21.2.3 公式法-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（华东师大版·新教材）

©21.2. ①基础在线》知识要点分类练 知识点1用公式法解一元二次方程 1.如果一元二次方程x2+px十q=0能用公式法 求解，那么必须满足的条件是 ) A.p2-4q≥0 B.p2-4q≤0 C.p2-4g>0 D.p2-4q<0 2.用公式法解一个一元二次方程的根为x= 一5士⑧，则此方程的二次项系数、一次项系 6 数、常数项分别为 A.6,5,1 B.3,5,-1 C.3,5,1 D.3,-5,1 3.用公式法解下列方程： (1)3x2-x-1=0; (2)7x=2x2-6. 知识点2用适当的方法解一元二次方程 4.解方程(5.x一1)2=3(5x一1)最适当的方法是 () A.直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法 5.已知下列方程，请把它们的序号填在最适当的 解法后的横线上 ①2(x-1)2=6;②(x-2)2+x2=4; 25探究在线九年级数学（上）·HD 3 公式法 ③(x-2)(x-3)=3;④x2-2x-1=0; ⑤x-Ex+7-0,@r-2x-98=0. (1)直接开平方法： (2)因式分解法：； (3)配方法： (4)公式法： 6.用适当的方法解下列方程： (1)(x-3)2=4; (2)x2-2x-4=0; (3)3x2-2x-3=0. 易错点错用公式法解一元二次方程 7.用公式法解方程3x2+4=12x,下列代入公式 正确的是 () A.x,2= 12士√122-3×4 2 B.x1.2=-12±V122-3X4 2 C.x1.2=-12±V(12)2-4X3X4 2×3 D.x1,2= -(-12)±√(-12)2-4×3×4 2×3 2 能力在线》 :方法规律综合练 8.若方程(m-2)xm-2x十1=0是一元二次方 程，则方程的根是 A.=-1+5 2 ,x2=1-5 2 B.=51,,=-5-1 4 4 c-1-l6 2 D.以上答案都不对 9,若x=3是关于x的一元二次方程x2一5 一a2=0(a>0)的一个根，下面对a的值估计 正确的是 A2<a<1 R1<a<号 C.ax2 D.2<<号 10.小明在解方程x2一3x十2=0时，发现用配方 法和公式法计算量都比较大，因此他又想到 了另外一种方法，快速解出了答案，方法如 下： x2-3x+2=0, x2-2x-x十2=0， 第①步 x2-2x=x-2, 第②步 x(x-2)=x-2, 第③步 x=1. 第④步 老师看到后，夸小明很聪明，方法很好，但是有 一步做错了，请问小明出错的步骤为 (填序号) 11.已知一个三角形的两边长为6和8，第三边长 是方程x2一16x十60=0的一个根，则这个三 角形的周长为 12.用公式法解下列方程： (1)4x2-2√3x-1=0; (2)(3x-1)(x+2)=11x-4. ③拓展在线沙培优拔尖提升然 13.定义：我们把关于x的一元二次方程ax2+ bx十c=0与cx2+bx十a=0(ac≠0，a≠c)称 为一对“友好方程”.如2x2一7x十3=0的“友 好方程”是3x2一7x十2=0. (1)写出一元二次方程x2+2x一8=0的“友 好方程”： (2)已知一元二次方程x2+2x一8=0的两根 为x1=2,x2=一4，它的“友好方程”的两根为 1 x=2,x4= ·根据以上结论，猜想 ax2十bx十c=0(a≠0)的两根x1、x2(x1<x2) 与其“友好方程”cx2+bx+a=0的两根x3、 x4(x3<x4)之间存在的一种特殊关系为 ,并证明你的结论。 第21章26(2):圆形团扇半径为20y丘cm,正方形团扇的边长为20m, 5.x2=4(答案不唯一)6.B7.A8.A9.A 10.x(x+1)=182x2+x-182=011.-1 ∴.圆形团扇的周长为40√π，正方形团扇的周长为80cm. 能力在线 40√元<40√4=80，.40√斤<80. 