21.3 第2课时 一元二次方程的应用——平均变化率问题-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（华东师大版·新教材）

©第2课时 一元二次方程的应用—平均变化率问题 基础在线》知识要点分类鳞 C.涨价后每天销售工艺品的数量是(300 10x)件 知识点1平均变化率问题 D.可列方程为(30十x)(300一10x)=3750 1.(中考·黑龙江)随着“低碳生活，绿色出行”理 4.“中国开封菊花文化节”始于1983年，是开封 念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱 市实现文化大发展、提升城市文化软实力、建 的交通工具.某品牌新能源汽车的月销售量由 设国际文化旅游名城的重要名片之一，每年的 一月份的8000辆增加到三月份的12000辆， 10一11月都为八方来客奉上一场既有时代气 设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率 息又具开封特色的菊花文化盛宴，市民们也常 为x,则可列方程为 在当季购买菊花观赏.某菊花供应商有一种菊 A.8000(1+2x)=-12000 花，进货价为每盆30元，销售价为每盆60元， B.8000(1+x)2=12000 菊花节期间平均每天可以售出20盆.菊花节 C.8000+8000(1+x)+8000(1+x)2=12000 落幕后决定降价出售，经市场调查发现：如果 D.8000×2(1+x)=12000 每盆降价4元，那么平均每天就可多出售6 2.为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出 盆.设每盆降价x元. 一部分资金用于购买书籍.已知2023年该 (1)降价后每盆的利润是 元；每天卖 学校用于购买图书的费用为5000元，2025 出 盆；（用含x的代数式表示） 年用于购买图书的费用是7200元，求2023 (2)菊花供应商想要达到每天700元的盈利，同 2025年买书资金的年平均增长率. 时想让市民得到实惠，求每盆应降价多少元？ 方法规律综合练 知识点2利润问题 2 能力在线》 3.(郑州期末)某网店将每件进价为20元的工艺 5.(教材P43“问题4”变式)某市政府计划两年后实 品以单价为30元的价格出售时，每天可售出 现财政收人翻一番，如果第二年的增长率为第一 300件，经调查，当单价每涨1元时，每天少售 年的2倍，那么第一年的增长率约是 出10件.若该网店想每天获得3750元利润， A.-1.78% B.28.1% 则每件工艺品应涨多少元？如果设每件工艺 品应涨x元，则下列说法正确的是( C.1.78% D.-28.1% A.涨价后每件工艺品的售价是(20十x)元 6.某热门电影上映的第一天票房约为2亿元，第 B.涨价后每件售出工艺品的利润是(10一x)元 二天、第三天持续增长，三天累计票房6.62亿 37探究在线九年级数学（上）·HD 元，若第二天、第三天按相同的增长率增长，则平 3 拓展在线沙培优拔尖提升练 均每天票房的增长率为 ) A.5% B.10% C.15% D.20% 10.某商店代销一种智能学习机，促销广告显示 7.某种商品的原价为50元.因销售不畅，3月份 “如果购买不超过40台学习机，则每台售价 降价10%，从4月份开始涨价，5月份的售价 800元，如果超出40台，则每超过1台，每台 为64.8元，则4,5月份两个月的平均涨价率 售价将均减少5元”.该学习机的进价与进货 为 %. 数量关系如图所示， 8.以下是龙湾风景区旅游信息： (1)当学习机数量x>40时，用含x的代数式 旅游人数 收费标准 表示每台学习机的售价； 不超过30人 人均收费80元 (2)当该商店一次性购进并销售学习机60台 每增加1人，人均收费降低1元， 时，每台学习机可以获利多少元？ 超过30人 但人均收费不低于50元 (3)若该商店在一次销售中获利4800元，则 根据以上信息，某公司组织一批员工到该风景 该商店可能购进并销售学习机多少台？ 区旅游，支付给旅行社2800元.从中可以推 进价 算出该公司参加旅游的人数为 ↑（元） 700 600 9,公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵 守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某 50 x(台) 进货数量 品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔 3月份销售256个，5月份销售400个，且从3 月份到5月份销售量的月增长率均为r(r>0). (1)求月增长率r; (2)经市场调查，若此种头盔的进价为30元/个 时，定价为40元/个时，月销售量为600个，若 在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将 减少10个，为使月销售利润达到10000元，而 且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实 际售价应定为多少元/个？ 第21章386.生态园的面积能为40m2,理由如下： ,四边形ABCD是矩形，∴.AB=CD,AD=BC. 10>号∴为让市民得到实惠，x应取10. 设AB的长度为xm,则BC的长度为182m, 答：每盆应降价10元 能力在线 由题意，得x.18,工=40， 5.B6.B7.208.40 2 9.(1)由题意，得256(1+r)2=400, 整理，得x2一18x+80=0, 解得r=0.25=25%或r=-2.25<0(不符合题意，舍去)， 解得x1=10,2=8, 答：月增长率r为25%. .生态园的面积能为40m,AB的长为10m或8m (2)设该品牌头盔的实际售价应定为y(y≥40)元/个，则月销 能力在线 售量为600-10(y-40)=(1000一10y)(个)， 7.28.2或4 由题意，得(y一30)(1000一10y)=10000, 9.(1)设矩形ABCD的边AB=xm,则边BC=70一2x+2= 解得y=50或y=80, (72-2x)m. 要尽可能让顾客得到实惠，∴y=50. 根据题意，得x(72-2x)=640, 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个 化简，得x2一36x十320=0， 拓展在线 解得x1=16,x2=20, 10.(1)由题意，得当x>40时，每台学习机的售价为（单位：元）： 当x=16时，72-2x=72一32=40， 800-5(x-40)=-5x+1000. 当x=20时，72-2x=72一40=32. (2)设图中的直线解析式为y=x十b,把(0,700)和(50， 答：当羊圈的长为40m,宽为16m或长为32m,宽为20m 时，能围成一个面积为640m的羊圈. 60代人0g6o (2)不能.理由如下： 由题意，得x(72-2x)=650, 解得/k一2， 1b=700. 化简，得x2一36x十325=0， 则直线解析式为y=一2x十700， .△=(-36)2-4×325=-4<0， 当x=60时，进价y=-2×60+700=580, 。一元二次方程没有实数根 售价为800-5×(60一40)=700（元）， ∴.羊圈的面积不能达到650m2. 则每台学习机可以获利700-580=120（元）. 拓展在线 (3)当x>40时，每台学习机的利润是（一5x+ 10.(1)根据题意知，0<t3.5,BP=AB-AP=(5一t)cm, 1000)-(-2x+700)=-3x+300, BQ=2t cm. 则x(一3x+300)=4800, (1)根据三角形的面积公式，得 解得x1=80,x2=20(舍)， 合BP,BQ=4,即5-0-4， 当0<x≤40时，每台学习机的利润是800-（-2x+ 700)=2x+100, 整理，得t一5t+4=0, 则x(2x+100)=4800, 解得=1，t2=4(不合题意，舍去). 解得x1=30,x2=-80(舍). 故1s后，△PBQ的面积等于4cm2. 答：该商店可能购进并销售学习机80台或30台. (2)根据勾股定理，得 微专题4一元二次方程的实际应用 PQ2=BP2+BQ2=(5-t)2+(2t)2=25, 1.C2.D 即5t-10t=0, 3.(1)设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x, 解得t1=2,t2=0(不合题意，舍去). 依题意，得 故2s后，PQ的长度等于5cm 1.6(1+x)2=2.5, (3)根据三角形的面积公式，得2BP·BQ=8, 解得x=25%或x=一}（不合题意，合去）， 即t(5一t)=8,整理，得t2一5t+8=0. 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%. △=(-5)2-4×1×8=-7<0， (2)设5月份后10天日均接待游客人数是a万人， ∴此方程没有实数根， 由题意可得2.125+10a≤2.5(1十25%)， ∴.△PBQ的面积不能等于8cm2, 解得a≤0.1. 第2课时一元二次方程的应用 —平均变化率问题 答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人 基础在线 4.设每箱西瓜降价x元，则每箱盈利(40一x)元，平均每天可 1.B 售出(30十2x)箱，根据题意，得 2.设2023一2025年买书资金的年平均增长率为x, (40一x)(30十2x)=1400,整理，得x2一25.x十100=0， 则5000(1+x)2=7200, 解得x1=5,x2=20, 解得x=0.2或x=一2.2（舍去） 又要尽快减少库存，.x=20 答：2023一2025年买书资金的年平均增长率为20%. 答：每箱西瓜应降20元. 3.C 5.(1)设y关于x的函数关系式为y=kx+b,将(15,700)， 4.(1)(30-x)(20+1.5.x) (25,500)代入上式，得 (2)由题意，得(30-x)(20+1.5x)=700, 20 5十。相得信1那 1b=1000 解得x1=10,x2=3 ∴.y=-20x+1000(10≤x≤30) 20 一探究在线·九年 (2)依题意，有(x-10)(-20x+1000)=6000, =-m2, 解得x1=20,x2=40, ,-m2≤0， .10≤x≤30，.x=20. .(x1-1)(x2-1)≤0. 答：该书的销售单价为20元 15.(1)设乙种商品每件进价的年平均下降率为x,由题意，得 (3)销售该书每天的利润不能达到9000元.理由如下： 125(1-x)2=80,解得x=0.2=20%或x=1.8(舍去)， 根据题意，得(x-10)(-20x十1000)=9000， 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%. 整理，得x2-60x十950=0， (2)设购进甲种商品m件，则购进乙种商品(100-m)件， .△=602-4×1×950=-200<0， 由题意，得 .该方程没有实数根 (125-25×2)m+80(100-m)≤7800， ∴.销售该书每天的利润不能达到9000元 ∴.75m+8000一80m≤7800，解得m≥40， 6.(1)设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据题意，得 .m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件 1十x+x(x+1)=81,整理，得x2十2x-80=0, 答：最少购进甲种商品40件. 解得x=8,x2=一10（不合题意，舍去）. 16.(1)2tcm(5-t)cm 答：每轮传染中平均一个人传染8个人 (2)由题意，得(5-t)2+(2t)2=52,解得1=0,2=2， (2)81+81×8=729(人). ∴.当t=0秒或2秒时，PQ的长度等于5cm. 答：经过三轮传染后共有729人会患流感. (3)存在，当t=1时，五边形APQCD的面积等于26cm. 7.63 理由如下： 8.设这个最小数为x,则最大数为(x十8)，依题意，得 长方形ABCD的面积是5×6=30(cm2), x(x+8)=65, 若使五边形APQCD的面积等于26cm,则△PBQ的面 解得x1=5,x2=一13（不合题意，舍去）. 积为30-26=4(cm2),即(5-)×2×号=4， 答：这个最小数为5. 9.12 解得=4（不合题意，舍去），t2=1. 10.设初中组共有x个队参加比赛，依题意，得 即当t=1秒时，五边形APQCD的面积等于26cm2. 数学活动运用化归的思想方法解决问题 2x(x-1)=45, 1.3y2-6y-1=0 解得x1=10,x2=-9(不合题意，舍去). 2.B 答：初中组共有10个队参加比赛. 11.(1)(51-3x) 3.设(2)班人数是x人，则(1)班人数是（合x+7）人， (2)依题意，得(51一3x)x=210, :八(1)班义卖善款1900元，八(2)班义卖善款2600元， 整理，得x2-17x十70=0， (2)班比(1)班的人均义卖款多5元， 解得x1=7,x2=10. :2600-190=5. 当x=7时，AB=51-3x=30>25,不合题意，舍去； 1 2x+7 当x=10时，AB=51-3x=21<25,符合题意， 整理，得x2十254x-7280=0. 答：栅栏BC的长为10米. 解得x1=26,x2=-280<0(舍去)， 阶段测评3(21.2.4一21.3) 经检验，x=26是原分式方程的解， 1.B2.D3.D4.B5.C6.C7.-38.2027 9.有两个不相等的实数根10.24或1511.7 ∴(2)班人数是26人.∴号×26+7=20. 12.30或32 则(1)班人数是20人. 13.使这个方程有两个不相等的实数根， 4.(1)设乙组每天分拣x件包裹，则甲组每天分拣(x十10)件 .b2>4c,.②③均可， 包裹，根据题意，得 选②解方程，则这个方程为x2+3x+1=0, 15(x+10)-14x=200,解得x=50, x1=-35,4=-325, 则x+10=60. 2 2 答：甲组每天分拣60件包裹，乙组每天分拣50件包裹. 选③解方程，则这个方程为x2+3x-1=0, (2)由题意，得培训后乙组每天分拣(50十y)件包裹，则甲 “m=-3+3 ,-3-5 组每天分拣(60十2y)件包裹，根据题意列方程，得 2 1200_1200=5, 14.(1)把1=-1代入方程(x-1)(x-2)=m2,得m2=6, 50+y60+2y 方程整理，得y2一40y十300=0， ∴.m=士√6， .(x-1)(x-2)=6,即x2-3x-4=0, 解得y=10,y2=30, 解得x1=一1，x2=4, :y≤20，∴y2=30不符合题意，舍去， 经检验，y=10是原方程的解，且符合题意. 故x2=4,m=士√6. 答：y的值为10. (2)证明：方程(x-1)(x一2)=m2可化为x2-3.x十2- 5.(1)-2,-5; m2=0, (2)根据题意，得 ,△=4m2+1>0, ∴.原方程有两个不相等的实数根， 。一日=2的两个解分别为=m,=, 由根与系数的关系，得x十x2=3,1x2=2-m. 则m十n=2,mn=一8， (x1-1)(x2-1)=x1x2-(x十x2)+1=2-m2-3+1 min+mn=mn(m2+n2)=mn[(m+n)2-2mn], 级数学（上）·HD一