21.2 第5课时一元二次方程的根与系数的关系-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(华东师大版·新教材)

程P)+1=a受x2+ax十，十1=a.受2计 a1x十1=0.方程P(x)十1=a有两个不相等的实数 根4=a-4×号=a-2a2>0且ag≠0a:< ai 且a2≠0.an<a1<a2≤4，a、a1、a2为自然数， 1<a1<3.若a1=1,则a:<2,不符合题意，舍去；若 a1=2,则a2<2,不符合题意，舍去；若a1=3,则a2<4.5, 又：3<a2≤4，∴.a2=4,符合题意.∴.a0十a1十a2=a十 7.:a<3,∴.ao最大为2..a十a1十a2最大为2十7= 9.故②正确.③：n、a、a1、…、am均为自然数，且a< a1<<am≤4，a、a1、…均从最小的数取起，则a0 0,a1=1,a2=2,ag=3,a1=4,a5=5>4(舍去).∴.n≤4. n≠0，∴.1≤n≤4.当n=1时，P(x)=a1x+ao, .a1x十a。是整系数多项式，∴.an>0.当an=1时，a1 2或a1=3或a1=4,有3个整系数多项式；当ao=2时， a1=3或a,=4,有2个整系数多项式；当a0=3时，a1=4, 有1个整系数多项式.故当n=1时，共有6个整系数多项 式当m=2时，p(x)-受r2+ax+a当a,=0.a 1时，a2=2或a2=4,有2个整系数多项式：当a。=0,a1= 2时，a2=4,有1个整系数多项式；当a。=0,a1=3时， a2=4,有1个整系数多项式；当ao=1,a1=2时，a2=4,有 1个整系数多项式；当a0=1,a1=3时a2=4,有1个整系 数多项式；当a0=2时，a1=3,a2=4,有1个整系数多项 式.故当n=2时，共有7个整系数多项式.当n=3时， P(x)=号x2+号x2+a1x十a,只有a=0,a,=1,ag 2a,=3,这1种情况：同理，当n=4时，P(x)学x+ 号x2+2zx2+a1x+a,只有a,-0a,=1ag=2,a=3, a1=4,这1种情况..共有整系数多项式6+7+1+1= 15(个).故③错误.综上所述，正确的是①②，共2个 第5课时一元二次方程的根与系数的关系 1.C:a、b是一元二次方程x2十x-8=0的两个实数 根，.a十b=-1,ab=-8,a2+a-8=0.a2十a=8. ∴.a2+2a+b-ab=(a2+a)+(a+b)-ab=8+(-1)- (-8)=15. 2.B:小红看错了常数项q,得到方程的两根是一3、1， ∴.一p=一3十1=一2，解得p=2.小明看错了一次项 系数p,得到方程的两根是5、一4，∴.q=5×(一4)=一20. .原来的方程是x2+2x一20=0. 3.A根据题意，得x1·x2=m2=1,则m=1或-1.当 m=1时，x2+1=0,原方程无实数根；当m=一1时，符合 题意..m=-1. 4.C整理方程，得x2十x一2-p2=0,则△=1一4×1· (一2-p2)=9十4p2>0,∴.该方程有两个不相等的实数 根.设两根分别为x1x2.x1·x2=一2-p2<0,.x1、 x2异号..该方程有一个正实数根，一个负实数根 5.x2一1=0（答案不唯一）：关于x的一元二次方程 x2十b十c=0(b、c为常数)的两根x1、x2满足一2<x,< 0,0<x2<2,.可以取x1=-1,x2=1.∴.b=-(x1十 x2)=0,c=x1·x2=一1.∴符合条件的一个方程为x2 1=0(答案不唯一). 6.(1).△=(-4m)2-4(4m2-4)=16m2-16m2+ 16=16>0,∴.此方程有两个不相等的实数根.(2)设此 方程的两根分别为t、3t.根据根与系数的关系，得t十3t= 4m,t·3t=4n2-4,∴.t=m..3m2=4m2-4,解得 m1=2,m2=-2. 7.C.(x一2)(ax一b)=0(a≠0)，.∴.x一2=0或ax- b=0,解得x,=2,x2=么.方程(x-2)(ar-b)=0 a (a≠0)是“倍根方程”，分两种情况：当2=2，么，即a= 6名-元宁当x2=兰即6如时 a 名0品-品-景综上所述，代数式名的 a+b at4a 5a 值为或-号 8.-一1方程x2一2025x+1=0的两个根分别为x1、 x2,.x1x2=1,x号-2025x1+1=0.∴.x号-20251= -1..x-2025-x8-20254=x-2025,=-1. 9.9关于x的方程x2一2x一m十1=0的两个实数根 分别为aB,∴.a+B=2,a3=-m+1.:a|+|B|=6, ∴.a、3为异号，即a8<0.由a十B=2,得a2+B=4-2a8, 由a+|B=6,得a2+B2=36-23|,∴.4-2a3=36 2a3=36+2a8.∴.a3=-8.∴.-m+1=-8.∴.m=9. 100的：r+2x-m-m=0由根与系致的关 系，得am十B.=一2(1≤n≤2018且n为正整数)，am· Bn=-m2-m=-m(m+1).当m=1、2、3、…、2018时， a1+B1=-2,a1B1=-1X2;a2+B2=-2,a2B2=-2X 3;…a2018十B2018=-2,a2018P2018=-2018X2019..原 式=at是+：t是+at8十…+gas十Ba= a1B1 a2β2 Q月 a2018P2018 2+2克g+3最+…+208220=2x(1-号+ 2 2 11 1 b3天3-日+…+20820=2X1 2d）-488 11.①③对于方程x2一bx一c=0(bc≠0)，有两个不相 等的实数根x1、x2(x1<x2),由根与系数的关系，得x1十 x2=b,1x=一c,对于方程bm十c=0,解得x=一方， 2 ∴.x3= x1十x2 x1x2一x1(x1十x2）_一x12 x1十x2 x1十2x23一x2= x1十x2 一x2= x-x2十2=二2：.分情况讨论当x,<,<0 x1十x2 x1十x2 时，x1十x2<0,则x3-x1>0,x3一x2>0,.x1<x2< x3,结论①正确.当0<x1<x2时，x1十x2>0,则x3 x1<0,xg一x2<0,.x3<x1<x2,结论③正确.当x,< 0<x2时，若|x,|>|x2|,则x1+x2<0,xg一x1>0,xg x2>0,∴x1<x2<x3,结论①正确.若|x1|<|x2|,则 x1十x2>0,x3一x1<0,xg一x2<0,.x3<x1<x2,结论 ③正确.综上所述，所有可能正确的结论是①③， 12.(1),关于x的方程(m2-1)x2-3(3m-1)x+18= 0有两个正整数根(m是正整数)，a=m2一1，b=一9m十 3,c=18,∴.b2-4ac=(-9m+3)2-72(m2-1)=9(m- 3)2≥0.设x1、x2是此方程的两个根，.x1·x2= 8÷8也是正整数即m-1=1或2成3或 18 6或9或18.又：m为正整数，∴.m=2.(2)把m=2代 入两等式，化简得a2一4a十2=0，b2-4b十2=0.当a=b 时，a=b=2士√2.当a≠b时，a、b是方程x2-4x十2=0 的两根，而△>0，∴.a十b=4>0,ab=2>0,则a>0、b> 0.①当a≠b,c=23时，a2+b2=(a+b)2-2ab= 16-4=12=c2,∴.△ABC为直角三角形，且∠C=90° Sa=2b=1.②当a=b=2-E,c=25时， 2(2一√2)<23，∴.不能构成三角形，不合题意，舍去. ③当a=b=2+√2，c=23时，：2(2+√2)>23，.能 1 构成三角形，·易得Se=之×23X3+4瓦 √9+12√2.综上所述，△ABC的面积为1或/9+12√2. 13.由方程3a2-3(a十b)x十4ab=0的两个实数根分别 为ew,可知a+ga+6,og=号ab.“aa十1D+8g+ 1)=(a+1)(8+1),∴.(a+B)2-3a8=1.把a+B=a+b, g-言ab代人，得(a十bP-46=1,即a-b)-1 ∴.a-b=±1.由题意，可得△=[-3(a十b)]2-4×3X 4ab≥0，∴.3(a+b)2≥16ab..(a+b)2-4ab=1,即 4ab=(a+b)2-1,∴.3(a+b)2≥4(a+b)2-4,即(a+ b)2≤4.∴.-2≤a十b≤2.当a-b=1,即a=1+b时，则 有-21+2b≤2，解得-<b<.:a,6为整数a 1十b,∴.当b=-1时，a=0:当b=0时，a=1.当a一 6=-1,即a=6-1时，则有-2<26-1<2，解得-号< 6≤号：a,6为整数a=6-1,当6=0时，a=-1;当 b=1时，a=0.综上所述，(a,b)的所有整数对有(0，一1)、 (1,0)、(-1,0)、(0,1). 专题特训三一元二次方程根的判别式 和根与系数的关系的综合 1.A 思路导引 x+(2k+3)x+k-0 4>0 k>是 有两个不相等的 实数根xx x+x,=-(2k+3) 七x2h +比】 x=一1 -2k3=-1 k-3 3 k>一4 2.7△=k2-4×2×(-2)=k2+16>0.:x1、x2是方 k 程2x2+kx-2=0的两个实数根，x1十x2=一2，x1· x2=-1.∴.(x1-2)(x2-2)=x1x2-2(x1十x2)+4= -1-2×(-令）+4=10，解得k=7. 4第21章一元二次方程 第5课时一元二次方程的根与系数的关系 边一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基。 1.已知a、b是一元二次方程x2+x一8=0的两个实数根，则代数式a2+2a十b一ab的值为() A.-1 B.1 C.15 D.17 2.在解关于x的一元二次方程x2十x十q=0时，小红看错了常数项g,得到方程的两根是一3、1： 小明看错了一次项系数p,得到方程的两根是5、一4，则原来的方程是 () A.x2+2x-3=0 B.x2+2x-20=0 C.x2-2x-20=0 D.x2-2x-3=0 3.已知关于x的一元二次方程x2一2(1一m)x十m2=0的两个实数根为x1、x2,若x1·x2=1,则 m的值为 () A.-1 B.1 C.1或-1 n寸 4.关于x的方程(x一1)(x十2)=(p为常数)的根的情况，下列结论正确的是 () A.有两个正实数根 B.有两个负实数根 C.有一个正实数根，一个负实数根 D.没有实数根 5.舒考向开放性阿题若关于x的一元二次方程x2十bx十c=0(b、c为常数)的两根x1、x2满足 一2<x1<0,0<x2<2,则符合条件的一个方程为 6.已知关于x的方程x2一4mx+4m2一4=0. (1)求证：此方程有两个不相等的实数根. (2)若此方程的一个根是另一个根的3倍，求的值 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 7.新定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx十c=0(a≠0)有两个不相等的实数根，且其中一个根 为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”，如：方程x2一6x十8=0是“倍根方 程术关丁x内元二次方程d一2a一6)=0a≠0足信根方程，则代数式方伯值为 () A或娟 1 25 拔尖特训·数学（华师版）九年级上 8.整体思想已知方程x2一2025x十1=0的两个根分别为x1、x2,则x号2025的值为 ℃2 9.设关于x的方程x2一2x一m+1=0的两个实数根分别为a、B,若|α|+|B|=6,则实数m的值 是 10.若关于x的一元二次方程x2十2x一m2一m=0(m>0),当m=1、2、3、…、2018时，相应的一元 二次方程的两个根分别记为a1Q…,e20s90s,则十号+1十 1 a131a2B2 a2018B2018 的值为 11.已知关于x的方程x2一bx一c=0(bc≠0)有两个不相等的实数根x1、x2(x1<x2),关于x的方 程bx十c=0的根为x3,给出下列三个结论：①x1<x2<x3;②x1<x3<x2;③x3<x1<x2 其中，所有可能正确的是 (填序号) 12.已知关于x的方程(m2一1)x2一3(3m一1)x+18=0有两个正整数根(m是正整数).△ABC 的三边a、b、c满足c=2√3，m2十a2m-8a=0,m2+b2m-8b=0.求： (1)m的值. (2)△ABC的面积 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维 13.已知a、b为整数，关于x的方程3.x2一3(a+b)x+4ab=0的两个实数根a、3满足a(a+1)+ B(B+1)=(a+1)(B+1).试求所有的整数对(a,b). 26 >“答案与解析”见PI3