河南省叶县高级中学2026-2027学年高一上学期开学摸底考试数学试题

**基本信息** 立足初高中衔接，以汽车摩擦系数函数关系、公司利润建模等现实情境，通过分层设计考查数学抽象、推理与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算、命题否定、函数定义域|第2题结合车速与摩擦系数图像考查函数性质，体现数学眼光| |多选|3/18|集合关系、不等式性质、幂函数|第11题通过幂函数图像过点求解析式并判断奇偶性与单调性，考查数学思维| |填空|3/15|归纳推理、最值问题|第13题利用基本不等式求最值，第12题通过观察式子规律培养抽象能力| |解答|5/77|函数解析式、单调性证明、利润函数建模|第17题以公司生产为背景构建利润函数并求最值，第19题用定义法判断单调性，突出数学语言表达与应用意识|

河南省叶县高中2026-2027学年高一上学期开学摸底考试 数学试题 （考试范围：初中数学4题，其余是人教A版必修一前三章） 考试时间：120分钟 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：一元二次方程， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 2．汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（   ） A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D．若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 【答案】C 【分析】本题考查了利用函数图象获取信息，正确理解函数图象是解题关键．根据某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系图，逐项判断即可． 【详解】解：A、由图象可知，当时，，即汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为，原说法正确，不符合题意； B、由图象可知，当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，原说法正确，不符合题意； C、要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不高于，原说法错误，符合题意； D、由图象可知，当时，；当时，，即车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小，原说法正确，不符合题意； 故选：C 3.已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据集合间的并集定义计算可得结果。 【详解】由，解得，因为，所以， 故选：C. 4．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用存在量词命题的否定可得出结论. 【详解】命题“”为存在量词命题，该命题的否定为“”. 故选：D. 5．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】直接根据充分必要条件的定义判断可得结果. 【详解】由“”可得出“”或“”，所以由“”推不出“”， 而由“”能推出“”，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 6．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解一元二次不等式可得函数定义域. 【详解】要使函数有意义， 则，解得或， 所以函数的定义域为， 故选：D 7．已知函数，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据给定的分段函数，分段判断代入计算即得. 【详解】函数，所以. 故选：C 8．已知函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递减，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性和单调性比较大小即可逐项判断． 【详解】函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递减， ，故A错误； ，又，即，故B正确； ，故C，D错误. 故选：B． 二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知集合，则下列说法正确的是（    ） A．不存在实数a，使得 B．存在实数a，使得 C．当时， D．当时， 【答案】AC 【分析】根据已知条件，利用集合相等或包含关系的条件，分别研究各选项，从而做出正确选择． 【详解】选项A，由相等集合的概念可得此方程组无解，故不存在实数a，使得集合，因此A正确； 选项B，由，得即此不等式组无解，因此B错误； 选项C，当时，得为空集，满足，因此C正确； 选项D，当，即时，，符合， 当时，要使，需满足解得，不满足， 故这样的实数a不存在，因此D错误． 故选：AC. 10．如果，那么下面不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】举反例可排除AB，根据二次函数的性质可判断C，利用基本不等式可判断D. 【详解】不妨令，，，可排除A与B； 对于C，因为函数在上单调递减，且，所以，C正确； 对于D，，由基本不等式“”，得,D正确. 11．已知幂函数的图象过点，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上为减函数 D．在上为减函数 【答案】AD 【分析】利用幂函数定义即过点可得，再根据函数奇偶性定义即可判断是偶函数，由幂函数单调性即可判断D正确. 【详解】根据幂函数定义可得，解得； 又因为图象过点，所以可得，即； 易知函数的定义域为，且满足， 所以是偶函数，故A正确，B错误； 由幂函数性质可得，当时，为单调递减，再根据偶函数性质可得在上为增函数；故C错误，D正确. 故选：AD 三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15 分 12.观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为______________． 【答案】 【分析】本题是单项式规律题，根据给出的单项式发现一般规律是解题关键．分析已知式子，得到第个式子为，即可得到答案． 【详解】解：第1个式子：， 第2个式子：， 第3个式子：， 第4个式子：， …… 观察发现，第个式子为， 故答案为： 13.