22.3.4 相似三角形的应用（Word试题版）【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（华东师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦相似三角形的应用，通过测量物高（旗杆、树高）和测量距离（河宽）等现实情境问题导入，连接相似三角形判定与性质，构建解决实际问题的学习支架。 资料设置基础达标、能力提升、思维拓展三级习题，结合古代数学问题和生活实例，配有视频解析。通过真实情境培养学生用数学眼光观察现实，提升推理与运算能力，增强应用意识，助力数学思维与语言表达发展。

22.3.4 相似三角形的应用 01基础达标 知识点一 测量物高 1. 如图，小明用长为3m的竹竿CD作测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB的高为____m． 2. 如图，身高为1.7m的小明AB站在小河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD的高度，CD在水中的倒影为C′D，A、E、C′在一条线上．如果小河BD的宽度为12m，BE=3m，那么这棵树CD的高为_____m． 3. 如图，小明为了测量大楼MN的高度，在离N点30米放了一个平面镜，小明沿NA方向后退1.5米到C点，此时从镜子中恰好看到楼顶的M点，已知小明的眼睛（点B）到地面的高度BC是1.6米，则大楼MN的高度是（　　） A. 32米 B. 米 C. 36米 D. 米 4. 如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云图”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边，，测得眼睛D离地面的高度为，他与“步云图”的水平距离为，则“步云图”的高度是（ ）m． A. 75.5 B. 77.1 C. 79.8 D. 82.5 知识点二 测量距离 5. 如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点，在近岸取点，，，使得，，点在上，并且点，，在同一条直线上．若测得，，，则河的宽度等于（ ） A. B. C. D. 6. 一条河的两岸有一段是平行的．在河的这一岸每相距5米有一棵树,在河的对岸每相距50米有一根电线杆．在这岸离开岸边25米处看对岸,看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住,并且在这两棵树之间还有三棵树,求河宽． 易错点 忽视作辅助线而致错 7. 为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一组标杆、皮尺，设计了如图所示的测量方案．已知测量同学眼睛A、标杆顶端F、树的顶端E同一直线上，此同学眼睛距地面标杆长为且，，则__________ 02能力提升 8. “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（　　） A. 1.25尺 B. 56.5尺 C. 6.25尺 D. 57.5尺 9. 如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为( ) A. 100cm2 B. 150cm2 C. 170cm2 D. 200cm2 10. 图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（ ） A. B. C. D. 11. “今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG=15里，HG经过A点，则FH=__里． 03思维拓展 12. 如图1是小红家阳台上放置的一个晒衣架，如图2是晒衣架一端横切面的示意图，立杆相交于点两点立于地面，经测量；，，，现将晒衣架完全稳固张开，此时扣链成一条线段，． （1）求证：． （2）小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由． 22.3.4 相似三角形的应用 01基础达标 知识点一 测量物高 【1题答案】 【答案】9 【解析】 【分析】根据△OCD和△OAB相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：由题意得，CDAB， ∴△OCD∽△OAB， ∴， 即， 解得AB=9． 故答案为9． 视频 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，是基础题，熟记相似三角形对应边成比例是解题的关键． 【2题答案】 【答案】5.1 【解析】 【分析】根据题意得出BE=3m，DE=9m，△CED≅△C’ED，AB∥CD，利用相似三角形的判定和性质得出，由全等三角形的性质得出CD=C’D，代入求解即可． 【详解】解：根据题意可知：BE=3m，DE=9m，△CED≅△C’ED， ∴CD=C’D， 由题可得AB∥CD， ∴△ABE∽△CDE， ∴ ∴， 即， 解得：CD=5.1m， 故答案为：5.1． 【点睛】本题注意考查的就是三角形相似实际应用的题目，难度在中等．在利用三角形相似，我们一般都是用来测量较高物体或无法直接测量的物体的高度，解决这种题目的时候，我们首先要找到有哪两个三角形相似，然后根据相似三角形的边成比例得出位置物体的高度． 【3题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理证明∽，再利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】∵BC⊥CA，MN⊥AN， ∴∠C＝∠MNA＝90°， 由题可知，∠BAC＝∠MAN， ∴∽， ∴，即， ∴MN＝32米． 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理与性质，熟练掌握判定定理及性质是解题的关键． 【4题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】先判定和相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出的长，再加上即可得解． 【详解】在和中，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴， 即“步云图”的高度为． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判定出和相似是解题的关键． 知识点二 测量距离 【5题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】由两角对应相等可得，利用对应边成比例可得河的宽度． 【详解】解：∵，， ， 又， ， ， ∵，，， 解得：． 【6题答案】 【答案】37.5m. 【解析】 【分析】画出图形，找出题中的相似三角形，根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】如图所示：AF=25m，BC=5×4=20m，DE=50m. ∵BC∥DE， ∴ ， 即 ， 解得：FG=37.5m. ∴河宽37.5m. 故答案为37.5m. 【点睛】此题考查相似三角形的应用，解题关键在于掌握其性质. 易错点 忽视作辅助线而致错 【7题答案】 【答案】 【解析】 【分析】过点A作于点G，交于点H．得出，进而求出的长，进而求出的长： 【详解】解：如图，过点A作于点G，交CF于点H． 由题意可得 四边形、、都是矩形，． ． ∴． 由题意可得，，． ∴， 解得， （）． 02能力提升 【8题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】易得△ABF∽△ADE，列出比例式即可求解． 【详解】依题意有△ABF∽△ADE， ∴AB：AD=BF：DE， 即5：AD=0.4：5， 解得AD=62.5， BD=AD−AB=62.5−5=57.5（尺）． 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，对应边成比例，列出比例式是解题的关键． 【9题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】设AF＝x，根据正方形的性质用x表示出EF、CF，证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质求出BC，根据勾股定理列式求出x，根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可. 【详解】设AF＝x，则AC＝3x，FC=2x， ∵四边形CDEF为正方形， ∴EF＝CF＝2x，EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴， ∴BC＝6x， 在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即302＝(3x)2+(6x)2， 解得，x＝2， ∴AC＝6，BC＝12， ∴剩余部分的面积＝×12×6﹣4×4＝100(cm2)， 故选A. 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，图形的面积等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 【10题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果． 【详解】解：如图：过作，垂足为，过作，垂足为， ， ， ， ， ， ， 解得：， 经检验：是方程的解， 此时液面． 【11题答案】 【答案】1.05 【解析】 【详解】∵EG⊥AB，FH⊥AD，HG经过A点， ∴FA∥EG，EA∥FH， ∴∠HFA＝∠AEG＝90°，∠FHA＝∠EAG， ∴△GEA∽△AFH， ∴． ∵AB＝9里，DA＝7里，EG＝15里， ∴FA＝3.5里，EA＝4.5里， ∴， 解得FH＝1.05里． 故答案为1.05． 视频 03思维拓展 【12题答案】 【答案】（1）见解析 （2）会拖落到地面，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据等边对等角结合三角形内角和定理得出，，从而得到，即可得证； （2）首先证明，进而得出的长即可． 【小问1详解】 证明：相交于点， ， ， ， 同理可证：， ， ； 【小问2详解】 解：小红的连衣裙会拖落到地面； 在中，， 过点作于点， 同（1）可证：， ，则， ∴，， 所以小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度晒衣架的高度．小红的连衣裙会拖落到地面． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $