)随着锐角度数的增大，它的 (2)经过12s时，无人机刚好离 正弦值逐渐增大，它的余弦值 开圆圆的视线EB. 逐渐减小： 第3课时坡度和坡角 (2)sinl8°sin34°<sin50°< 1.A2.B3.280 sin62°<sin88°，cos18°>cos34° 4.30°和20√3米5.606.2√5 >c0s50>cos62>c0s88°. 7.A8.B9.A10.A (3)=< 11.3412.21013.1.5 (4)sinl0°<cos70°<sin50°< 14.水坝原来的高度为12米. c0s30°. 15.需要拆除.理由略. 阶段提升自测（三） 章末考点整合与素养提升 1-5 DCABC 6-8 CAA 9.110.②③④11.6 1.B2.D3.A 5.C 12.号1.144 6D72 8.C9.16 49 10.43811.6.312.A13.A 11 14.C15.316.23或32 1.42 2合 4.D5.D 17.古树DE的高度为(40-10W3)m 6.买一张彩票可能会中奖，买100 第24章随机事件及其概率 张彩票不一定中奖 24.1在重复试验中观察随机现象 7.A8.D 第1课时确定事件与随机事件 9.(1)0.68,0.74,0.68,0.69, 1.B2.B3.C4.=5.B 0.705,0.701:(2)当n很大时， 6.(1)、(2)、(4)是随机事件，(3)是不 落在“铅笔”的频率将会接近0.7； 可能事件，(5)是必然事件. (3)获得铅笔的概率是0.7； 7.(1)n=2.(2)n=6.(3)26. (4)圆心角的度数为252°. 8.(1)不可能(2)C 10.(1)“3点朝上”出现的频率是 第2课时用频率估计事件 发生的机会的大小 品-。“5点朝上”出现的领 1.C2.C3.12 4.(1)0.180,0.170,0.167,0.165, 率是器=号：(2)小预的说达 0.168,0.163;(2)0.167;(3)通过 是错误的.这是因为：“5点朝 多次试验，对其他点数出现的频 上”的频率最大并不能说明“5 率进行观察，均稳定在。附近. 点朝上”这一事件发生的概率 最大.只有当试验的次数足够 5.8个 大时，该事件发生的频率稳定 6.(1)取出白球的机会是子， 在事件发生的概率附近；小红 的判断是错误的，因为事件发 (2)袋中的红球有6个. 生具有随机性，故“6点朝上” 24.2随机事件的概率 的次数不一定是100次. 24.2.1概率及其意义 11.(1)P(抽到的是不合格品)= 1.C2.A3.D4.A5.A 4(2)共有12种情况，其中 6.(1)P(抽到两位数)= 2 抽到的都是合格品的情况有6 (2)P(抽到的数是2的倍数)= 种，P(抽到的都是合格品)= 立(3)P(抽到的数大于10)= 2;(3)x的值大约是16. 11 24.2.3列举所有机会均等的结果 7.D8.B9.A10.A11.B 1.C2.D3.3 1 4.10 5.B 12号18动 6.B7.C 8.4 9.C10.B 14g司 1 2 9； 1.B12号 1 13.3 (2)需要在这个口袋中再放入 2个白球. 14.号 (2 15.(1)由于B、C下面标2，说明它 们为中心的8个方格中有2个 15.(1)了：(2)图略，向西参观的 地雷，而C的右边已经有一个， 概率较大， ∴.A就是一个地雷，还有一个 章末考点整合与素养提升 可能在B、C的位置， 1.B2.2.83.D4.A5.A ∴.现在还剩下2个地雷； 1 (2)根据(1)得P(A有地雷)=1， 6.4 1 7.(1)总共12种情况.图略；(2) 这个游戏对甲、乙双方不公平， 24.2.2 频率与概率 明显乙获胜的概率更高 50 8.A9.C (2)画树状图略，抽到的两张 卡片恰好是“丝丝”和“核核” 13.4 14.3 的概率为行 15.107: 夹册《提分专练》参考答案 专练01 二次根式的双重非负性 +3,即2<c<8, 典例导练 由题意得，y-3≥0,3-y≥0，∴.y ∴原式=v-2-√一8 3=3-y=0,解得y=3,.x2=64, =c-21-3c-81=c-2- 解得x=士8，∴x十y=11或-5. 8 知能检测 -0=-6 /2m-4=0 1.由题意得，2十6=0' 专练03最简二次根式 典例导练 解得 /m=2 n=-3 由题意得：1一x>0,∴.x-1<0,.(x ∴.√m2+n=√13. 1=-1- 2.由题意，得(m-3)n≥0，∴.m≥ 1 3,∴.2m-4>0,.2m-4|+n =-√1-x. +2|+√/(m-3)n+4=2m可 知能检测 化简为：2m-4+|n+2|+ 1.(1)D(2)D √(m-3)n十4=2m 2.由题意，得2x十1=x十3，解得：x ∴.n+2+√(m-3)m=0, =2,.A=5√5，B=3V5, ,|n+2≥0，√(m-3)n≥0， .A+B=C,∴.C=A+B=85 ∴.n+2=0,(m-3)n2=0, =√320，.C=√/10x十3y, ∴.n=-2,m=3,.(m十n)2024= .10x+3y=320,.20+3y= 12024=1. 320,解得：y=100,∴.√2y-x 专练02运用√a=a化简 =√/2X100-2=√196=14. 典例导练 专练04二次根式的混合运算 原式=|a-1|+|a-3|,当a<1 典例导练 时，原式=(1一a)+(3-a)=4-2a原式=[(2√2+3)(22-3)]2023· =2,解得a=1(舍去)；当1≤a≤3(2√2-3)-√2-|1-√2|=(8 时，原式=(a-1)+(3-a)=2=2,9).(2√2-3)-√2+1-V2= 符合条件；当a>3时，原式=(a-1) -2√2+3-√2+1-√2=4-4W2. +(a-3)=2a-4=2,解得a=3(舍 知能检测 去.∴.a的取值范围是1≤a≤3. 知能检测 1)V50×8-6X5=V400 √2 1.(1)-a1-b (2)由题意，得a<0,1<a<2,b /8=20-9=20-3=17. N >0,0<b<1, (2)(1-2√3)2-(2-√3)(2+√3) ∴.a+1<0,a+b<0,b>0, .(a+1)z+√-√(a+b) =1-4√/3+12-(4-3) =|a+1+|bl-|a+b =1-4W3+12-1=12-4W3, =-a-1+b+a+b=2b-1. (3)(5+2)(W5-2)+11-√2| 2.由三边关系定理，得5-3<c<5√3×√6=5-4+√2-1-32=-22. -5124.2.2步 01基础达标 知识点一用树状图或列表法求简单的概率 1.抛掷两枚均匀的硬币，两枚硬币朝上面的等可 能结果有：正正、正反、反正、反反.则P(全部 正面朝上)=，P(一正一反)= 2.一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的2个 红球和2个白球.两个人依次从袋子中随机摸 出一个小球不放回，则第一个人摸到红球且第 二个人摸到白球的概率是 3.有4张背面相同的扑克牌，正面数字分别为2， 3,4,5.若将这4张扑克牌背面向上洗匀后，从 中任意抽取一张，放回后洗匀，再从中任意抽 取一张.这两张扑克牌正面数字之和是3的倍 数的概率为 知识点二用频率估计概率 4.用频率估计概率，可以发现，抛掷硬币，“正面 朝上”的概率为0.5，是指 () A.连续掷2次，结果一定是“正面朝上”和“反 面朝上”各1次 B.连续抛掷100次，结果一定是“正面朝上”和 “反面朝上”各50次 C.抛掷2m次硬币，恰好有n次“正面朝上” D.抛掷n次，当n越来越大时，正面朝上的频 率会越来越接近0.5 5.下表记录了一名球员在罚球线投篮的结果，那 么这名球员投篮一次，投中的概率是 ( 投篮 50 100 150 200 250 300 500 次数n 投中次 28 60 78 104 123 152 251 数m 投中频 率” 0.560.600.520.520.490.510.50 97 顺率与概率 A.0.8 B.0.7 C.0.6 D.0.5 易错点不能正确理解频率与概率的关系 6.某彩票的中奖概率是1%，买一张彩票一定不 会中奖吗？买100张彩票一定会中奖吗？ 02能力提升 7.在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干 个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇 匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放 回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次 摸到黑球，则估计盒子中大约有白球（) A.12个B.16个C.20个D.30个 8.甲、乙两名同学在一次用频率估计概率的试验 中，统计了某一结果出现的概率，绘制的统计 图如图所示，则符合这一结果的试验可能是 ( 40% 频率 30% 20% 10% 0 200400600次数 A.掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 B.抛一枚硬币，出现正面的概率 C.任意写一个整数，它能被2整除的概率 D.从一个装有2个白球和1个红球的袋子中 任取一球，取到红球的概率 9.某商场设立了一个可以自由转 动的转盘（如图），并规定：顾客 铅笔 可乐 购买10元以上物品就能获得 次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在 98 哪一区域就可以获得相应的奖品.下表是活动 进行中的一组统计数据： 转动转盘 100 150 200 500 800 1000 的次数n 落在“铅笔 68 111 136 345 564 701 的次数m 落在“铅笔” 的频率四 n (1)计算并完成表格； (2)请估计，当n很大时，落在“铅笔”的频率将 会接近多少？ (3)假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的 概率约是多少？ (4)在该转盘中，标有铅笔区域的扇形的圆心 角大约是多少（精确到1°）？ 10.小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做投 掷骰子（质地均匀的正方体）试验，他们共做 了60次试验，试验的结果如下： 朝上的点数 123456 出现的次数79682010 (1)分别计算“3点朝上”的频率和“5点朝上” 的频率； (2)小颖说：“根据试验，一次试验中出现5点 朝上的概率最大”；小红说：“如果投掷600 次，那么出现6点朝上的次数正好是100 次.”小颖和小红的说法正确吗？为什么？ 03思维拓展 11.4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件 合格品。 (1)从这4件产品中随机抽取1件进行检测， 求抽到的是不合格品的概率； (2)从这4件产品中随机抽取2件进行检测， 求抽到的都是合格品的概率； (3)在这4件产品中加入x件合格品后，进行 如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放 回，多次重复这个试验.通过大量重复试验后 发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以 推算出x的值大约是多少？