精品解析：河南方城县第一高级中学2025-2026学年高三上学期9月开学考试数学试题

方城一高2025-2026学年高三上学期9月份开学考试数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则函数在区间上的最大值与最小值之和为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 4. 设，，则（ ） A. B. C. D. 与的大小与有关 5. 已知单位向量与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线与圆交于、两点，圆心，点为劣弧上不同于、的一个动点，平行于轴的直线交抛物线于点，则的周长的取值范围是 A. B. C. D. 8. 若函数f（x）的图象上任意一点M（x，y）的坐标满足条件|x|＞|y|，则称函数f（x）具有性质P．下列函数中具有性质P的是（　　） A. f（x）＝x+1 B. f（x）＝x2 C. f（x）＝ex﹣1 D. f（x）＝sinx 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设函数，则下列说法正确的是（   ） A. 定义域是 B. 时，图象位于x轴下方 C. 有且仅有两个极值点 D. 存在单调递增区间 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 已知一组数据7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的中位数为8 B. 若随机变量服从正态分布，，则 C. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若样本中心点为，则 D. 若随机变量，且，则 11. 在中，是的内切圆圆心，内切圆的半径为，则（ ） A. B. C. 的外接圆半径为 D. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则的值为____________． 13. 已知将中最小数记为，最大数记为，若，则________． 14. 平面四边形ABCD，其中,将沿AC翻折，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知数列是公差不为0的等差数列，若，且，，成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和； 16. 已知椭圆，直线经过的上顶点及右焦点． （1）求的方程； （2）若直线与交于点，，且直线与交于另外一点． （ⅰ）若，求直线的方程； （ⅱ）判断直线是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由． 17. 如图，已知是边长为2的正方形所在平面外一点，是等边三角形. （1）证明：平面； （2）若二面角的余弦值为，试问在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角为60°？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 18. 已知函数，. （1）求证：当时，； （2）求函数在区间上的最小值； （3）若在上恒成立，求的取值范围. 19. 我国某企业研发的家用机器人，其生产共有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道工序是出厂检测工序，包括智能自动检测与人工抽检，其中智能自动检测为次品的会被自动淘汰，合格的进入流水线进行人工抽检．已知该家用机器人在生产中前三道工序的次品率分别为． （1）已知某批次的家用机器人智能自动检测显示合格率为，求在人工抽检时，工人抽检一个家用机器人恰好为合格品的概率（百分号前保留两位小数）； （2）该企业利用短视频直播方式扩大产品影响力，在直播现场进行家用机器人推广活动，现场人山人海，场面火爆，从现场抽取幸运顾客参与游戏，游戏规则如下：参与游戏的幸运顾客，每次都要有放回地从10张分别写有数字的卡片中随机抽取一张，指挥家用机器人运乒乓球，直到获得奖品为止，每次游戏开始时，甲箱中有足够多的球，乙箱中没有球，若抽的卡片上的数字为奇数，则从甲箱中运一个乒乓球到乙箱；若抽的卡片上的数字为偶数，则从甲箱中运两个乒乓球到乙箱，当乙箱中的乒乓球数目达到9个时，获得奖品优惠券960元；当乙箱中的乒乓球数目达到10个时，获得奖品大礼包一个，获得奖品时游戏结束． ①求获得“优惠券”的概率； ②若有16个幸运顾客参与游戏，每人参加一次游戏，求该企业预备的优惠券总金额的期望值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 方城一高2025-2026学年高三上学期9月份开学考试数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的交集运算求解. 【详解】因为，， 所以， 故选：A 2. 复数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算直接计算即可. 【详解】. 故选：C. 3. 已知函数，则函数在区间上的最大值与最小值之和为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】利用幂函数的单调性求出最大、最小值即可. 【详解】函数在上单调递增， 当时，，， 所以最大值与最小值之和为7. 故选：D 4. 设，，则（ ） A. B. C. D. 与的大小与有关 【答案】C 【解析】 【分析】应用作差法比较大小即可. 【详解】由，所以. 故选：C 5. 已知单位向量与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量数量积运算律即可计算. 【详解】. 故选：B. 6. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，可得，再利用正弦定理可得，根据正弦和角公式得，再利用面积公式求解即可． 【详解】，，， ， ， ， ． 故选：D． 7. 抛物线与圆交于、两点，圆心，点为劣弧上不同于、的一个动点，平行于轴的直线交抛物线于点，则的周长的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心坐标，可得抛物线的焦点，过作准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义，可得，故的周长为，联立圆与抛物线可得B点坐标，可得的取值范围，可得答案. 【详解】解：如图， 可得圆心也是抛物线的焦点， 过作准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义，可得 故的周长， 由可得，. 的取值范围为 的周长的取值范围为 故选：. 【点睛】本题主要考查圆与抛物线的综合、抛物线的基本量的计算与性质，综合性大，属于中档题. 8. 若函数f（x）的图象上任意一点M（x，y）的坐标满足条件|x|＞|y|，则称函数f（x）具有性质P．下列函数中具有性质P的是（　　） A. f（x）＝x+1 B. f（x）＝x2 C. f（x）＝ex﹣1 D. f（x）＝sinx 【答案】D 【解析】 【分析】根据性质P的定义，只需要满足函数的图象都在区域|x|≥|y|内即可． 【详解】不等式|x|≥|y|表示的平面区域如图所示： 函数f（x）具有性质P，则函数图象必须完全分布在阴影区域内， 分别作出函数的对应的图象，由图象可知满足条件的只有函数f（x）＝sinx， 故选：D 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设函数，则下列说法正确的是（   ） A. 定义域是 B. 时，图象位于x轴下方 C. 有且仅有两个极值点 D. 存在单调递增区间 【答案】BD 【解析】 【分析】由函数有意义的条件可求得函数的定义域判断A选项；当时，判断函数的符号可判断B选项； 利用导数判断出导函数的零点个数，可判断C选项； 解不等式可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数有意义，有，解得且， 则函数的定义域为，A选项错误； 对于B选项，当时，，，则， 即当时，函数图象位于轴下方，B选项正确； 对于C选项，，令. 当时，，，则， 函数在区间上单调递减，无极值点； 当时，，函数在上单调递增， 由于， 由零点存在定理知，存在唯一的，使得. 当时，，；当时，，， 所以，函数存在唯一的极值点，C选项错误； 对于D选项，由C可知，函数在区间上单调递增，D选项正确. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：利用导数判断函数单调性，确定极值点个数，其中构造新函数是常用方法. 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 已知一组数据7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的中位数为8 B. 若随机变量服从正态分布，，则 C. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若样本中心点为，则 D. 若随机变量，且，则 【答案】BC 【解析】 【分析】将A的数据由小到大排列后可求该组数据的中位数，从而可判断A的正误，利用正态分布的对称性可判断B的正误，根据样本中心点必在回归直线上可判断C的正误，根据公式可求二项分布的期望和方差，从而可判断D的正误. 【详解】对于选项A，5，6，7，7，8，8，8，9中位数为7.5，所以A不正确； 对于选项B，因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线关于对称， 所以，所以B正确； 对于选项C，因为回归直线一定经过样本中心点，所以， 即，所以C正确； 对于选项D，因为，且，所以，即， 所以，所以D不正确． 故选：BC． 11. 在中，是的内切圆圆心，内切圆的半径为，则（ ） A. B. C. 的外接圆半径为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据内心的性质判断A；由余弦定理求出，再由等面积法求出内切圆的半径，即可判断B，利用正弦定理判断C，依题意设，则，同理可设，再由平面向量基本定理得到方程组，求出，即可判断D. 【详解】因为内心是三角形内角平分线的交点， 所以在中，，故A错误； 由余弦定理可得， 因为的面积， 所以，故B正确； 设的外接圆半径为，则，故，故C正确； 对于D：方法一：因为在的平分线上， 所以可设，则， 同理可设，则， 得， 又、不共线，根据平面向量基本定理得，解得， 即，故D正确； 方法二：利用内心的性质结论，有， 即，所以， 即，故D正确. 故选：BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦的和差角公式展开化简可得到的值，再把按倍角公式展开化成关于的式子，代入即得答案. 【详解】由正弦的和差角公式得： ， ， 代入方程：， 得， 得， 解得：， 利用倍角公式得： ，  代入得： . 故答案为： 13. 已知将中最小数记为，最大数记为，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，即可得到，再由，即可求出的取值范围. 【详解】设，则， 依题意，所以，又， 则， 所以， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是得到与、、的不等关系，将多变量问题化为单变量问题. 14. 平面四边形ABCD，其中,将沿AC翻折，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为______. 【答案】## 【解析】 【分析】作出图形，由题意判断当三棱锥体积最大时，有平面平面，取的中点为，连接，结合得到，推出点为的外心，证明平面，得到的外心即此时三棱锥的外接球球心，借助于即可求得外接球的半径. 【详解】 因为，可得为正三角形，且的面积为， 所以当三棱锥体积最大时，有平面平面， 又因取的中点为，连接，，依题意当时，三棱锥体积最大， 此时点为的外心，又因为正三角形，则， 因平面平面，平面平面， 平面，则平面， 故的外心即此时三棱锥的外接球球心， 因，，则外接球的半径为， 故三棱锥的外接球表面积为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知数列是公差不为0的等差数列，若，且，，成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和； 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据等比中项的性质得到方程，解得，即可求出通项公式； （2）由（1）可得，再利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为，，成等比数列， 所以． 即， 即，又，且，解得 所以． 【小问2详解】 由（1）知：， 则， 即． 16. 已知椭圆，直线经过的上顶点及右焦点． （1）求的方程； （2）若直线与交于点，，且直线与交于另外一点． （ⅰ）若，求直线的方程； （ⅱ）判断直线是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）（ⅰ）或；（ⅱ）存在，定点为 【解析】 【分析】（1）由直线方程易得，即可求解； （2）（ⅰ）设直线方程，设，， 得到，联立椭圆方程，结合弦长公式即可求解；（ⅱ）直线的方程为，由对称性易知该定点在轴上，再令求解即可. 【小问1详解】 因为直线经过的上顶点及右焦点， 所以上顶点坐标为，， 令得，所以，， 所以的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）得，直线斜率一定存在，设其方程为， 设，，则， 由得， 所以，， 所以 ， 解得，， 所以直线的方程为或． （ⅱ）直线的方程为， 由对称性易知若直线过定点，则该定点在轴上， 令，得 ， 所以直线过定点． 17. 如图，已知是边长为2的正方形所在平面外一点，是等边三角形. （1）证明：平面； （2）若二面角的余弦值为，试问在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角为60°？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意可得正方形对角线垂直，以及等边三角形三线合一，结合线面垂直的判定即可证明； （2）以A为原点建立空间直角坐标系，设，再利用面面角的向量求法即可求解. 【小问1详解】 证明：设与交于点，连接. 因为底面为正方形，所以. 又是等边三角形，是的中点，所以. 因为，所以平面. 【小问2详解】 由（1）知，，所以是二面角的平面角，则. 因为，所以，又是等边三角形，所以，，所以，所以. 因为，，所以，， 因为，底面，所以底面. 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，. 设满足条件， 则，，. 设平面的法向量为，则即 取，则. 设平面的法向量为，则即 取，则. 所以，化简得，无实根， 所以在线段上不存在点，使得平面与平面的夹角为60°. 18. 已知函数，. （1）求证：当时，； （2）求函数在区间上的最小值； （3）若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2）0 （3） 【解析】 【分析】（1）利用作差法，构造新函数，利用导数求新函数的最值，即可证得不等式成立； （2）求出的解析式，对分类讨论，研究其单调性，即可求解最小值； （3）令，求导，分，和三种情况讨论，利用导数研究函数的单调性，即可得解. 【小问1详解】 令， 因为当时，，所以在上单调递增. 所以. 令， 因为，所以在上单调递增， 所以，所以. 【小问2详解】 ，， 当，， 当，， 令，则， 所以函数在上单调递增，∴， 所以在上单调递减， 由，所以. 【小问3详解】 由（2）知，当时，， 又当，， 则当时，， 令， ， 则，令 ，故单调递增， ①当时，， ， 使得， 当时，，单调递减，不符合题意； ②当时，，若时，总有（不恒为零）， 则在上为增函数， 但，故当时，，不合题意. 故在上，有解，故，使得， 又在时单调递增，所以当时，，单调递增， 故当时，，不符合题意，故不符合题意； ③当时，，由于单调递增，， 故时，，单调递减； 时，，单调递增，此时， 当时，； 综上可得，. 19. 我国某企业研发的家用机器人，其生产共有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道工序是出厂检测工序，包括智能自动检测与人工抽检，其中智能自动检测为次品的会被自动淘汰，合格的进入流水线进行人工抽检．已知该家用机器人在生产中前三道工序的次品率分别为． （1）已知某批次的家用机器人智能自动检测显示合格率为，求在人工抽检时，工人抽检一个家用机器人恰好为合格品的概率（百分号前保留两位小数）； （2）该企业利用短视频直播方式扩大产品影响力，在直播现场进行家用机器人推广活动，现场人山人海，场面火爆，从现场抽取幸运顾客参与游戏，游戏规则如下：参与游戏的幸运顾客，每次都要有放回地从10张分别写有数字的卡片中随机抽取一张，指挥家用机器人运乒乓球，直到获得奖品为止，每次游戏开始时，甲箱中有足够多的球，乙箱中没有球，若抽的卡片上的数字为奇数，则从甲箱中运一个乒乓球到乙箱；若抽的卡片上的数字为偶数，则从甲箱中运两个乒乓球到乙箱，当乙箱中的乒乓球数目达到9个时，获得奖品优惠券960元；当乙箱中的乒乓球数目达到10个时，获得奖品大礼包一个，获得奖品时游戏结束． ①求获得“优惠券”的概率； ②若有16个幸运顾客参与游戏，每人参加一次游戏，求该企业预备的优惠券总金额的期望值． 【答案】（1） （2）①；②元 【解析】 【分析】（1）根据条件概率的概率公式计算可得； （2）①设乙箱中有个球的概率为，即可求出、，当时可得，从而得到，即当时数列是公比为的等比数列，求出，再用累加法求出，即可求出； ②设参与游戏的个幸运顾客中获得优惠券的人数为，则，设优惠券的总金额为元，则，再根据二项分布的期望公式及期望的性质计算可得. 【小问1详解】 设家用机器人经过前三道工序后是合格品的概率为， 则， 设家用机器人智能自动检测合格为事件，人工抽检合格为事件，则， ， 所以， 即在人工抽检时，工人抽检一个家用机器人恰好为合格品的概率约为. 【小问2详解】 ①设乙箱中有个球的概率为， 第一次抽到奇数，家用机器人运个乒乓球，概率为，即， 乙箱中有个球，有两类情况，所以， 乙箱中有个球的情况有： i家用机器人已运个球，又抽出偶数，其概率为； ii家用机器人已运个球，又抽出奇数，其概率为； 所以，且， 所以，所以， 即当时数列是公比为的等比数列， 所以， 又，，所以当时也成立， 所以，，，， 上述各式相加得 ， 又， 所以，， 经检验，当时上式也成立， 所以， 所以，即获得“优惠券”的概率为. ②设参与游戏的个幸运顾客中获得优惠券的人数为，则， 所以的期望， 设优惠券的总金额为元，则， 所以个幸运顾客中获得优惠券总金额的期望值（元）， 故该企业预备的优惠券总金额的期望值为元. 【点睛】关键点点睛：第二问关键是由相互独立事件及互斥事件的概率公式得到，再利用构造法及累加法求出. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $