第21章 一元二次方程 考点汇编（考点内容：21.2.4—21.2.5）2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程根的判别式与根与系数关系，通过典例与变式训练构建从概念应用到综合探究的逻辑体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |根的判别式|3例+5练习|参数范围、根的情况判断、等腰三角形综合|基于Δ=b²-4ac，结合方程定义与三角形三边关系推导| |根与系数关系|3例+7练习|代数式求值、参数求解、新定义运算|以韦达定理为核心，关联方程根的定义与判别式综合应用|

华东师大版第21章《一元二次方程》考点汇编参考答案 （考点内容：21.2.4—21.2.5） ( 考点汇编 ) 考点1：一元二次方程根的判别式 例1、关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（   A   ） A、且 B、且 C、 D、且 【同步练习】 1、若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ B     ） A、 B、且 C、且 D、 2、关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围为（  D    ） A、且 B、 C、 D、且 例2、定义运算：，例如：.方程的根的情况（    A  ） A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、无实数根 D、只有一个实数根 【同步练习】定义运算：.例如：.则方程的根的情况为（  C  ） A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、无实数根 D、只有一个实数根 例3、等腰三角形一边长为2，它的另外两边长是关于x的一元二次方程的两实根，则k的值为（    B  ） A、12 B、16 C、2或4 D、12或16 【同步练习】等腰三角形的一边长为3，另两边的长是关于x的一元二次方程的两个根，则 k的值是（　C　） A、9 B、27 C、36 D、27 或36 考点2：一元二次方程根与系数的关系 例4、设，是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值：（1）；（2）；（3） 【详解】（1）解：∵，是一元二次方程的两个根 ∴， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴． 【点评】试题分析：先根据根与系数的关系，求出两根之积与两根之和的值；然后将代数式变形为两根之和与两根之积的形式，最后代入数值进行计算。 【同步练习】已知方程的两根分别为，，求下列代数式的值： （1）；　　　　（2） 【详解】∵方程的两根分别为， ∴，； （1）； （2） 例5、若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（  C   ） A、2024 B、2026 C、2028 D、4052 【同步练习】 1、已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（ A   ） A、2025 B、2026 C、2024 D、2021 2、若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（　C　） A、2023 B、2024 C、2025 D、2026 例6、已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根。 （1）求m的取值范围； （2）设，是方程的两根且满足，求m的值。 【详解】解：（1）根据题意得： 解得： （2）根据根与系数的关系可得：， ∵ ∴ 解得或 ∵方程有两个不相等的实数根时， ∴ 【点睛】本题主要考查了根的判别式，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1），方程有两个不相等的实数根；（2），方程有两个相等的实数根；（3），方程没有实数根；以及根与系数的关系：，是方程的两根时，，． 【同步练习】已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根。 （1）求k的取值范围； （2）设，是该方程的两实根，且，求k的值。 【详解】（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根 ∴ ∴ （2）∵， 又由 ∴，则 【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系，牢记根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系式是解题的关键。 ( 师生互动 ) 1、若一个等腰三角形的一边为4，另外两边为的两根，则m的值为（ B   ） A、32 B、36 C、32或36 D、不存在 2、对于实数a、b，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（    A  ） A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、无法确定 3、已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（  A  ） A、1015 B、1014 C、1013 D、1011 4、已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（  D   ） A、0 B、 C、 D、 5、已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ B    ） A、 B、3 C、 D、 6、已知关于x的方程有两个不相等的实数根。 （1）求m的取值范围； （2）设，是方程的两个根且，求m的值。 【详解】（1）解：由题意，得 解得： 答：m的取值范围是； （2）解：由题意，得：， ∵ ∴ 解得， ∵方程有两个不相等的根 ∴ ∴ 答：m的值是． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元一次不等式和一元二次方程，解题的关键是掌握以上定义和公式。 （1）利用根的判别式，列出不等式求解即可； （2）利用根与系数的关系列出一元二次方程求解即可． 7、已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根。 （1）直接写出m的取值范围； （2）若满足，求m的值。 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个不相等的实数根 ∴ 即； （2）解：∵，且， ∴ 整理得 解得：， ∵由（1）知 ∴ 检验：当时，，即； 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，以及根据一元二次方程根的情况求参数等内容，正确掌握，是解题的关键。 8、已知关于x的一元二次方程 （1）求证：无论m取何值，方程总有实数根； （2）若方程两个根均为负整数，求负整数m的值。 【详解】（1）证明：对于一元二次方程 ∵ ∵，即 ∴无论m取何值，方程总有实数根； （2）解：对原方程因式分解，得： 解得，． ∵方程的两个根均为负整数，且是负整数 ∴也需为负整数 又∵m是负整数， ∴，解得 ∴m的取值为、、或． 9、已知关于x的一元二次方程 （1）求证：无论m取何实数，该方程总有实数根； （2）若一个等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求m的值及这个三角形的周长。 