专题08 代数式的值（重难点讲义）数学新教材人教版七年级上册

本讲义聚焦初中数学代数式的值这一核心知识点，系统梳理从代数式值的定义，到直接代入求值的规范步骤，再到整体代入思想的应用，最后延伸至规律求值问题，构建递进式学习支架。 资料通过分层设计典例、变式及巩固强化训练，以整体代入题型培养学生推理意识，结合几何阴影面积计算发展模型意识与应用意识。课中助力教师实施分层教学，课后帮助学生查漏补缺，提升知识应用能力。

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08代数式的值 攻 重难目标 1.掌握直接代入法求代数式的值，规范解题步骤； 2.理解整体代入思想，能对代数式变形后整体代换求值； 3.能解决简单的代数式规律求值问题。 重难知识 一、代数式的值定义 用数值代替代数式中的字母，按照代数式规定的运算顺序计算出的结果，叫做代数式的值。 二、直接代入求值步骤 代入（将字母换成对应数值）→抄写原式→计算（遵循有理数运算顺序）→得出结果。 三、整体代入思想 不单独求解字母数值，将已知的整体式子（如a+b、a-b、ab)作为整体，对所求代数式变形、凑出相 同整体后代入计算。 斩 重难题型 题型01直接代入求值 【典例】当x=-5时，代数式x+7的值是() A.-12 B.-2 C.2 D.12 【答案】C 【详解】把x=-5代入x+7可得x+7=-5+7=2, 1 【变式】当a=-2,b-3时，求3a-6ab的值 【答案】16 【详解】解：当a=-2,b=3时， 原式=3x(-2}-6×(-2)×?=3×4+4=12+4=16. 3 题型02整体代入求值 1/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例】若x2+x-1=0,则2x2+2x-3= 【答案】-1 【详解】解：x2+x-1=0, ∴整理得x2+x=1, 将所求代数式变形 2x2+2x-3=2(x2+x-3 把x2+x=1代入上式得：2×1-3=-1. a+b+cd 【变式】若ab互为相反数，c八d互为倒数，则a+b+c 【答案】1 【详解】解：：a、b互为相反数，c、d互为倒数， .a+b=0,cd=1(c≠0，d≠0) .原式=0+1=1 练 分层训练 【巩固训练】 1.若+y=-3 则代数式 (x+y)-3x-3y+5 的值是(). A.11 B.8 C.5 D.2 【答案】B 【详解】解：，x+y=-3, ,2(x+y)-3x-3y+5 =2(x+y)-3(x+y)+5 =-(x+y)+5 2/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =-(-3)+5 =8 2.若-3,4=4，且b>0,则a-b=（) A.7 B.1 C.1或-1 D.7或-7 【答案】C 【详解】解： a=3 a=±3 b=4 b=±4； ab>0, ∴.a,b 同号， 故当a=3,b=4时，a-b=3-4=-1: 当a=-3,b=-4时，a-b=-3-（4)=1 ∴.a-b的值为1或-1. 3.设x是最小的正整数，'是绝对值最小的有理数，则x+y= 【答案】1 【详解】解：·x是最小的正整数，y是绝对值最小的有理数， ∴x=1y=0 则x+y=1+0=1 1 4.当=3时，代数式x-1的值为 8 【答案】 【详解】解：将x= 入1，箭-1g1 3/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.如果(x-2+2y+3=0 那么x+4y2= 【答案】 11 【详解】解：(x-2≥0,2y+20,且x-2+2y+3到=0， .x-2=0,2y+3=0 解得x=2,=一3 2 将x=2y=2代入x+4y, 得：4=244-2*429=n 6.己知x-3y=2,那么代数式1+2x-6y的值是 【答案】5 【详解】解：：x-3y=2 .1+2x-6y=1+2(x-3y)=1+2×2=5 7.若m=1+2n,则代数式4+5m-10n的值为. 【答案】9 【详解】解：，m=1+2n, .m-2n=1, ,4+5m-10n=4+5(m-2n）=4+5x1=9 -2025)+a+2024+b= a-10+bl= 8.若4，b互为相反数，则 【答案】 -1 10 【详解】解：4，b互为相反数， .a+b=0, 所以(-2025)+a+2024+b=-2025+2024+(a+b)=-1+0=-1: 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1a-10+b=(a+b)-10=-10=10 9.代数式x2+x+3的值为8，则代数式-2x2-2x+2026的值为 【答案】2016 【详解】解：由题意得：x2+x+3=8 移项得：x2+x=5 -2x2-2x+2026=-2(x2+x)+2026 对所求代数式变形得： 将r+x=5 代入得 -2(x2+x)+2026=-2×5+2026=-10+2026=2016 l0.x,y表示两个数，规定新运算“O”及“△”如下：xOy=mx+心，x△y=ay,其中m,n,k均为 正整数.已知102=5.(203)△5=90 ,(1△2)03 那么 的值是 【答案】15 【详解】解：xOy=mx+y,已知lO2=5, .m×1+n×2=5,即m+2n=5, m,n均为正整数， ∴.得到两组可能解：m=1,n=2或m=3,n=1, ①当m=1,n=2时，203=1×2+2×3=8， .(203)△5=8A5=90x△y=ky 9 “k×8×5=90,解得《=4，不是正整数，舍去该组解； ②当m=3,n=1时，203=3×2+1×3=9， .(2O3)△5=9A5=90x△y=ay “.k×9×5=90,解得k=2,符合k是正整数的要求， 因此得到m=3,n=1,k=2, .1△2=k×1×2=2×1×2=4 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,(1△2)o3=4O3=m×4+n×3=3×4+1×3=15 【强化训练】 1.已知a+b+c=0,则a+bb+cc+a)+a 的结果是() A.ab+bc+ca B.a'b'c2 C.2abe D.0 【答案】D 【详解】解：a+b+c=0, ..a+b=-c,b+c=-a,a+c=-b, .(a+b)(b+c)(c+a)+abc =-abc abc =0 2.若0+2)=，+ax+a,+4,+…+aos (其中x可取任意实数)，则下列选项中不正确的是 () B.a,+a,+a,++a4 32025-1 A.=1 2 C.a,-a2+a-a4+…+a2s=2 23 a202=-1 2202 【答案】D 【详解】解：A.令x=0,代入原式得 +03=a,即8-1， ,故A正确. B.令x=1 ,得 225=a。+a+a2++a20a5① 令=小，得=4-4+0， n-1=a-4+a2--42② 2025-1 ①+②得30-1-2(a+4,++0),整理得+4++am= 2,故B正确. 6/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.由x=-1的等式 1=a-(a1-a2+a3-.…+a2025 ,移项得4-4+a+0s=a,+1=1+1=2 ,故C正 确： 2, 代入原式得1+2×)25=a,+9+% 2 222 2器即25=1+号+++器， ++02 222 2,整理得 ++.+02 222 22025 =25-1≠-1，故D错误。 3.已知x-2y=-2,则5x-10y+9= 【答案】-1 5x-10y+9=5(x-2y)+9=5×(-2)+9=-10+9=-1 【详解】解： 4.当x=- 时，代数式Pr+9+ 的值为2021，则当1时，代数式+g+ 的值为 【答案】-2019 【详解】解：：当=-一时，代数式r+gr+ 的值为2021， -p-9+1=2021 .p+9=-2020 当1 px'+9r+1=p+9+1=-2020+1=-2019 时， 5.若x,y满足等式x2-2x=2y-y2,且y=2,则式子x2+2y+y2-2(x+y)+2020的值为一 【答案】2021 【详制1期：~2-2x=2y-分， ·.x2+y2-2x-2y=02xy=1 x+2xy+y2-2x+y+2020 =(x2+y2-2x-2y)+2xy+2020 =0+1+2020 7/10 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 =2021 f(x,y)=ax+by+c ,f(1,1)=a×1+b×1+c=a+b+c 6.对于实数x,y,给出定义： .己知 f-)=2f)=4,则f86)。 【答案】9 【详解】解：·…-)=2f3,1)=4 [a-b+c=2① ∴.3a+b+c=4②， 由①+②得：4a+2c=6,即2a+c=3, 由②-①得：2a+2b=2,即a+b=1, :f8,6)=8a+66+c=6(a+6)+(2a+c)=6x1+3=9 7已知=6川=3 且-y<0,求+y的值 【答案】-3或-9 【详解】解：闪=6，b以=3 .x=±6，y=3. x-y<0 x<y,只能x=-6, 当y=3时，x+y=-3: 当y=-3时，x+y=-9； 综上，x+y的值为-3或-9 &已知，y病足+2019，+y=10:其中因表示不大于的最大整数，树表示的小数部 分，即=-冈，求，)的值 【答案】x的值为2009，y的值为10.08 8/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：x+[小=2019 x=2019-[y] 川为整数。 .x为整数， :=r=0 ÷{y+y=10.08 .y=10.08 10 x=2019-[y]=2019-10=2009 即x的值为2009，y的值为10.08. 9.已知a-3)与b-4互为相反数，求-d+a+)的值. 【答案】72024-11 【详解】解： a-3与h-4 互为相反数， ∴.(a-3)2+b-4=0 (a-3)2201b-420 a-3=0,b-4=0, 解得a=3,b=4 将a=3,b=4代入 b2-a2+(a+b)2024=42-33+(3+4)2024=16-27+72024=72024-11 10.如图，长方形的长为a,宽为b.现以长方形的四个顶点为圆心，宽的一半为半径在四个角上分别画 出四分之一圆. 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a 6 (1)用含a，,b的代数式表示图中阴影部分的面积： (2当a=10cm,b=4cm时，求图中阴影部分的面积.（元取3） 【答案】(1)ab- b 4 28cm2 (2) 【详解】(1)解：根据题意知，阴影部分的面积为 (2)解：当a=10cm,b=4cm时， 阴影部分的面积为10x4-子×4=40-12=28m 4 10110 专题08 代数式的值 1. 掌握直接代入法求代数式的值，规范解题步骤； 2. 理解整体代入思想，能对代数式变形后整体代换求值； 3. 能解决简单的代数式规律求值问题。 一、 代数式的值定义 用数值代替代数式中的字母，按照代数式规定的运算顺序计算出的结果，叫做代数式的值。 二、直接代入求值步骤 代入（将字母换成对应数值）→ 抄写原式 → 计算（遵循有理数运算顺序）→ 得出结果。 3、 整体代入思想 不单独求解字母数值，将已知的整体式子（如a+b、a-b、ab）作为整体，对所求代数式变形、凑出相同整体后代入计算。 题型01直接代入求值 【典例】当时，代数式的值是（     ） A． B． C．2 D．12 【变式】当，时，求的值 题型02 整体代入求值 【典例】若，则_____________． 【变式】若、互为相反数，、互为倒数，则 =___________． 【巩固训练】 1．若，则代数式的值是（     ）． A．11 B．8 C．5 D．2 2．若，，且，则（     ） A．7 B．1 C．1或 D．7或 3．设是最小的正整数，是绝对值最小的有理数，则______． 4．当时，代数式的值为____________． 5．如果，那么________． 6．已知，那么代数式的值是 ___________． 7．若，则代数式的值为_________． 8．若a，b互为相反数，则______，_______． 9．代数式的值为8，则代数式的值为________． 10．x，y表示两个数，规定新运算“”及“”如下：，，其中m，n，k均为正整数．已知，，那么的值是________． 【强化训练】 1．已知，则的结果是（ 　   ） A． B． C． D．0 2．若（其中可取任意实数），则下列选项中不正确的是（     ） A． B． C． D． 3．已知则__________． 4．当时，代数式的值为2021，则当时，代数式的值为______． 5．若x，y满足等式，且，则式子的值为______． 6．对于实数x，y，给出定义：，例如．已知，，则=________． 7．已知，，且，求的值． 8．已知，满足，；其中表示不大于的最大整数，表示的小数部分，即，求，的值． 9．已知与互为相反数，求的值． 10．如图，长方形的长为，宽为．现以长方形的四个顶点为圆心，宽的一半为半径在四个角上分别画出四分之一圆． (1)用含，的代数式表示图中阴影部分的面积； (2)当，时，求图中阴影部分的面积．（取） / 学科网（北京）股份有限公司 $