专题13 一元一次方程的应用1（行程与工程问题）（重难点讲义）数学新教材人教版七年级上册

本讲义聚焦初中数学一元一次方程的应用，以行程与工程问题为核心，先梳理列方程解应用题的通用步骤（审、设、列、解、验、答），再系统讲解行程问题（含相遇、追及、环形跑道、航行）和工程问题的基本公式与等量关系，通过典例与变式构建从基础原理到实际应用的学习支架。 该资料亮点在于题型分类清晰，融入项目式学习（如校园广告牌制作工程），培养学生模型意识与应用意识。通过环形跑道追及、航行顺水逆水等问题训练抽象能力和推理意识，课中辅助教师分层教学，课后提供巩固与强化训练，帮助学生查漏补缺，提升解决实际问题的能力。

专题13 一元一次方程的应用1（行程与工程问题） 1. 掌握列方程解应用题的通用步骤； 2. 熟练解决行程、工程两大经典基础题型； 3. 能准确寻找题目中的等量关系。 一、列方程解应用题通用步骤 审（审题找等量关系） 设（设未知数） 列（列方程） 解（解方程） 验（检验合理性） 答（写答案）。 二、行程问题（课本核心公式） 基本公式：路程=速度×时间； 相遇问题：两人路程和=总路程； 追及问题：快者路程-慢者路程=初始距离； 航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度。 三、工程问题 总工作量一般设为单位1； 基本公式：工作量=工作效率×工作时间；多人合作效率=各人工效之和。 题型01 相遇问题 【典例】甲、乙两车从相距千米的两地相向而行，小时后还相距全程的，又知甲、乙两车的速度比是，求甲车的速度． 【变式】A、B两地间相距，甲从A地出发匀速前往B地，甲的速度为4千米/时，乙的速度为3千米/时，甲出发30分钟后，乙从B地出发，沿同一条公路匀速前往A地，问：乙出发多长时间两人相遇？ 题型02 追及问题 【典例】小明和小华两人同时骑自行车从甲地到乙地，小明每小时比小华多行2千米，小明先到达乙地后立即返回，在返回途中遇见小华，此时，他们已走了0.8小时，已知甲、乙两地相距8千米，求小华从甲地到乙地需要多长时间？ 【变式】今年五一假期期间，甲、乙两人从同一地点出发，前往距离出发点的新甫山景区旅游．甲骑自行车以的速度先出发，30分钟后，乙骑摩托车以的速度追赶甲．乙到达景区后立即返回，在返回途中与甲相遇．问：从甲开始出发到两人相遇，共经过了多长时间？ 题型03 环形跑道问题 【典例】甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，他们以固定速度反向跑，甲跑一圈要1分20秒，乙每30秒与甲相遇一次，则乙跑一圈要________． 【变式】在环形跑道上赛跑时，我们常说“套圈”这个词，它的意思是：两人同时、同地、沿环形跑道逆时针同向出发，快者每追上慢者一次，就说明快者比慢者多跑一整圈（即环形跑道的周长）． 请根据上述说明，解决以下问题： (1)在400米的环形跑道上，甲、乙两人同时、同地、沿环形跑道逆时针同向出发，已知甲、乙的速度之和为10米/秒，出发200秒后，甲第一次追上乙，求乙的速度； (2)在400米的环形跑道上，甲、乙两人同时、不同地、沿环形跑道逆时针同向出发，已知甲、乙的速度之和为10米/秒，甲第40秒第一次追上乙，第240秒第二次追上乙，求出发时两人相距多少米？ 题型04 航行问题 【典例】一轮船航行于两个码头之间，逆水需小时，顺水需小时，已知该船在静水中每小时航行千米，则水流速度为______千米/时． 【变式】已知甲、乙两船在静水中的速度都是，水流速度是． (1)若甲、乙两船从A港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，则后两船相距多远？ (2)若甲船从A港口顺水航行到达B港口；从B港口返回A港口逆水而行，用了，求水流速度． 题型05 工程问题 【典例】现在有一项工程由甲乙两个工程队合作完成，已知甲队单独完成该工程需要20天，乙队单独完成该工程需要30天． (1)若两队合作，需要多少天能完成此工程？ (2)当甲乙两队合作6天后，乙工程队因调动而离开，剩余工作由甲队单独完成．问：当乙工程队离开后，甲队还需要多少天才能完成工程？ 【变式】【项目式学习：校园广告牌制作工程】 某校初中七年级数学社团的学生学习了方程的知识后，参与了一个项目式学习——校园广告牌制作工程，下面是他们学习单的一部分，请你结合工程实际，用方程（组）的知识解决下列问题： 项目背景 学校校办厂需制作一块公益广告牌，邀请两名工人完成制作．已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天． (1)若两名工人从一开始就合作制作，需要多少天可以完成全部广告牌？ (2)现调整施工方案：由徒弟先单独制作1天，再由两人合作完成剩余工作．全部完工后共获得报酬450元，若按各自完成的工作量计算报酬，请你分别求出师傅和徒弟应分得的报酬金额． (3)请你再设计一种新的施工方案（例如“一人先做若干天，再两人合作”或“两人合作后一人离开”等），并列出对应的方程，无需求解． 【巩固训练】 1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时．丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，水池注满还要（     ）个小时． A．15 B．20 C．35 D．40 2．轮船沿江从港顺流行驶到港需要小时，比从港逆流返回港少用小时，若轮船在静水中的速度为千米/小时，水流速度为千米/小时，则港和港相距多少千米．列方程表示为______． 3．运动场环形跑道的周长为400米，小红在跑道上按逆时针方向匀速跑步，速度为5米/秒，同时爷爷在小红后面100米的地方也沿该环形跑道按逆时针方向匀速跑步，已知爷爷的速度小于小红的速度．若两人第一次相遇所用的时间为80秒，则爷爷的速度为__________米/秒． 4．甲、乙两人分别从两地同时相向而行，当甲走出千米时，乙恰好走完了两地之间距离的，此时两人相距千米，则两地之间距离为___________千米． 5．A、B两地相距600千米，一列慢车从A地开出，每小时行驶80千米，一列快车从B地开出，每小时行驶120千米，两车同时开出． (1)若相向而行，出发后多少小时相遇？ (2)若相背而行，多少小时后，两车相距800千米 6．甲、乙两车分别从A、B两城同时相对开出，经过4小时，甲车行了全程的，乙车超过中点15千米，已知甲车比乙车每小时多行3千米，A，B两城相距多少千米？ 7．某市新区现有一段长为180米的河堤整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，已知A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，此工程共用时20天．求A，B两个工程队各工作了多少天？ (1)若设A工程队工作了x天，则B工程队工作了 天（用含x的代数式表示）； (2)请按（1）中所设的未知数，列方程解此问题． 8．如图，已知A，B，C三地在同一直线上，，，甲、乙两人同时从A地出发，同向而行，分别前往B地和C地．    (1)若甲、乙的速度比是，结果甲比乙提前到达目的地． ①设甲的速度为，完成下表； 路程 速度 时间 甲 6 _______ 乙 10 _______ _______ ②求甲、乙的速度； (2)若甲、乙的速度比是，其他条件不变，结果谁先到达目的地？请说明理由． 9．小亮每天去体育场晨练，会见到一位田径队的叔叔也在锻炼．两人沿环形跑道跑步，每次总是小亮跑完2圈时，叔叔跑完3圈． (1)一天，两人同时同地出发，反向而跑，小亮看了一下计时表，发现隔了32s两人第一次相遇，求两人的速度． (2)第二天小亮打算和叔叔同时同地出发，沿跑道同向而跑，看叔叔隔多少时间与他第一次相遇．你能先给小亮预测一下吗？ 10．某村为了更方便地运输农作物，现计划将村里全部的交通主干道修成水泥路．已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的2倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为25天． (1)甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天？ (2)若甲先单独修5天，之后甲、乙合作修完，甲、乙还需合作几天才能完成此项工程？ 【强化训练】 1．《九章算术》被尊为“算经之首”，其中有一道题：“今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲乃发长安，问几何日相逢？”意思是：甲从长安出发，5天到齐国；乙从齐国出发，7天到长安．现乙先出发2天，甲才从长安出发，问甲经过几天可以与乙相遇．设甲经过x天可以与乙相遇，则可以列出的方程为（    ） A． B． C． D． 2．如图，这是标准400米跑道，它由两条弯道（左侧，右侧）和两条直道，组成，每条弯道的长是115.6米，每条直道的长是84.4米．小斌站在C处，小强站在B处，两人同时逆时针方向跑步．小斌每秒跑4米，小强每秒跑6米．当小强第一次追上小斌时，他们的位置在（    ） A．弯道上 B．直道上 C．弯道上 D．直道上 3．一名游泳爱好者在河中逆流而上，于某桥下遗失水壶，水壶被水冲走. 继续向前游了分钟发现水壶遗失，立即返回，在距该桥千米的地方追到水壶．则水流速度为__________米/分． 4．从电车总站每隔一定时间开出一辆电车．甲与乙两人在一条街上反方向步行，甲沿电车发车方向每分钟步行60米，每隔20分钟有一辆电车从后方超过自己；乙每分钟步行80米，每隔10分钟遇上迎面开来的一辆电车．那么电车总站每隔_____分钟开出一辆电车． 5．甲、乙周末骑自行车去郊外游玩，甲从A地出发沿直线匀速前往B地，乙在甲前面1千米处沿相同路线同时出发前往B地，甲的速度比乙的速度的2倍少8千米/小时，他们出发30分钟后，甲追上乙． (1)求甲和乙的速度； (2)若甲追上乙后，甲的速度立即提高3千米/小时快速到达B地，到达B地后休息12分钟，再沿原路以提速后的速度返回，乙仍按原速前往B地，结果两人在距离B地2千米处再次相遇，求A，B两地的距离． 6．小新周末去爬山，路程由一段坡路和一段平路组成．去时，上坡路段用了0.8小时，平路用了0.3小时；原路返回时，平路速度保持不变，下坡速度比上坡速度快1.5千米/小时，下坡路段用了0.5小时．已知往返的总路程为6.4千米． (1)求小新上坡时的平均速度； (2)小新在平路路段的平均速度是多少？ 7．某企业聘用甲、乙两队完成一项工程，已知乙队单独完成这项工程需天，甲队单独完成所需天数是乙队单独完成所需天数的倍．如果甲、乙两队先合作天，接着甲队因故停工天（乙队不停工），后继续与乙队合作完成剩下的工程． (1)甲队单独完成这项工程需要 天． (2)完成这项工程总共用了多少天？ (3)该企业为了这项工程一共支付万元的费用．如果你是决策者，你会将这笔费用如何分配给甲、乙两队？请设计一个分配的方案，并说明分配的依据． 8．一组工人要完成相邻2列火车的卸货任务，其中卸完火车所需时间是火车的2倍．他们上午10点开始工作，先全组人一起卸火车的货物，到了，分出一半人去卸火车的货物，14点时，火车的货已经卸完，火车剩下的货还需14人共同工作1小时完成．如果每人的工作效率相同，那么该组工人一共有多少人？ 9．在一次机器人跑步比赛中，自主导航机器人（以下称A类机器人）与遥控机器人（以下称B类机器人）在同一赛道比赛，统一排名．为鼓励自主导航技术研发，主办方制定了以下计算完赛成绩的规则： ·A类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）； ·B类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）的倍． 已知比赛中，一台A类机器人全程保持匀速，途中没有维护，完赛成绩为；一台B类机器人起跑后，前保持匀速，速度是这台A类机器人的倍，之后原地维护，维护后匀速跑至终点，速度比维护前增加了，完赛成绩为．求这台A类机器人的速度和此次比赛从起点到终点的路程． 10．已知码头位于，两码头之间，，之间相距20海里，，之间相距60海里，甲船从码头顺流驶向码头，乙船从码头顺流驶向码头，丙船从码头开往码头后立即掉头返回码头．已知甲船在静水中的航速为5海里/时，乙船在静水中的航速为4海里/时，丙船在静水中的航速为8海里/时，水流速度为2海里/时，三船同时出发，每艘船都行驶到B码头停止． (1)当三船出发行驶了3小时后，甲船和丙船之间相距多少海里？ (2)当乙船和丙船相距8海里时，丙船行驶了多少小时？ (3)在整个运动过程中，是否存在某一时刻，这三艘船中的一艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等？若存在，请求出此时甲船离码头的距离；若不存在，请说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 一元一次方程的应用1（行程与工程问题） 1. 掌握列方程解应用题的通用步骤； 2. 熟练解决行程、工程两大经典基础题型； 3. 能准确寻找题目中的等量关系。 一、列方程解应用题通用步骤 审（审题找等量关系） 设（设未知数） 列（列方程） 解（解方程） 验（检验合理性） 答（写答案）。 二、行程问题（课本核心公式） 基本公式：路程=速度×时间； 相遇问题：两人路程和=总路程； 追及问题：快者路程-慢者路程=初始距离； 航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度。 三、工程问题 总工作量一般设为单位1； 基本公式：工作量=工作效率×工作时间；多人合作效率=各人工效之和。 题型01 相遇问题 【典例】甲、乙两车从相距千米的两地相向而行，小时后还相距全程的，又知甲、乙两车的速度比是，求甲车的速度． 【答案】甲车的速度是千米/时 【详解】解：设甲车速度为千米/时， 甲、乙两车速度比是， 乙车速度为千米/时， 两车小时一共行驶的路程为（千米）， 则 甲车速度：（千米/时）， 答：甲车的速度是千米/时． 【变式】A、B两地间相距，甲从A地出发匀速前往B地，甲的速度为4千米/时，乙的速度为3千米/时，甲出发30分钟后，乙从B地出发，沿同一条公路匀速前往A地，问：乙出发多长时间两人相遇？ 【答案】4小时 【详解】解：设乙出发x小时后两人相遇，由题意得： ， 解得：； 答：乙出发4小时后两人相遇． 题型02 追及问题 【典例】小明和小华两人同时骑自行车从甲地到乙地，小明每小时比小华多行2千米，小明先到达乙地后立即返回，在返回途中遇见小华，此时，他们已走了0.8小时，已知甲、乙两地相距8千米，求小华从甲地到乙地需要多长时间？ 【答案】小华从甲地到乙地需要小时 【详解】解：设小明的速度是千米/时，小华的速度为千米/时， 由题意可列方程组， 解得 小华从甲地到乙地需要（小时）． 答：小华从甲地到乙地需要小时． 【变式】今年五一假期期间，甲、乙两人从同一地点出发，前往距离出发点的新甫山景区旅游．甲骑自行车以的速度先出发，30分钟后，乙骑摩托车以的速度追赶甲．乙到达景区后立即返回，在返回途中与甲相遇．问：从甲开始出发到两人相遇，共经过了多长时间？ 【答案】从开始出发到两人相遇，共经过了小时 【详解】解：设从开始出发到两人相遇共经过了小时． ∵乙到达景区后立即返回，在返回途中与甲相遇， ∴两人总的行驶路程， 因此可列方程：， 解得， 答：从开始出发到两人相遇，共经过了小时． 题型03 环形跑道问题 【典例】甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，他们以固定速度反向跑，甲跑一圈要1分20秒，乙每30秒与甲相遇一次，则乙跑一圈要________． 【答案】 48秒 【详解】解：甲跑一圈需要1分20秒，即秒， 设环形跑道一圈长度为单位，则甲的速度为，设乙的速度为， ∵甲乙反向跑，每秒相遇一次，相遇时两人总路程刚好为1圈， ∴， 解得， 因此乙跑一圈的时间为（秒）． 【变式】在环形跑道上赛跑时，我们常说“套圈”这个词，它的意思是：两人同时、同地、沿环形跑道逆时针同向出发，快者每追上慢者一次，就说明快者比慢者多跑一整圈（即环形跑道的周长）． 请根据上述说明，解决以下问题： (1)在400米的环形跑道上，甲、乙两人同时、同地、沿环形跑道逆时针同向出发，已知甲、乙的速度之和为10米/秒，出发200秒后，甲第一次追上乙，求乙的速度； (2)在400米的环形跑道上，甲、乙两人同时、不同地、沿环形跑道逆时针同向出发，已知甲、乙的速度之和为10米/秒，甲第40秒第一次追上乙，第240秒第二次追上乙，求出发时两人相距多少米？ 【答案】(1)乙的速度为4米/秒． (2)出发时两人相距80米 【详解】（1）解：设乙的速度为米/秒，则甲的速度为米/秒， 根据题意，得， 解得， 答：乙的速度为4米/秒； （2）解：设乙的速度为米/秒，则甲的速度为米/秒， 根据题意，得， 解得， 所以 所以甲的速度为6米/秒，乙的速度为4米/秒， （米） 答：出发时两人相距80米． 题型04 航行问题 【典例】一轮船航行于两个码头之间，逆水需小时，顺水需小时，已知该船在静水中每小时航行千米，则水流速度为______千米/时． 【答案】 【详解】解：设水流速度为千米/时， 则由题意可得， 解得． 【变式】已知甲、乙两船在静水中的速度都是，水流速度是． (1)若甲、乙两船从A港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，则后两船相距多远？ (2)若甲船从A港口顺水航行到达B港口；从B港口返回A港口逆水而行，用了，求水流速度． 【答案】(1)后甲，乙两船相距 (2)水流的速度为 【详解】（1）解：由题意得，， 答：后甲，乙两船相距； （2）解：根据题意得， 得， 答：水流的速度为 题型05 工程问题 【典例】现在有一项工程由甲乙两个工程队合作完成，已知甲队单独完成该工程需要20天，乙队单独完成该工程需要30天． (1)若两队合作，需要多少天能完成此工程？ (2)当甲乙两队合作6天后，乙工程队因调动而离开，剩余工作由甲队单独完成．问：当乙工程队离开后，甲队还需要多少天才能完成工程？ 【答案】(1) 两队合作需要12天完成此工程 (2) 甲队还需要10天才能完成工程 【详解】（1）解：记总工作量为单位1． 设两队合作需要天完成此工程. 甲队工作效率为，乙队工作效率为 ； 由题意得， 解得； 答：两队合作需要12天完成此工程． （2）解：记总工作量为单位1． 设乙队离开后，甲队还需要天才能完成工程． 由题意得， 解得； 答：甲队还需要10天才能完成工程． 【变式】【项目式学习：校园广告牌制作工程】 某校初中七年级数学社团的学生学习了方程的知识后，参与了一个项目式学习——校园广告牌制作工程，下面是他们学习单的一部分，请你结合工程实际，用方程（组）的知识解决下列问题： 项目背景 学校校办厂需制作一块公益广告牌，邀请两名工人完成制作．已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天． (1)若两名工人从一开始就合作制作，需要多少天可以完成全部广告牌？ (2)现调整施工方案：由徒弟先单独制作1天，再由两人合作完成剩余工作．全部完工后共获得报酬450元，若按各自完成的工作量计算报酬，请你分别求出师傅和徒弟应分得的报酬金额． (3)请你再设计一种新的施工方案（例如“一人先做若干天，再两人合作”或“两人合作后一人离开”等），并列出对应的方程，无需求解． 【答案】(1)两人合作需要天完成全部广告牌 (2)师傅和徒弟应分得的报酬金额各为225元 (3)师傅与徒弟合作先合作2天，然后由徒弟独自完成剩余部分，徒弟还需几天完成？ 【详解】（1）解：设两人合作需要x天完成，由题意得：， 解得：． 经检验是原方程的解，且符合题意． 答：两人合作需要天完成． （2）解：设两人合作还需y天完成，由题意得：， 解得：． 经检验是原方程的解，且符合题意． 师傅的工作量为，徒弟的工作量为，因为师傅和徒弟的工作量相同，所以报酬也相同，每人应得元． 答：师傅和徒弟各得225元． （3）解：（问题不唯一） 如：师傅与徒弟先合作2天，然后由徒弟独自完成剩余部分，徒弟还需几天完成？ 解：设徒弟还需m天完成，由题意得：. 【巩固训练】 1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时．丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，水池注满还要（     ）个小时． A．15 B．20 C．35 D．40 【答案】C 【详解】解：把一池水总水量看作单位， 甲单独注满需小时，乙单独注满需小时，丙单独排完整池水需小时 甲进水效率为，乙进水效率为，丙排水效率为， 设水池注满还要小时， 根据题意可得，， 解得， 即水池注满还要小时． 2．轮船沿江从港顺流行驶到港需要小时，比从港逆流返回港少用小时，若轮船在静水中的速度为千米/小时，水流速度为千米/小时，则港和港相距多少千米．列方程表示为______． 【答案】 【详解】解：由题意得，顺流速度为千米/时，逆流速度为千米/时， ∵顺流行驶时间为小时， ∴港到港的路程为， ∵轮船顺流比逆流少用小时， ∴逆流行驶时间为小时， ∴港到港的路程为， 又∵两港的路程为定值， ∴可列方程为． 3．运动场环形跑道的周长为400米，小红在跑道上按逆时针方向匀速跑步，速度为5米/秒，同时爷爷在小红后面100米的地方也沿该环形跑道按逆时针方向匀速跑步，已知爷爷的速度小于小红的速度．若两人第一次相遇所用的时间为80秒，则爷爷的速度为__________米/秒． 【答案】 【详解】解：设爷爷的速度为米/秒， 由题意得，， 解得， 故爷爷的速度为米/秒． 故答案为：． 4．甲、乙两人分别从两地同时相向而行，当甲走出千米时，乙恰好走完了两地之间距离的，此时两人相距千米，则两地之间距离为___________千米． 【答案】或 【详解】解：设、两地之间距离为千米． ①当两人未相遇时，甲走的路程与乙走的路程之和加上相距距离等于总距离，即，解得． ②当两人相遇后相距千米时，甲走的路程与乙走的路程之和减去总距离等于相距距离，即，解得． 故、两地之间距离为千米或千米． 故答案为：或． 5．A、B两地相距600千米，一列慢车从A地开出，每小时行驶80千米，一列快车从B地开出，每小时行驶120千米，两车同时开出． (1)若相向而行，出发后多少小时相遇？ (2)若相背而行，多少小时后，两车相距800千米 【答案】(1)若相向而行，出发后3小时相遇． (2)若相背而行，1小时后，两车相距800千米． 【详解】（1）解：设出发后x小时相遇，根据题意得： ． 解得：； 答：若相向而行，出发后3小时相遇． （2）解：设y小时后两车相距800千米，根据题意得： ． 解得： 答：若相背而行，1小时后，两车相距800千米． 6．甲、乙两车分别从A、B两城同时相对开出，经过4小时，甲车行了全程的，乙车超过中点15千米，已知甲车比乙车每小时多行3千米，A，B两城相距多少千米？ 【答案】90千米 【详解】解：设A，B两城相距为千米， 则， ， ， 答：A，B两城相距为千米． 7．某市新区现有一段长为180米的河堤整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，已知A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，此工程共用时20天．求A，B两个工程队各工作了多少天？ (1)若设A工程队工作了x天，则B工程队工作了 天（用含x的代数式表示）； (2)请按（1）中所设的未知数，列方程解此问题． 【答案】(1) (2) 解：由题意得：， ， ， ， ， ∴． 答：A工程队工作了5天，B工程队工作了15天． 【详解】（1）解：∵A工程队工作了x天，工程共用时20天， ∴B工程队工作了天． （2）略 8．如图，已知A，B，C三地在同一直线上，，，甲、乙两人同时从A地出发，同向而行，分别前往B地和C地．    (1)若甲、乙的速度比是，结果甲比乙提前到达目的地． ①设甲的速度为，完成下表； 路程 速度 时间 甲 6 _______ 乙 10 _______ _______ ②求甲、乙的速度； (2)若甲、乙的速度比是，其他条件不变，结果谁先到达目的地？请说明理由． 【答案】(1)①填表如下： 路程 速度 时间 甲 6 乙 10 ②甲的速度为，乙的速度为 (2) 乙先到达， 理由：设甲的速度为，乙的速度为， ，， ， ， ， 甲用的时间比乙长，即乙先到达目的地． 【详解】（1）解：①略 ②根据题意列方程，得， 解得， 经检验是原方程的解， ，， 答：甲的速度为，乙的速度为； （2）略 9．小亮每天去体育场晨练，会见到一位田径队的叔叔也在锻炼．两人沿环形跑道跑步，每次总是小亮跑完2圈时，叔叔跑完3圈． (1)一天，两人同时同地出发，反向而跑，小亮看了一下计时表，发现隔了32s两人第一次相遇，求两人的速度． (2)第二天小亮打算和叔叔同时同地出发，沿跑道同向而跑，看叔叔隔多少时间与他第一次相遇．你能先给小亮预测一下吗？ 【答案】(1)小亮速度为，叔叔速度为； (2)． 【详解】（1）解：设小亮的速度为，则叔叔的速度为， 根据题意可知， 解得， 因此小亮速度为，叔叔速度为； （2）解：设同向出发后，经过两人第一次相遇， 根据题意列方程得：， 解得． 10．某村为了更方便地运输农作物，现计划将村里全部的交通主干道修成水泥路．已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的2倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为25天． (1)甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天？ (2)若甲先单独修5天，之后甲、乙合作修完，甲、乙还需合作几天才能完成此项工程？ 【答案】(1)甲工程队单独完成此项工程需要15天，乙工程队单独完成此项工程需要10天． (2)甲、乙还需合作4天才能完成此项工程． 【详解】（1）解：设乙工程队单独完成此项工程需要天，则甲工程队单独完成此项工程需要天，根据题意得： ，解得， 甲单独完成需要的天数为（天） 答：甲工程队单独完成此项工程需要15天，乙工程队单独完成此项工程需要10天． （2）设甲、乙还需合作天才能完成此项工程，将总工程量看作单位1，则甲每天工作效率为，乙每天工作效率为，根据题意得： ，解得． 答：甲、乙还需合作4天才能完成此项工程． 【强化训练】 1．《九章算术》被尊为“算经之首”，其中有一道题：“今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲乃发长安，问几何日相逢？”意思是：甲从长安出发，5天到齐国；乙从齐国出发，7天到长安．现乙先出发2天，甲才从长安出发，问甲经过几天可以与乙相遇．设甲经过x天可以与乙相遇，则可以列出的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：把长安到齐国的总路程看作单位， ∵甲天走完全程，∴甲的速度为，甲走了天，因此甲走的路程为， ∵乙天走完全程，∴乙的速度为，乙先出发天，因此乙一共走了天，乙走的路程为； 相遇时甲乙的路程和等于总路程，因此可列方程： ． 2．如图，这是标准400米跑道，它由两条弯道（左侧，右侧）和两条直道，组成，每条弯道的长是115.6米，每条直道的长是84.4米．小斌站在C处，小强站在B处，两人同时逆时针方向跑步．小斌每秒跑4米，小强每秒跑6米．当小强第一次追上小斌时，他们的位置在（    ） A．弯道上 B．直道上 C．弯道上 D．直道上 【答案】D 【详解】解：设t秒后，小强第一次追上小斌． 由题意得，， ∴， ∴小斌跑过的路程为：（米）， ∵小斌是从C点出发，逆时针出发， ∴第一段是弯道， 小斌跑完弯道后，还剩下的路程为：（米）， 接下来是直道，长度为84.4米， ∵， ∴小斌第一次被小强追上是在直道上． 3．一名游泳爱好者在河中逆流而上，于某桥下遗失水壶，水壶被水冲走. 继续向前游了分钟发现水壶遗失，立即返回，在距该桥千米的地方追到水壶．则水流速度为__________米/分． 【答案】 【详解】解：千米米， 设水流速度为米/分，人在静水中游泳速度为米/分， 丢失水壶后，人逆流游分钟： 人逆流速度为米/分， 人逆流游的路程为米， 水壶分钟顺水漂的路程为米， 此时人和水壶相距（米）； 人掉头顺水去追水壶： 人顺水速度为米/分， 水壶速度为米/分， 速度差为（米/分）， 追赶需要的时间为（分钟）； 水壶一共漂流的总时间为（分钟）， 水壶一共漂流了米， ， ， ， 答：水流速度为米/分． 4．从电车总站每隔一定时间开出一辆电车．甲与乙两人在一条街上反方向步行，甲沿电车发车方向每分钟步行60米，每隔20分钟有一辆电车从后方超过自己；乙每分钟步行80米，每隔10分钟遇上迎面开来的一辆电车．那么电车总站每隔_____分钟开出一辆电车． 【答案】14 【详解】解：设电车速度为米/分， 由题意，， 解得：， 电车总站每隔， 故答案为：14． 5．甲、乙周末骑自行车去郊外游玩，甲从A地出发沿直线匀速前往B地，乙在甲前面1千米处沿相同路线同时出发前往B地，甲的速度比乙的速度的2倍少8千米/小时，他们出发30分钟后，甲追上乙． (1)求甲和乙的速度； (2)若甲追上乙后，甲的速度立即提高3千米/小时快速到达B地，到达B地后休息12分钟，再沿原路以提速后的速度返回，乙仍按原速前往B地，结果两人在距离B地2千米处再次相遇，求A，B两地的距离． 【答案】(1)甲的速度是12千米/小时，乙的速度是10千米/小时 (2)A，B两地的距离为22千米 【详解】（1）解：设乙的速度是x千米/小时，则甲的速度是（2x﹣8）千米/小时， 根据题意得：， 解得：x＝10， ∴2x﹣8＝2×10﹣8＝12（千米/小时）． 答：甲的速度是12千米/小时，乙的速度是10千米/小时； （2）设A，B两地的距离为y， 根据题意得：， 解得：y＝22． 答：A，B两地的距离为22千米． 6．小新周末去爬山，路程由一段坡路和一段平路组成．去时，上坡路段用了0.8小时，平路用了0.3小时；原路返回时，平路速度保持不变，下坡速度比上坡速度快1.5千米/小时，下坡路段用了0.5小时．已知往返的总路程为6.4千米． (1)求小新上坡时的平均速度； (2)小新在平路路段的平均速度是多少？ 【答案】(1) 小新上坡时的平均速度为2.5千米/小时 (2) 小新在平路路段的平均速度为4千米/小时 【详解】（1）解：设小新上坡时的平均速度为千米/小时，则下坡速度为千米/小时， 由题意得， 解得， 答：小新上坡时的平均速度为千米/小时； （2）解：千米， 千米， 千米/小时， 答：小新在平路路段的平均速度是4千米/小时． 7．某企业聘用甲、乙两队完成一项工程，已知乙队单独完成这项工程需天，甲队单独完成所需天数是乙队单独完成所需天数的倍．如果甲、乙两队先合作天，接着甲队因故停工天（乙队不停工），后继续与乙队合作完成剩下的工程． (1)甲队单独完成这项工程需要 天． (2)完成这项工程总共用了多少天？ (3)该企业为了这项工程一共支付万元的费用．如果你是决策者，你会将这笔费用如何分配给甲、乙两队？请设计一个分配的方案，并说明分配的依据． 【答案】(1) (2)完成这项工程总共用了天． (3)分配方案：甲队分得万元，乙队分得万元．分配依据：按两队完成的工作量占总工作量的比例分配，多劳多得． 【详解】（1）解：（天）， 故甲队单独完成这项工程需要天． （2）解：设甲队复工后，两队继续合作天完成剩余工程．则 ， 解得， （天）， 答：完成这项工程总共用了天． （3）解：∵甲实际工作天数（天）， ∴甲完成工作量， ∵乙实际工作天数为天， ∴乙完成工作量， ∴甲队费用（万元），乙队费用（万元）， ∴分配方案：甲队分得万元，乙队分得万元．分配依据：按两队完成的工作量占总工作量的比例分配，多劳多得． 8．一组工人要完成相邻2列火车的卸货任务，其中卸完火车所需时间是火车的2倍．他们上午10点开始工作，先全组人一起卸火车的货物，到了，分出一半人去卸火车的货物，14点时，火车的货已经卸完，火车剩下的货还需14人共同工作1小时完成．如果每人的工作效率相同，那么该组工人一共有多少人？ 【答案】该组工人一共有16人 【详解】解：设该组工人一共有x人，每人每小时的工作效率为1， 他们上午10点到，共2.5小时，全组人一起卸A火车的货物的工作量为， 从到14点，共1.5小时，一半人卸A火车的货物的工作量为， 则卸A火车的货物的总工作量为； 从到14点，共1.5小时，一半人卸火车的货物的工作量为， 火车的货物剩余工作量为， 故卸B火车的货物的总工作量为， 因为卸完火车所需时间是火车的2倍，每人每小时的工作效率相同， 所以卸完火车货物的工作量是火车的2倍． 所以， 解得， 答：该组工人一共有16人． 9．在一次机器人跑步比赛中，自主导航机器人（以下称A类机器人）与遥控机器人（以下称B类机器人）在同一赛道比赛，统一排名．为鼓励自主导航技术研发，主办方制定了以下计算完赛成绩的规则： ·A类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）； ·B类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）的倍． 已知比赛中，一台A类机器人全程保持匀速，途中没有维护，完赛成绩为；一台B类机器人起跑后，前保持匀速，速度是这台A类机器人的倍，之后原地维护，维护后匀速跑至终点，速度比维护前增加了，完赛成绩为．求这台A类机器人的速度和此次比赛从起点到终点的路程． 【答案】A类机器人的速度为，比赛起点到终点的路程为 【详解】设这台A类机器人的速度为， 由题意可知，， 解得， 所以， 答：这台A类机器人的速度为，此次比赛从起点到终点的路程为． 10．已知码头位于，两码头之间，，之间相距20海里，，之间相距60海里，甲船从码头顺流驶向码头，乙船从码头顺流驶向码头，丙船从码头开往码头后立即掉头返回码头．已知甲船在静水中的航速为5海里/时，乙船在静水中的航速为4海里/时，丙船在静水中的航速为8海里/时，水流速度为2海里/时，三船同时出发，每艘船都行驶到B码头停止． (1)当三船出发行驶了3小时后，甲船和丙船之间相距多少海里？ (2)当乙船和丙船相距8海里时，丙船行驶了多少小时？ (3)在整个运动过程中，是否存在某一时刻，这三艘船中的一艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等？若存在，请求出此时甲船离码头的距离；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)21海里 (2)或4或小时 (3)存在，或32或20海里 【详解】（1）解：根据题意，得甲船的速度为海里/时，乙船的速度为海里/时，丙船从码头开往码头的速度为海里/时，丙船从码头开往码头的速度为海里/时， ∵码头位于，两码头之间，，之间相距20海里，，之间相距60海里， ∴，之间相距海里， ∴ 丙船从码头开往码头的时间小时， ∴行驶了3小时后，甲船和丙船之间相距为海里； （2）解：丙船行驶了小时， 当丙船从码头开往码头，且在相遇前， 根据题意，得， 解得； 当丙船从码头开往码头，且在相遇后， 根据题意，得， 解得； 当丙船从码头开往码头， ∵丙船从码头开往码头和乙船从C码头开往B码头的速度相同， ∴当丙船从码头开往码头时，乙船到达B码头， 根据题意，得， 解得， 答：丙船行驶了或4或小时； （3）解：甲船到码头的时间为小时，甲船到码头的时间为小时，甲船和丙船相遇的时间为小时，乙船到码头的时间为小时，丙船从码头开往码头的时间为小时， ∵， ∴三船都在行驶中，甲船不可能追上乙船，丙船不可能追上甲船， 如果在整个运动过程中，存在某一时刻，这三艘船中的一艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等，设此时三船行驶时间为， 当乙、丙两船相遇前， 根据题意，得， 解得， 此时甲船离码头的距离为（海里）； 当甲、丙两船相遇前， 根据题意，得， 解得； 此时甲船离码头的距离为（海里）； 当甲、丙两船相遇后，丙船到达码头前， 根据题意，得， 解得； 此时甲船离码头的距离为（海里）； 当甲、丙两船相遇后，丙船到达码头后（此时乙船停在码头）， 根据题意，得， 解得（不符合题意，舍去）； ∴在整个运动过程中，存在某一时刻，这三艘船中的一艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等，此时甲船离码头的距离为或32或20海里． / 学科网（北京）股份有限公司 $