【详解】（1）∵ ∵，即 ∴无论m取何值，方程总有实数根； （2）解：当腰为5时，5为方程的解 把代入，得，得 ∴ 或 解得， ∴方程的另外一个解为 ∴此时三角形三边长为3，5，5 ∵，符合题意， 此时三角形的周长 当底为5时， ∵另两边恰好是这个方程的两根 ∴，解得 ∴ ∴ 此时方程的解为 ∴此时三角形三边长为3，3，5 ∵，符合题意， ∴三角形的周长． 综上所述，当时，三角形的周长为13；当时，三角形的周长为11． 【点评】本题主要考查根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的定义，熟练掌握根的判别式是解题的关键。 10、已知关于x的方程（） （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数k的值。 【详解】（1）证明：∵ ∵，即 ∴无论k取何值，方程总有实数根； （2）解：由（1）得： ∴ ∴， ∵方程的两个实数根都是整数 ∴为整数 ∵k为正整数 ∴k为4的正约数 ∴或或． 11、已知关于x的方程 （1）若两根异号，且正根的绝对值较大，求整数m的值； （2）若等腰的一边长为3，另两边的长恰好是方程的两个根，求的周长。 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴， ∵两根异号，且正根的绝对值较大 ∴， ∴整数m的值为； （2）解：①当3为底边长时，， ∴ 此时原方程为， 解得：． ∵2、2、3能组成三角形 ∴三角形的周长为； ②当3为腰长时，将代入原方程，得：，解得： 此时原方程为， 解得：，． ∵2、3、3能组成三角形 ∴三角形的周长为 综上所述：等腰三角形的周长为7或8． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的意义，解一元二次方程，三角形的三边关系，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键。 ( 探究应用 ) 1、若，且，，则=（  A   ） A、 B、 C、 D、 2、已知，且有，，则的值等于（  B   ） A、 B、 C、 D、 3、若，且有，及，则的值是（ A   ） A、 B、 C、 D、 4、阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：若一元二次方程的两个根为，，则， 材料2：已知实数m、n满足，，且，则m、n是方程的两个不相等的实数根。 （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则_____，_____； （2）应用探究：已知实数a、b满足：，且，求的值； （3）思维拓展：已知实数m、n满足：，，求的值。 【详解】（1）解：对于一元二次方程 其中，， 根据根与系数的关系，可得， （2）解：由题意得，实数a、b满足：，且 因此a、b是一元二次方程的两个不相等的实数根 根据根与系数的关系可得， 所以 （3）解：将方程变形可得 又， 分两种情况讨论：①当时， ②当时，m和是一元二次方程的两个不相等的实数根 根据根与系数的关系可得：， 由，得 ∴ 综上，的值为2或． 5、阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：若一元二次方程的两个根为，，则， 材料2：已知实数m、n满足，，且，求的值。 解：由题知m、n是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以 （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则_____，_____； （2）已知实数m、n满足，，且，求的值； （3）思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且，求的值。 【详解】（1）解：，；故答案为：；； （2）解：∵，，且 ∴m、n可看作方程 ∴， ∴ ∴； （3）解：将两边同时除以，变形为 ∴实数s和可看作方程的两根 ∴， ∴． 【点评】本题主要考查分式的化简求值、根与系数的关系，解题的关键是根据题意建立合适的方程及掌握分式的混合运算顺序和运算法则。 6、阅读材料： 材料1：若一元二次方程的两个根为，，则， 材料2：已知实数m、n满足，，且，求的值。 解：由题知m、n是方程的两个不相等的实数根 根据材料1得， 所以 根据上述材料解决以下问题： （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则_____，_____； （2）类比探究：已知实数m、n满足，，且，求的值： （3）思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且，求的值。 【详解】（1）解：由题意可得：，； 故答案为：；； （2）解：∵m、n满足，，且 ∴m、n可看作方程的两个不相等的实数根 ∴， ∴； （3）解：把变形为：，又 ∴实数s和可看作方程的两个不相等的实数根 ∴， ∴． 7、请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在其著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两个根为，，则，； 材料2：如果实数m、n满足，，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将m、n看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数m、n满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，则此方程一定有m、n两个实数根。 请根据上述材料解决下面问题： （1）已知一元二次方程的两根分别为a、b，求的值； （2）已知不相等的两个实数p、q满足，求的值； （3）已知实数a、b、c满足，，求c的最大值。 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两根分别为a、b ∴由根与系数的关系可知：， ∴； （2）解：∵ ∴ ， ∵ ∴实数p、q可看作是方程的两个不相等的实数根 由根与系数的关系可知：， ∴ （3）解：∵实数a、b、c满足， ∴ ∴实数a、b可看作是方程的两个实数根 ∴ 解得： ∴c的最大值为2． 8、我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： （1）若，是方程的两根，则_____，______；若2，3是方程的两根，则______，______； （2）已知m、n满足，，求的值； （3）已知a，b，c满足，，则正整数c的最小值为______. 【详解】（1），；，则， （2）由题意，m、n是方程的解 ①若，则， ∴ ∴ ②若，则； （3）∵， ∴， 把a，b看作方程的两个根 ∵ ∴，且c是正整数 ∴c的最小值是4 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，；也考查了判别式的意义。 第21章《一元二次方程》考点汇编（考点内容：21.2.4—21.2.5）——————第 12 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华东师大版第21章《一元二次方程》考点汇编 （考点内容：21.2.4—21.2.5） ( 考点汇编 ) 考点1：一元二次方程根的判别式 例1、关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（      ） A、且 B、且 C、 D、且 【同步练习】 1、若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（     ） A、 B、且 C、且 D、 2、关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围为（      ） A、且 B、 C、 D、且 例2、定义运算：，例如：.方程的根的情况（      ） A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、无实数根 D、只有一个实数根 【同步练习】定义运算：.例如：.则方程的根的情况为（    ） A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、无实数根 D、只有一个实数根 例3、等腰三角形一边长为2，它的另外两边长是关于x的一元二次方程的两实根，则k的值为（      ） A、12 B、16 C、2或4 D、12或16 【同步练习】等腰三角形的一边长为3，另两边的长是关于x的一元二次方程的两个根，则 k的值是（　　） A、9 B、27 C、36 D、27 或36 考点2：一元二次方程根与系数的关系 例4、设，是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值：（1）；（2）；（3） 【同步练习】已知方程的两根分别为，，求下列代数式的值： （1）；　　　　（2） 例5、若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A、2024 B、2026 C、2028 D、4052 【同步练习】 1、已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（   ） A、2025 B、2026 C、2024 D、2021 2、若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（　　） A、2023 B、2024 C、2025 D、2026 例6、已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根。 （1）求m的取值范围； （2）设，是方程的两根且满足，求m的值。 【同步练习】已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根。 （1）求k的取值范围； （2）设，是该方程的两实根，且，求k的值。 ( 师生互动 ) 1、若一个等腰三角形的一边为4，另外两边为的两根，则m的值为（   ） A、32 B、36 C、32或36 D、不存在 2、对于实数a、b，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（      ） A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、无法确定 3、已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（    ） A、1015 B、1014 C、1013 D、1011 4、已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（     ） A、0 B、 C、 D、 5、已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为（      ） A、 B、3 C、 D、 6、已知关于x的方程有两个不相等的实数根。 （1）求m的取值范围； （2）设，是方程的两个根且，求m的值。 7、已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根。 （1）直接写出m的取值范围； （2）若满足，求m的值。 8、已知关于x的一元二次方程 （1）求证：无论m取何值，方程总有实数根； （2）若方程两个根均为负整数，求负整数m的值。 9、已知关于x的一元二次方程 （1）求证：无论m取何实数，该方程总有实数根； （2）若一个等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求m的值及这个三角形的周长。 10、已知关于x的方程（） （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数k的值。 11、已知关于x的方程 （1）若两根异号，且正根的绝对值较大，求整数m的值； （2）若等腰的一边长为3，另两边的长恰好是方程的两个根，求的周长。 ( 探究应用 ) 1、若，且，，则=（     ） A、 B、 C、 D、 2、已知，且有，，则的值等于（     ） A、 B、 C、 D、 3、若，且有，及，则的值是（    ） A、 B、 C、 D、 4、阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：若一元二次方程的两个根为，，则， 材料2：已知实数m、n满足，，且，则m、n是方程的两个不相等的实数根。 （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则_____，_____； （2）应用探究：已知实数a、b满足：，且，求的值； （3）思维拓展：已知实数m、n满足：，，求的值。 5、阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：若一元二次方程的两个根为，，则， 材料2：已知实数m、n满足，，且，求的值。 解：由题知m、n是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以 （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则_____，_____； （2）已知实数m、n满足，，且，求的值； （3）思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且，求的值。 6、阅读材料： 材料1：若一元二次方程的两个根为，，则， 材料2：已知实数m、n满足，，且，求的值。 解：由题知m、n是方程的两个不相等的实数根 根据材料1得， 所以 根据上述材料解决以下问题： （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则_____，_____； （2）类比探究：已知实数m、n满足，，且，求的值： （3）思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且，求的值。 7、请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在其著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两个根为，，则，； 材料2：如果实数m、n满足，，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将m、n看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数m、n满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，则此方程一定有m、n两个实数根。 请根据上述材料解决下面问题： （1）已知一元二次方程的两根分别为a、b，求的值； （2）已知不相等的两个实数p、q满足，求的值； （3）已知实数a、b、c满足，，求c的最大值。 8、我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： （1）若，是方程的两根，则_____，______；若2，3是方程的两根，则______，______； （2）已知m、n满足，，求的值； （3）已知a，b，c满足，，则正整数c的最小值为______. 第21章《一元二次方程》考点汇编（考点内容：21.2.4—21.2.5）——————第 7 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $