21.1 认识一元二次方程-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（华东师大版·新教材）

第21章 ©21.1认识 ①基础在线》 :知识要点分类练 …0 知识点1一元二次方程的定义 1.(郑州期末)下列方程是一元二次方程的是 A.x2-1=4 B.2x2-3xy=-1 C.x2+1=0 D.ax2-x+2=0 2.（商丘期末)若方程6x一2=☐是关于x的一 元二次方程，则“口”可以是 () A.-2x B.-32 C.-2y2 D.-x 知识点2一元二次方程的一般形式 3.下列一元二次方程是一般形式的是() A.x(x-5)=0 B.5x2-1=4x C.2x2-x+1=0 D.4x2=81 4.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并 写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)(x-5)2=36; (2)3y(y+1)=2(y+1). 知识点3一元二次方程的解 5.已知一元二次方程有一个根是2，那么这个方 程可以是 (填上一个 符合条件的方程即可). 17探究在线九年级数学（上）·HD 元二次方程 元二次方程 6.如果a是一元二次方程2x2=6x一4的根，则 代数式a2-3a+2026的值为 () A.2023 B.2024 C.2025 D.2026 7.已知方程x2+bx十a=0有一个根是-a(a≠ 0),则下列代数式的值恒为1的是() A.b-a B.a-b C.a+b D.ab 知识点4根据实际问题列一元二次方程 8.（中考·辽宁)中国古代数学家杨辉的《田亩比 类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步， 只云长阔共六十步，问长多阔几何.”其大意 是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知 道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少 步？设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方 程为 () A.x(60-x)=864 B.x(x-60)=864 C.x(60+x)=864 D.2[x+(x+60)]=864 9.(中考·广东)广东省统计局的相关数据显示， 近年来高技术制造业呈现快速增长态势.某公 司工业机器人在今年5月产值达到2500万 元，预计7月产值将增至9100万元.设该公司 6,7两个月产值的月均增长率为x,可列出的 方程为 () A.2500(1+x)2=9100 B.2500(1-x)2=9100 C.2500(1-2x)2=9100 D.2500(1+2x)2=9100 10.已知两个连续正整数的积为182，设较小的正 整数为x,则可列方程为 将其化成一般形式为 易错点忽略二次项系数不为0而出错 11.关于x的方程(k一3)x-1+5x一3=0是一 元二次方程，则的值为 2 能力在线》方法规律猴合练】 12.若方程(a-b)x2十(b-c)x十(c-a)=0是关 于x的一元二次方程，则必有 () A.a=b=c B.一根为1 C.一根为一1 D.以上都不对 13.若a是方程x2+x-1=0的一个根，则a3十 2a2+2024的值为 ( A.2025 B.-2025 C.2024 D.-2024 14.定义：如果一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠ 0)满足a十b十c=0,那么我们称这个方程为 “和谐”方程；如果一元二次方程ax2十bx十c =0(a≠0)满足a一b十c=0,那么我们称这个 方程为“美好”方程.如果一个一元二次方程 2x2十mx十n=0既是“和谐”方程又是“美好” 方程，则mn的值为 () A.2B.0 C.-2 D.3 15.将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸 样如图所示.利用容积列出图中x(cm)满足 的一元二次方程： (不 必化简). -20cm x 16.一元二次方程a(x十1)2+b(x+1)+c=0化 成一般形式后为3.x2十2x-1=0,试求a、b、c 的值. 17.将进价为40元的商品按50元出售时，能卖 掉500个，已知该商品每涨价1元，其销量就 减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为 多少？设每个商品售价定为x元(x>50),列 出方程，化为一般形式，不求解. 3拓展在线》培优我尖提升练 18.已知方程(m-2)xm-2+(m+1)x+3m-1=0. (1)如果方程是关于x的一元二次方程，试确 定m的值，并指出二次项系数、一次项系数 和常数项； (2)如果方程是关于x的一元一次方程，试确 定m的值. 第21章18(2):圆形团扇半径为20y丘cm,正方形团扇的边长为20m, 5.x2=4(答案不唯一)6.B7.A8.A9.A 10.x(x+1)=182x2+x-182=011.-1 ∴.圆形团扇的周长为40√π，正方形团扇的周长为80cm. 能力在线 40√元<40√4=80，.40√斤<80. 12.B13.A14.B15.15x(10-x)=360 ∴圆形团扇所用的包边长度更短. 16.整理a(x十1)2十b(x+1)十c=0,得a.x2+(2a十b)x十(a +b+c)=0, 3.1依题意，(9-25）10-25)=10-405+12= a=3, a=3, (112-40√3)dm2, 则{2a十b=2, 解得b=一4， ∴.裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积为(112一 (a+b+c=-1. c=0. 17.根据题意，得 40√5)dm2. (x-40)[500-10(x-50)]=8000. (2)四个直角处的小正方形边长为号(10-42)=(5- 化为一般形式为 -10x2+1400x-48000=0(或10x2-1400x+48000=0). 2√2)dm, 拓展在线 无盖长方体铁箱的宽为4√2dm, 长为2[20-42-2×(5-22)]=5dm, 18.()由题意，得二2m=4,代人已知方程，得 2x2+5x十11=0. 裁剪焊接成的一个无盖长方体铁箱的体积为(5一2√2)× ∴.二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11， 4√2×5=(100√2-80)dm3. (2)若方程是关于x的一元一次方程，则m的取值应分 (3)欣欣. 单元综合复习（一）二次根式 以下两种情况：①，②+1≠。 m+1≠-1：9 热门考点突破 ∴.m=3或m=2. 1.C2.x≥-1且x≠33.A4.A5.二或三6.D 21.2一元二次方程的解法 7.D8.C9.A10.B11.A12.A 21.2.1直接开平方法和因式分解法 13.3314.215.216.217.5+0 第1课时直接开平方法 2 基础在线 18.(1)原式=3V2+5 -1=8-1=7. 1.x1=1,x2=-12.C √2 3.(1).x2-3=5,.x2=8..x=±2√2. (2)原式=(103-4√3)÷√3一√7+2√7 ∴x1=2√2，x2=-2√2. =6-√7+2√7=6+√7. (2)-0.5x2+2=0,.-0.5x2=-2. (3)原式=72-(4√3)2-(45-6√5+1) .x2=4..x=士2.∴.x1=2,x2=-2. =49-48-46+6√5=6V5-45. 4.根据题意，得3x2-8=2x2-1, 19.(1),a=2-√3，b=2+√3， 整理，得x2=7,所以x1=√7，x2=一√7. .a+b=2-√5+2+√5=4： 所以当x=√7或一√7时，代数式3x2一8与2x2-1的值相等. a-b=(2-V3)-(2+√3)=2-√3-2-√3=-2W3. 5.D6.D (2)由(1)知，a+b=4,a-b=-2√3， 7.(1)(x+1)2=25,.x+1=±5. ∴.(a+b)2-6a+6b-9=(a+b)2-6(a-b)-9 .x1=4,x2=-6. =42-6×(-2√3)-9=16+12√5-9=7+12√3. (2)(3x-1)2=36,.3x-1=±6. 核心素养提升 =a= 20. 8.一4或6 (2)①84 能力在线 ②AD⊥BC,BC=14, 9.D10.6+√311.2或-412.813.x1=0,x2=4 14.由题意，得a-2≥0,4-2a≥0，解得a=2, 2X14×AD=84.AD=12. .b=-3. 又.AC=15,∠ADC=90°， 关于x的一元二次方程ax2+十bz+c=0(a≠0)的一个 ∴.CD=√AC-AD=√152-122=9. 根是1， 第21章一元二次方程 .a+b+c=0.∴c=1. 21.1认识一元二次方程 则方程为少-1=0， 基础在线 整理，得y2=4,=2,2=-2. 1.C2.A3.C 4.(1)一元二次方程(x-5)2=36的一般形式是： 15.:ar2=b(ab>0),.x=±V0 b x2-10x-11=0, 方程的两个根互为相反数. 二次项系数是1，一次项系数是一10，常数项是-11. ∴.(m+1)+(2m-4)=0..m=1. (2)一元二次方程3y(y+1)=2(y十1)的一般形式是： ∴.x1=m+1=2,x2=2m-4=-2, 3y2+y-2=0, 二次项系数是3，一次项系数是1，常数项是一2. =2=4 a 18 / 探究在线·九年 拓展在线 16.±2 7.(1)方程变形，得x2十x=2 1 17.原方程变形成[(x+3)-2][(x+3)+2]=12, .(x+3)2-22=12..(x+3)2=16. 配方，得++=即(+)=， 方程两边同时开平方，得x十3=士4， 解得x1=1,x2=一7. 开方：得+ 第2课时因式分解法 解得x=一 1+3 13 2 +=-2- 基础在线 1.B (2方程变形，得2十号=1， 2.2x+5=02x-5=01=-5, 5 2x2=2 因式分解法 配方，得2+号x+(兮)‘=1+（行）》广 3.D4.x1=4,x2=0 5.(1D=0,4=14、(2)=3,=g 即(x+)'-吕， (3)m=-7a=2 开方，得x+号=士， 3 6.2y2y-32y-3-号号7.z-2x-22 =-1+10 3 81m=-专-手(2)== 4 1 x2=-1-10 3 或写成，=-1+而)】 3 9.小敏和小霞的解法均是错误的. 正确的解答如下： 8.③右边没有加上1五=-1+5 x=-1-6 移项，得3(x一3)一(x一3)2=0， 能力在线 提取公因式，得(x-3)(3-x十3)=0. 9.D10.D11.-512.2113.3 则x一3=0或3一x十3=0， 解得x1=3,x2=6. 14.1)=7,,=-5.(2)x=57,=5,7 2 能力在线 15.方程变形为(a2+2)2-2(a2+b2)+1-1-15=0, 10.A11.D12.C13.C14.0或-4 (a2+b2-1)2=16, 15.(1)方程可变形为2x(x-2)十5(x-2)=0, a2+b2=5或a2十b=-3(不合题意，舍去)， 方程左边分解因式，得(x-2)(2x十5)=0， 即c2=a2+b=5, x-2=0或2x十5=0，解得x1=2,x2=- 5 .c=√5. 2 拓展在线 (2)方程变形为x2-2√3x十3=0. 16.(1)x1=x2=1x1=1,x2=2x1=1,x2=3 即(x-√3)2=0，x1=x2=√3. (2)x1=1,x2=8x2-(1+n)x+n=0 (3)3x3-12x2+12x=0可化为3x(x2-4x+4)=0, 方程左边分解因式，得3x(x一2)2=0， (3)2-9x+8=0,x2-9x=-8,x-9x+81=-8+8 4 41 ∴.3x=0或(x-2)2=0,.x1=0,x2=x3=2. 16.(1)24 (号)广-想x-是-± (2)把-4分解成1×(-4)，且1+(-4)=-3. .x1=1,2=8.猜想正确. .x2-3x-4=(x十1)(x-4)=0. 21.2.3公式法 .x十1=0或x-4=0,解得x1=-1,x2=4. 基础在线 拓展在线 1.A2.C 17.1或-1 3.(1),b-4ac=(-1)2-4×3×(-1)=1+12=13>0, 21.2.2配方法 x=1±3 基础在线 6 1.12(22x(3)号号 =1+压，，=1 6 6 2.2(x-1)2-73.C4.C (2)整理，得2x2-7x-6=0, 5.(1)x2+4x+4-4-6=0, -4ac=(-7)2-4×2X(-6)=49+48=97>0, (x+2)2-10=0, x=7±97 x=-2士√10， 4 ∴.x1=-2-√10，x2=-2+√/10. a=7+7 4 r-8+品-6-1=0 4.D5.(1)①(2)②(3)④⑥(4)③⑤ (-广-=0x-± 6.(1)(x-3)2=4, ∴.x-3=2或x-3=-2. a=2a=- 解得x1=5,x2=1. (2)x2-2x=4,x2-2x+1=4+1, 6.C (x-1)2=5, 级数学（上）·HD