23.4 第1课时 解直角三角形及其简单应用-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（华东师大版·新教材）

23.4 解直角三角形 ©第1课时 解直角三角形及其简单应用 ①基础在线沙 :知识要，点分类练 知识点1已知两边解直角三角形 1.等腰三角形的一腰长为6cm,底边长为6√3cm, 第6题图 第7题图 则其底角为 ( ) 7.(中考·眉山)人字梯为现代家庭常用的工具， A.120° B.90° C.60° D.30° 如图，若AB、AC的长都为2m,当a=65°时， 2.在Rt△ABC中AB=4,AC=2√2，∠C=90°， 人字梯顶端离地面的高度是 m.(结果 则∠A的度数为 ( 精确到0.1m,参考依据：sin65°≈0.91，cos65° A.309 B.40° C.45° D.60° ≈0.42，tan65°≈2.14) 知识点2已知一边和锐角解直角三角形 8.如图，轮船甲和轮船乙同时离开海港O,轮船 3.(中考·南通)在△ABC中，∠C=90°，tanA= 甲沿北偏东60°的方向航行，轮船乙沿东南方 AC-25,则BC的长为 ( 向航行，2小时后，轮船甲到达A处，轮船乙到 A.1 B.2 C.5 D.5 达B处，此时轮船甲正好在轮船乙的正北方 向.已知轮船甲的速度为每小时25海里，求轮 2.AC 4.如图，在△ABC中，∠C=90,cosA= 船乙的速度.（结果保留根号） =4√3，则AB长为 A.4 B.8 C.8√3 D.12 第4题图 第5题图 5.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC 于点D,AC-10,osC-号，那么CD- 知识点3解直角三角形的简单应用 6.(中考·辽宁)如图，为了测量树AB的高度， 能力在线》方法规律合绣 在水平地面上取一点C,在C处测得∠ACB= 9.已知在△ABC中，AB=12√2，AC=13,cosB 51°，BC=6m,则树AB的高约为 m(结 果精确到0.1m.参考数据：sin51°≈0.78，cos -咨，则BC的长为 () 51°≈0.63，tan51°≈1.23) A.7 B.8 C.8或17D.7或17 97探究在线九年级数学（上）·HD 10如图，在△ABC中，snA=号AC=BC=5, D是AC上一点，若an∠DBA=子，则AD 的长为 ( A.2 B.3 C.√2 D.1 14.(中考·南京)如图，码头B位于码头A的南 偏东30°方向，A、B之间的距离为40km,灯 第10题图 第11题图 塔P在AB的中点处.轮船甲从A出发，沿 11.(中考·广州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB 正南方向航行，轮船乙从B出发，沿正东方向 =90°，AD平分∠CAB,已知cos∠CAD= 航行.当甲航行到C处时，乙航行了相同的距 号AB=26,则点B到AD的距离为 离到达D处，此时，C、P、D三点恰好在一条 直线上.求甲航行的距离AC.(参考数据：√3 12.(中考·盐城)一种遮阳伞如图，遮阳伞支架 AB垂直于地面BC,点D在AB上，AD= ≈1.73) 0.6m,D、E、F三点共线，DF=3DE=3AE. 当太阳光线与DF垂直时，它与地面的夹角 正好为60°，则DF落在地面上的投影GH= m. B D 60°2 图① 13.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为 BC的中点，DE⊥AC于点E,连结BE,已知 DE=2. (I)若tanC=2,求AB的长度； (2)若∠C=30°，求sin∠BEA的值. ③拓展在线> ,培优拔尖提升练 15.如图，在四边形ABCD中，∠B =∠D=90°，AB=3,BC=2, D tanA=号，则CD= 第23章9815..AB=AC,.∠B=∠C=30°. 在Rt△AEB中，∠A=30°， AB⊥AD, .AE=AB·cos30°=40Xcos30°=20√3km .BD=2AD=2X4=8(cm),∠B+∠ADB=90°. BE=AB·sin30°=20km. ∴.∠ADB=60°. 设AC=BD=xkm, ∠ADB=∠DAC+∠C=60°， AC∥BH,.∠A=∠PBH .∠DAC=30.∠DAC=∠C. (∠A=∠PBH, .'DC=AD=4 cm. 在△APC和△BHP中，AP=BP, .BC=BD+DC=8+4=12(cm). C∠APC=∠BPH, 16.（1)由题意，得sm120°=号os120=-名sm150=号 .△APC≌△BPH(ASA), 2 .'AC=BH..'BD=BH. (2),一个钝角三角形的三个内角度数比是1：1：4， ∴.∠HDB=∠BHD=45 ∴.三个内角分别为30°，30°，120°， ∠ECD=90°-45°=45° 当∠A-30°，∠B-120时，方程的两根为号，-分， ∴.∠ECD=∠HDB.∴.CE=ED. .20W3-x=20十x, 将=号代人方程，得4×（合）}”-m×号-1=0， 解得x=10√3一10≈7.3. 答：甲航行的距离AC约为7.3km. 解得m=0,此时方程为4r-1=0,经检验，-号是方程 拓展在线 4x2一1=0的根， 15.号 .m=0,∠A=30°，∠B=120°，符合题意. 第2课时仰角、俯角与解直角三角形 同理，当∠A=120°，∠B=30°以及当∠A=30°，∠B=30° 基础在线 时，方程的两根均不符合题意. 综上所述，m=0,∠A=30°，∠B=120° 1.B2.4903.1203 4.(1)如图，作BE⊥AD于点E, 23.4解直角三角形 ∠A=30°， 第1课时解直角三角形及其简单应用 基础在线 :BE=sn30XAB=合×AB=20(m. 1.D2.C3.c4B5.9 6.7.47.1.8 (2)在Rt△ABE中，AE=cos30°XAB 40m 8.过点O作OD⊥AB于点D, =9×40=20v5. 在Rt△AOD中，∠AOD=90°-60°=30°， 00 ∠DBC=75°， OA=25×2=50(海里)， ∴∠ADB=∠DBC-∠A=75°-30°=45°. 0D=0A·c0s30°=50X5- ∴∠EBD=90°-45°=45°，∴.DE=BE=20m. 2 ,.AD=AE+DE=(20+20W3)m. 25√3（海里）. ∠C=90°，∠A=30°， 在Rt△ODB中，∠DOB=45°， ∴.OB=√2OD=25√3X√2=25W6(海里). CD=sin30XAD=号AD=(10+10w月)m 5.(1)过点A作AE⊥CD,垂足为E, “轮船乙的速度为25y5海里/小时。 由题意，得AE=BD,AB=DE=46m, 能力在线 在Rt△ADE中，∠EAD=B=37°， 9.D10.A1.1012.g5 器0661.3m. ..AE=DE 13.(1)过点B作BF⊥AC于点F, ∴.BD=AE≈61.3m. DE⊥AC,点D为BC的中点， .两楼之间的距离BD约为61.3m (2)在Rt△ACE中，∠CAE=45°， ∴.DE∥BF,DE为△BCF的中位线 ..CE=AE·tan45°≈61.3(m). ∴.BF=2DE=4. .CD=CE+DE≈61.3+46=107.3(m). '∠ABC=∠CFB=90°， ∴.大厦的高度CD约为107.3m. ∴.∠C=∠ABF..∴.tan∠ABF=tanC= 2 能力在线 6.B7.180 ∴AF=2..AB=√4+2=2√5. 8.如图，延长DC交AN于点H,则DH⊥AN, (2)在Rt△CDE中，∠C=30°，DE=2, g- D .CE=2√3.∴.EF=CE=2W3. 在Rt△BEF中，BE=√(2√3)2+42=2√7， EA-能-行2 在Rt△BCH中，∠BCH=∠B=78.5°， .CH=CB·cos78.5°≈10X0.2=2m, 14.如图，延长AC、DB交点为E,过点B BH=CB·sin78.5°≈10X0.98=9.8m, 作BH⊥BD交CD于点H.由题意， .DH=CD+CH=1.6+2=3.6m, 得∠E=90°，∠HBD=90°， 在Rt△DAH中，∠DAH=∠a=8.5, :A、B之间的距离为40km,灯塔P DH 3.6 在AB的中点处， AH=tan8.5≈0.i5=24m, ∴.AP=PB=20km. .AB=AH-BH=24-9.8=14.2m, .河宽AB约为14.2m. 26 探究在线·九 拓展在线 (2)延长CD交AM于点F, 9.延长BC交直线l于点F,过点A作 :CD⊥BN,BN∥AM, AE⊥L,垂足为E,则BF⊥L, .CD⊥AM, 由题意，得AE=BF=40米，AB= ∴.四边形BDFE是矩形 EF=70米，在Rt△ADE中， ∴.DF=BE=10米，BD=EF A309 ∠ADE=45°，DE=,AE =40(米) 设CD=x米，则CF=CD+DF=(x+l0)(米)， tan45 .DF=EF-DE=70-40=30(米)」 在Rt△ACF中，∠CAF=30°， 在Rt△CDF中，∠CDF=30°， ..AF= 8-u+10米 CF CF=DF·tan30°=30×=10V3(米). 、3 :在Rt△BCD中，∠CBD=60°， '.BC=BF-CF=40一10√3≈23（米）. ∴BD= tan/CBD tan60°32(k、 CD .楼房高度约为23米. 第3课时利用坡角或坡比解直角三角形 EF-BD=3, 3x米 基础在线 1.B2.B3.A4.D5.15√5m 由(1)有AE=3BE=3×10=30(米)， 6.AB⊥BC,∴∠ABC=90. 在Rt△ABD中，∠ADC=15°，AB=5米， AF=AE+E,B+10)-30+9x ·BD=AB 解得x=15√3-15， tam15≈0.27≈18.52（米）. 5 .CD=(15√3-15)（米）. .BC=12米， ∴.CD=BD-BC=18.52-12≈6.5（米）. 即建筑物的高度（即CD的长）为(15√3-15)米. .斜坡改进后的起点D与原起点C的距离约为6.5米， 微专题10解直角三角形的实际应用 7.(1)如图，过点B作BE⊥AD于点E, 1.过点B作BD⊥AC于点D, 在Rt△ABE中， 则∠BDC=∠ADB=90°. ∠A=a=16°，AB=200m, ∠ABD=31°，∠CBD=61°， 则BE=AB·sinA≈200×0.28=56m, 设BD=n mile, 答：小明一家步行上升的垂直高度约为 4 ∴.AD=BD·tan31°，CD=BD·tan61 56m. 'AC=10 n mile, (2)如图，过点B作BF⊥CD于点F, .x·tan31°+x·tan61°=x(0.60+1.80)=10. 则四边形BEDF为矩形， ∴.DF=BE=56m. ∴.x≈4.2，即BD≈4.2(n mile). .CD=296m, 答：轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离为4.2 n mile.. .CF=CD-DF=296-56=240m. 2.如图，过点B作BF⊥AC于点F,由 在Rt△CBF中，∠CBF=B=37°， 题意，得 则Bc-snCB*88-400m CF ∠CAB=180°-70°-50°=60°，∠EBA= ∠BAD=50°，AB=1X20=20(海里). 答：缆车的行驶路线BC的长约为400m. ∠CBE=25°， 能力在线 .∠CBA=∠CBE+∠EBA=75°. 8.B9.D .∴.∠C=180°-∠CAB-∠CBA=45° 10.作EF⊥AB于点F,延长ED交 BC的延长线于点G,则EG⊥BG 在R△ABF中，BF=20×5-10V3(海里)， 2 在Rt△CDG中， 在Rt△CBF中，BC=√2BF=10√6≈24（海里）， tan∠DCG= .灯塔C与码头B的距离约为24海里. 设DG=3x,则CG=4x, 3.55 (3x)2十(4x)2=102,解得x=士2（负值舍去）， 4.如图，延长DF与AB相交于点G, .DG=6,CG=8. 根据题意，可得DG∥CA, 在矩形BGEF中，BG=EF=15十8=23，BF=EG=6十 有∠GDB=22°，∠GFB=31°，∠DGB 1.6=7.6. =90°，AG=EF=CD=1.7, 在Rt△AEF中，∠AEF=24°， DF=CE=32, .AF=EF.tan24°≈23X0.45=10.35. 在Rt△FGB中，tan∠GFB=GS, GF,..GF=. GB .AB=AF+BF=10.35+7.6=17.95≈18.0（米） n313. 答：树高AB约为18.0米. 拓展在线 在R△DGB中，an∠GDB-需GD=CB tan22 11.(1)过点B作BE⊥AM于点E,则∠AEB=90°. GB “斜接AB的坡度：噩方AE=8BE PGF+DF=GD,.3+32=22 解得GB≈38.4. ,在Rt△ABE中，AE2+BE=AB, .AB=AG+GB≈1.7+38.4≈40. 即(3BE)2+BE2=(10√/10)2，∴.BE=10米. 答：世纪钟建筑AB的高度约为40m. .平台BN的高度是10米. 5.(1)3045 年级数学（上）·HD