12.B13.A14.B15.15x(10-x)=360 ∴圆形团扇所用的包边长度更短. 16.整理a(x十1)2十b(x+1)十c=0,得a.x2+(2a十b)x十(a +b+c)=0, 3.1依题意，(9-25）10-25)=10-405+12= a=3, a=3, (112-40√3)dm2, 则{2a十b=2, 解得b=一4， ∴.裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积为(112一 (a+b+c=-1. c=0. 17.根据题意，得 40√5)dm2. (x-40)[500-10(x-50)]=8000. (2)四个直角处的小正方形边长为号(10-42)=(5- 化为一般形式为 -10x2+1400x-48000=0(或10x2-1400x+48000=0). 2√2)dm, 拓展在线 无盖长方体铁箱的宽为4√2dm, 长为2[20-42-2×(5-22)]=5dm, 18.()由题意，得二2m=4,代人已知方程，得 2x2+5x十11=0. 裁剪焊接成的一个无盖长方体铁箱的体积为(5一2√2)× ∴.二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11， 4√2×5=(100√2-80)dm3. (2)若方程是关于x的一元一次方程，则m的取值应分 (3)欣欣. 单元综合复习（一）二次根式 以下两种情况：①，②+1≠。 m+1≠-1：9 热门考点突破 ∴.m=3或m=2. 1.C2.x≥-1且x≠33.A4.A5.二或三6.D 21.2一元二次方程的解法 7.D8.C9.A10.B11.A12.A 21.2.1直接开平方法和因式分解法 13.3314.215.216.217.5+0 第1课时直接开平方法 2 基础在线 18.(1)原式=3V2+5 -1=8-1=7. 1.x1=1,x2=-12.C √2 3.(1).x2-3=5,.x2=8..x=±2√2. (2)原式=(103-4√3)÷√3一√7+2√7 ∴x1=2√2，x2=-2√2. =6-√7+2√7=6+√7. (2)-0.5x2+2=0,.-0.5x2=-2. (3)原式=72-(4√3)2-(45-6√5+1) .x2=4..x=士2.∴.x1=2,x2=-2. =49-48-46+6√5=6V5-45. 4.根据题意，得3x2-8=2x2-1, 19.(1),a=2-√3，b=2+√3， 整理，得x2=7,所以x1=√7，x2=一√7. .a+b=2-√5+2+√5=4： 所以当x=√7或一√7时，代数式3x2一8与2x2-1的值相等. a-b=(2-V3)-(2+√3)=2-√3-2-√3=-2W3. 5.D6.D (2)由(1)知，a+b=4,a-b=-2√3， 7.(1)(x+1)2=25,.x+1=±5. ∴.(a+b)2-6a+6b-9=(a+b)2-6(a-b)-9 .x1=4,x2=-6. =42-6×(-2√3)-9=16+12√5-9=7+12√3. (2)(3x-1)2=36,.3x-1=±6. 核心素养提升 =a= 20. 8.一4或6 (2)①84 能力在线 ②AD⊥BC,BC=14, 9.D10.6+√311.2或-412.813.x1=0,x2=4 14.由题意，得a-2≥0,4-2a≥0，解得a=2, 2X14×AD=84.AD=12. .b=-3. 又.AC=15,∠ADC=90°， 关于x的一元二次方程ax2+十bz+c=0(a≠0)的一个 ∴.CD=√AC-AD=√152-122=9. 根是1， 第21章一元二次方程 .a+b+c=0.∴c=1. 21.1认识一元二次方程 则方程为少-1=0， 基础在线 整理，得y2=4,=2,2=-2. 1.C2.A3.C 4.(1)一元二次方程(x-5)2=36的一般形式是： 15.:ar2=b(ab>0),.x=±V0 b x2-10x-11=0, 方程的两个根互为相反数. 二次项系数是1，一次项系数是一10，常数项是-11. ∴.(m+1)+(2m-4)=0..m=1. (2)一元二次方程3y(y+1)=2(y十1)的一般形式是： ∴.x1=m+1=2,x2=2m-4=-2, 3y2+y-2=0, 二次项系数是3，一次项系数是1，常数项是一2. =2=4 a 18 / 探究在线·九年 拓展在线 16.±2 7.(1)方程变形，得x2十x=2 1 17.原方程变形成[(x+3)-2][(x+3)+2]=12, .(x+3)2-22=12..(x+3)2=16. 配方，得++=即(+)=， 方程两边同时开平方，得x十3=士4， 解得x1=1,x2=一7. 开方：得+ 第2课时因式分解法 解得x=一 1+3 13 2 +=-2- 基础在线 1.B (2方程变形，得2十号=1， 2.2x+5=02x-5=01=-5, 5 2x2=2 因式分解法 配方，得2+号x+(兮)‘=1+（行）》广 3.D4.x1=4,x2=0 5.(1D=0,4=14、(2)=3,=g 即(x+)'-吕， (3)m=-7a=2 开方，得x+号=士， 3 6.2y2y-32y-3-号号7.z-2x-22 =-1+10 3 81m=-专-手(2)== 4 1 x2=-1-10 3 或写成，=-1+而)】 3 9.小敏和小霞的解法均是错误的. 正确的解答如下： 8.③右边没有加上1五=-1+5 x=-1-6 移项，得3(x一3)一(x一3)2=0， 能力在线 提取公因式，得(x-3)(3-x十3)=0. 9.D10.D11.-512.2113.3 则x一3=0或3一x十3=0， 解得x1=3,x2=6. 14.1)=7,,=-5.(2)x=57,=5,7 2 能力在线 15.方程变形为(a2+2)2-2(a2+b2)+1-1-15=0, 10.A11.D12.C13.C14.0或-4 (a2+b2-1)2=16, 15.(1)方程可变形为2x(x-2)十5(x-2)=0, a2+b2=5或a2十b=-3(不合题意，舍去)， 方程左边分解因式，得(x-2)(2x十5)=0， 即c2=a2+b=5, x-2=0或2x十5=0，解得x1=2,x2=- 5 .c=√5. 2 拓展在线 (2)方程变形为x2-2√3x十3=0. 16.(1)x1=x2=1x1=1,x2=2x1=1,x2=3 即(x-√3)2=0，x1=x2=√3. (2)x1=1,x2=8x2-(1+n)x+n=0 (3)3x3-12x2+12x=0可化为3x(x2-4x+4)=0, 方程左边分解因式，得3x(x一2)2=0， (3)2-9x+8=0,x2-9x=-8,x-9x+81=-8+8 4 41 ∴.3x=0或(x-2)2=0,.x1=0,x2=x3=2. 16.(1)24 (号)广-想x-是-± (2)把-4分解成1×(-4)，且1+(-4)=-3. .x1=1,2=8.猜想正确. .x2-3x-4=(x十1)(x-4)=0. 21.2.3公式法 .x十1=0或x-4=0,解得x1=-1,x2=4. 基础在线 拓展在线 1.A2.C 17.1或-1 3.(1),b-4ac=(-1)2-4×3×(-1)=1+12=13>0, 21.2.2配方法 x=1±3 基础在线 6 1.12(22x(3)号号 =1+压，，=1 6 6 2.2(x-1)2-73.C4.C (2)整理，得2x2-7x-6=0, 5.(1)x2+4x+4-4-6=0, -4ac=(-7)2-4×2X(-6)=49+48=97>0, (x+2)2-10=0, x=7±97 x=-2士√10， 4 ∴.x1=-2-√10，x2=-2+√/10. a=7+7 4 r-8+品-6-1=0 4.D5.(1)①(2)②(3)④⑥(4)③⑤ (-广-=0x-± 6.(1)(x-3)2=4, ∴.x-3=2或x-3=-2. a=2a=- 解得x1=5,x2=1. (2)x2-2x=4,x2-2x+1=4+1, 6.C (x-1)2=5, 级数学（上）·HD x-1=士√5， .x1=1十5，x2=1-√5. 2= (3):6-4ac=(-2)2-4×3×(-3)=4+36=40>0, x=2±√4o-2±20=1±10 +=号+是， 6 6 3 ()=1, x=1+y0 3 x-压=士1， 5 7.D 能力在线 西=-1+ 8.B9.B10.④11.20或24 5-1+⑤ 5 4.(1)a=2,b=7,c=-1, 12.1x=5+7,=37 .b-4ac=72-4X2×(-1)=57. 4 4 (21=3+5,=3-5 x=-7±57 31 3 4 拓展在线 .x1= -7+57 =二7-57 4 13.(1)-8x2+2x+1=0 (2)-1 x1·x4=1,x2·x3=1 (2方程-号+日0可化为-iz+1=-0, 证明：由公式法知，西1=一b-Y6-4ac 则a=8,b=-4√2，c=1, 2a .b-4ac=(-4√2)2-4×8X1=0. xa=-b十VF-4ae 2a x=二(-4②)±6=区 2×8 41 其“友好方程”的两根分别为西=二b-不一4ac, x4= 渠 -b+v8-4ac 5.(1)2x2-3x-1=0, 2c a=2,b=-3,c=-1, .x1·x4=1,x2·x3=1. .b2-4ac=(-3)2-4×2×(-1)=17>0. 微专题2一元二次方程的解法归纳 x=3±17 1.(1)方程(x十√3)(x-√3)=2可化为x2-3=2,即x2=5, 2X2 直接开平方，得x=士√5， =3+1 4 ,x2=3-7 4 解得x1=√5，x2=一√5. (2)x2-4x+4=12+4,(x-2)2=16, (2)移项，得6(x-1)2=54, ∴x-2=±4.x1=-2,x2=6. 方程两边同时除以6，得(x一1)2=9， (3)移项，得2y(y+2)-y-2=0, 直接开平方，得x-1=3或x-1=一3， .2y(y+2)-(y+2)=0. 解得x1=4,x2=一2. .(y+2)(2y-1)=0. (3)2(x+3)=士5(x-2). 则y+2=0或2y-1=0, 解得4=号a=亭： 1 解得y=一2，y2=2· 2.(1)将方程(2x+1)2一x2=0左边分解因式，得 6.(1)设x2=y,则原方程可变形为y2-y-6=0, (2x+1+x)(2x+1-x)=0, 解得y1=3,y2=-2. 即(3x+1)(x+1)=0, .3x十1=0或x+1=0, 当y=3时，x2=3,解得x1=√5，x2=一√3， =-了w=-1 当y=-2时，x2=-2,方程无解. 所以，原方程的解为x=√3，x2=一√5. (2)方程x(x十3)=2x十6可变形为x(x十3)=2(x十3)， (2)设x2+2x=y,则原方程可变形为y2-2y-3=0,解得 移项，得x(x十3)-2(x十3)=0， y1=3,y2=-1. 方程左边分解因式，得(x一2)(x十3)=0， 当y=-1时，x2+2x=-1, .x2=0或x十3=0， 解得x1=x2=-1. .x1=2,x2=-3. 当y=3时，x2+2x=3, (3)方程左边分解因式，得(x-2)(2x十1)=0， 解得x3=一3，x4=1. ∴.x-2=0或2x十1=0， 所以，原方程的解为1=x2=一1，x=一3，x4=1. 西=2，a=-安 阶段测评2(21.1-21.2.3) 3.(1)x2+10x=9975. 1.c2A3.D4A5D6.A7.2距号 8.士√6 x2+10x+25=9975+25,即(x+5)2=10000. 9.202210.-1或-711.1212.x1=-4,x2=-1 x+5=土100. 13.(1)x1=-5,x2=1.(2)x1=x2=3. ∴.x1=95,x2=-105, (2)将原方程整理，得 (3)x1=3,x2=2· （4)x1=3,x2=9. 一探究在线·九 14.(1)配方 方程化为x2-7x十12=0，则其另一个解为x=3, (2)x2-2x-99=0, 此时△ABC的周长为3+4+4=11. 因式分解，得(x一11)(x+9)=0, 当底边长为4时，则方程x2一(k十3)x十3k=0有两个相 .x-11=0或x+9=0, 等的实数根， 解得x1=11,x2=-9. ∴4=(k-3)2=0. 15.(1)证明：a2-4a+5=(a2-4a+4)+1=(a-2)2+1, ∴k=3,此时方程化为x2-6x十9=0. (a-2)2≥0， 方程的解为x1=x2=3, .(a-2)2+1≠0. 此时△ABC的周长为3+3+4=10. .无论a取任何实数，关于x的方程(a2一4a十5)x2十 综上所述，△ABC的周长为11或10 2a.x十4=0都是一元二次方程. 21.2.5 一元二次方程的根与系数的关系 (2)当a=2时，原方程变形为x2+4x十4=0， 基础在线 解得1=x2=-2. 1.D 16.由题意可得(2x-1)2-6x=-3, 整理，得2x2-5x十2=0， 2.(1)0 (2)7-3(3)2 a=2,b=-5,c=2, 3.C4.-85.B .b-4ac=(-5)2-4X2X2=9>0. 能力在线 x=(-5)±=5±3 6.c7. 8.10 2×2 4 解得=2,4=宁 拓展在线 9.(1)是 21.2.4一元二次方程根的判别式 (2)由题意，设方程的两根分别为t、2t. 基础在线 1.C2.C3.A4.D5.A 则1+2=6,1…2=合6=2，则c=8a, 6.(1).a=1,b=-10,c=21, (3)证明：由题意知，m≠0. .△=6-4ac=(-10)2-4×1×21=16>0. (x-2)(mx+n)=0,1=2,x2=- 方程有两个不相等的实数根 m (2)a=2,b=6√2，c=9, 当-=2X2时，n=一4m,即4m十n=0; m .△=b2-4ac=(6V2)2-4×2×9=0. .方程有两个相等的实数根。 当-品-之×2时，=一m,即m十n=0: 7.B8.19.-1(答案不唯一) .'4m2+5mn十n2=(4m+n)(m+n), 10.(1),方程有两个不相等的实数根， .4m2+5mn+n2=0. “4>0,即4=[-(m-2)]3-4×4m2>0. 微专题3一元二次方程根的判别式的应用 1.B2.C 解得m<1. 3.(1)证明：由关于x的方程x2-(k十3)x+2k十2=0，得 (2):方程有两个相等的实数根， △=[-(k+3)]2-4×1×(2k+2)=2-2k+1=(k-1)2, ∴4=0，即A=[-(m-2)]3-4×m2=0. .(k-1)2≥0，.△≥0 解得m=1. 方程总有两个实数根。 (2)关于x的方程x2-(k十3)x十2k十2=0的解是x= ∴方程可化为4x2十x十1=0.解得x=x2=-2. +1,x2=2, 11.D12.a≤1 方程有一个小于1的正根，0<k十1<1. 能力在线 .-1<k<0. 13.A14.-7+6, 4.D5.C6.B7.k≤-1 6 15.-3 8.(1)根据题意，得△=(-3)2-4k≥0， 16.(1)[-4,3]￥[2，-6]=-4×2-3×(-6)=10. (2)根据题意，得x(mx十1)一m(2x-1)=0, 解得≤ 整理，得mx2十(1-2m)x十m=0, (2)满足条件的k的最大整数为2，此时方程为x2一3x十2 ,关于x的方程[x,2x一1]米[m.x+1,m]=0有两个实 =0,解得x1=1,x2=2, 数根， 当相同的根为x=1时，把x=1代入方程(m-1)x2十x十 ,.△=(1-2m)2-4m·m≥0且m≠0， m-3=0得m-1+1+m-3=0,解得m=2; 3 解得m≤且m≠0. 当相同的根为x=2时，把x=2代入方程(m一1)x2+x+ 拓展在线 m-3=0得4(m-1)+2+m-3=0,解得m=1,而m-1 17.(1)证明：4=[-(k+3)]-4×1×3k=k2-6k十9= ≠0，不符合题意，舍去，所以m的值为号 (k-3)2, (k-3)2≥0，即△≥0， 21.3实践与探索 ∴无论k取任何实数，方程总有实数根。 第1课时 一元二次方程的应用—图形面积问题 (2)当腰长为4时，把x=4代入x2一(k十3)x十3k=0, 基础在线 得16一4k-12+3k=0,解得=4. 1.A2.C3.D4.C5.C F级数学（上）·HD 19