第21章《一元二次方程》考点汇编（考点内容：21.3实践与探索） 2026--2027学年华东师大版九年级数学上册

华东师大版第21章《一元二次方程》考点汇编 （考点内容：21.3实践与探索） ( 考点汇编 ) 考点1：与图形有关的问题 例1、如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m.停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为.求车道的宽度（单位：m）。设停车场内车道的宽度为xm，根据题意所列方程为（      ） ( 车道 40 米 22 米 车道 宽度 车道 出口 入口 停车位 停车位 ) A、 B、 C、 D、 【同步练习】如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为31m，宽为17m，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求停车场内车道的宽度。 ( 31 m 17 m 车道 宽度 车道 出口 入口 停车位 停车位 ) 例2、如图，一块长16m、宽10m的矩形地块，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），其余为草坪，石板小径的总面积占矩形地块面积的，则石板小径的宽度为______m ( 10 m 16 m ) 【同步练习】某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，绿化的面积为.已知整个长方形空地的长为30m、宽为20m，求道路的宽。 ( 30 m 20 m ) 例3、如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门。 （1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长； （2）若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽； （3）能否围成面积为的花圃？请说明理由。 ( 1 m A B C D 1 m ) 【同步练习】 1、小高家有一块空地，空地上有一面长为10m的围墙MN，小高打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场ABCD，已知木栏总长为48m，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2m的门，门不消耗木栏，设AB长为xm. （1）如图①，当时，①____________m（用含x的代数式表示）；②若围成的养蜂场面积为，求AB的长； （2）如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到？并说明理由。 ( 图 ① 门 M N A B C D 图 ② 门 M N A B C D ) 2、如图，计划用长为40m的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长25m）。 （1）矩形围栏的面积为时，三边分别长多少m？ （2）能否使围成的矩形面积为？如果能，求出三边的长；如果不能，说明理由。 ( 25 m ) 考点2：增长（降低）率问题 例4、一种商品原价200元，连续两次降价后售价为162元，若每次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（     ） A、5% B、10% C、15% D、20% 【同步练习】 1、某市平均房价经过两年由每平方米40000元下降到每平方米32400元，设年平均下降率为x，则可列方程为（     ） A、 B、 C、 D、 2、相关数据显示，近年来高科技制造业日新月异，呈现快速增长态势。某公司工业机器人在今年9月产值达到2500万元，预计11月产值将增至6400万元、设该公司10，11两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为（      ） A、 B、 C、 D、 例5、“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高、某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的25万人增加到2024年的36万人。 （1）求该市近两年参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，某社区决定从A公司购买某种套装健身器材。该公司规定：若购买量不超过50套，每套售价为2000元；若购买量超过50套，则购买量每增加5套，每套售价可降低50元，但每套最低售价不得少于1200元。已知社区向该公司支付货款15万元，求购买的这种健身器材的套数。 【同步练习】2026年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪CP”刷屏社交平台。某商店紧抓商机，以每套40元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套58元的价格出售。经统计，2026年1月份的销售量为256套，2026年3月份的销售量为400套。 （1）求该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率； （2）从2026年4月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价1元，月销售量就会在3月份销售量的基础上增加20套。当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为4800元？ 考点3：营销问题 例6、我国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化、某茶商购进一批进价为100元/盒的茶叶，当销售价为120元/盒时，每天可售出20盒。经市场调查发现，若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒。现该茶商计划降价销售，请回答下列问题： （1）当销售价为110元/盒时，每天的销售量为__________盒，每天盈利__________元； （2）当每盒茶叶降价多少元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元？ 【同步练习】 1、突如其来的新冠疫情影响了某商场经济效益，在复工复产时对某商品价格进行了调整，每件的售价比进价多8元，8件的进价相当于6件的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖5件。 （1）该商品的售价和进价分别是多少元？ （2）在进价不变的条件下，若每天所得的销售利润为2160元时，且销量尽可能大，该商品应涨价多少元？ 2、暑期档电影《牛来》和《奥德赛》深受大家喜爱.已知某电影院，2张《牛来》和3张《奥德赛》电影票一共165元，1张《奥德赛》电影票比1张《牛来》电影票贵5元。 （1）求《牛来》和《奥德赛》电影票的单价； （2）该电影院按（1）中价格售票，平均每日可以售卖《牛来》电影票50张。据调查发现票价每降价1元销售量会增加5张，但是销售单价不得低于20元。若《牛来》的日销售额想达到1820元，单价应降低多少元？ 考点4：传播问题 例7、有一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患流感，若每轮传染中，平均一人传染x人，根据题意，可列方程是（      ） A、 B、 C、 D、 【同步练习】 1、秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等、若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，列方程为（     ） A、 B、 C、 D、 2、冬春季是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，流感病毒是我国急性呼吸道传染病主要病原体。某班级最初有2人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有32人患流感，若设每轮传染中平均一人传染了x人，则根据题意，可列方程为（      ） A、 B、 C、 D、 考点5：握手、循环问题 例8、为响应“足球进校园”的号召，某校组织足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都要比赛一场），计划安排28场比赛，则参赛的足球队个数为（      ） A、6 B、7 C、8 D、9 【同步练习】某高铁交通路线从甲站出发，最终到达乙站，若共设计了56种往返车票（往返车票不同），这条线路共有多少个站点？若设这条线路共有x个站点，则可列方程为（      ） A、 B、 C、 D、 ( 师生互动 ) 1、我国古代数学名著《九章算术》中记载有“一传十、十传百”的信息传播问题。今有1人获知一条政令，经过两轮传播后，共有9人知晓、若每轮平均1人传播给x人，则可列方程为（     ） A、 B、 C、 D、 2、某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出______个小分支； 3、小西家有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙MN，小西打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场ABCD，已知木栏总长为20米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设AB长为x米。 （1）如图①，当时，①____________m（用含x的代数式表示）；②若围成的养蜂场面积为，求AB的长； （2）如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到？并说明理由。 ( 图 ① 门 M N A B C D 图 ② 门 M N A B C D ) 4、根据素材完成任务： （1）【素材1】生产某款零部件的一间工厂因引入一体化加工，生产效率提升，4月份生产100个零部件，同年6月份生产144个，求4月份到6月份生产数量的平均增长率； （2）【素材2】该零部件成本为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，售价每上涨1元，月销售量减少10个。批发商为使月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，实际售价应定为每个多少元？ 5、“乒乓球”被称作我国的国球，一直代表着全世界的最高水平、据统计在伦敦世乒赛结束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人。 （1）求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率； （2）为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台、该公司规定：若购买不超过100台，每台售价1600元；若超过100台，每增加10台，售价每台可降低40元，但最低售价不得少于1000元、已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球台的台数。 6、某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个。经过市场调查发现，若这种商品售价每提高1元，其销售量就会少10个。 （1）当售价定为54元时，求该商品销售的个数； （2）商场为了保证经营该商品赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应提高多少元？ 7、黄岩是东魁杨梅的始祖地，唯一的母树就在江口街道东岙村，因果实特大，肉厚汁多而闻名，其上市时间集中在6月中下旬至7月初。据某采摘基地了解：正常情况下，杨梅售价为每千克20元时，每天可售出300千克，通过市场调查发现，若每千克降价1元，每天可多售出25千克。考虑运营成本，规定每千克售价不低于15元。 （1）当杨梅每千克定价为多少元时，每天能获得6300元的销售额？ （2）该采摘基地每天所获得的销售额能否达到6500元？请计算说明。 8、中国航天“嫦娥探月”、“天问探火”以及空间站建设等成就激发了广大青少年对航天的热情、某航天科技体验馆将在暑假期间推出“逐梦苍穹”航天体验营，团体票收费标准如下： ①如果参加人数不超10人，人均费用为300元； ②如果参加人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，直到人均费用200元时不再下降、 （1）若有x（）人参加活动，则人均费用是_______元（用含x的代数式表示）； （2）若某研学团参加体验营需要支付5000元的团体票费用，求研学团的人数。 9、西安市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定。某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同。 （1）该品牌头盔销售量的月增长率是______； （2）若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应上涨多少钱？ 10、随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具。某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆、某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆，售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元。 （1）求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； （2）为推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价。 11、某超市以每个30元的价格购进A种商品，销售数据表明：当每个A种商品售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个。 （1）若售价下降5元，每月能售出 个A种商品，若售价下降x元（），每月能售出 个A种商品； （2）若本月最多购进有1210个A种商品，经销商决定降价促销，预计月获利恰好为8400元，求每个A种商品的售价； （3）经销商月获利能否达到9600元？说明理由。 ( 探究应用 ) 1、数学兴趣小组发现：一个正整数的立方可以写成若干个连续奇数的和，例如：，，，…、他们进一步研究其中连续奇数中的最小奇数的规律时又发现：，，，… （1）如果将写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是_______； （2）如果将写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是73，则n的值为_______. 2、如果一个四位自然数，满足右边的数字总比左边的数字大，且满足百位数字与十位数字之和等于个位数字与千位数字之和，那么称这个四位数为“登高数”。例如：，满足，且，所以2345是“登高数”； ，其中，所以2355不是“登高数”、则最大的四位“登高数”是__________；对于一个“登高数” ，先交换其千位和个位数字，再交换十位和百位得到新数，规定：.当为整数时，则满足条件的m的最大值与最小值的差为__________. 3、阅读材料，并解决问题。 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即.因此，可得新方程.因为x表示边长，所以，即.遗憾的是这样的做法只能得到方程的其中一个正根。 ( 图 2 ① ② ③ x + 2 x 图 1 x + 2 x x + 2 x x + 2 x ) （1）【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是 ；（从序号①②③中选择） （2）【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：因此，根据大正方形的面积可得新的方程： ，解得原方程的一个根为 ； （3）【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解。已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数， ，求得方程的正根为 . 4、如图，这是一张2026年1月的月历表、在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4个数（如2，3，9，10） ( 2026 年 1 月 一 二 三 四 五 六 日 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 a b c d ) （1）如图，若圈出的4个数a、b、c、d中，最小的数，则，________，________；（用含x的代数式表示） （2）在小组活动中，小轩通过计算，发现的差恒为常数，请你证明、 （3）若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数。 5、如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动。如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为ts（） （1）填空：_______cm，________cm（用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？ （3）是否存在t的值，使得三角形DPQ为等腰三角形？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由。 ( Q A B C D P ) 6、如图：在直角坐标系中，长方形OABC中，，，点D从点C出发，沿射线CO方向以每秒2个单位长的速度移动，点E从点O出发，沿射线OA方向以每秒1个单位长的速度运动，设点E的运动时间为t秒。 （1）如图1，当t为何值时，的面积为1； （2）当CE是的角平分线时，求出此时点E的坐标； （3）当t为何值时，是等腰三角形？ ( 图 1 x y O A B C x y O A B C 备用图 ) 7、如图，在矩形ABCD中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是2cm/s.连接PQ、AQ、CP，设点P、Q运动的时间为ts （1）当运动t秒时，线段，（用含有t的代数式表示）； （2）求当t为何值时，四边形AQCP是菱形； （3）如图2，在运动过程中，沿着AQ把翻折，求当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在PQ上。 ( 图 1 P D Q A B C B ′ 图 2 P D Q A B C ) 8、按要求完成下列各题： （1）南宁市某中学要在初中组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，问应该邀请多少支球队参加比赛？ （2）南宁市某中学要在高中篮球比赛中，规定所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间进行两场比赛），总共进行110场比赛，求有多少支球队参加比赛。 9、五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宣城文旅，各地游客慕名前来游玩。宣城某乡镇果蔬专业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引入草莓种植，大力发展采摘旅游业、结合提供的素材，解决相关问题。 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 该专业合作社辖区内有一块长方形果园ABCD，图1是果园的平面图，其中米，米。准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果。出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米。    