专题09 整式的有关概念（重难点讲义）数学新教材人教版七年级上册

本讲义聚焦初中数学整式的有关概念，系统梳理单项式（定义、系数、次数）、多项式（定义、项、项数、次数）、整式的概念及升降幂排列方法，构建从基础概念辨析到实际应用的学习支架。 资料以分题型讲解（典例+变式）、综合性例题及巩固训练为特色，通过辨析题培养抽象能力（数学眼光），借助计算推理提升运算能力与推理意识（数学思维），规范表述强化数学语言。课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺，巩固知识。

专题09 整式的有关概念 1. 精准区分单项式、多项式、整式三类代数式； 2. 准确求出单项式的系数、次数，多项式的项、项数、次数； 3. 掌握多项式的升幂、降幂排列方法。 一、单项式 定义：由数或字母的积组成的代数式，单独一个数或一个字母也是单项式。 系数：单项式中的数字因数（包含符号，π是数字不是字母）； 次数：单项式中所有字母的指数的和（常数项次数为0）。 二、 多项式 定义：几个单项式的和叫做多项式； 项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项，包含前面的符号；不含字母的项叫做常数项； 次数：多项式中次数最高的项的次数，就是多项式的次数。 三、 整式 单项式和多项式统称为整式。 【易错点】分母中含有字母的代数式不是整式。 四、 升幂、降幂排列 按某一个字母的指数从小到大排列为升幂排列，从大到小排列为降幂排列，排列时保留各项符号。 写稿说明：分题型讲解重难题，每个题型下面一个典例一个变式，最后一个题型要讲一道综合性例题 题型01 单项式的系数、次数 【典例】下列说法正确的是（     ） A．0和a不是单项式 B．的次数是1 C．的系数是 D．的次数是5 【答案】D 【详解】解：A．0和a都是单项式，故A错误． B．的次数是，故B错误． C．的系数是，故C错误． D．的次数是，故D正确． 【变式】a2b的系数是 _________，次数是 _________． 【答案】 3 【详解】解：单项式，其数字因数为，因此系数为； 字母的指数为，字母的指数为，所有字母指数和为 ，因此次数为． 题型02 多项式的项、项数或次数 【典例】下列关于多项式的说法中，错误的是（     ） A．有三项 B．常数项为 C．次数是7 D．二次项的系数是 【答案】C 【详解】解：∵ 多项式 由个单项式组成， ∴ 多项式共有三项，A选项说法正确； ∵ 不含字母的项是， ∴ 常数项为，B选项说法正确； ∵ 最高次项为 ，次数为， ∴ 多项式的次数为，不是，C选项说法错误； ∵ 二次项是，数字因数为， ∴ 二次项的系数是，D选项说法正确． 综上，错误的是C． 【变式】多项式是关于x的二次三项式，则m的值是（    ） A． B． C．2 D．2或 【答案】C 【详解】解：∵多项式是关于x的二次三项式， ∴， 解得． 题型03 升降幂排列 【典例】将多项式按的升幂排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： ， 故选：D． 【变式】将多项式按字母降幂排列得_____________． 【答案】 【详解】解：将多项式按字母降幂排列得． 【巩固训练】 1．单项式的次数是（     ） A．2 B．5 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：根据定义，单项式的次数是单项式中所有字母的指数和， ∵单项式中，字母的指数为，字母的指数为， ∴该单项式的次数为． 2．如果是关于x，y的四次三项式，那么（     ） A． B．或3 C．3 D． 【答案】A 【详解】解：∵是关于，的四次三项式 ∴，， 解得或，， ∴． 3．一组按规律排列的多项式：，，，，…，第个多项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：观察给出的多项式： 第个多项式 ，的指数为：， 第个多项式 ，的指数为：， 第个多项式 ，的指数为：， 第个多项式 ，的指数为：， 且每个多项式的第二项始终为， 第个多项式中，的指数为， 即第个多项式为． 4．把多项式按的升幂排列后，则它的第四项为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【详解】解：把多项式按的升幂排列，得到：， 它的第四项为． 故选：D ． 5．多项式按字母a的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵多项式按字母a的降幂排列是指将各项按a的指数从大到小排列，不含a的项排在末尾， 又∵各项中a的指数分别为：中不含字母a，中a的指数为3，中a的指数为2，中a的指数为1， ∴按a的降幂排列为：， 故选：D． 6．下列说法错误的是（     ） A．是二次三项式 B．是多项式 C．的系数是 D．的次数是6 【答案】D 【详解】解：A、多项式的最高次项次数为2，共3项，是二次三项式，说法正确，故此选项不符合题意； B、是单项式与的和，是多项式，说法正确，故此选项不符合题意； C、单项式的数字因数为，因此系数是，说法正确，故此选项不符合题意； D、∵单项式中，只有字母的指数计入单项式次数，所有字母的指数和为，∴该单项式的次数是4，不是6，原说法错误，符合题意． 7．单项式的系数是 ___________． 【答案】 【详解】解：∵ 单项式的系数是单项式中的数字因数， ∵ 是常数，不属于字母， ∴ 单项式的数字因数为，因此该单项式的系数是. 8．多项式的最高次项的系数为_____，常数项为_____． 【答案】 2 【详解】解：多项式中，的次数为，的次数为，因此最高次项为，其系数为，多项式中不含字母的项是，因此常数项为. 9．已知关于x，y的多项式是五次四项式（m、n为有理数），且单项式的次数与该多项式相同． (1)求m，n的值． (2)将这个多项式按x的降幂排列． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：关于x、y的多项式是五次四项式，且m，n为有理数， ∴，解得， 又∵单项式的次数与该多项式的次数相同，都是5， ∴，而，解得， 答：，． （2）解：当，时， 关于x，y的多项式按x的降幂排列是． 10．对于多项式（其中、均是大于的整数）． (1)若为最小的正整数，求此多项式的次数； (2)若，且该多项式是关于的八次四项式， ①求的值；②把原多项式按的降幂重新排列． 【答案】(1)多项式的次数为6 (2)①；② 【详解】（1）解：由题意知，此时原多项式变为， 所以此时多项式的次数为6； （2）解：①时，原多项式变为， 因为该多项式是关于的八次四项式， 所以， 解得； ②由题意得，原多项式为， 则按的降幂重新排列为：． 【强化训练】 1．下列单项式中，次数为3的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A 选项，所有字母的指数和为，次数为，不符合要求； B 选项，所有字母的指数和为，次数为，不符合要求； C 选项，所有字母的指数和为，次数为，不符合要求； D 选项，所有字母的指数和为，次数为，符合要求； 2．下列说法正确的是（    ）． A．单项式x的系数是0 B．单项式的次数是5 C．单项式的系数是 D．单项式的次数是3 【答案】D 【详解】解：单项式的系数是，A错误； 单项式的次数是，B错误； 单项式的系数是，C错误； 单项式的次数是，D正确． 3．多项式 的次数及最高次项的系数分别是（    ） A．3， B．2， C．5，2 D．2，3 【答案】A 【详解】解：多项式的次数是， 最高次项为， 因此最高次项的系数为． 4．多项式的次数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 多项式共有三项，分别为，，，各项次数依次为，， ∴ 该多项式最高次项的次数为，即多项式的次数是． 5．把多项式按的升幂排列为（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：按y的升幂排列为：， 故选：C． 6．下列说法：多项式是二次三项式；单项式的系数是；5是单项式；是多项式．其中正确的有（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：多项式是三次三项式，原说法错误； 单项式的系数是，说法正确； 5是单项式，说法正确； 是多项式，说法正确． 综上，正确的是②③④，故选C． 7．已知整式，其中为正整数，，为自然数，若，下列说法： ①满足条件的所有整式中有且仅有3个三次三项式； ②存在一个，使得满足条件的整式有且仅有3个； ③在满足条件的所有整式中，存在几个整式的和为；其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【详解】①当（三次）时，等式为， 即， 为正整数， 时，，要为三次三项式（项数为3），需恰好两个低次系数非零、一个为0： ：，得，对应整式； ：，得，对应整式； ：，得，对应整式； 时，无法构造出三次三项式，故满足条件的三次三项式共3个，①正确； ②当时，等式为，即 为正整数， 时，，对应整式（）、（）；时，，对应整式，共3个整式，故存在满足条件，②正确； ③取满足条件的整式：（时，符合等式）、（时，符合等式）、（时，符合等式）、（时，符合等式），它们的和为，故③正确； 综上，①②③均正确，正确个数为3个． 8．单项式的系数是________． 【答案】 【详解】解：原单项式可改写为，其中数字因数为， 故系数是． 9．代数式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． (1)请把上述代数式的序号分别填在相应的圆圈内： (2)其中次数最高的多项式是______次多项式； (3)其中次数最高的单项式的次数是______，系数是______． 【答案】(1) 解：根据多项式以及单项式定义可得： (2)二 (3)4， 【详解】（1）略 （2）解：多项式的次数为：2， 多项式的次数为：1， 多项式的次数为：1， 故次数最高的多项式是二次多项式； （3）解：单项式的次数为1次，系数为， 单项式的次数为0次，系数为， 单项式的次数为4次，系数为， 故次数最高的单项式的次数是4，系数为． 10．（1）关于x，y的多项式是七次四项式，求m和n的值； （2）关于x，y的多项式不含三次项，求的值． 【答案】（1），；（2） 【详解】解：（1）根据题意可得：， 解得． （2）根据题意可得：， 解得， ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 整式的有关概念 1. 精准区分单项式、多项式、整式三类代数式； 2. 准确求出单项式的系数、次数，多项式的项、项数、次数； 3. 掌握多项式的升幂、降幂排列方法。 一、单项式 定义：由数或字母的积组成的代数式，单独一个数或一个字母也是单项式。 系数：单项式中的数字因数（包含符号，π是数字不是字母）； 次数：单项式中所有字母的指数的和（常数项次数为0）。 二、 多项式 定义：几个单项式的和叫做多项式； 项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项，包含前面的符号；不含字母的项叫做常数项； 次数：多项式中次数最高的项的次数，就是多项式的次数。 三、 整式 单项式和多项式统称为整式。 【易错点】分母中含有字母的代数式不是整式。 四、 升幂、降幂排列 按某一个字母的指数从小到大排列为升幂排列，从大到小排列为降幂排列，排列时保留各项符号。 写稿说明：分题型讲解重难题，每个题型下面一个典例一个变式，最后一个题型要讲一道综合性例题 题型01 单项式的系数、次数 【典例】下列说法正确的是（     ） A．0和a不是单项式 B．的次数是1 C．的系数是 D．的次数是5 【答案】D 【详解】解：A．0和a都是单项式，故A错误． B．的次数是，故B错误． C．的系数是，故C错误． D．的次数是，故D正确． 【变式】a2b的系数是 _________，次数是 _________． 【答案】 3 【详解】解：单项式，其数字因数为，因此系数为； 字母的指数为，字母的指数为，所有字母指数和为 ，因此次数为． 题型02 多项式的项、项数或次数 【典例】下列关于多项式的说法中，错误的是（     ） A．有三项 B．常数项为 C．次数是7 D．二次项的系数是 【答案】C 【详解】解：∵ 多项式 由个单项式组成， ∴ 多项式共有三项，A选项说法正确； ∵ 不含字母的项是， ∴ 常数项为，B选项说法正确； ∵ 最高次项为 ，次数为， ∴ 多项式的次数为，不是，C选项说法错误； ∵ 二次项是，数字因数为， ∴ 二次项的系数是，D选项说法正确． 综上，错误的是C． 【变式】多项式是关于x的二次三项式，则m的值是（    ） A． B． C．2 D．2或 【答案】C 【详解】解：∵多项式是关于x的二次三项式， ∴， 解得． 题型03 升降幂排列 【典例】将多项式按的升幂排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： ， 故选：D． 【变式】将多项式按字母降幂排列得_____________． 【答案】 【详解】解：将多项式按字母降幂排列得． 【巩固训练】 1．单项式的次数是（     ） A．2 B．5 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：根据定义，单项式的次数是单项式中所有字母的指数和， ∵单项式中，字母的指数为，字母的指数为， ∴该单项式的次数为． 2．如果是关于x，y的四次三项式，那么（     ） A． B．或3 C．3 D． 【答案】A 【详解】解：∵是关于，的四次三项式 ∴，， 解得或，， ∴． 3．一组按规律排列的多项式：，，，，…，第个多项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：观察给出的多项式： 第个多项式 ，的指数为：， 第个多项式 ，的指数为：， 第个多项式 ，的指数为：， 第个多项式 ，的指数为：， 且每个多项式的第二项始终为， 第个多项式中，的指数为， 即第个多项式为． 4．把多项式按的升幂排列后，则它的第四项为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【详解】解：把多项式按的升幂排列，得到：， 它的第四项为． 故选：D ． 5．多项式按字母a的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵多项式按字母a的降幂排列是指将各项按a的指数从大到小排列，不含a的项排在末尾， 又∵各项中a的指数分别为：中不含字母a，中a的指数为3，中a的指数为2，中a的指数为1， ∴按a的降幂排列为：， 故选：D． 6．下列说法错误的是（     ） A．是二次三项式 B．是多项式 C．的系数是 D．的次数是6 【答案】D 【详解】解：A、多项式的最高次项次数为2，共3项，是二次三项式，说法正确，故此选项不符合题意； B、是单项式与的和，是多项式，说法正确，故此选项不符合题意； C、单项式的数字因数为，因此系数是，说法正确，故此选项不符合题意； D、∵单项式中，只有字母的指数计入单项式次数，所有字母的指数和为，∴该单项式的次数是4，不是6，原说法错误，符合题意． 7．单项式的系数是 ___________． 【答案】 【详解】解：∵ 单项式的系数是单项式中的数字因数， ∵ 是常数，不属于字母， ∴ 单项式的数字因数为，因此该单项式的系数是. 8．多项式的最高次项的系数为_____，常数项为_____． 【答案】 2 【详解】解：多项式中，的次数为，的次数为，因此最高次项为，其系数为，多项式中不含字母的项是，因此常数项为. 9．已知关于x，y的多项式是五次四项式（m、n为有理数），且单项式的次数与该多项式相同． (1)求m，n的值． (2)将这个多项式按x的降幂排列． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：关于x、y的多项式是五次四项式，且m，n为有理数， ∴，解得， 又∵单项式的次数与该多项式的次数相同，都是5， ∴，而，解得， 答：，． （2）解：当，时， 关于x，y的多项式按x的降幂排列是． 10．对于多项式（其中、均是大于的整数）． (1)若为最小的正整数，求此多项式的次数； (2)若，且该多项式是关于的八次四项式， ①求的值；②把原多项式按的降幂重新排列． 【答案】(1)多项式的次数为6 (2)①；② 【详解】（1）解：由题意知，此时原多项式变为， 所以此时多项式的次数为6； （2）解：①时，原多项式变为， 因为该多项式是关于的八次四项式， 所以， 解得； ②由题意得，原多项式为， 则按的降幂重新排列为：． 【强化训练】 1．下列单项式中，次数为3的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A 选项，所有字母的指数和为，次数为，不符合要求； B 选项，所有字母的指数和为，次数为，不符合要求； C 选项，所有字母的指数和为，次数为，不符合要求； D 选项，所有字母的指数和为，次数为，符合要求； 2．下列说法正确的是（    ）． A．单项式x的系数是0 B．单项式的次数是5 C．单项式的系数是 D．单项式的次数是3 【答案】D 【详解】解：单项式的系数是，A错误； 单项式的次数是，B错误； 单项式的系数是，C错误； 单项式的次数是，D正确． 3．多项式 的次数及最高次项的系数分别是（    ） A．3， B．2， C．5，2 D．2，3 【答案】A 【详解】解：多项式的次数是， 最高次项为， 因此最高次项的系数为． 4．多项式的次数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 多项式共有三项，分别为，，，各项次数依次为，， ∴ 该多项式最高次项的次数为，即多项式的次数是． 5．把多项式按的升幂排列为（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：按y的升幂排列为：， 故选：C． 6．下列说法：多项式是二次三项式；单项式的系数是；5是单项式；是多项式．其中正确的有（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：多项式是三次三项式，原说法错误； 单项式的系数是，说法正确； 5是单项式，说法正确； 是多项式，说法正确． 综上，正确的是②③④，故选C． 7．已知整式，其中为正整数，，为自然数，若，下列说法： ①满足条件的所有整式中有且仅有3个三次三项式； ②存在一个，使得满足条件的整式有且仅有3个； ③在满足条件的所有整式中，存在几个整式的和为；其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【详解】①当（三次）时，等式为， 即， 为正整数， 时，，要为三次三项式（项数为3），需恰好两个低次系数非零、一个为0： ：，得，对应整式； ：，得，对应整式； ：，得，对应整式； 时，无法构造出三次三项式，故满足条件的三次三项式共3个，①正确； ②当时，等式为，即 为正整数， 时，，对应整式（）、（）；时，，对应整式，共3个整式，故存在满足条件，②正确； ③取满足条件的整式：（时，符合等式）、（时，符合等式）、（时，符合等式）、（时，符合等式），它们的和为，故③正确； 综上，①②③均正确，正确个数为3个． 8．单项式的系数是________． 【答案】 【详解】解：原单项式可改写为，其中数字因数为， 故系数是． 9．代数式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． (1)请把上述代数式的序号分别填在相应的圆圈内： (2)其中次数最高的多项式是______次多项式； (3)其中次数最高的单项式的次数是______，系数是______． 【答案】(1) 解：根据多项式以及单项式定义可得： (2)二 (3)4， 【详解】（1）略 （2）解：多项式的次数为：2， 多项式的次数为：1， 多项式的次数为：1， 故次数最高的多项式是二次多项式； （3）解：单项式的次数为1次，系数为， 单项式的次数为0次，系数为， 单项式的次数为4次，系数为， 故次数最高的单项式的次数是4，系数为． 10．（1）关于x，y的多项式是七次四项式，求m和n的值； （2）关于x，y的多项式不含三次项，求的值． 【答案】（1），；（2） 【详解】解：（1）根据题意可得：， 解得． （2）根据题意可得：， 解得， ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 $