云南文山州马关县第一中学2023-2024学年高一下学期第三次月考数学试卷

马关县第一中学2024年春季学期高一年级第三次月考试卷 数学 本试卷分第I卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页， 第Ⅱ卷第3页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试 用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答 题卡上填写清楚 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效， 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分在每小题给出的选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1.已知全集U=x∈Z|-3≤x<3},集合A={-2,0,2},B={-1,0},则C(AUB)= A.{-3,1 B.{-3,3 C.{-3,1,3} D.⑦ 2.在复平面内，复数z满足iz=3-4i,则x的虚部为 A.3i B.-3i C.3 D.-3 3.要调查下列问题，适合采用全面调查（普查)的是 A.某城市居民3月份人均网上购物的次数 B.某品牌新能源汽车最大续航里程 C.检测一批灯泡的使用寿命 D.调查一个班级学生每周的体育锻炼时间 4.经调查，在某商场扫码支付的老年人、中年人、青年人的比例为2：3：6，取了一个 容量为n的样本进行调查，其中中年人的人数为12，则n= A.36 B.44 C.56 D.64 5.设x∈R,则“x>2”是“ln(x-2)<1”的（)条件. A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要 6.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设A={2名全是男生}，B=2 名全是女生}，C={恰有一名男生}，D={至少有一名男生}，则下列关系不正确的是 A.ACD B.B∩D=⑦ C.AUC=D D.AUB=BUD 高一数学MG·第1页（共6页） 7若a=iml,6=lg(tm1),e=,则 A.c<b<a B.b<a<c C.b<c<a D.a<c<b 在△4BC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若AT,且△ABC外接圆的 径为4，则△ABC面积的最大值是 A.√2-1 B.√2+1 C.22-2 D.2√2+2 二、多项选择题（本大题共3小题，每个小题6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知复数z满足z(1-i)=2,则 A.|z|=√2 B.=1-i C.z2=2+2i D.z·2=2 10.某校抽取了某班20名学生的数学成绩，并将他们的成绩制成如下所示的表格。 成绩 80 95 100 105 110 115 123 人数 3 5 X 2 1 下列结论正确的是 A.这20人成绩的众数为105 B.这20人成绩的极差为43 C.这20人成绩的25%分位数为95 D.这20人成绩的平均数为97 11.已知函数f(x)=Asin(ox+p)(A>0,w>0,0<p<π)的部分图象如图1所示，令g(x) =)-2小+1，则下列说法正确的有 A.f(x)的最小正周期为π Bg()的图象关于直线x=石对称 Cg(x)在0，引上的值域为-1，] 图1 D&()的单调递塔区间为k+m+】 5π1 (kEZ) 高一数学MG·第2页（共6页） 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.在△ABC中，内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,已知acosB=bsinA,则角 B=；若a=√2，c=3,则b= 13.同时抛掷两颗骰子，得到点数分别为a,b,则|a-b|≤3的概率是 14.如图2，若圆台的上、下底面半径分别为r1,2,且r12=3,则此圆台的内切球（与 圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球)的表面积为 0 01 B 图2 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分)》 已知|元|=1,1元1=2，元与元的夹角是60°. (I)计算m·n,|m+n; (Ⅱ)求m+n与m的夹角的余弦值， 高一数学MG·第3页（共6页） 16.（本小题满分15分) 如图3，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，∠BAD=胥，BD=DE=2BF=2, DE⊥AC,BF∥DE. (I)求证：平面ACF⊥平面BDEF; （Ⅱ)当BF⊥CD时，求三棱锥D-ACF的体积 D 图3 17.（本小题满分15分) 对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M名学生，得到这M 名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出如下频率分布表和频率分布直方图如 图4. 分组 频数 频率 [10,15) 10 0.20 [15,20) 24 n [20,25) m p [25,30] 2 0.04 合计 M 1 高一数学MG·第4页（共6页） (I)求出表中M,p及图中a的值； (Ⅱ)若该校有高三学生300人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间 [15,20)内的人数； (Ⅲ)估计该校高三学生参加社区服务次数的众数、中位数及平均数.（保留一位小数） 「频率 组距 0八015202530次数 图4 18.(本小题满分17分) 已知命题：“3x∈x-1<x<1},使等式4x2-x-m=0成立”是真命题 (I)求实数m的取值集合M; (Ⅱ)设不等式(x-a)(x+a-2)<0的解集为N,若x∈N是x∈M的必要条件，求a的 取值范围 高一数学MG·第5页（共6页） 19.(本小题满分17分) 如图5，在三棱柱ABC-AB,C,中，CA⊥CB,D为AB的中点，CA=CB=2,CC1=3. (I)求证：AC,∥平面B,CD; (Ⅱ)若CC1⊥平面ABC,点P在棱AA,上，且PD⊥平面B,CD,求直线CP与平面 B,CD所成角的正弦值： D B 图5 高一数学MG·第6页（共6页） 马关县第一中学2024年春季学期高一年级第三次月考试卷 数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D D B B D C C 【解析】 1．因为{−3，−2，−1，0，1，2}，{−2，0，2}，{−1，0}，所以A∪{−2，−1，0，2}，{−3，1}，故选A． 2．因为复数 z 满足 iz=3−4i，所以，所以 z 的虚部为−3，故选D． 3．A，B选项中要调查的总体数量和工作量都较大，适合采用抽查；C选项的检测具有毁损性，适合抽查；D选项要调查的总体数量较小，工作量较小，适合采用普查，故选D． 4．由题意可知，，解得，故选B． 5．由，得到，即，所以时，能得出，当时，不妨取，此时，故时，得不出，所以是“”是的必要不充分条件，故选B． 6．至少有1名男生包含2名全是男生､1名男生1名女生，故，，故A，C正确；事件B与D是互斥事件，故，故B正确；表示的是2名全是男生或2名全是女生，表示2名全是女生或名至少有一名男生，故，D错误，故选D． 7．因为，所以，因为，所以，即，综上，，故选C． 8．由于，且外接圆的直径为4，所以．由余弦定理得， ，则，故选C． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 题号 9 10 11 答案 ABD AB ACD 【解析】 9．由z(1−i)=2，得，∴，，，，故选ABD． 10．根据表格可知：这20人成绩的众数为105，故A对；极差为故B对；，所以分位数为，故C错；平均数为，故D错，故选AB． 11．对于函数，由图可知 ，则，所以，又，所以，解得，又，所以；则，所以 ．对于A：的最小正周期为，A 正确；对于B：对于，令，得的对称轴方程为，B错误；对于C：当时，，所以，即在上的值域为，C正确；对于D：令，解得，即的单调递增区间为，D正确，故选ACD． 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 ； 12 【解析】 12．在△ABC中，由正弦定理得，因为0＜A＜π，所以sinA≠0，所以tanB=1，又因为0＜B＜π，所以；在△ABC中，由余弦定理得b2=a2+c2−2accosB，代入数据解得，所以． 13．同时抛掷两枚骰子共有种结果，其中满足有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共30种结果，所以的概率为． 14．∵半径为R的球与圆台的上下底面和侧面都相切，∴切线长定理易得圆台母线长l=r1+r2，由勾股定理知(2R)2=(r1+r2)2−(r1−r2)2，解得，∴它的内切球的表面积为． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为||=1，||=2，与的夹角是60°， 所以，………………………………………（3分） ． ……………………（6分） （Ⅱ）因为， …………………………（9分） 设和的夹角为θ， 则． ……………………………………（12分） 即与的夹角的余弦值为． ………………………………（13分） 16．（本小题满分15分） （Ⅰ）证明：∵底面四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD， ……………………………………………（2分） 又DE⊥AC，，且BD，DE⊂平面BDEF， ∴AC⊥平面BDEF， ……………………………………………（5分） 又AC⊂平面ACF， ∴平面ACF⊥平面BDEF． ……………………………………………（7分） （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知AC⊥平面BDEF， ………………………………（8分） 又BF⊂平面BDEF，∴BF⊥AC， ……………………………………………（9分） 又BF⊥CD，AC∩，且AC，CD⊂平面ABCD， ∴BF⊥平面ABCD， ……………………………………………（11分） ∵四边形ABCD为菱形，，， ∴，，， ……………………………………………（13分） ∴三棱锥D−ACF的体积为 ． …………………………（15分） 17．（本小题满分15分） 解：（Ⅰ）由分组[10，15）对应的频数是10，频率是0.20， 可得，解得， ……………………………………………（2分） 所以，解得， ……………………………………………（4分） 所以，． ……………………………（6分） （Ⅱ）估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[15，20）内的人数为． ……………………………………………（9分） （Ⅲ）估计该校高三学生参加社区服务次数的众数是， ……………………………………………（11分） 因为， 所以估计该校高三学生参加社区服务次数的中位数x满足， 解得， 即该校高三学生参加社区服务次数的中位数约为18.1， ………………………（13分） 估计该校高三学生参加社区服务次数的平均数是 ． ……………………………………（15分） 18．（本小题满分17分） 解：（Ⅰ）由题意，方程在上有解， 令，只需在值域内， …………………………（3分） 易知值域为， 的取值集合为． ………………………（6分） （Ⅱ）由题意，，显然不为空集． ①当，即时，， …………………………（10分） ②当，即时，，不合题意舍去； …………………………（11分） ③当，即时，. ……………………………（15分） . …………………………………………（17分） 19．（本小题满分17分） （Ⅰ）证明：如图，连接BC1，交B1C于点E，连接DE， ∵D为AB的中点，平行四边形BB1C1C中，E为BC1的中点， ∴DE是△ABC1的中位线，可得AC1∥DE， ………………………………（3分） ∵平面B1CD，DE⊂平面B1CD， ∴AC1∥平面B1CD．    …………………………………（6分） （Ⅱ）解：∵CC1⊥平面ABC， ∴三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱， ……………………………………………（7分） ∵△ABC中，CA⊥CB，D为AB的中点，， ∴， ∴Rt△B1BD中，， …………………………（9分） ∵PD⊥平面B1CD，B1D⊂平面B1CD， ∴PD⊥B1D， ……………………………………………（10分） ∴矩形AA1B1B中，Rt△PAD∽Rt△DBB1， 可得，即，解得． ……………………（12分） ∵PD⊥平面B1CD，CD为CP在平面B1CD内的射影， ∴∠PCD是直线CP与平面B1CD的所成角， ……………………………（14分） ∵Rt△PCD中，， ∴， ……………………………………………（16分） 即直线CP与平面B1CD所成角的正弦值等于． ………………………（17分） 高一数学MG参考答案·第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $马关县第一中学2024年春季学期高一年级第三次月芳试卷 数学参考答案 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 题号 1 2 3 4 6 7 8 答案 A D 0 心 B D 【解析】 1.因为U={-3,-2,-1,0,1,2,A={-2,0,2},B={-1,0},所以AUB={-2,-1, 0,2},Cu(AUB)={-3,1},故选A. 2.因为复数z满足3-4i,所以？=3-i-4-3i,所以z的虚部为-3，故选D. 3.A,B选项中要调查的总体数量和工作量都较大，适合采用抽查；C选项的检测具有毁损 性，适合抽查；D选项要调查的总体数量较小，工作量较小，适合采用普查，故选D, 4.由愿意可知，m×2-6-12,解得n=44,故选B. 5.由h(x-2)<1,得到0<x-2<e,即2<x<e+2,所以h(x-2)<1时，能得出x>2,当 x>2时，不妨取x=e3+2,此时n(x-2)=lne3=3>1,故x>2时，得不出h(x-2)<1, 所以是“x>2”是ln(x-2)<1的必要不充分条件，故选B 6.至少有1名男生包含2名全是男生、1名男生1名女生，故A≤D,AUC=D,故A,C 正确；事件B与D是互斥事件，故B∩D=⑦，故B正确；AUB表示的是2名全是男生 或2名全是女生，BUD表示2名全是女生或名至少有一名男生，故AUB≠BUD,D错 误，故选D. 7.因为mlm爱}，所以a>c,因为tml<m子5，所以etam<g5<g而-名 即b<c,综上，b<c<a,故选C. 8.由于A-孤，且△ABC外接圆的直径为4，所以a=2Rs4=4×5-22.由余弦定理 4 2 高一数学MG参考答案·第1页（共6页） 得a=8=6+c2-2ccos4=i+c2+V5c,bc≤8-4N2,则S-5bc≤25-2，故 选C. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 10 11 答案 ABD AB ACD 【解析】 g由02得2名21+1，非2，=1i,=2,28=2,故一 选ABD. 10.根据表格可知：这20人成绩的众数为105，故A对；极差为123-80=43，故B对； 又20×25%=5，所以25%分位数为1(95+10)=97.5，故C错；平均数为 80×2+95×3+100×3+105×5+110×4+115×2+123=103.15,故D错，故选AB. 20 1.对于对数=4na+p40a>a0<<动，白图可知A=5沿-写到 3r= 3.2π ，则o=2，所以f(w)=3sin(2x+g0<p<)， 又 4 40 f)5m2设95，所以2设+p=+版ez,解得 12 p=- +2瓶kez,又0<0<元，所以p-:则)-=5m2x+）,所以 3 e0=ma+-2mg141-m2t9og2-w2xs2i 2 n2x=o2x+写 3 对于A:f)的最小正周期为2T=,A正确：对于B:对 2 于g(x),令2x+二=m,keZ,，得g(x)的对称轴方程为x=π-(k∈Z,B错误；对 3 26 于当02所以-mx}即gw在 2 高一数学MG参考答案·第2页（共6页） 的值域为 C正确：对于D:令元+2k≤2x+L≤2π+2，keZ,解得 3 流≤区+血，kEZ,即⑧的单调递增区间为低+S血士石k☑，D正确 6 3 故选ACD, 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 京啊 5 6 12元 【解析】 12.在△ABC中，由正弦定理得sinAcosB=sinBsinA,因为0<A<兀，所以sinA0,所以tanB=1, 又因为0<B<π，所以B=亚 4:在△1BC中，由余弦定理得-ate2-2 accosB,代入数据 解得6=2+9-2×N2×3x5-5,所以6=5. 2 13.同时抛掷两枚骰子共有6×6=36种结果，其中满足a-b≤3有：4,1)，(2,2)，(3,3)， (4,4),5,5),(6,6),1,2),(2,1),(2,3)，(3,2),(3,4④，(4,3)，(45)，(5,4)， (5,,(6,5),1,3),3,1),(2,4),(4,2),(3,5),5,3),(4,6),(64④，4,4)， (2,),3,可，4)，(5,2)，6》，共30种结果，所以1a-b1≤3的概率为30= 366 14.,半径为R的球与圆台的上下底面和侧面都相切，∴.切线长定理易得圆台母线长1+r, 由勾股定理知(2R)=(1+)2-1-),解得R=V乃=√3，.它的内切球的表面积为 4π(W5)2=12π. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 解：（I)因为m=1,1n=2,m与n的夹角是60°， 所以m.n=mn川cos<m,>=1×2x=1,…(3分) 2 m+ny72+2.n+z=V1+2x1+4=√万 …(6分) 高一数学MG参考答案·第3页（共6页） (Ⅱ)因为(m+).m=m+.n=1+1=2, …（9分) 设m+n和的夹角为0， 则cos6=0m+0·m.2_2√万 …(12分) 1m+nllm√7x17 即m+与m的夹角的余弦值为2 …(13分) 7 16.(本小题满分15分) (I)证明：，底面四边形ABCD为菱形， AC⊥BD: …(2分) 又DE⊥AC,BD∩DE=D,且BD,DEC平面BDEF, ..AC⊥平面BDEF, …(（5分) 又ACC平面ACF, ∴.平面ACF⊥平面BDEF …（7分) (IⅡ)解：由(I)可知AC⊥平面BDEF, …(8分) 又BFC平面BDEF,∴，BF⊥AC, (9分) 又BF⊥CD,AC∩CD=C,且AC,CDC平面ABCD, ,BF⊥平面ABCD, …（11分) :四边形ABCD为菱形，∠BAD=汇，BD=DE=2BF=2, 3 ∴.BF=1,AC=2W3,BD=2, …(13分) ∴.三棱锥D-ACF的体积为VD-Acs=V,-AcD =3xSam×BF=}x3×2V5x1x1=5 1 11 (15分) 3 32 3 17.(本小题满分15分) 解：(I)由分组[10,15)对应的频数是10，频率是0.20， 可得10=0.20，解得M=50, M …（2分) 所以10+24+m+2=50,解得m=14, …(4分) 所以p="=14 24 =0.28,a= =0.096. …（6分) M50 50×5 高一数学MG参考答案·第4页（共6页） (Ⅱ)估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[15,20)内的人数为24×300=14. 50 …(9分) (Ⅲ)估计该校高三学生参加社区服务次数的众数是15+20 17.5, 2 …（11分) 因为n=24=0.48, 50 所以估计该校高三学生参加社区服务次数的中位数x满足0.2+(x-15)x048=05, 5 解得x=18.125, 即该校高三学生参加社区服务次数的中位数约为18.1， …(13分) 估计该校高三学生参加社区服务次数的平均数是 12.5×0.20+17.5×0.48+22.5×0.28+27.5×0.04=18.3. …(15分) 18.(本小题满分17分) 解：(I)由题意，方程m=4x2-x在(1,1)上有解， 令f(x)=4x2-x(-1<x<1),只需m在f(x)值域内， …(3分) 易知f(x)值域为 ,的取值集合为M= 1≤m<5 …（6分) 16 (Ⅱ)由题意，M≤N,显然N不为空集. ①当a>2-a,即a>1时，N=(2-4,a, 1 2-a<- 16 a≥5 ，∴.a≥5： …(10分) a>1 ②当a=2-a,即a=1时，N=②，不合题意舍去： …(11分) ③当a<2-a,即a<1时，N=(42-a. 高一数学MG参考答案·第5页（共6页） [2-a≥5 1 a<- ,.a≤-3， …(15分) 16 a<1 ∴.a≥5或a≤-3 (17分) 19.(本小题满分17分) (I)证明：如图，连接BC1,交B1C于点E,连接DE, ,D为AB的中点，平行四边形BB1C1C中，E为BC1的中点， .DE是△ABC1的中位线，可得AC1∥DE …(3分) ,AC1文平面B1CD,DEC平面B1CD, AC1∥平面B1CD. ……(6分) (I)解：，CC1⊥平面ABC, ,三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱， …（7分) ,△ABC中，CA⊥CB,D为AB的中点，CA=CB=2, .BD-CD=AD=-AB-2, Rt△B1BD中，B,D=VBB+BD2=V1, …(9分) ,PDL平面B1CD,B1DC平面B1CD, ,PD⊥B1D, (10分) ∴.矩形AA1B1B中，Rt△PAD∽Rt△DBB1, 可得0P,即D5,解得PD-2园 …（12分) BD BB 13 ,PD⊥平面B1CD,CD为CP在平面B1CD内的射影， .∠PCD是直线CP与平面B1CD的所成角， …(14分) .Rt△PCD中，PC=VPD+CD2= 2+2-2 3 √22 '.sin∠PCD= PD 3 V55 …(16分) PC 2W10 10 3 即直线CP与平面B1CD所成角的正弦值等于 V55 (17分) 10 高一数学MG参考答案·第6页（共6页）