素材2 经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐观、若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓、受天气诸多因素影响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价销售、若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓、果园每月的承包费为2万元。    问题解决： （1）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求； （2）若该专业合作社预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ （3）若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60万元的预期目标？ 第21章《一元二次方程》考点汇编（考点内容：21.3实践与探索）——————第 10 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华东师大版第21章《一元二次方程》考点汇编参考答案 （考点内容：21.3实践与探索） ( 考点汇编 ) 考点1：与图形有关的问题 例1、如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m.停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为.求车道的宽度（单位：m）。设停车场内车道的宽度为xm，根据题意所列方程为（ C     ） ( 车道 40 米 22 米 车道 宽度 车道 出口 入口 停车位 停车位 ) A、 B、 C、 D、 【同步练习】如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为31m，宽为17m，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求停车场内车道的宽度。 【详解】解：设停车场内车道的宽度为xm，则停车位可合成长为，宽为的矩形，根据题意得： ( 31 m 17 m 车道 宽度 车道 出口 入口 停车位 停车位 )， 整理得： 解得：， ∵停车场的长为31m 又∵，不符合实际意义 ∴ 答：停车场内车道的宽度为6m． 例2、如图，一块长16m、宽10m的矩形地块，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），其余为草坪，石板小径的总面积占矩形地块面积的，则石板小径的宽度为______m【答案】1 ( 10 m 16 m ) 【同步练习】某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，绿化的面积为.已知整个长方形空地的长为30m、宽为20m，求道路的宽。 【详解】解：设道路宽为xm．依题意得： ( 30 m 20 m ) 整理得： ∴或 ∵（宽为20m） ∴不合实际，舍去． 答：道路的宽为1m． 例3、如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门。 （1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长； （2）若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽； （3）能否围成面积为的花圃？请说明理由。 【详解】（1）解：∵宽米，∴长（米）； （2）解：∵花圃的面积刚好为45平方米 ( 1 m A B C D 1 m )∴ 化简得： 解得：， 当时，长，不合题意，舍去； 当时，长，符合题意； 答：花圃的长为9米，宽为5米． （3）解：不能围成面积为的花圃，理由如下： 当花圃的面积刚好为时， 化简得： ∴ ∴该方程没有实数解， ∴不能围成面积为的花圃。 【同步练习】 1、小高家有一块空地，空地上有一面长为10m的围墙MN，小高打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场ABCD，已知木栏总长为48m，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2m的门，门不消耗木栏，设AB长为xm. （1）如图①，当时，①____________m（用含x的代数式表示）；②若围成的养蜂场面积为，求AB的长； （2）如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到？并说明理由。 ( 图 ① 门 M N A B C D 图 ② 门 M N A B C D ) 【详解】（1）①解：设AB的长度为xm ∵四边形ABCD是矩形 ∴ 根据题意得，； ②解：∵围成的养蜂场面积为 根据题意得， 整理得， 解得，， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意，舍去， 答：若围成的养蜂场面积为，则AB的长为22米． （2）解：当时，养蜂场的面积不能达到 理由如下：设AB的长度为xm时，养蜂场的面积达到 则，解得， ∴，即 ∵ ∴方程无实数解， ∴当时，养蜂场的面积不能达到． 2、如图，计划用长为40m的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长25m）。 （1）矩形围栏的面积为时，三边分别长多少m？ （2）能否使围成的矩形面积为？如果能，求出三边的长；如果不能，说明理由。 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长xm，则平行于墙的边长为 ( 25 m )根据题意得： 解得：， 当时，（不符合题意，舍去） 当时，（符合题意） ∴三边长分别为15m，10m，15m； （2）不能，理由如下： 假设能围成，设垂直于墙的一边长ym，则平行于墙的边长为 依题意得：， 化简得 ∵ ∴该方程没有实数根． 故假设不成立，即不能围成面积为的长方形围栏。 考点2：增长（降低）率问题 例4、一种商品原价200元，连续两次降价后售价为162元，若每次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（   B   ） A、5% B、10% C、15% D、20% 【同步练习】 1、某市平均房价经过两年由每平方米40000元下降到每平方米32400元，设年平均下降率为x，则可列方程为（  A   ） A、 B、 C、 D、 2、相关数据显示，近年来高科技制造业日新月异，呈现快速增长态势。某公司工业机器人在今年9月产值达到2500万元，预计11月产值将增至6400万元。设该公司10，11两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为（    A  ） A、 B、 C、 D、 例5、“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高、某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的25万人增加到2024年的36万人。 （1）求该市近两年参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，某社区决定从A公司购买某种套装健身器材。该公司规定：若购买量不超过50套，每套售价为2000元；若购买量超过50套，则购买量每增加5套，每套售价可降低50元，但每套最低售价不得少于1200元。已知社区向该公司支付货款15万元，求购买的这种健身器材的套数。 【详解】（1）解：设该市近两年参加健身运动人数的年均增长率为x，由题意得 解得：，（不符合题意，舍去） 答：该市近两年参加健身运动人数的年均增长率为20%； （2）解：∵元 ∴购买的这种健身器材的套数大于50套 设购买的这种健身器材的套数为m套， 由题意得： 整理得： 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去） 答：购买的这种健身器材的套数为100套． 【同步练习】2026年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪CP”刷屏社交平台。某商店紧抓商机，以每套40元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套58元的价格出售。经统计，2026年1月份的销售量为256套，2026年3月份的销售量为400套。 （1）求该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率； （2）从2026年4月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价1元，月销售量就会在3月份销售量的基础上增加20套。当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为4800元？ 【详解】（1）解：设该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率为x． 根据题意，得 解得：，（不合题意，舍去） 答：该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率为25%． （2）设该组合套装的售价为m元，则月销售量为套． 根据题意，得 解得：，（不合题意，舍去） 答：当该组合套装的售价为48元时，月销售利润为4800元． 考点3：营销问题 例6、我国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化、某茶商购进一批进价为100元/盒的茶叶，当销售价为120元/盒时，每天可售出20盒。经市场调查发现，若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒。现该茶商计划降价销售，请回答下列问题： （1）当销售价为110元/盒时，每天的销售量为__________盒，每天盈利__________元； （2）当每盒茶叶降价多少元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元？ 【详解】（1）解：∵若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒 ∴当销售价为110元/盒时，每天的销售量为（盒），每天盈利（元）； （2）解：设每盒茶叶降价x元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元 由题意得： 整理得： 解得：， ∴当每盒茶叶降价2或8元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元． 【同步练习】 1、突如其来的新冠疫情影响了某商场经济效益，在复工复产时对某商品价格进行了调整，每件的售价比进价多8元，8件的进价相当于6件的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖5件。 （1）该商品的售价和进价分别是多少元？ （2）在进价不变的条件下，若每天所得的销售利润为2160元时，且销量尽可能大，该商品应涨价多少元？ 【详解】（1）解：设进价为每件x元，则售价为每件（）元， 由题意可得， 解得， ∴ 答：商品的售价和进价分别是32元/件、24元/件； （2）设该商品应涨价a元， 由题意可得， 解得，， ∵每天所得的销售利润为2160元时，且销量尽可能大 ∴， 答：该商品应涨价4元． 2、暑期档电影《牛来》和《奥德赛》深受大家喜爱.已知某电影院，2张《牛来》和3张《奥德赛》电影票一共165元，1张《奥德赛》电影票比1张《牛来》电影票贵5元。 （1）求《牛来》和《奥德赛》电影票的单价； （2）该电影院按（1）中价格售票，平均每日可以售卖《牛来》电影票50张。据调查发现票价每降价1元销售量会增加5张，但是销售单价不得低于20元。若《牛来》的日销售额想达到1820元，单价应降低多少元？ 【详解】（1）解：设《牛来》和《奥德赛》电影票的单价分别为x元和y元， 由题意得：，解得： 答：《牛来》和《奥德赛》电影票的单价分别为30元和35元； （2）解：设《牛来》电影票单价应降低m元， ∵销售单价不得低于20元 ∴ 解得 ∴ 由题意得： 解得，（舍） 答：单价应降低4元． 考点4：传播问题 例7、有一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患流感，若每轮传染中，平均一人传染x人，根据题意，可列方程是（    C  ） A、 B、 C、 D、 【同步练习】 1、秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等、若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，列方程为（   C  ） A、 B、 C、 D、 2、冬春季是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，流感病毒是我国急性呼吸道传染病主要病原体。某班级最初有2人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有32人患流感，若设每轮传染中平均一人传染了x人，则根据题意，可列方程为（    A  ） A、 B、 C、 D、 考点5：握手、循环问题 例8、为响应“足球进校园”的号召，某校组织足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都要比赛一场），计划安排28场比赛，则参赛的足球队个数为（   C    ） A、6 B、7 C、8 D、9 【同步练习】某高铁交通路线从甲站出发，最终到达乙站，若共设计了56种往返车票（往返车票不同），这条线路共有多少个站点？若设这条线路共有x个站点，则可列方程为（    A  ） A、 B、 C、 D、 ( 师生互动 ) 1、我国古代数学名著《九章算术》中记载有“一传十、十传百”的信息传播问题。今有1人获知一条政令，经过两轮传播后，共有9人知晓、若每轮平均1人传播给x人，则可列方程为（  C  ） A、 B、 C、 D、 2、某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出______个小分支；【答案】9 3、小西家有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙MN，小西打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场ABCD，已知木栏总长为20米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设AB长为x米。 （1）如图①，当时，①____________m（用含x的代数式表示）；②若围成的养蜂场面积为，求AB的长； （2）如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到？并说明理由。 ( 图 ① 门 M N A B C D 图 ② 门 M N A B C D ) 【详解】（1）解：①依题意，得：（米）； ②依题意，得： 解得：， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意 ∴AB的长为7米； （2）养蜂场的面积不能达到70平方米．理由如下： 假设养蜂场的面积可以达到70平方米 ∵AB长为x米 ∴ 依题意，得： 整理得： ∵ ∴原方程没有实数根， ∴假设不正确，即养蜂场的面积不能达到70平方米． 4、根据素材完成任务： （1）【素材1】生产某款零部件的一间工厂因引入一体化加工，生产效率提升，4月份生产100个零部件，同年6月份生产144个，求4月份到6月份生产数量的平均增长率； （2）【素材2】该零部件成本为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，售价每上涨1元，月销售量减少10个。批发商为使月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，实际售价应定为每个多少元？ 【详解】（1）解：设平均增长率为 x 解得：或（不合实际，舍去） 答：4月份到6月份生产数量的平均增长率为20%； （2）解：设涨价m元，则售价为元，销量为个，每个利润为元 由题意得： 整理得： 解得：或 ∵尽可能让消费者得到实惠 ∴，则 答：实际售价应定为每个50元． 5、“乒乓球”被称作我国的国球，一直代表着全世界的最高水平、据统计在伦敦世乒赛结束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人。 （1）求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率； （2）为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台、该公司规定：若购买不超过100台，每台售价1600元；若超过100台，每增加10台，售价每台可降低40元，但最低售价不得少于1000元、已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球台的台数。 【详解】（1）解：设我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为x， 由题意得： 解得：或（不符合题意，舍去）， 答：我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为25%； （2）解：（元）元 ∴购买的乒乓球台数超过100台． 设购买的这种乒乓球台的台数为m台，由题意得： ，解得 又 整理得： 解得：（不符合题意，舍去） 答：购买的这种乒乓球台的台数为200台． 6、某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个。经过市场调查发现，若这种商品售价每提高1元，其销售量就会少10个。 （1）当售价定为54元时，求该商品销售的个数； （2）商场为了保证经营该商品赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应提高多少元？ 【详解】（1）解：售价提高金额为（元），销售量减少（个），此时销售个数为（个）； （2）解：设售价应提高x元，单个商品利润为元，销售量为个， 由总利润为8000元，得： 整理得： 解得：， ∵要尽量兼顾顾客的利益，即提价幅度尽可能小 ∴； 答：售价应提高10元． 7、黄岩是东魁杨梅的始祖地，唯一的母树就在江口街道东岙村，因果实特大，肉厚汁多而闻名，其上市时间集中在6月中下旬至7月初。据某采摘基地了解：正常情况下，杨梅售价为每千克20元时，每天可售出300千克，通过市场调查发现，若每千克降价1元，每天可多售出25千克。考虑运营成本，规定每千克售价不低于15元。 （1）当杨梅每千克定价为多少元时，每天能获得6300元的销售额？ （2）该采摘基地每天所获得的销售额能否达到6500元？请计算说明。 【详解】（1）解：设杨梅每千克降价x元． 由题意得 解得 当时，，当时，（不符合题意，舍去）． 答：当杨梅每千克定价为18元时，每天能获得6300元的销售额． （2）解：不能达到，理由如下： 假设杨梅每千克降价m元，采摘基地每天所获得的销售额能达到6500元． 由题意得． 整理得： ∵ ∴方程没有实数根，该采摘基地每天所获得的销售额无法达到6500元． 8、中国航天“嫦娥探月”、“天问探火”以及空间站建设等成就激发了广大青少年对航天的热情、某航天科技体验馆将在暑假期间推出“逐梦苍穹”航天体验营，团体票收费标准如下： ①如果参加人数不超10人，人均费用为300元； ②如果参加人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，直到人均费用200元时不再下降、 （1）若有x（）人参加活动，则人均费用是_______元（用含x的代数式表示）； （2）若某研学团参加体验营需要支付5000元的团体票费用，求研学团的人数。 【详解】（1）解：由题意得当时，人均费用为元， ∵ ∴有人参加活动，人均费用为元； （2）解：设有x位研学团成员， 当时，，不符合题意 当时， 化简得：， 解得，（舍去） 当时，，解得（舍去） 答：研学团的人数为20人。 9、西安市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定。某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同。 （1）该品牌头盔销售量的月增长率是______； （2）若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应上涨多少钱？ 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意得： 整理得： 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%． （2）解：设该品牌头盔每个售价为m元， 依题意得： 整理得： 解得：， 因为尽可能让顾客得到实惠， 所以不合题意，舍去． 所以，元． 答：该品牌头盔每个售价应上涨10元． 10、随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具。某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆、某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆，售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元。 （1）求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； （2）为推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价。 【详解】（1）解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x， 根据题意，得： 解得：，（负值不符合题意，舍去） 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为30%； （2）解：设下调后每辆汽车的售价为m万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆 根据题意，得： 解得：， ∵此次销售尽量让利于顾客， ∴ 答：下调后每辆汽车的售价为21万元。 11、某超市以每个30元的价格购进A种商品，销售数据表明：当每个A种商品售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个。 （1）若售价下降5元，每月能售出 个A种商品，若售价下降x元（），每月能售出 个A种商品； （2）若本月最多购进有1210个A种商品，经销商决定降价促销，预计月获利恰好为8400元，求每个A种商品的售价； （3）经销商月获利能否达到9600元？说明理由。 【详解】（1）解：∵售价每下降1元，其月销售量就增加200个 ∴若售价下降5元，每月能售出（个）A商品 若售价下降x元（），每月能售出个A商品； （2）解：设每个A商品的售价为x元，由题意，得 解得： 当时，（舍去） 当时，（符合题意） 答：每个A商品的售价为37元； （3）解：月获利不能达到9600元，理由： 设每个A商品的售价为x元，由题意得： 整理得： ∵ ∴方程无实数根，即月获利不能达到9600元。 ( 探究应用 ) 1、数学兴趣小组发现：一个正整数的立方可以写成若干个连续奇数的和，例如：，，，…、他们进一步研究其中连续奇数中的最小奇数的规律时又发现：，，，… （1）如果将写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是_______； （2）如果将写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是73，则n的值为_______. 【答案】 21， 9 2、如果一个四位自然数，满足右边的数字总比左边的数字大，且满足百位数字与十位数字之和等于个位数字与千位数字之和，那么称这个四位数为“登高数”。例如：，满足，且，所以2345是“登高数”； ，其中，所以2355不是“登高数”、则最大的四位“登高数”是__________；对于一个“登高数” ，先交换其千位和个位数字，再交换十位和百位得到新数，规定：.当为整数时，则满足条件的m的最大值与最小值的差为__________.【答案】 6789，2178 3、阅读材料，并解决问题。 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即.因此，可得新方程.因为x表示边长，所以，即.遗憾的是这样的做法只能得到方程的其中一个正根。 ( 图 2 ① ② ③ x + 2 x 图 1 x + 2 x x + 2 x x + 2 x ) （1）【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是 ；（从序号①②③中选择） （2）【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：因此，根据大正方形的面积可得新的方程： ，解得原方程的一个根为 ； （3）【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解。已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数， ，求得方程的正根为 . 【详解】（1）解：∵ ∴ 将看作一个长为x，宽为，面积为21的矩形。 ∴很容易观察出构图是③． （2）解： 第一步：将原方程变为，即； 第二步：如图②，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：，解得原方程的一个根为； 故答案为：，，． （3）解：由条件可知 ∴ ∴四个小矩形的面积各为b，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即 由条件可知，，解得：， 当时，，∴，，方程的一个正根为1； 当时，，∴，，方程的一个正根为3； 综上所述，方程的一个正根为1或3 故答案为，3，1或3． 4、如图，这是一张2026年1月的月历表、在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4个数（如2，3，9，10） ( 2026 年 1 月 一 二 三 四 五 六 日 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 a b c d ) （1）如图，若圈出的4个数a、b、c、d中，最小的数，则，________，________；（用含x的代数式表示） （2）在小组活动中，小轩通过计算，发现的差恒为常数，请你证明、 （3）若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数。 【详解】（1）解：根据日历表可知，，； （2）证明如下： ∵ ∴的差恒为常数；； （3）解：由题意得： 变形整理得： 解得：，（舍去） 即这个最小的数是7． 5、如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动。如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为ts（） （1）填空：_______cm，________cm（用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？ （3）是否存在t的值，使得三角形DPQ为等腰三角形？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由。 【详解】（1）解：∵点Q的速度为2cm/s，运动时间为ts ( Q A B C D P )∴ ∵点P的速度为1cm/s ∴ 又∵ ∴ ∵点Q运动到点C时两点同时停止 ∴ 解得 又∵ ∴t的取值范围为； （2）解：∵四边形ABCD是矩形 ∴ ( Q A B C D P )在中， 将，，代入其中，得 解得（舍去）， ∴当时，PQ的长度等于5cm； （3）解：连接DP、DQ，如图： ∵四边形ABCD是矩形 ∴，， ∵在中，， ∴ ∵在中，， ∴ ∵在中， ①当时，则，即 解得：（舍去）或； ②当时，则，即 解得：（舍去）或（舍去） ∴此情况无符合条件的t； ③当时，则，即 解得：（舍去）或； 综上所述，符合条件的t的值为或． 6、如图：在直角坐标系中，长方形OABC中，，，点D从点C出发，沿射线CO方向以每秒2个单位长的速度移动，点E从点O出发，沿射线OA方向以每秒1个单位长的速度运动，设点E的运动时间为t秒。 （1）如图1，当t为何值时，的面积为1； （2）当CE是的角平分线时，求出此时点E的坐标； （3）当t为何值时，是等腰三角形？ ( 图 1 x y O A B C x y O A B C 备用图 ) 【详解】（1）解：如图，由题意得，， ( 图 1 x y O A B C E D ) 当的面积为1时，，解得或（不合题意，舍去） 即当时，的面积为1； （2）解：如图， ( x y O A B C 图2 E ) ∵四边形OABC是长方形 ∴，，， ∴ ∵CE平分 ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ 在中， ∴，解得：或， 即或， ∴此时点E的坐标为或； （3）解：由题意得C（0，5），D（0，），E（t，0） ∴，， 是等腰三角形，可分三种情况讨论： ①，则，解得或（不合题意，舍去）； ②，则，解得或； ③，则，解得或（不合题意，舍去）； 综上，或或或5． 7、如图，在矩形ABCD中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是2cm/s.连接PQ、AQ、CP，设点P、Q运动的时间为ts （1）当运动t秒时，线段，（用含有t的代数式表示）； （2）求当t为何值时，四边形AQCP是菱形； （3）如图2，在运动过程中，沿着AQ把翻折，求当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在PQ上。 ( 图 1 P D Q A B C B ′ 图 2 P D Q A B C ) 【详解】（1）解：由题意得，，； （2）解：∵四边形ABCD是矩形 ∴ 又 ∴四边形AQCP是平行四边形 ∴当时，四边形AQCP是菱形 根据勾股定理得：，则 ，解得 ∴当时，四边形AQCP是菱形； （3）解：由折叠的性质可得： ，，， 在矩形ABCD中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ 在中，由勾股定理得： ∴ 整理得：，解得， 即当t等于1或3时，翻折后点B的对应点恰好落在PQ上． 8、按要求完成下列各题： （1）南宁市某中学要在初中组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，问应该邀请多少支球队参加比赛？ （2）南宁市某中学要在高中篮球比赛中，规定所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间进行两场比赛），总共进行110场比赛，求有多少支球队参加比赛。 【详解】（1）解：设应该邀请x支球队参加比赛 ∵赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛 ∴ 整理得， 解得：，（不符合题意，舍去） 答：应该邀请6支球队参加比赛． （2）解：设有m支球队参加比赛， ∵所有球队直接进行双循环赛，总共进行110场比赛， ∴ 整理得， 解得，，（不符合题意，舍去） 答：有11支球队参加比赛。 9、五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宣城文旅，各地游客慕名前来游玩。宣城某乡镇果蔬专业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引入草莓种植，大力发展采摘旅游业、结合提供的素材，解决相关问题。 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 该专业合作社辖区内有一块长方形果园ABCD，图1是果园的平面图，其中米，米。准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果。出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米。    素材2 经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐观、若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓、受天气诸多因素影响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价销售、若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓、果园每月的承包费为2万元。    问题解决： （1）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求； （2）若该专业合作社预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ （3）若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60万元的预期目标？ 【详解】（1）解：根据题意得： 整理得： 解得：， 当时，（不符合题意，舍去） 故 ∵， ∴路面设置的宽度符合要求； （2）解：设每平方米草莓平均利润下调m元，则每平方米草莓平均利润为（）元，每月可售出平方米草莓 根据题意得： 整理得： 解得：， 又∵要让利于顾客， ∴ 答：每平方米草莓平均利润下调40元。 （3）解：根据题意得 整理得： 则 ∴方程在实数范围内无解 ∴该合作社不能实现每月60万元的预期目标。 第21章《一元二次方程》考点汇编（考点内容：21.3实践与探索）——————第 2 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $