专题06 新定义运算与规律探究（重难点讲义）数学新教材人教版七年级上册

本讲义聚焦初中数学“新定义运算与规律探究”核心知识点，系统构建从理解新定义运算规则、按序计算，到观察数字算式图形变化归纳通用规律，再到掌握周期规律求解方法的学习支架，衔接具体运算与抽象规律的思维过渡。 该资料以核心素养为导向，通过典例与变式结合、分层训练设计，培养学生抽象能力（符号意识）、推理意识与应用意识。如新定义运算题强化规则代入与符号运用，规律探究题引导观察相邻数关系及循环节判断结果，课中辅助教师引导从具体到抽象，课后助力学生通过巩固训练查漏补缺，提升问题解决能力。

专题06 新定义运算与规律探究 1. 理解新定义运算的规则，能严格按规则列式计算； 2. 能观察数字、算式、图形的变化，归纳通用规律； 3. 掌握周期规律的求解方法。 一、新定义运算 题目自定义运算符号和公式，无需套用原有运算律，严格代入数值、按运算顺序计算即可。 二、 规律探究 （1）数字规律：观察相邻数的差、商、平方、倍数关系； （2）周期规律：找出重复循环的一组数据，用总数除以循环节，通过余数判断结果。 题型01 新定义运算 【典例】规定新运算：，如，则________． 【答案】 【详解】解：根据题中的新定义得： ， 故答案为：． 【变式】x，y表示两个数，规定新运算“※”及“△”如下：，那么______． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 题型02 数字类规律探究 【典例】根据规律，“？”处应填___________． 【答案】 【详解】解：方框1： 方框2： 方框3： 规律：第一行的两个数的和与第二行第一个数的积等于第二行的第二个数． “？”处应填． 【变式】观察一组数：，，，，，，…．根据以上规律，用代数式表示第个数为__________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：观察给出的数可知，第个数的绝对值为，当为奇数时，为正数；为偶数时，为负数， ∴用代数式表示第个数为． 题型03 周期循环规律 【典例】有一数值转换器，原理如图所示，如果开始输入的值是5，则第一次输出的结果是8，第二次输出的结果是7，……那么第2026次输出的结果是______． 【答案】8 【详解】解：开始输入的值是5，5为奇数代入，得到第一次输出的结果是8； 8为偶数代入，得到第二次输出的结果是7； 7为奇数代入，得到第三次输出的结果是10； 10为偶数代入，得到第四次输出的结果是8， 这与第一次输出结果相同，所以输出结果按照8、7、10三个数字进行循环， ， 则第2026次输出的结果是8． 【变式】已知为实数，规定运算：，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可知，时，，，，，…， 其规律是3个为一次循环， ∵， ∴． 【巩固训练】 1．算式的个位数是（     ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】B 【详解】解：计算3的各次幂的个位数字：个位为；个位为；个位为；个位为；个位回到， 故3的正整数次幂的个位以，，，为一个周期循环，周期为，每个周期的个位和为，个位为， 算式共有项，，即共有个完整周期，剩余1项，剩余项的个位与周期第1项的个位相同，为， ∵， ∴原式总和的个位为． 2．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，有如下结论： ①； ②是8的倍数； ③m，n为正整数，且，若是“和谐数”，则， 其中正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：① 观察“和谐数”可知，设下标为，则被减数的底数为，减数的底数为， 即； ． 故①正确； ②根据①找出的规律知： ， 是8的倍数． 故②正确； ③ 若，则原式， 而0不是正整数，故不可能是“和谐数”． 故③错误. 3．定义新运算为，则___________． 【答案】 【详解】解：∵新运算规则为， ∴． 4．（1）有一列数2，9，8，2，6，…从第三个数起，每个数都是前面两个数乘积的个位数字．这列数中的第2012个数是( )． （2）1，8，27，64，…这列数中第n个数是( )． 【答案】 4 【详解】解：（1）按照题目规则写出数列找循环：前两个数是，，从第三个数起依次计算：，个位是，即第三个数是；，个位是，即第四个数是；，个位是，即第五个数是；，个位是，即第六个数是；，个位是，即第七个数是；，个位是，即第八个数是；，个位是，即第九个数是，开始重复前面第三个数的结果；因此，去掉前个不参与循环的数，循环节为，长度为。计算：，，没有余数，因此第个数对应循环节的最后一个数，即； （2）观察数列规律：第个数为，第个数为，第个数为，第个数为，以此类推，第个数为． 5．定义新运算：对于任意实数a，b，都有，其中等号右边是通常的减法及乘法运算．如．请计算______． 【答案】 【详解】解：． 6．如图，按以下规律，在第四个正方形内填入的数是______． 【答案】 【详解】 解：观察可得：， 观察可得：， 观察可得：， 则为：． 7．、表示两个数，规定新运算“”及“”如下，，那么________． 【答案】 324 【详解】解：由题意得， 则． 8．若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：根据新运算得． （2）解：， ． 9．有一些自然数，这样排列：1、2、2、3、3、3、1、1、2、2、2、3、3、3、3、1、1、1、2、2、2、2、3、3、3、3、3、… (1)第100个数是几？ (2)到第几个数时正好有100个3排在一起？（这个数后面的数字不再是3） 【答案】(1) 第100个数是3. (2) 到第14847个数时正好有100个3排在一起. 【详解】（1）解：将每一段“连续的1、连续的2、连续的3”记为一组， 第1组有1个1，2个2，3个3， 第2组有2个1，3个2，4个3， 第3组有3个1，4个2，5个3， ， 以此类推，可知第组有个1，个2，个3， ∴第组有个数， ∴前组一共有个数， 当时，前组一共有个数， 当时，前组一共有个数， ∵第7组一共有个3，且，， ∴第100个数是3； （2）解：∵， ∴第98组有100个3排在一起， ∵前98组一共有个数， ∴到第14847个数时正好有100个3排在一起． 10．已知下列等式：①；②；③，… (1)请仔细观察前三个式子的规律，写出第④个式子： ； (2)请你找出规律，写出第n个式子 ． (3)利用（2）中发现的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：由题意，可得：第④个式子为； 故答案为：； （2）解：①第1个式子：； 第2个式子：； 第3个式子：； ∴第n个式子：； 故答案为：； （3）解：∵ ∴原式 ． 【强化训练】 1．如图，按此规律，第行最后一个数字是，第（　　）行最后一个数是． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：每一行的最后一个数分别是，，，， ∴第行的最后一个数字为， ∴当时，， ∴第行最后一个数是． 2．一个各数位均不为0的三位自然数，若，则称为“方加数”．例如：三位数723，，∴723是“方加数”．若一个方加数是奇数，且是整数，则满足条件的的值不可能是（     ） A．521 B．723 C．817 D．925 【答案】C 【详解】解：已知各数位不为0，，N为三位数，N为奇数，因此个位为奇数， A选项，即， ，满足方加数定义， 又，是整数，N是奇数，符合条件，A可能； B选项，即， ，满足方加数定义， 又，是整数，N是奇数，符合条件，B可能； C选项，即， ，满足方加数定义，N是奇数， 但，不是整数，不满足条件，C不可能； D选项，即， ，满足方加数定义， 又，是整数，N是奇数，符合条件，D可能． 3．下图给出的各组数字中，空白处应该填写的数字依次是（     ） A．7，8，12，18 B．7，13，12，17 C．13，8，12，15 D．7，13，14，17 【答案】B 【详解】解：由第一个图得，上面一行数字是下面所对应数字的3倍， ∴第一个图空白处的数字为； 由第二个图得，上一行数字分别比下一行数字大7， ∴第二个图空白处的数字为； 由第三个图得，上面一行数字是下面所对应数字的2倍， ∴第三个图空白处的数字为； 由第四个图得，下面一行数字比上面所对应数字分别大3、6、9， ∴第四个图空白处的数字为； ∴空白处应该填写的数字依次是7，13，12，17． 4．对于实数a，b，定义新运算“※”，规定：，如，则的值为______． 【答案】 【详解】解：， ∴． 5．已知，，，，那么________________________． 【答案】 【详解】解：观察已知式子： （个奇数）， （个奇数）， （个奇数）， （个奇数）， 总结规律：从开始，连续个奇数相加，结果等于． 最后一个奇数是，奇数的个数：， ． 6．如果那么( )． 【答案】 【详解】 解：∵定义， ∴ ， ， ， ∴ 原式 ． 7．按一定规律排列的数：，，，，⋯，以此规律排列，第7个数是___． 【答案】 【详解】解：观察已知排列的数：第个数：， 第个数：， 第个数：， 第个数：， 由此可得规律，第个数为， 当时，代入得：． 8．对于正整数，定义，例如：，．规定：，（为正整数）．例如：．按此定义，______，______． 【答案】 【详解】解：根据题意得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由此可得，从开始，每次计算为一个循环， 循环顺序为， ∵，， ∴对应循环的最后一个数，为58． 9．【教材呈现】教材七年级下册第一章课后习题： 11．观察下列各式： ，，，…… 个位数字是5的两位数平方后，结果末尾的两个数字有什么规律？为什么？你还能找到哪些类似的规律？试举一例． (1)依据上述等式的规律，填空：______； (2)【拓展探究】同学们进一步思考发现：十位数字相同，个位数字和为10的两个两位数相乘，也可以用类似的规律进行计算． 例如：， ， ， …… 依据上述等式的规律，写出计算的过程与结果：____________________； (3)设两个两位数的十位数字为，个位数字分别为，，且，请用代数式表示上述规律，并说明理由． 【答案】(1)2025 (2)，3016 (3)规律为： 理由：左边 （乘法对加法的分配律逆运算） 因为， 所以左边， 右边左边 所以等式的规律正确． 【详解】（1）解：个位数字是5的两位数平方后，结果末尾的两个数字为25；理由如下： 设两位数的十位数字为a，则两位数为， ∴， ∴末尾的两个数为25； ∴； （2）解：∵， ， ， ……， ∴依据上述等式的规律，； （3）略 10．【问题提出】两个相邻整数的“平方的平均数”与这两个整数的“平均数的平方”相等吗？若不相等，相差多少？为便于研究，把“平方的平均数”记为，“平均数的平方”记为． 【特例研究】 (1)为了研究这个问题，小龙选取两个相邻整数和进行探究，则，，发现，且． 请你再选取两个相邻整数求的值； 【推理证明】 (2)小龙由（1）的结果大胆提出猜想：两个相邻整数的“平方的平均数”与这两个整数的“平均数的平方”的差是一个定值．为了探究结论的一般性，小龙设两个相邻整数分别为和，则，… 请你按照小龙的思路，完成猜想的证明． 【联系拓广】 (3)在上述探究的基础上，小龙继续猜想：任意三个相邻整数的“平方的平均数”与这三个整数的“平均数的平方”的差也是一个定值．请你通过代数推理，验证小龙的猜想． 【答案】(1) (2)证明：， ， ，为定值． (3)证明：设这三个相邻整数为，，， 所以， ， ， 可以代表任意整数， 任意三个相邻整数的“平方的平均数”与这三个整数的“平均数的平方”的差是定值． 【详解】（1）解：选取和， 则， ， ， 故． （2）略 （3）略 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 新定义运算与规律探究 1. 理解新定义运算的规则，能严格按规则列式计算； 2. 能观察数字、算式、图形的变化，归纳通用规律； 3. 掌握周期规律的求解方法。 一、新定义运算 题目自定义运算符号和公式，无需套用原有运算律，严格代入数值、按运算顺序计算即可。 二、 规律探究 （1）数字规律：观察相邻数的差、商、平方、倍数关系； （2）周期规律：找出重复循环的一组数据，用总数除以循环节，通过余数判断结果。 题型01 新定义运算 【典例】规定新运算：，如，则________． 【变式】x，y表示两个数，规定新运算“※”及“△”如下：，那么______． 题型02 数字类规律探究 【典例】根据规律，“？”处应填___________． 【变式】观察一组数：，，，，，，…．根据以上规律，用代数式表示第个数为__________． 题型03 周期循环规律 【典例】有一数值转换器，原理如图所示，如果开始输入的值是5，则第一次输出的结果是8，第二次输出的结果是7，……那么第2026次输出的结果是______． 【变式】已知为实数，规定运算：，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（     ） A． B． C． D． 【巩固训练】 1．算式的个位数是（     ） A．1 B．3 C．7 D．9 2．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，有如下结论： ①； ②是8的倍数； ③m，n为正整数，且，若是“和谐数”，则， 其中正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．定义新运算为，则___________． 4．（1）有一列数2，9，8，2，6，…从第三个数起，每个数都是前面两个数乘积的个位数字．这列数中的第2012个数是( )． （2）1，8，27，64，…这列数中第n个数是( )． 5．定义新运算：对于任意实数a，b，都有，其中等号右边是通常的减法及乘法运算．如．请计算______． 6．如图，按以下规律，在第四个正方形内填入的数是______． 7．、表示两个数，规定新运算“”及“”如下，，那么________． 8．若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)求的值． 9．有一些自然数，这样排列：1、2、2、3、3、3、1、1、2、2、2、3、3、3、3、1、1、1、2、2、2、2、3、3、3、3、3、… (1)第100个数是几？ (2)到第几个数时正好有100个3排在一起？（这个数后面的数字不再是3） 10．已知下列等式：①；②；③，… (1)请仔细观察前三个式子的规律，写出第④个式子： ； (2)请你找出规律，写出第n个式子 ． (3)利用（2）中发现的规律计算：． 【强化训练】 1．如图，按此规律，第行最后一个数字是，第（　　）行最后一个数是． A． B． C． D． 2．一个各数位均不为0的三位自然数，若，则称为“方加数”．例如：三位数723，，∴723是“方加数”．若一个方加数是奇数，且是整数，则满足条件的的值不可能是（     ） A．521 B．723 C．817 D．925 3．下图给出的各组数字中，空白处应该填写的数字依次是（     ） A．7，8，12，18 B．7，13，12，17 C．13，8，12，15 D．7，13，14，17 4．对于实数a，b，定义新运算“※”，规定：，如，则的值为______． 5．已知，，，，那么________________________． 6．如果那么( )． 7．按一定规律排列的数：，，，，⋯，以此规律排列，第7个数是___． 8．对于正整数，定义，例如：，．规定：，（为正整数）．例如：．按此定义，______，______． 9．【教材呈现】教材七年级下册第一章课后习题： 11．观察下列各式： ，，，…… 个位数字是5的两位数平方后，结果末尾的两个数字有什么规律？为什么？你还能找到哪些类似的规律？试举一例． (1)依据上述等式的规律，填空：______； (2)【拓展探究】同学们进一步思考发现：十位数字相同，个位数字和为10的两个两位数相乘，也可以用类似的规律进行计算． 例如：， ， ， …… 依据上述等式的规律，写出计算的过程与结果：____________________； (3)设两个两位数的十位数字为，个位数字分别为，，且，请用代数式表示上述规律，并说明理由． 10．【问题提出】两个相邻整数的“平方的平均数”与这两个整数的“平均数的平方”相等吗？若不相等，相差多少？为便于研究，把“平方的平均数”记为，“平均数的平方”记为． 【特例研究】 (1)为了研究这个问题，小龙选取两个相邻整数和进行探究，则，，发现，且． 请你再选取两个相邻整数求的值； 【推理证明】 (2)小龙由（1）的结果大胆提出猜想：两个相邻整数的“平方的平均数”与这两个整数的“平均数的平方”的差是一个定值．为了探究结论的一般性，小龙设两个相邻整数分别为和，则，… 请你按照小龙的思路，完成猜想的证明． 【联系拓广】 (3)在上述探究的基础上，小龙继续猜想：任意三个相邻整数的“平方的平均数”与这三个整数的“平均数的平方”的差也是一个定值．请你通过代数推理，验证小龙的猜想． / 学科网（北京）股份有限公司 $