21.3 第1课时 一元二次方程的应用——图形面积问题-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（华东师大版·新教材）

21.3 实践与探索 ©第1课时 一元二次方程的应用 图形面积问题 基础在线沙知识要点分奏鳞 4.(洛阳期末)某园区内原有一块宽为20米，长 …0 为30米的长方形空地，后计划在此区域栽种 知识点1一般图形的面积问题 面积为486平方米的鲜花（阴影部分）并铺设 1.(南阳月考)一块长方形菜地的面积是150m2, 如图所示的宽度相同的小路（空白部分）供游 如果它的长减少5m,那么它就成为正方形菜 客观光.如果设这个宽度为x米，那么所列出 地.求这个长方形菜地的长和宽.设原菜地的 的方程是 () 宽为x,则可列方程为 A.(20-2x)(30-3x)=20×30-468 A.x(x+5)=150 B.x(x-5)=150 B.（20-2x)(30-3x)=468 C.(x+5)=150 D.(x-5)=150 C.(20-2x)(30-3x)=486 2.如图，某广场有一块圆形的花圃，中间有一个正 D.2(20-2x)(30-3x)=486 方形的水池，测量出除水池外圆内可种植面积是 知识点3围墙问题 120m,从水池边到圆周，每边都相距4m,设正 5.(中考·福建)为加强劳动教育，增加学生实践 方形的边长为xm,则可列出的方程是( 机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都 A.(x+4)2-x2=120 足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米 B.π(x十4)2-x2=120 的矩形菜地作为实践基地，如图所示.设矩形 C.x(受+4-x2-120 的一边长为x米，根据题意可列方程( A.5.x2=6 D.(管+4-x2=120 B.5(1十x2)=6 知识点2边框与甬道问题 C.x(5-x)=6 3.如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘 D.5(1+x)2=6 6.为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩 画展览，为美化画面，在长为30cm、宽为 形生态园ABCD(如图)，生态园一面靠墙（墙 20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸， 足够长)，另外三面用18m的篱笆围成.生态 并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设 园的面积能否为40m?如果能，请求出AB 彩纸的宽度为xcm,根据题意可列方程 的长；如果不能，请说明理由 墙 A.(30+x)(20+x)=600 B.(30+2x)(20+2x)=600 生态园 C.(30-2x)(20-2x)=1200 D.(30+2x)(20+2x)=1200 渊 第3题图 第4题图 35探究在线 九年级数学（上）·HD 2能力在线 ,方法规律综合练 3 拓展在线沙培优拔尖提升练 7.如图，在一块长15m,宽为10m的矩形花圃 10.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm,BC 内修建三条宽度相等的小路，其余部分种植花 =7cm.点P从点A开始沿AB边向点B以 草.若花草的种植面积为104m,则小路宽为 1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC m. 边向点C以2cm/s的速度移动.点P、Q分 别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C 时，点P同时停止运动，设点P、Q的运动时 间为ts,t>0. (1)几秒后，△PBQ的面积等于4cm2? 第7题图 第8题图 (2)几秒后，PQ的长度等于5cm? 8.(新乡月考)如图是三个边长分别为4,6，x的 (3)△PBQ的面积能否等于8cm2? 正方形所组成的图形，若直线AB将它们分成 面积相等的两部分，则x的值是 9.如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋 的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈AB CD,并在边BC上留一个2m宽的门（建在 EF处，另用其他材料) (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成 一个面积为640m的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到650m吗？如果能，请 你给出设计方案；如果不能，请说明理由， D B EF 第21章36x-1=士√5， .x1=1十5，x2=1-√5. 2= (3):6-4ac=(-2)2-4×3×(-3)=4+36=40>0, x=2±√4o-2±20=1±10 +=号+是， 6 6 3 ()=1, x=1+y0 3 x-压=士1， 5 7.D 能力在线 西=-1+ 8.B9.B10.④11.20或24 5-1+⑤ 5 4.(1)a=2,b=7,c=-1, 12.1x=5+7,=37 .b-4ac=72-4X2×(-1)=57. 4 4 (21=3+5,=3-5 x=-7±57 31 3 4 拓展在线 .x1= -7+57 =二7-57 4 13.(1)-8x2+2x+1=0 (2)-1 x1·x4=1,x2·x3=1 (2方程-号+日0可化为-iz+1=-0, 证明：由公式法知，西1=一b-Y6-4ac 则a=8,b=-4√2，c=1, 2a .b-4ac=(-4√2)2-4×8X1=0. xa=-b十VF-4ae 2a x=二(-4②)±6=区 2×8 41 其“友好方程”的两根分别为西=二b-不一4ac, x4= 渠 -b+v8-4ac 5.(1)2x2-3x-1=0, 2c a=2,b=-3,c=-1, .x1·x4=1,x2·x3=1. .b2-4ac=(-3)2-4×2×(-1)=17>0. 微专题2一元二次方程的解法归纳 x=3±17 1.(1)方程(x十√3)(x-√3)=2可化为x2-3=2,即x2=5, 2X2 直接开平方，得x=士√5， =3+1 4 ,x2=3-7 4 解得x1=√5，x2=一√5. (2)x2-4x+4=12+4,(x-2)2=16, (2)移项，得6(x-1)2=54, ∴x-2=±4.x1=-2,x2=6. 方程两边同时除以6，得(x一1)2=9， (3)移项，得2y(y+2)-y-2=0, 直接开平方，得x-1=3或x-1=一3， .2y(y+2)-(y+2)=0. 解得x1=4,x2=一2. .(y+2)(2y-1)=0. (3)2(x+3)=士5(x-2). 则y+2=0或2y-1=0, 解得4=号a=亭： 1 解得y=一2，y2=2· 2.(1)将方程(2x+1)2一x2=0左边分解因式，得 6.(1)设x2=y,则原方程可变形为y2-y-6=0, (2x+1+x)(2x+1-x)=0, 解得y1=3,y2=-2. 即(3x+1)(x+1)=0, .3x十1=0或x+1=0, 当y=3时，x2=3,解得x1=√5，x2=一√3， =-了w=-1 当y=-2时，x2=-2,方程无解. 所以，原方程的解为x=√3，x2=一√5. (2)方程x(x十3)=2x十6可变形为x(x十3)=2(x十3)， (2)设x2+2x=y,则原方程可变形为y2-2y-3=0,解得 移项，得x(x十3)-2(x十3)=0， y1=3,y2=-1. 方程左边分解因式，得(x一2)(x十3)=0， 当y=-1时，x2+2x=-1, .x2=0或x十3=0， 解得x1=x2=-1. .x1=2,x2=-3. 当y=3时，x2+2x=3, (3)方程左边分解因式，得(x-2)(2x十1)=0， 解得x3=一3，x4=1. ∴.x-2=0或2x十1=0， 所以，原方程的解为1=x2=一1，x=一3，x4=1. 西=2，a=-安 阶段测评2(21.1-21.2.3) 3.(1)x2+10x=9975. 1.c2A3.D4A5D6.A7.2距号 8.士√6 x2+10x+25=9975+25,即(x+5)2=10000. 9.202210.-1或-711.1212.x1=-4,x2=-1 x+5=土100. 13.(1)x1=-5,x2=1.(2)x1=x2=3. ∴.x1=95,x2=-105, (2)将原方程整理，得 (3)x1=3,x2=2· （4)x1=3,x2=9. 一探究在线·九 14.(1)配方 方程化为x2-7x十12=0，则其另一个解为x=3, (2)x2-2x-99=0, 此时△ABC的周长为3+4+4=11. 因式分解，得(x一11)(x+9)=0, 当底边长为4时，则方程x2一(k十3)x十3k=0有两个相 .x-11=0或x+9=0, 等的实数根， 解得x1=11,x2=-9. ∴4=(k-3)2=0. 15.(1)证明：a2-4a+5=(a2-4a+4)+1=(a-2)2+1, ∴k=3,此时方程化为x2-6x十9=0. (a-2)2≥0， 方程的解为x1=x2=3, .(a-2)2+1≠0. 此时△ABC的周长为3+3+4=10. .无论a取任何实数，关于x的方程(a2一4a十5)x2十 综上所述，△ABC的周长为11或10 2a.x十4=0都是一元二次方程. 21.2.5 一元二次方程的根与系数的关系 (2)当a=2时，原方程变形为x2+4x十4=0， 基础在线 解得1=x2=-2. 1.D 16.由题意可得(2x-1)2-6x=-3, 整理，得2x2-5x十2=0， 2.(1)0 (2)7-3(3)2 a=2,b=-5,c=2, 3.C4.-85.B .b-4ac=(-5)2-4X2X2=9>0. 能力在线 x=(-5)±=5±3 6.c7. 8.10 2×2 4 解得=2,4=宁 拓展在线 9.(1)是 21.2.4一元二次方程根的判别式 (2)由题意，设方程的两根分别为t、2t. 基础在线 1.C2.C3.A4.D5.A 则1+2=6,1…2=合6=2，则c=8a, 6.(1).a=1,b=-10,c=21, (3)证明：由题意知，m≠0. .△=6-4ac=(-10)2-4×1×21=16>0. (x-2)(mx+n)=0,1=2,x2=- 方程有两个不相等的实数根 m (2)a=2,b=6√2，c=9, 当-=2X2时，n=一4m,即4m十n=0; m .△=b2-4ac=(6V2)2-4×2×9=0. .方程有两个相等的实数根。 当-品-之×2时，=一m,即m十n=0: 7.B8.19.-1(答案不唯一) .'4m2+5mn十n2=(4m+n)(m+n), 10.(1),方程有两个不相等的实数根， .4m2+5mn+n2=0. “4>0,即4=[-(m-2)]3-4×4m2>0. 微专题3一元二次方程根的判别式的应用 1.B2.C 解得m<1. 3.(1)证明：由关于x的方程x2-(k十3)x+2k十2=0，得 (2):方程有两个相等的实数根， △=[-(k+3)]2-4×1×(2k+2)=2-2k+1=(k-1)2, ∴4=0，即A=[-(m-2)]3-4×m2=0. .(k-1)2≥0，.△≥0 解得m=1. 方程总有两个实数根。 (2)关于x的方程x2-(k十3)x十2k十2=0的解是x= ∴方程可化为4x2十x十1=0.解得x=x2=-2. +1,x2=2, 11.D12.a≤1 方程有一个小于1的正根，0<k十1<1. 能力在线 .-1<k<0. 13.A14.-7+6, 4.D5.C6.B7.k≤-1 6 15.-3 8.(1)根据题意，得△=(-3)2-4k≥0， 16.(1)[-4,3]￥[2，-6]=-4×2-3×(-6)=10. (2)根据题意，得x(mx十1)一m(2x-1)=0, 解得≤ 整理，得mx2十(1-2m)x十m=0, (2)满足条件的k的最大整数为2，此时方程为x2一3x十2 ,关于x的方程[x,2x一1]米[m.x+1,m]=0有两个实 =0,解得x1=1,x2=2, 数根， 当相同的根为x=1时，把x=1代入方程(m-1)x2十x十 ,.△=(1-2m)2-4m·m≥0且m≠0， m-3=0得m-1+1+m-3=0,解得m=2; 3 解得m≤且m≠0. 当相同的根为x=2时，把x=2代入方程(m一1)x2+x+ 拓展在线 m-3=0得4(m-1)+2+m-3=0,解得m=1,而m-1 17.(1)证明：4=[-(k+3)]-4×1×3k=k2-6k十9= ≠0，不符合题意，舍去，所以m的值为号 (k-3)2, (k-3)2≥0，即△≥0， 21.3实践与探索 ∴无论k取任何实数，方程总有实数根。 第1课时 一元二次方程的应用—图形面积问题 (2)当腰长为4时，把x=4代入x2一(k十3)x十3k=0, 基础在线 得16一4k-12+3k=0,解得=4. 1.A2.C3.D4.C5.C F级数学（上）·HD 19 6.生态园的面积能为40m2,理由如下： ,四边形ABCD是矩形，∴.AB=CD,AD=BC. 10>号∴为让市民得到实惠，x应取10. 设AB的长度为xm,则BC的长度为182m, 答：每盆应降价10元 能力在线 由题意，得x.18,工=40， 5.B6.B7.208.40 2 9.(1)由题意，得256(1+r)2=400, 整理，得x2一18x+80=0, 解得r=0.25=25%或r=-2.25<0(不符合题意，舍去)， 解得x1=10,2=8, 答：月增长率r为25%. .生态园的面积能为40m,AB的长为10m或8m (2)设该品牌头盔的实际售价应定为y(y≥40)元/个，则月销 能力在线 售量为600-10(y-40)=(1000一10y)(个)， 7.28.2或4 由题意，得(y一30)(1000一10y)=10000, 9.(1)设矩形ABCD的边AB=xm,则边BC=70一2x+2= 解得y=50或y=80, (72-2x)m. 要尽可能让顾客得到实惠，∴y=50. 根据题意，得x(72-2x)=640, 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个 化简，得x2一36x十320=0， 拓展在线 解得x1=16,x2=20, 10.(1)由题意，得当x>40时，每台学习机的售价为（单位：元）： 当x=16时，72-2x=72一32=40， 800-5(x-40)=-5x+1000. 当x=20时，72-2x=72一40=32. (2)设图中的直线解析式为y=x十b,把(0,700)和(50， 答：当羊圈的长为40m,宽为16m或长为32m,宽为20m 时，能围成一个面积为640m的羊圈. 60代人0g6o (2)不能.理由如下： 由题意，得x(72-2x)=650, 解得/k一2， 1b=700. 化简，得x2一36x十325=0， 则直线解析式为y=一2x十700， .△=(-36)2-4×325=-4<0， 当x=60时，进价y=-2×60+700=580, 。一元二次方程没有实数根 售价为800-5×(60一40)=700（元）， ∴.羊圈的面积不能达到650m2. 则每台学习机可以获利700-580=120（元）. 拓展在线 (3)当x>40时，每台学习机的利润是（一5x+ 10.(1)根据题意知，0<t3.5,BP=AB-AP=(5一t)cm, 1000)-(-2x+700)=-3x+300, BQ=2t cm. 则x(一3x+300)=4800, (1)根据三角形的面积公式，得 解得x1=80,x2=20(舍)， 合BP,BQ=4,即5-0-4， 当0<x≤40时，每台学习机的利润是800-（-2x+ 700)=2x+100, 整理，得t一5t+4=0, 则x(2x+100)=4800, 解得=1，t2=4(不合题意，舍去). 解得x1=30,x2=-80(舍). 故1s后，△PBQ的面积等于4cm2. 答：该商店可能购进并销售学习机80台或30台. (2)根据勾股定理，得 微专题4一元二次方程的实际应用 PQ2=BP2+BQ2=(5-t)2+(2t)2=25, 1.C2.D 即5t-10t=0, 3.(1)设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x, 解得t1=2,t2=0(不合题意，舍去). 依题意，得 故2s后，PQ的长度等于5cm 1.6(1+x)2=2.5, (3)根据三角形的面积公式，得2BP·BQ=8, 解得x=25%或x=一}（不合题意，合去）， 即t(5一t)=8,整理，得t2一5t+8=0. 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%. △=(-5)2-4×1×8=-7<0， (2)设5月份后10天日均接待游客人数是a万人， ∴此方程没有实数根， 由题意可得2.125+10a≤2.5(1十25%)， ∴.△PBQ的面积不能等于8cm2, 解得a≤0.1. 第2课时一元二次方程的应用 —平均变化率问题 答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人 基础在线 4.设每箱西瓜降价x元，则每箱盈利(40一x)元，平均每天可 1.B 售出(30十2x)箱，根据题意，得 2.设2023一2025年买书资金的年平均增长率为x, (40一x)(30十2x)=1400,整理，得x2一25.x十100=0， 则5000(1+x)2=7200, 解得x1=5,x2=20, 解得x=0.2或x=一2.2（舍去） 又要尽快减少库存，.x=20 答：2023一2025年买书资金的年平均增长率为20%. 答：每箱西瓜应降20元. 3.C 5.(1)设y关于x的函数关系式为y=kx+b,将(15,700)， 4.(1)(30-x)(20+1.5.x) (25,500)代入上式，得 (2)由题意，得(30-x)(20+1.5x)=700, 20 5十。相得信1那 1b=1000 解得x1=10,x2=3 ∴.y=-20x+1000(10≤x≤30) 20 一探究在线·九年 (2)依题意，有(x-10)(-20x+1000)=6000, =-m2, 解得x1=20,x2=40, ,-m2≤0， .10≤x≤30，.x=20. .(x1-1)(x2-1)≤0. 答：该书的销售单价为20元 15.(1)设乙种商品每件进价的年平均下降率为x,由题意，得 (3)销售该书每天的利润不能达到9000元.理由如下： 125(1-x)2=80,解得x=0.2=20%或x=1.8(舍去)， 根据题意，得(x-10)(-20x十1000)=9000， 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%. 整理，得x2-60x十950=0， (2)设购进甲种商品m件，则购进乙种商品(100-m)件， .△=602-4×1×950=-200<0， 由题意，得 .该方程没有实数根 (125-25×2)m+80(100-m)≤7800， ∴.销售该书每天的利润不能达到9000元 ∴.75m+8000一80m≤7800，解得m≥40， 6.(1)设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据题意，得 .m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件 1十x+x(x+1)=81,整理，得x2十2x-80=0, 答：最少购进甲种商品40件. 解得x=8,x2=一10（不合题意，舍去）. 16.(1)2tcm(5-t)cm 答：每轮传染中平均一个人传染8个人 (2)由题意，得(5-t)2+(2t)2=52,解得1=0,2=2， (2)81+81×8=729(人). ∴.当t=0秒或2秒时，PQ的长度等于5cm. 答：经过三轮传染后共有729人会患流感. (3)存在，当t=1时，五边形APQCD的面积等于26cm. 7.63 理由如下： 8.设这个最小数为x,则最大数为(x十8)，依题意，得 长方形ABCD的面积是5×6=30(cm2), x(x+8)=65, 若使五边形APQCD的面积等于26cm,则△PBQ的面 解得x1=5,x2=一13（不合题意，舍去）. 积为30-26=4(cm2),即(5-)×2×号=4， 答：这个最小数为5. 9.12 解得=4（不合题意，舍去），t2=1. 10.设初中组共有x个队参加比赛，依题意，得 即当t=1秒时，五边形APQCD的面积等于26cm2. 数学活动运用化归的思想方法解决问题 2x(x-1)=45, 1.3y2-6y-1=0 解得x1=10,x2=-9(不合题意，舍去). 2.B 答：初中组共有10个队参加比赛. 11.(1)(51-3x) 3.设(2)班人数是x人，则(1)班人数是（合x+7）人， (2)依题意，得(51一3x)x=210, :八(1)班义卖善款1900元，八(2)班义卖善款2600元， 整理，得x2-17x十70=0， (2)班比(1)班的人均义卖款多5元， 解得x1=7,x2=10. :2600-190=5. 当x=7时，AB=51-3x=30>25,不合题意，舍去； 1 2x+7 当x=10时，AB=51-3x=21<25,符合题意， 整理，得x2十254x-7280=0. 答：栅栏BC的长为10米. 解得x1=26,x2=-280<0(舍去)， 阶段测评3(21.2.4一21.3) 经检验，x=26是原分式方程的解， 1.B2.D3.D4.B5.C6.C7.-38.2027 9.有两个不相等的实数根10.24或1511.7 ∴(2)班人数是26人.∴号×26+7=20. 12.30或32 则(1)班人数是20人. 13.使这个方程有两个不相等的实数根， 4.(1)设乙组每天分拣x件包裹，则甲组每天分拣(x十10)件 .b2>4c,.②③均可， 包裹，根据题意，得 选②解方程，则这个方程为x2+3x+1=0, 15(x+10)-14x=200,解得x=50, x1=-35,4=-325, 则x+10=60. 2 2 答：甲组每天分拣60件包裹，乙组每天分拣50件包裹. 选③解方程，则这个方程为x2+3x-1=0, (2)由题意，得培训后乙组每天分拣(50十y)件包裹，则甲 “m=-3+3 ,-3-5 组每天分拣(60十2y)件包裹，根据题意列方程，得 2 1200_1200=5, 14.(1)把1=-1代入方程(x-1)(x-2)=m2,得m2=6, 50+y60+2y 方程整理，得y2一40y十300=0， ∴.m=士√6， .(x-1)(x-2)=6,即x2-3x-4=0, 解得y=10,y2=30, 解得x1=一1，x2=4, :y≤20，∴y2=30不符合题意，舍去， 经检验，y=10是原方程的解，且符合题意. 故x2=4,m=士√6. 答：y的值为10. (2)证明：方程(x-1)(x一2)=m2可化为x2-3.x十2- 5.(1)-2,-5; m2=0, (2)根据题意，得 ,△=4m2+1>0, ∴.原方程有两个不相等的实数根， 。一日=2的两个解分别为=m,=, 由根与系数的关系，得x十x2=3,1x2=2-m. 则m十n=2,mn=一8， (x1-1)(x2-1)=x1x2-(x十x2)+1=2-m2-3+1 min+mn=mn(m2+n2)=mn[(m+n)2-2mn], 级数学（上）·HD一