22.1.2平行线分线段成比例-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（华东师大版·新教材）

©22.1.2平行线分线段成比例 1基础在线 ,知识要点分类练 知识点2 平行于三角形一边的直线定理 5.如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D 知识点1平行线分线段成比例 作DE∥BC,交AC于点E.若AD=2,BD= 1.(中考·哈尔滨)如图，AB∥CD∥EF,若BC AD 3,则AE =5,CE=8,则DF AC的值是 ( 2 5 A. D.8 B. c B.3 3 A/B A 、D 10 第1题图 第2题图 第5题图 第6题图 2.(中考·乐山)如图，l1∥12∥13，AB=2,DE= 6.如图，是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上 3,BC=4,则EF的长为 作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点P A.4 B.6 C.8 D.10 表示的数是 () 3.如图，直线l1∥L2∥l3,两直线AC和DF与l1、 A.1 B.√2 l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F.下列 D.5 各式中，不一定成立的是 () c号 A器 7.如图，已知EG∥BC,GF∥CD,AE=3,EB= A 2,AF=6,求AD的长. B.AB_DE B ACDF c品8器 D.器-S 4.如图，已知直线l、l2、分别截直线L4于点A、 B、C,截直线ls于点D、E、F,且l∥2∥l3.如 果DE:EF=2:3,AB=6,求AC的长 易错点因图形的不唯一导致漏解 8.在△ABC中，AB=6,AC=9,点D在边AB 所在的直线上，且AD=2,过点D作DE∥BC 交边AC所在直线于点E,则CE的长为 第22章48 14.请阅读以下材料，并完成相应的问题. 2能力在线 方法规律综合练 角平分线分线段成比例定理，如图①，在 9.已知线段a、m、n,求作线段x,使x=m”,则下 △ABC中，AD平分∠BAC,则A2-BD AcCD 列作图方法中（其中MN∥EF),正确的是( 下面是这个定理的部分证明过程. 证明：如图②，过点C作CE∥DA,交BA的 M 延长线于点E,… a Nx a Nn a Nn 问题： 10.如图，l1∥L2∥l3,且AB=2BC,DF=5cm,AG (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩 =4cm,则线段EF的长为 ( 余部分； A.1 cm B.3 cm (2)填空：如图③，已知Rt△ABC中，AB=3, C.m BC=4,∠ABC=90°，AD平分∠BAC,则 D.5 cm AD= A/D A 第10题图 12 第11题图 11.如图，在△ABC中，D、E、F分别是边AB、 D D D AC、BC上的点，且DE∥BC,EF∥AB,若 图① 图② 图③ BF:FC=2:3,AB=15,则BD的长为( ) A.6 B.9 C.10 D.12 12.如图，练习本中的横格线都平行， 且相邻两条横格线间的距离都相 等，同一条直线上的三个点A、B、C 都在横格线上.若线段AB=4cm, 则线段BC= cm. ③拓展在线》培优接尖凝升然 … 13.如图，直线1∥12∥1，AC分别交l1、l2、l3于 15.如图，在△ABC中，点M为AC边的中点，E 点A、B、CDF分别交l41、l2、L于点D、E、F,AC 为AB边上一点，且AB=4AE,连结EM并 与DF交于点O.已知DE=3,EF=6,AB=4. 延长交BC的延长线于点D. (1)求AC的长； 求证：BC=2CD. (2)若OE:OF=1:3,求OB:AB的值 A ) 49探究在线 九年级数学（上）·HD代入数值计算，得 核心素养提升 m3n+mm3=-8×[22-2×(-8)]=-160. 16.(1)60(2)144 （3)x-2十=一k+3可化为工-1-2+2=一k+2, (3)(60-2x)平方步(4)(60-2x)2=14424 x-1 x-1 第22章图形的相似 设=x-1,则原方程可化为一2(+2》=一十2， t 22.1成比例线段 即+二2kk+2=(-2k)+(k+2), 22.1.1成比例线段 能力在线 由于x1>x2,k>0,可得>t2, 1.A2.1:10000003.D4.C5.A6.D7.4 且t=k十2，t2=-2k, .x1=k十3，x2=-2k+1. 8设号=学==x=3y=5,2=4 因此，-3=+3-3 义=3h5--2k=- 4k 4k 2… 单元综合复习（二）一元二次方程 号的值为一宁 热门考点突破 1.B2.D3.54.D5.D 9.C10.B1.22cm或 cm或，√2cm 6.(1)分解因式，得(x-1)(x一5)=0， 基础在线 .x一1=0或x-5=0, .x1=1,x2=5. 12.B13.D14.B15号 (2)2x2+x-2=0, 16.在Rt△ABC中， .a=2,b=1,c=-2, ∠ACB=90°，AC=3,BC=4,.AB=5. ∴.b2-4ac=12-4X2×(-2)=17. “x=-b士YB-4ac=-1±7 Sc=2AB.CD-号BC·AC 2a 4 :.CD-BC-AC-2.4. x1=-1+17 4 ,2=1-17 AB 4 在Rt△ADC中，AD=√AC-CD=1.8, 7.有两个不相等的实数根8.一29.2910.C11.A .BD=3.2, 12.(1)△=b-4ac=22-4X1×(3-k)=-8+4k, .AD:CD=CD:BD, ,方程有两个不相等的实数根， ∴.线段AD、CD、CD、BD是成比例线段， ∴-8+4k>0. 17.△ABC为等边三角形.理由如下： 解得>2. a、b、c是△ABC的三边长，.a十b+c≠0. (2)方程的两个根为α、B, .a-b_b-c-c-a a明=3-k.k2=3-k+3k, b a, 解得k1=3,k2=一1. k>2,∴.k=3. 9-6。-2-a6t6t-2=0, a a+b+c 13.B ∴.a-b=0,b-c=0,c-a=0. 14.设小路的宽度为xm,由题意，得 a=b=c.∴△ABC为等边三角形 (20-4x)(14-4x)=24×9,整理，得2x2-17x+8=0, 能力在线 解得x=号或工=8（舍去， 18.设AB=AD=x, :E是AD的中点，∴AE= x. 答：小路的宽度为2m 15.(1)2x(40-x) 由勾殷定理，得BE=√AB+A区-√2+（合） (2)设每件服装降价x元时，商家平均每天能盈利1200 √5 x,则AH=AF= W51 元，依题意，得 2 (40-x)(20+2x)=1200, AH=5-1, 整理，得x2-30x十200=0， AB 2 解得1=10，x2=20. ∴H就是AB的黄金分割点. 又，需要扩大销售量， 22.1.2平行线分线段成比例 .x=20. 能力在线 答：每件服装降价20元时，商家平均每天能赢利1200元： 1.D2.B3.C (3)商家不能达到平均每天盈利1800元，理由如下： 假设每件服装降价y元，商家能达到平均每天盈利1800 ha,0-器 元，依题意，得 62 (40-y)(20+2y)=1800, ·BC-3BC=9. 整理，得y2-30y+500=0. ,.AC=AB+BC=6+9=15. .△=(-30)2-4×1×500=-1100<0， 5.A6.D .此方程无解， 7.EG∥BC,EBGC AE AG .商家不可能达到平均每天盈利1800元. 一探究在线·九 GF/Dc,2瓷S .AB'-B'C' 瓷或瓷% 铝部即品 300-200004-202 30 30 FD=4. 解得x=1.5或9. ∴AD=AF+FD=10. 故当x=1.5或9时，矩形ABCD与A'B'CD'相似. 8.12或6 拓展在线 能力在线 15.(1)22 9.C10.C11.B12.12 (2)设A1纸的长和宽分别为x,y,则A2纸的长和宽分别 13.(1)1∥2∥13， 怨即360 4 为…号=之∴号-厄 y 22 解得AC=12. 即该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比为√2：1. ②4%%器-咒号 (3),一张A纸的质量为a克，A纸是A纸面积的一半， AB=4,AC=12,.BC=8, 六一张A,纸的质量为弓0克，同理，一张A纸的质量是 0B-28器-是-合 4a克，… 14.(1)该证明的剩余部分： 则0∠2-∠AcE,∠1-∠E -张A纸的质量是（合）》'a克。 22.3相似三角形 AD平分∠BAC,∴∠1=∠2， 22.3.1相似三角形 ∠ACE=∠EAE=AC,8是-80 基础在线 1.A2.D3.A (2)3⑤ 4.(1)∠BAC=45°，∠C=40°， 2 ∠B=180°-45°-40°=95. 拓展在线 ,'△ABCp△ADE, 15.如图，过点C作CF∥DE,交AB ∴.∠AED=∠C=40°，∠ADE=∠B=95. 于点F ME/CF,2器-光 (2:△ABC△ADE怎-e :点M为AC边的中点， 即-S,部得DE-总 ∴.AM=MC..AE=EF. :AB=4MEEF=-子AB,BF-7AB∴BF=2ER DE的长为習cm 5.C6.B CF/DE,器- =2.∴.BC=2CD. 7.△ADE∽△ABC,△EFC∽△ABC,△ADE∽△EFC 能力在线 22.2相似图形 8.C9.C10.1511.15 基础在线 12.图中的相似三角形是△ADE∽△ABC. 1.C2.B3.D4.B5.16 AD=2,EC=3AD,∴.EC=6. 6.设矩形水池的宽为工m,由两矩形相似，得9- 设AE=x, x DB=x+1,AC=AE+EC=x+6, 解得x-号 ∴.AB=AD+DB=2+(x+1)=x十3. ,DE∥BC,.△ADE∽△ABC. ∴矩形水袍的周长为(9+5）×2=2(m),面积为号×5 能品腮异認 由千6异得2+红12-0… 7.两个五边形相似，它们的对应角相等，由此可得∠3=65°， 解得x1=3,x2=一4（不符合题意，舍去）， ∠a=540°-(115°+95°+155°+65)=110°； ∴.AE=3,DB=4. 两个五边形相似，它们的对应边的比相等，由此可得a:12 =27=316=c5,解得a=兰，6=头c=9 ∴△ADE与△ABC的相似比为铝=2异4=号 8.C9.甲与丙 由相似比为日品-日解得BC=4.8 能力在线 拓展在线 10.A11.D12.108013.2√3 13.(1)40 14.(1)不相似.理由：：AB=30,A'B'=28,BC=20,B'C'= (2)△ABD是等腰三角形，分情况讨论： 18,而器≠8，故矩形ABCD与ABCD'不相似. 若BD=AD,则∠ABD=∠BAD=42. ,AD是△ABC的完美分割线， (2),矩形ABCD与A'B'C'D'相似， ∴.△ADC∽△BAC.∴∠CAD=∠B=42°. 年级数学（上）·HD一 21