精品解析：云南昆明市安宁市第一中学2025-2026学年高一下学期6月月考数学试卷

2025-2026学年下学期高一6月份月考考试 数学试卷 考试范围：必修第一册，必修第二册到第九章；考试时间：120分钟；满分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数是幂函数，且为奇函数，则实数（ ） A. 或 B. C. D. 4. 在中，若，，，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 或 5. 若，，，则，，之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为15°，地面某处的俯角为45°，且，则此无人机距离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数中，表示同一个函数的有（ ） A. B. C. D. 10. 某环保监测站对某流域的个监测点的水质指数进行抽样检测，数据按、、、分组，得到频率分布直方图如图所示.已知数值越高水质越优，且水质指数不低于的被称为“I类优质水”，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若每组数据均以中点值为代表，则估计样本水质指数的平均数为 C. 估计该流域水质指数不低于的监测点有个 D. 估计该流域水质为“I类优质水”的监测点的占比为 11. 如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成角为60° B. 平面 C. 三棱锥的体积不变 D. 直线与平面所成角正弦值的取值范围为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某个班共有54名学生，其中男女生人数比为，现采用等比例分层随机抽样的方法从全班学生中抽取18人参加合唱比赛，则应抽取男同学________人. 13. 已知向量，若，则__________. 14. 已知正四棱台的上､下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其外接球的表面积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在区间上的值域． 16. 已知向量，满足，，与的夹角为． （1）求； （2）若，求实数的值． 17. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本成绩的众数、平均数； （3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差． 18. 已知中，角、、的对边分别为、、.且. （1）求角； （2）若的面积为，且. ①求的周长； ②求 19. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且M是的中点． （1）求证：平面 （2）求证：平面； （3）求证：平面平面． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期高一6月份月考考试 数学试卷 考试范围：必修第一册，必修第二册到第九章；考试时间：120分钟；满分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简，即可根据几何意义求解. 【详解】由可得， 故复数z对应的点为，位于第二象限. 故选：B 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法求解. 【详解】由题意：，则，化简得： 等价于，解得： 所以不等式的解集为. 3. 已知函数是幂函数，且为奇函数，则实数（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用幂函数的定义及奇函数的概念即可求解. 【详解】由题意得，所以，所以， 解得或， 当时，，为偶函数，故不符合题意， 当时，，为奇函数，故符合题意. 综上所述：. 故选：B. 4. 在中，若，，，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理求得，由此求得角的大小. 【详解】由正弦定理得，即， 又因为，则， 所以或. 故选：D 5. 若，，，则，，之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数性质和指数函数性质，借助中间量进行比大小. 【详解】因为，即； ，即； ，即， 所以. 故选：D 6. 已知角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数的定义得到，再结合同角三角函数商的关系弦化切即可求解. 【详解】由角终边经过点，得， 所以， 故选：B 7. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解后可求圆锥的体积. 【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等，所以即， 故，故圆锥的体积为. 故选：B. 8. 如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为15°，地面某处的俯角为45°，且，则此无人机距离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，在中，，，所以. 在中，，， 所以， 由正弦定理，. 又为等腰直角三角形，所以. 故选项B正确. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数中，表示同一个函数的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】对于选项A： ∵ 的定义域为，，定义域为，二者定义域和对应法则均相同，∴ 这两个函数是同一个函数. 对于选项B： ∵ 的定义域为，化简后为，而的定义域为，二者定义域不同，∴ 这两个函数不是同一个函数. 对于选项C： ∵ 的定义域为，的定义域为，二者定义域和对应法则均相同，∴ 这两个函数是同一个函数. 对于选项D： ∵ ，定义域为；的定义域为，化简后为，二者定义域和对应法则均不相同，∴ 这两个函数不是同一个函数. 综上，正确选项为A、C. 10. 某环保监测站对某流域的个监测点的水质指数进行抽样检测，数据按、、、分组，得到频率分布直方图如图所示.已知数值越高水质越优，且水质指数不低于的被称为“I类优质水”，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若每组数据均以中点值为代表，则估计样本水质指数的平均数为 C. 估计该流域水质指数不低于的监测点有个 D. 估计该流域水质为“I类优质水”的监测点的占比为 【答案】ABD 【解析】 【分析】在频率分布直方图中，所有矩形面积之和为，可得出关于的等式，可判断A选项；利用频率分布直方图可求出样本水质指数的平均数，可判断B选项；求出水质指数不低于的频率，再利用频数、频率和总容量的关系可判断C选项；求出水质指数不低于的频率，可判断D选项. 【详解】对于A，在频率分布直方图中，所有矩形面积之和为， 所以，解得，故A正确； 对于B，样本水质指数的平均数为 ，故B正确； 对于C，由频率分布直方图可知，水质指数不低于的频率为， 则估计该流域水质指数不低于的监测点有个，故C错误； 对于D，第5组的频率为， 故水质指数不低于的频率为， 则估计该流域水质为“I类优质水”的监测点的占比为，故D正确. 11. 如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成角为60° B. 平面 C. 三棱锥的体积不变 D. 直线与平面所成角正弦值的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A：利用异面直线的夹角定义求解即可，选项B：利用线面垂直的定义结合线面垂直的判定定理求解即可,选项C：利用等体积法求解即可，选项D：建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求出线面角正弦值的表示式，再运用二次函数的性质即可求得其范围. 【详解】 对于A，因为正方体中，且为等边三角形，故异面直线与夹角为，故A正确； 对于B，由正方体的性质可知，，平面，, 平面，又因为平面，， 同理可得平面，又因为平面，， 又因为平面，平面，故B正确； 对于C，因为平面，平面，所以平面, 所以为定值，故C正确； 对于D，建立如图所示直角坐标系，设正方体的棱长为1，， 则，，，，， 从而，， 由正方体的性质知：平面， 即平面，故平面的法向量可取为， 直线与平面所成角正弦值为，, 因为，， 所以，故D错误. 故选：ABC. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某个班共有54名学生，其中男女生人数比为，现采用等比例分层随机抽样的方法从全班学生中抽取18人参加合唱比赛，则应抽取男同学________人. 【答案】 【解析】 【分析】利用等比例分层抽样中样本与总体各层比例一致的性质，结合男生的总体占比计算抽取人数. 【详解】由男女生人数比为5：4，得男生占全班人数的比例为. 根据等比例分层抽样的性质，样本中男生的占比与总体一致， 因此应抽取的男同学人数为. 13. 已知向量，若，则__________. 【答案】2 【解析】 【详解】因为，所以 ，解得. 14. 已知正四棱台的上､下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其外接球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据几何体的对称性，可得正四棱台的外接球的球心在上下底面中心的连线上，设球心到下底面的距离为，外接球的半径为，根据球的截面圆的性质，列出方程组，即可求解. 【详解】如图所示，正四棱台下底面对角线交点为，上底面对角线交点为， 因为正四棱台下底面边长为，上底面边长为，侧棱长为， 可得上、下底面正方形的对角线长为和，可得， 根据几何体的对称性，可得正四棱台的外接球的球心在直线上， 设外接球的球心为，球心到下底面的距离为，外接球的半径为， 因为正四棱台的高为， 所以若球心在线段上，则，解得， 所以，所以外接球表面积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在区间上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据三角恒等变换公式化简函数解析式，再根据最小正周期的计算公式求函数的最小正周期. （2）结合正弦函数的性质，求函数在给定区间上的值域. 【小问1详解】 因为. 所以函数的最小正周期为. 【小问2详解】 因为，所以，， 设，则，因为， 所以， 所以， 即函数在区间上的值域为. 16. 已知向量，满足，，与的夹角为． （1）求； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由题意得，，， 则； 【小问2详解】 因为， 所以， 得 17. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本成绩的众数、平均数； （3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差． 【答案】（1） （2）众数为75，平均数为74； （3）平均数为62，方差为37. 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1求得； （2）根据直方图，及众数、平均数求法求值； （3）根据已知求样本总均值，再由总方差公式求样本总方差. 【小问1详解】 由每组小矩形的面积之和为1， 得，解得； 【小问2详解】 由，得样本成绩的众数为75， 由， 得样本成绩的平均数为74. 【小问3详解】 由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 所以， 总方差为. 18. 已知中，角、、的对边分别为、、.且. （1）求角； （2）若的面积为，且. ①求的周长； ②求 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和两角和差的正弦公式化简求出； （2）①利用面积公式、正弦定理、余弦定理求出边长即可； ②利用正弦定理求出，再利用两角差的正弦公式求得. 【小问1详解】 由及正弦定理可得， 因为， 所以， 则， 因为，所以，得， 因为，所以； 【小问2详解】 ①因为的面积为，所以，得， 由及正弦定理可得，则， 由余弦定理得，得， 则的周长为； ②由正弦定理得，， 则， 则. 19. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且M是的中点． （1）求证：平面 （2）求证：平面； （3）求证：平面平面． 【答案】（1）连接交于，连接，  四边形是矩形，是的中点， 又M是的中点，， 又平面，平面，平面. （2）平面，平面，， 又四边形是矩形，， ，，平面，平面， 平面，， 又是的中点，，， ，，平面，平面. （3）由（2）知：平面，平面， 平面平面. 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，由线面平行的判定定理证明即可； （2）先由线面垂直证明，再由线面垂直的判定定理证明即可； （3）结合第（2）小问的结论，利用面面垂直的判定证明即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $