21.2.5 一元二次方程的根与系数的关系&微专题3 一元二次方程根的判别式的应用-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（华东师大版·新教材）

@21.2.5 一元二次 基础在线沙知识要点分类然 知识点1利用根与系数的关系求两根之和 与两根之积 1.（中考·湖北)一元二次方程x2一4x十3=0的 两个实数根为1，x2,下列结论正确的是 ( A.x1十x2=-4 B.x1十x2=3 C.x1x2=4 D.x1x2=3 2.不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： (1)-2x2+3=0:x1十x2= ’x1·x2= (2)x2-7x-3=0:x1十x2= x1。2= (3)3x(x-2)=5:x1+x2= ,x1·x2= 知识点2利用根与系数的关系求代数式或 待定字母的值 3.若关于x的一元二次方程x2一8.x十m=0两 根为x1,x2,且x1=3x2,则m的值为() A.4 B.8 C.12 D.16 4.（九江月考)已知关于x的一元二次方程x2十 (2m一1)x+72=0的两实数根为x1,x2,且x1 十x2=17,则m= 易错点已知根与系数的关系求字母系数的 值时，忽视根的判别式≥0而出错 5.若关于x的一元二次方程x2-(2m+3)x十 m2=0有两个不相等的实数根x1、x2,且x1十 x2=x1x2,则m的值是 ( A.-1 B.3 C.3或-1 D.-3或1 33探究在线九年级数学（上）·HD 方程的根与系数的关系 能力在线沙方法规律综合练 6.(中考·河北)若一元二次方程x(x十2)一3= 0的两根之和与两根之积分别为m、n,则点 (m,n)在平面直角坐标系中位于 () A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.若实数a、b分别满足a2一3a十2=0，b-36+2= 0,且a6,则+号 8.(中考·泸州)若一元二次方程2x2-6x-1=0 的两根为a,3,则2a2一3a+33的值为 了拓展在线》培代报尖提升察 9.若关于x的一元二次方程ax2十bx十c=0(a ≠0)有两个实数根，且其中一个根为另一个根 的2倍，则称这样的方程为“倍根方程” (1)请判断一元二次方程x2一3x十2=0 (填“是”或“不是”)“倍根方程”； (2)若关于x的一元二次方程ax2一6ax十c= 0(a≠0)是“倍根方程”，求a和c的关系； (3)若(x一2)(mx十n)=0是“倍根方程”.求 证：4m2+5mn+n2=0. 44 微专题3一元二闪下 类型个 判断一元二次方程根的情况 1.下列方程中有两个相等的实数根的是() A.x2-2x-1=0 Bx2-x+4-0 C.x2+3x+5=0 D.2x2-3x+1=0 2.(中考·广州)关于x的方程x2一x十k2十2=0 根的情况为 () A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.只有一个实数根 3.已知关于x的方程x2一(k十3)x十2k十2=0. (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个小于1的正根，求实数k的 取值范围. 类型②确定一元二次方程中字母系数的 取值（范围） 4.（中考·兰州)若关于x的一元二次方程x2+ 2x十a=0有两个不相等的实数根，则a的值 可以是 A.3 B.2 C.1 D.0 程根的判别式的应用 5.(中考·内江)若关于x的一元二次方程(a一 1)x2+2x+1=0有实数根，则实数a的取值 范围是 () A.a≤2 B.a<2 C.a≤2且a≠1 D.a<2且a≠1 6.(数形结合思想)若关于x的一元二次方程x2 一2x十kb十1=0有两个不相等的实数根，则 一次函数y=kx十b的大致图象可能是() 7.(中考·东营)若关于x的方程(k2一1)x2+(飞 +1)x十4=0无实数根，则的取值范围是 8.关于x的一元二次方程x2一3x十k=0有实 数根， (1)求k的取值范围； (2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二 次方程(m-1)x2十x十m一3=0与方程x2一 3x十=0有一个相同的根，求此时m的值. 第21章34x-1=士√5， .x1=1十5，x2=1-√5. 2= (3):6-4ac=(-2)2-4×3×(-3)=4+36=40>0, x=2±√4o-2±20=1±10 +=号+是， 6 6 3 ()=1, x=1+y0 3 x-压=士1， 5 7.D 能力在线 西=-1+ 8.B9.B10.④11.20或24 5-1+⑤ 5 4.(1)a=2,b=7,c=-1, 12.1x=5+7,=37 .b-4ac=72-4X2×(-1)=57. 4 4 (21=3+5,=3-5 x=-7±57 31 3 4 拓展在线 .x1= -7+57 =二7-57 4 13.(1)-8x2+2x+1=0 (2)-1 x1·x4=1,x2·x3=1 (2方程-号+日0可化为-iz+1=-0, 证明：由公式法知，西1=一b-Y6-4ac 则a=8,b=-4√2，c=1, 2a .b-4ac=(-4√2)2-4×8X1=0. xa=-b十VF-4ae 2a x=二(-4②)±6=区 2×8 41 其“友好方程”的两根分别为西=二b-不一4ac, x4= 渠 -b+v8-4ac 5.(1)2x2-3x-1=0, 2c a=2,b=-3,c=-1, .x1·x4=1,x2·x3=1. .b2-4ac=(-3)2-4×2×(-1)=17>0. 微专题2一元二次方程的解法归纳 x=3±17 1.(1)方程(x十√3)(x-√3)=2可化为x2-3=2,即x2=5, 2X2 直接开平方，得x=士√5， =3+1 4 ,x2=3-7 4 解得x1=√5，x2=一√5. (2)x2-4x+4=12+4,(x-2)2=16, (2)移项，得6(x-1)2=54, ∴x-2=±4.x1=-2,x2=6. 方程两边同时除以6，得(x一1)2=9， (3)移项，得2y(y+2)-y-2=0, 直接开平方，得x-1=3或x-1=一3， .2y(y+2)-(y+2)=0. 解得x1=4,x2=一2. .(y+2)(2y-1)=0. (3)2(x+3)=士5(x-2). 则y+2=0或2y-1=0, 解得4=号a=亭： 1 解得y=一2，y2=2· 2.(1)将方程(2x+1)2一x2=0左边分解因式，得 6.(1)设x2=y,则原方程可变形为y2-y-6=0, (2x+1+x)(2x+1-x)=0, 解得y1=3,y2=-2. 即(3x+1)(x+1)=0, .3x十1=0或x+1=0, 当y=3时，x2=3,解得x1=√5，x2=一√3， =-了w=-1 当y=-2时，x2=-2,方程无解. 所以，原方程的解为x=√3，x2=一√5. (2)方程x(x十3)=2x十6可变形为x(x十3)=2(x十3)， (2)设x2+2x=y,则原方程可变形为y2-2y-3=0,解得 移项，得x(x十3)-2(x十3)=0， y1=3,y2=-1. 方程左边分解因式，得(x一2)(x十3)=0， 当y=-1时，x2+2x=-1, .x2=0或x十3=0， 解得x1=x2=-1. .x1=2,x2=-3. 当y=3时，x2+2x=3, (3)方程左边分解因式，得(x-2)(2x十1)=0， 解得x3=一3，x4=1. ∴.x-2=0或2x十1=0， 所以，原方程的解为1=x2=一1，x=一3，x4=1. 西=2，a=-安 阶段测评2(21.1-21.2.3) 3.(1)x2+10x=9975. 1.c2A3.D4A5D6.A7.2距号 8.士√6 x2+10x+25=9975+25,即(x+5)2=10000. 9.202210.-1或-711.1212.x1=-4,x2=-1 x+5=土100. 13.(1)x1=-5,x2=1.(2)x1=x2=3. ∴.x1=95,x2=-105, (2)将原方程整理，得 (3)x1=3,x2=2· （4)x1=3,x2=9. 一探究在线·九 14.(1)配方 方程化为x2-7x十12=0，则其另一个解为x=3, (2)x2-2x-99=0, 此时△ABC的周长为3+4+4=11. 因式分解，得(x一11)(x+9)=0, 当底边长为4时，则方程x2一(k十3)x十3k=0有两个相 .x-11=0或x+9=0, 等的实数根， 解得x1=11,x2=-9. ∴4=(k-3)2=0. 15.(1)证明：a2-4a+5=(a2-4a+4)+1=(a-2)2+1, ∴k=3,此时方程化为x2-6x十9=0. (a-2)2≥0， 方程的解为x1=x2=3, .(a-2)2+1≠0. 此时△ABC的周长为3+3+4=10. .无论a取任何实数，关于x的方程(a2一4a十5)x2十 综上所述，△ABC的周长为11或10 2a.x十4=0都是一元二次方程. 21.2.5 一元二次方程的根与系数的关系 (2)当a=2时，原方程变形为x2+4x十4=0， 基础在线 解得1=x2=-2. 1.D 16.由题意可得(2x-1)2-6x=-3, 整理，得2x2-5x十2=0， 2.(1)0 (2)7-3(3)2 a=2,b=-5,c=2, 3.C4.-85.B .b-4ac=(-5)2-4X2X2=9>0. 能力在线 x=(-5)±=5±3 6.c7. 8.10 2×2 4 解得=2,4=宁 拓展在线 9.(1)是 21.2.4一元二次方程根的判别式 (2)由题意，设方程的两根分别为t、2t. 基础在线 1.C2.C3.A4.D5.A 则1+2=6,1…2=合6=2，则c=8a, 6.(1).a=1,b=-10,c=21, (3)证明：由题意知，m≠0. .△=6-4ac=(-10)2-4×1×21=16>0. (x-2)(mx+n)=0,1=2,x2=- 方程有两个不相等的实数根 m (2)a=2,b=6√2，c=9, 当-=2X2时，n=一4m,即4m十n=0; m .△=b2-4ac=(6V2)2-4×2×9=0. .方程有两个相等的实数根。 当-品-之×2时，=一m,即m十n=0: 7.B8.19.-1(答案不唯一) .'4m2+5mn十n2=(4m+n)(m+n), 10.(1),方程有两个不相等的实数根， .4m2+5mn+n2=0. “4>0,即4=[-(m-2)]3-4×4m2>0. 微专题3一元二次方程根的判别式的应用 1.B2.C 解得m<1. 3.(1)证明：由关于x的方程x2-(k十3)x+2k十2=0，得 (2):方程有两个相等的实数根， △=[-(k+3)]2-4×1×(2k+2)=2-2k+1=(k-1)2, ∴4=0，即A=[-(m-2)]3-4×m2=0. .(k-1)2≥0，.△≥0 解得m=1. 方程总有两个实数根。 (2)关于x的方程x2-(k十3)x十2k十2=0的解是x= ∴方程可化为4x2十x十1=0.解得x=x2=-2. +1,x2=2, 11.D12.a≤1 方程有一个小于1的正根，0<k十1<1. 能力在线 .-1<k<0. 13.A14.-7+6, 4.D5.C6.B7.k≤-1 6 15.-3 8.(1)根据题意，得△=(-3)2-4k≥0， 16.(1)[-4,3]￥[2，-6]=-4×2-3×(-6)=10. (2)根据题意，得x(mx十1)一m(2x-1)=0, 解得≤ 整理，得mx2十(1-2m)x十m=0, (2)满足条件的k的最大整数为2，此时方程为x2一3x十2 ,关于x的方程[x,2x一1]米[m.x+1,m]=0有两个实 =0,解得x1=1,x2=2, 数根， 当相同的根为x=1时，把x=1代入方程(m-1)x2十x十 ,.△=(1-2m)2-4m·m≥0且m≠0， m-3=0得m-1+1+m-3=0,解得m=2; 3 解得m≤且m≠0. 当相同的根为x=2时，把x=2代入方程(m一1)x2+x+ 拓展在线 m-3=0得4(m-1)+2+m-3=0,解得m=1,而m-1 17.(1)证明：4=[-(k+3)]-4×1×3k=k2-6k十9= ≠0，不符合题意，舍去，所以m的值为号 (k-3)2, (k-3)2≥0，即△≥0， 21.3实践与探索 ∴无论k取任何实数，方程总有实数根。 第1课时 一元二次方程的应用—图形面积问题 (2)当腰长为4时，把x=4代入x2一(k十3)x十3k=0, 基础在线 得16一4k-12+3k=0,解得=4. 1.A2.C3.D4.C5.C F级数学（上）·HD 19