已知，则的最小值为______. 【答案】4 【分析】利用基本不等式计算即可. 【详解】由题意可知， 当且仅当，即时取得等号. 故答案为：4 14．函数在区间上的最大值为_______. 【答案】 【分析】根据二次函数的单调性，结合最大值的定义进行求解即可. 【详解】，该二次函数的对称轴为，且开口向上， 所以该二次函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因为， 所以， 因此该二次函数在区间上的最大值为. 故答案为： 四、解答题:本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 15.（本题满分13分）(1)计算：； (2)化简：． 【答案】(1)0； (2)1 【分析】（1）首先计算立方根，零指数幂和二次根式的乘法，然后计算加减； （2）首先计算完全平方公式，单项式乘以多项式，然后计算加减． 【详解】（1）解：（1） ； （2）（2） ． 16.（本题满分15分）设集合，，全集． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)． 【详解】解：（1）解法1  易知，所以．又，且，所以，解得，故实数的取值范围是． 解法2  由，知，又，，所以，解得，故实数的取值范围是． （2）因为，，，所以，解得，故实数的取值范围是． （3）因为，或，，所以，解得，故实数的取值范围是． 17． （本题满分15分）某公司生产某种电子仪器的固定成本为72万元，生产台的可变成本为万元.且，每台的销售价格为50万元，设总利润＝销售额－成本. (1)将总利润（单位；万元）表示为月产量的函数； (2)生产几台时，公司所获得的总利润最大？ (3)生产几台时，公司所获得的平均每台的利润最大？ 【答案】(1) (2)当生产10台时，公司所获得的总利润最大 (3)生产6台时，公司所获得的平均每台的利润最大 【分析】（1）根据题意可得，代入运算即可； （2）根据（1）中解析式，结合二次函数运算求解； （3）整理可得，结合基本不等式运算求解. 【详解】（1）由题意可知：. （2）因为，当且仅当时，等号成立 所以当生产10台时，公司所获得的总利润最大. （3）因为每台的平均利润为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以生产6台时，公司所获得的平均每台的利润最大. 18.（本题满分17分）(1)已知，求的解析式； (2)已知，求的解析式． (3)已知函数是二次函数，且满足，，求的解析式． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据题意利用换元法分析运算求解； （2）根据题意利用构建方程组法运算求解； （3）根据题意利用待定系数法运算求解. 【详解】（1）已知，令 ，则， 所以， 即. （2）因为，所以， 即 ，解得. （3）函数是二次函数，设， ∵，∴， 又∵，∴， 整理，得， 由恒等式的性质知，上式中对应项的系数相等， ∴，解得，∴. 19.（本题满分17分）已知函数. (1)判断的奇偶性； (2)若，用定义法判断在的单调性. 【答案】(1)奇函数 (2)单调递减 【分析】(1)用函数奇偶性的定义可判断. (2)根据单调性的定义判断并证明即可. 【详解】（1）由题意知：的定义域为，定义域关于原点对称， 为定义在上的奇函数. （2）在上单调递减.证明如下： 任取， ，且 ，即. 在上单调递减.. 答案第12页，共15页 答案第1页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省叶县高中2026-2027学年高一上学期开学摸底考试 数学试题 （考试范围：初中数学4题，其余是人教A版必修一前三章） 考试时间：120分钟 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（   ） A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D．若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 3.已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 5．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，则（    ） A． B． C．2 D． 8．已知函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递减，则（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知集合，则下列说法正确的是（    ） A．不存在实数a，使得 B．存在实数a，使得 C．当时， D．当时， 10．如果，那么下面不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 11．已知幂函数的图象过点，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上为减函数 D．在上为减函数 三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15 分 12.观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为______________． 13.已知，则的最小值为______. 14．函数在区间上的最大值为_______. 四、解答题:本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 15.（本题满分13分）(1)计算：； (2)化简：． 16.（本题满分15分）设集合，，全集． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 17． （本题满分15分）某公司生产某种电子仪器的固定成本为72万元，生产台的可变成本为万元.且，每台的销售价格为50万元，设总利润＝销售额－成本. (1)将总利润（单位；万元）表示为月产量的函数； (2)生产几台时，公司所获得的总利润最大？ (3)生产几台时，公司所获得的平均每台的利润最大？ 18.（本题满分17分）(1)已知，求的解析式； (2)已知，求的解析式． (3)已知函数是二次函数，且满足，，求的解析式． 19.（本题满分17分）已知函数. (1)判断的奇偶性； (2)若，用定义法判断在的单调性. 答案第12页，共15页 答案第1页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $