专题3 第二章有理数是运算考点易错点重难点复习讲义（解析版+原创版）-2026-2027学年人教版 数学七年级上册

该初中数学讲义通过考点扫描系统构建有理数运算的知识体系，从加法、减法等基础运算到混合运算、科学记数法等综合应用，按逻辑递进呈现13个考点，清晰分布重难点并揭示运算律与实际问题的内在联系。 讲义亮点是分层练习设计，基础题如“绝对值小于3的整数和与积”夯实运算能力，能力题如“公交车上下车人数计算”“新定义运算”培养应用意识，易错点警示帮助规避认知误区，支持不同学生提升，助力教师实施精准复习教学。

专题3 第二章有理数的运算考点易错点重难点复习讲义 第一部分 考点扫描 考点1 有理数的加法 1．如图，数轴上的一个点，从原点出发沿着数轴先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，到达原点右边个单位长度处，根据图写出的算式是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法中正确的是（    ） A．两数相加，其和大于任何一个加数 B．异号两数相加，其和小于任何一个加数 C．绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零 D．两数相加，取较小一个加数的符号作为结果的符号 考点1 有理数的加法运算律 3．下列变形，运用加法运算律正确的是（　　） A． B． C． D． 4．绝对值小于3的所有整数的和是_____，绝对值小于3的所有整数的积是_____． 5．计算：______． 考点1 有理数的减法 6．计算的结果是（    ） A． B．12 C． D．2 7．一个学生由于粗心，在计算41+N时，误将“+”看成“﹣”，结果得12，则41+N的值应为______． 考点4 有理数的加减混合运算 8．把算式写成省略括号的形式，结果正确的是(   ) A． B． C． D． 9．某公交车原坐有18人，经过4个站点时上下车情况如下（上车为正，下车为负）：，，，，则车上还有_______人． 考点5 有理数的乘法 10．如果4个数的乘积为负数，那么这4个数中正数有（    ） A．1个或2个 B．1个或3个 C．2个或4个 D．3个或4个 11．在，，，，这五个数中任取三个数相乘，其中最小的积是______． 考点6 倒数 12．下面（    ）组中的两个数互为倒数． A．和 B．和 C．1.5和 13．写出一个数，使这个数的绝对值等于它的倒数：______． 考点7 有理数的乘法运算律 14．用简便方法计算：，其结果是（    ） A．2 B．1 C．0 D． 15．在计算时，利用乘法的______可以简单运算；其计算结果是______． 考点8 有理数的除法 16．下列说法错误的是（　　） A．一个数与1相乘仍得这个数 B．互为相反数（除0外）的两个数商为1 C．一个数与﹣1相乘得这个数的相反数 D．互为倒数的两个数的积为1 17．计算（－1）÷（－5）×（－）的结果是______ 18．某冷库的室温为，有一批食品需在条件下冷藏，如果每小时降温，那么降到所需温度需要的时间为（    ） A．6小时 B．5小时 C．4小时 D．3小时 考点9 有理数加减乘除混合运算 19．简便计算 (1) (2) (3) (4) (5) 考点10 乘方 20．下列各组数中，相等的一组数是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 21．我国古代典籍《庄子·天下篇》中有这样一句话：“一尺之框，日取其半，万世不竭”．现有一根长为1尺的木杆，第1次截取其长度的一半，第2次截取其第1次剩下长度的一半，第3次截取其第2次剩下长度的一半，如此反复，则第99次截取后，此木杆剩下的长度为______． 考点11 有理数的混合运算（重点） 22．计算（能用简便方法计算的，尽量用简便方法计算） (1) (2) (3) (4) (5) (6) 考点12 科学记数法 23．据国内产品榜统计数据，某款AI搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 24．2025年12月，国家统计局发布权威数据：2025年全国粮食总产量达14298亿斤，较2024年增加167.5亿斤，同比增长，连续两年稳定在1.4万亿斤以上．其中数据“14298亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 25．一个数用科学记数法可写成，则这个数是______． 26．一个整数815550…0用科学记数法表示为8.1555×1010，则原数中“0”的个数为（　　） A．4 B．6 C．7 D．10 考点13 近似数 27．按括号内的要求用四舍五入法求近似数，其中正确的是（    ） A．（精确到十分位） B．（精确到） C．亿亿（精确到个位） D．（精确到） 28．用四舍五入法得到的m的近似数为，则这个数m的范围是（　　） A． B． C． D． 第二部分 易错点警示 易错点1 绝对值化简时，分类讨论易出错 1．m是有理数，则（    ） A．可以是负数 B．不可能是负数 C．一定是正数 D．可是正数也可是负数 易错点2 对乘方的概念理解不清 2．下列关于的说法正确的是（   ） A．表示个相乘的积的相反数 B．底数是，指数是 C．表示个相乘的积的相反数 D．表示个相乘的积的相反数 第三部分 能力点诊断 1．已知，，且，则的值为（　　） A． B． C．或 D．或 2．如图，3×3方格中的任一行、任一列以及对角线上的数字之和相等，那么m等于(    ) A．4 B．5 C．8 D．无法确定 3．有理数在数轴上对应点如图所示，下列式子中结果为正的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知abc＜0，a＋b＋c＞0，且，则x的值为（    ） A．0 B．0或1 C．0或－2或1 D．0或1或－2或－6 5．对于有理数、，定义运算，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 6．四个互不相等的正整数，，，满足．则的最大值是（   ） A．37 B．38 C．39 D．40 7．计算的算式是（    ） A． B． C． D． 8．《孙子算经》中记载：“量之所起，起于粟．六粟为一圭，十圭为一撮，十撮为一抄，十抄为一勺，十勺为一合……”可知：6粟圭，10圭撮，10撮抄，10抄勺，10勺合，则8合为（    ） A．粟 B．粟 C．粟 D．粟 3．监管部门抽查10袋某种食品的质量，每袋这种食品的标准质量是100，超出标准质量的部分记为正，不足标准质量的部分记为负，统计结果记录如下： 每袋与标准质量的差值/g 0 袋数/袋 2 3 3 1 1 则这10袋食品的平均质量是________g/袋． 10．95号汽油8.01元，小红家的汽车加95号汽油，平均每耗油大约，按照这个耗油量，请你算一算小红家的汽车行驶大约需要 _________元．（保留两位小数） 11．新亚商场在2023年“元旦”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价的一次性购物总额，规定相应的优惠方法如下：①如果不超过600元，则不予优惠；②如果超过600元，但不超过900元，则按购物总额给予8折优惠；③如果超过900元，则其中900元给予8折优惠，超过900元的部分给予6折优惠，促销期间，小王和妈妈分别看中一件商品，则应分别付款560元和640元；若合并付款_____________元． 12．小明把自家的冬枣放到网上销售，他原计划每天卖100斤冬枣，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）：根据记录的数据可知小明这一周卖出________斤冬枣． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 +4 -3 -5 +14 -8 +21 -6 13．现定义一种新的运算： ，例如，你按以上方法计算__ __． 14．某出租车司机在一条东西公路上出租．向东记为正，向西记为负．某天自A地出发，所走路程（单位：千米）为：，，，，，，，，，； (1)出租车离开A地的最远距离是多？ (2)最后该出租车是否回到出发点？若没有，则在A地的什么地方？距离A地多远？ (3)若每千米收费元，则今天共收入多少元？ 15．如图，A、B、C、D四张卡片分别代表一种运算，例如，5经过顺序的运算，可列式为：，8经过运算顺序运算，可列式为    (1)请计算； (2)列式计算经过顺序的运算结果； (3)若数x经过顺序的运算，结果是12．则求初始数字x是多少？ 16．阅读下列材料，并解决下面的问题: 我们知道，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算，其实乘方运算也有逆运算，如我们规定式子可以变形为也可以变形为.在式子中，3叫做以2为底8的对数，记为一般地，若则叫做以为底的对数，记为，且具有性质： 其中且 根据上面的规定，请解决下面问题: (1) _______ ；(请直接写出结果) 已知，则______；（用含y的代数式来表示） (2)已知请你用含m的代数式来表示n，其中(请写出必要的过程). 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3 第二章有理数的运算考点易错点重难点复习讲义 第一部分 考点扫描 考点1 有理数的加法 1．如图，数轴上的一个点，从原点出发沿着数轴先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，到达原点右边个单位长度处，根据图写出的算式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法，数轴，解题的关键是理解一对具有相反意义的量可以用正负数表示．根据数轴列出算式即可． 【详解】解：根据题意得：． 故选：B． 2．下列说法中正确的是（    ） A．两数相加，其和大于任何一个加数 B．异号两数相加，其和小于任何一个加数 C．绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零 D．两数相加，取较小一个加数的符号作为结果的符号 【答案】C 【分析】根据有理数的加法分别分析各个选项，然后得出结论即可． 【详解】解：A选项，两数相加，其和大于任何一个加数，说法错误，例如：两个负数相加，故不符合题意； B选项，异号两数相加，其和小于任何一个加数，说法错误，如果和为正数，就不满足题干要求，故不符合题意； C选项，绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零，说法正确，故符合题意； D选项，两数相加，取绝对值较大一个加数的符号作为结果的符号，原说法错误，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查有理数加法的知识，熟练掌握有理数加法是解题的关键． 考点1 有理数的加法运算律 3．下列变形，运用加法运算律正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用加法交换律及结合律判断即可得到结果． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B正确； C、，故C错误； D、，故D错误． 故选：B． 【点睛】此题考查了有理数的加法运算律，熟练掌握加法运算律是解本题的关键． 4．绝对值小于3的所有整数的和是_____，绝对值小于3的所有整数的积是_____． 【答案】 0 0 【分析】本题考查了绝对值与整数的概念、有理数的加法与乘法运算，解题的关键熟知相关概念． 将绝对值小于3的所有整数全列出来，然后进行和与积的计算即可． 【详解】解：绝对值小于3的所有整数为，，2，之和为；之积为， 故答案为：0；0 5．计算：______． 【答案】0 【详解】原式 故答案为：0． 【点睛】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握有理数加法交换律和结合律是解答本题的关键． 考点1 有理数的减法 6．计算的结果是（    ） A． B．12 C． D．2 【答案】C 【分析】直接利用有理数的减法法则进行计算即可． 【详解】解：； 故选C． 【点睛】本题考查有理数的减法，熟练掌握减一个负数等于加上它的相反数，是解题的关键． 7．一个学生由于粗心，在计算41+N时，误将“+”看成“﹣”，结果得12，则41+N的值应为______． 【答案】70 【分析】由题意求出N的值,再把N的值代入原代数式求值即可. 【详解】解:根据题意有,41-N=12， N=29， 41+N=41+29=70， 41+N的值应为70. 故答案：70. 【点睛】本题考查了代数式求值的方法,同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力. 考点4 有理数的加减混合运算 8．把算式写成省略括号的形式，结果正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数加减法混合运算，在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． 【详解】解：原式 故选：C． 9．某公交车原坐有18人，经过4个站点时上下车情况如下（上车为正，下车为负）：，，，，则车上还有_______人． 【答案】12 【分析】本题主要考查有理数的加减混合运算在实际中的运用，解题的关键是抓住上车为正，下车为负列式计算． 【详解】解：公交车原坐有18人，上车为正，下车为负， （人）， 经过4个站点后车上还有12人， 故答案为：12． 考点5 有理数的乘法 10．如果4个数的乘积为负数，那么这4个数中正数有（    ） A．1个或2个 B．1个或3个 C．2个或4个 D．3个或4个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘法法则：根据同号得正，异号得负，结合4个数的乘积为负数，则有奇数个负数，据此即可作答． 【详解】解：∵同号得正，异号得负，结合4个数的乘积为负数， 则这4个数中负数有1个或3个 ∴这4个数中正数有3个或1个 故选：B 11．在，，，，这五个数中任取三个数相乘，其中最小的积是______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握其运算法则，有理数比较大小的方法是解题的关键． 根据有理数的乘法运算，取绝对值较大数相乘，再根据负数小于零，零小于正数的方法进行计算即可，注意计算时符号的变化． 【详解】解：，， ∴最小的积是， 故答案为： ． 考点6 倒数 12．下面（    ）组中的两个数互为倒数． A．和 B．和 C．1.5和 【答案】B 【分析】此题考查了倒数的定义，根据倒数的定义进行解答即可． 根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，计算各选项的乘积即可判断． 【详解】解：∵ 倒数的定义：两数乘积为1则互为倒数． 对于A：，不互为倒数； 对于B：，互为倒数； 对于C：，不互为倒数． 故选：B． 13．写出一个数，使这个数的绝对值等于它的倒数：______． 【答案】 【分析】本题考查了倒数与绝对值，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，乘积为1的两个数互为倒数；根据绝对值的性质和倒数的定义即可解答． 【详解】解：∵一个数的绝对值等于它的倒数， ∴这个数是， 故答案为：． 考点7 有理数的乘法运算律 14．用简便方法计算：，其结果是（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了乘法运算律．熟练掌握乘法运算律是解题的关键． 利用乘法运算律计算求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 15．在计算时，利用乘法的______可以简单运算；其计算结果是______． 【答案】 分配律 【分析】本题考查有理数的运算．掌握乘法分配律，正确的计算，是解题的关键． 【详解】解：在计算时，利用乘法的分配律可以简单运算； 原式； 故答案为：分配律，． 考点8 有理数的除法 16．下列说法错误的是（　　） A．一个数与1相乘仍得这个数 B．互为相反数（除0外）的两个数商为1 C．一个数与﹣1相乘得这个数的相反数 D．互为倒数的两个数的积为1 【答案】B 【分析】根据有理数的乘法法则逐一判别可得． 【详解】解：∵一个数与1相乘，仍得这个数， ∴选项A正确； ∵互为相反数（除0外）的两个数商为﹣1， ∴选项B错误； ∵一个数与﹣1相乘得这个数的相反数， ∴选项C正确； ∵互为倒数的两个数的积为1， ∴选项D正确． 故选B． 【点睛】此题主要考查有理数的性质，解题的关键是熟知倒数、相反数的定义. 17．计算（－1）÷（－5）×（－）的结果是______ 【答案】- 【分析】根据有理数的运算法则即可求解. 【详解】（－1）÷（－5）×（－）=-1××=- 故填：-. 【点睛】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知有理数乘除的运算法则. 18．某冷库的室温为，有一批食品需在条件下冷藏，如果每小时降温，那么降到所需温度需要的时间为（    ） A．6小时 B．5小时 C．4小时 D．3小时 【答案】C 【分析】首先求出需要降低的总度数，然后除以3.5求解即可． 【详解】， （小时）， 故选：C． 【点睛】此题考查了有理数运算的实际应用，解题的关键是正确分析题意列式求解． 考点9 有理数加减乘除混合运算 19．简便计算 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3)1 (4) (5) 【分析】（1）根据，根据分数的拆项公式进行简算即可； （2）先将除法转化为乘法，再逆用乘法分配律进行计算即可； （3）先计算括号里面的，再计算最后计算乘法即可； （4）把原式转化为，再利用乘法分配律进行计算即可； （5）根据先将看着一个整体，利用乘法分配律把后面乘法部分展开，再逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） （5） 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．灵活运用乘法分配律进行计算． 考点10 乘方 20．下列各组数中，相等的一组数是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】根据幂的运算法则以及绝对值的性质对各项进行运算即可． 【详解】解：A.，，A正确； B.，，B错误； C.，，C错误； D. ，，D错误． 故答案为：A． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，掌握幂的运算法则以及绝对值的性质是解题的关键． 21．我国古代典籍《庄子·天下篇》中有这样一句话：“一尺之框，日取其半，万世不竭”．现有一根长为1尺的木杆，第1次截取其长度的一半，第2次截取其第1次剩下长度的一半，第3次截取其第2次剩下长度的一半，如此反复，则第99次截取后，此木杆剩下的长度为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了乘方的应用，正确理解题意是解题的关键．根据每次截取剩余的长度都是前一次截取剩余长度的一半进行求解然后得出规律，然后代入99即可得出答案． 【详解】解：第1次截取后剩下的长度为尺， 第2次截取后剩下的长度为尺， 第3次截取后剩下的长度为尺， … ∴第n次截取后剩下的长度为尺， ∴第99次截取后，此木杆剩下的长度为， 故答案为： 考点11 有理数的混合运算（重点） 22．计算（能用简便方法计算的，尽量用简便方法计算） (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)45 (2) (3) (4)137 (5)0 (6) 【分析】本题考查有理数混合运算，涉及乘方运算、去绝对值、有理数加减乘除运算、有理数加法运算律、有理数乘法分配律等知识，熟练掌握有理数混合运算法则及运算顺序是解决问题的关键． （1）利用有理数加法运算的交换律与结合律恒等变形，再由有理数加减运算法则求解即可得到答案； （2）先计算乘方、去绝对值运算，再计算乘除法，最后由有理数减法运算求解即可得到答案； （3）按照有理数混合运算法则，先计算括号里的，再计算乘方运算，再计算乘除运算，最后由有理数减法运算求解即可得到答案； （4）先计算括号里的，再计算乘方运算，再计算乘法运算，最后由有理数加减运算求解即可得到答案； （5）利用有理数加法运算的交换律与结合律恒等变形，再由有理数加减运算法则求解即可得到答案； （6）利用有理数乘法分配律计算即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 （5）解：原式 （6）解：原式 考点12 科学记数法 23．据国内产品榜统计数据，某款AI搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为比原数的整数位数少1的整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：． 24．2025年12月，国家统计局发布权威数据：2025年全国粮食总产量达14298亿斤，较2024年增加167.5亿斤，同比增长，连续两年稳定在1.4万亿斤以上．其中数据“14298亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：14298亿． 25．一个数用科学记数法可写成，则这个数是______． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，根据科学记数法还原成原数，只需要将小数点向右移动位，即可求得． 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，掌握科学记数法还原是解题的关键． 26．一个整数815550…0用科学记数法表示为8.1555×1010，则原数中“0”的个数为（　　） A．4 B．6 C．7 D．10 【答案】B 【分析】把8.1555×1010写成不用科学记数法表示的原数的形式即可得． 【详解】∵8.1555×1010表示的原数为81555000000， ∴原数中“0”的个数为6， 故选B． 【点睛】本题考查了把科学记数法表示的数还原成原数，科学记数法的表示的数a×10n还成成原数时， n＞0时，小数点就向右移动n位得到原数；n<0时，小数点则向左移动|n|位得到原数. 考点13 近似数 27．按括号内的要求用四舍五入法求近似数，其中正确的是（    ） A．（精确到十分位） B．（精确到） C．亿亿（精确到个位） D．（精确到） 【答案】B 【分析】本题考查了近似数，解题关键是熟练运用四舍五入法进行近似．根据四舍五入法求各项的近似数，然后判断即可． 【详解】解：A、（精确到十分位），故本选项不符合题意； B、（精确到），故本选项符合题意； C、亿亿（精确到亿位），故本选项不符合题意； D、（精确到），故本选项不符合题意； 故选：B． 28．用四舍五入法得到的m的近似数为，则这个数m的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了近似数，近似值是通过四舍五入得到的：精确到哪一位，若下一位数字大于或等于5，则应进1；若下一位数字小于5，则应舍去，本题与平常题目不同，不是由准确数求近似数，而是由近似数求准确数的范围． 【详解】解：根据取近似数的方法，得 可以由大于或等于的数，9后面的一位数字，满5进1得到；或由小于的数，舍去0后的数字得到． 因而． 故选：D． 第二部分 易错点警示 易错点1 绝对值化简时，分类讨论易出错 1．m是有理数，则（    ） A．可以是负数 B．不可能是负数 C．一定是正数 D．可是正数也可是负数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法法则和绝对值的概念，需要分情况讨论．采用分类讨论时，要把所有情况分析清楚．故考虑三种情况，化简原式后判断即可． 【详解】解：当时，； 当时，； ∴， 即：可能是正数，也可能是0，但不可能是负数． A．不可以是负数，此选项错误； B．不可能是负数，此选项正确； C．可能是正数，也可能是0，此选项错误； D．可能是正数，但绝不可能是负数，此选项错误； 故选B． 易错点2 对乘方的概念理解不清 2．下列关于的说法正确的是（   ） A．表示个相乘的积的相反数 B．底数是，指数是 C．表示个相乘的积的相反数 D．表示个相乘的积的相反数 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是乘方的定义、相反数的定义，解题关键是熟练掌握乘方的定义． 根据乘方的定义、相反数的定义对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：选项，根据乘方的定义，表示个相乘的积的相反数，该说法错误，选项不符合题意； 选项，根据乘方的定义，中的底数是，指数是，该说法错误，选项不符合题意； 选项，根据乘方的定义，表示个相乘的积的相反数，该说法正确，选项符合题意； 选项，根据乘方的定义，示个相乘的积的相反数，该说法错误，选项不符合题意． 故选：． 第三部分 能力点诊断 1．已知，，且，则的值为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先根据题意分析出与的值，再代入求值，此题考查了有理数的加减法，能够分析出与的值是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，或，， ∴或， 则或． 故选：． 2．如图，3×3方格中的任一行、任一列以及对角线上的数字之和相等，那么m等于(    ) A．4 B．5 C．8 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，找准等量关系，列出一元一次方程．由第一行可得每一行列或对角线的和，继而可求出方格中心位置的空格里面的数及下面的数，即能得出的值． 【详解】解：由题意，得每一行列或对角线的和为， 方格中心位置的空格里面的数为， 则下面的空格里面的数为， ， 解得：， 故选：A． 3．有理数在数轴上对应点如图所示，下列式子中结果为正的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由数轴可得，再根据有理数的加减乘除运算法则确定式子的符号． 【详解】由数轴可得， ∴，， ，，，，，， ∴，，， 结果为正的是①④⑥，共3个， 故选C． 【点睛】本题考查根据点在数轴上的位置判断式子结果的符号，熟练掌握有理数的加减乘除运算法则是解题的关键． 4．已知abc＜0，a＋b＋c＞0，且，则x的值为（    ） A．0 B．0或1 C．0或－2或1 D．0或1或－2或－6 【答案】A 【分析】由abc＜0，a＋b＋c＞0，可得a、b、c三个数中有一个负因数，且正因数绝对值的和大于负因数的绝对值，由此可得a、b、c的符号有三种情况（a＜0，b＞0，c＞0或a＞0，b＜0，c＞0或a＞0，b＞0，c＜0），再根据绝对值的性质分三种情况求得x的值即可解答. 【详解】∵abc＜0，a＋b＋c＞0， ∴a、b、c三个数中有一个负因数，且正因数绝对值的和大于负因数的绝对值， ∴a＜0，b＞0，c＞0或a＞0，b＜0，c＞0或a＞0，b＞0，c＜0， 当a＜0，b＞0，c＞0时，ab＜0，ac＜0，bc＞0， ∴ = ； 当a＞0，b＜0，c＞0时，ab＜0，ac＞0，bc＜0， ∴ = ； 当a＞0，b＞0，c＜0时，ab＞0，ac＜0，bc＜0， ∴ = . 综上，当abc＜0，a＋b＋c＞0时， =0. 故选A. 【点睛】本题考查了有理数的运算法则及绝对值的性质，正确得到a、b、c的符号有三种情况（a＜0，b＞0，c＞0或a＞0，b＜0，c＞0或a＞0，b＞0，c＜0）是解决问题的关键. 5．对于有理数、，定义运算，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 6．四个互不相等的正整数，，，满足．则的最大值是（   ） A．37 B．38 C．39 D．40 【答案】B 【分析】本题考查了求代数式的值．根据题意判断出正整数，，，的值可能为1或3或5或7，再根据的值最大，分别求得正整数，，，的值，代入求解即可． 【详解】解：∵四个互不相等的正整数，，，， ∴，，，也是四个互不相等的整数， ∵， ∴或或或的值可能为或或1或3， ∴正整数，，，的值可能为1或3或5或7， ∵的值最大， ∴，，，， ∴的最大值是， 故选：B． 7．计算的算式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘方和乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据乘方和乘法的意义列式即可． 【详解】解：原式表示10个2相加，10个3相乘，再将结果相加， 10个2相加即为，10个3相乘即为， 那么原式， 故选：A． 8．《孙子算经》中记载：“量之所起，起于粟．六粟为一圭，十圭为一撮，十撮为一抄，十抄为一勺，十勺为一合……”可知：6粟圭，10圭撮，10撮抄，10抄勺，10勺合，则8合为（    ） A．粟 B．粟 C．粟 D．粟 【答案】B 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：由题意可得：8合为． 故选B． 3．监管部门抽查10袋某种食品的质量，每袋这种食品的标准质量是100，超出标准质量的部分记为正，不足标准质量的部分记为负，统计结果记录如下： 每袋与标准质量的差值/g 0 袋数/袋 2 3 3 1 1 则这10袋食品的平均质量是________g/袋． 【答案】100.1 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算在实际问题中的应用，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 先根据每袋超出或不足标准质量的数值以及对应的袋数，分别计算出超出或不足的总质量，进而计算10袋食品的总质量，再求平均质量，即可解题． 【详解】解：标准总质量为（g）， 超出部分总和为（g）， 总质量为（g）， 平均质量为（g/袋）， 故答案为：100.1． 10．95号汽油8.01元，小红家的汽车加95号汽油，平均每耗油大约，按照这个耗油量，请你算一算小红家的汽车行驶大约需要 _________元．（保留两位小数） 【答案】 【分析】本题考查了近似数和有效数字，先求出小红家的汽车行驶的耗油量，再乘95号汽油的单价，再保留两位小数即可求解． 【详解】 （元）． 故答案为：． 11．新亚商场在2023年“元旦”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价的一次性购物总额，规定相应的优惠方法如下：①如果不超过600元，则不予优惠；②如果超过600元，但不超过900元，则按购物总额给予8折优惠；③如果超过900元，则其中900元给予8折优惠，超过900元的部分给予6折优惠，促销期间，小王和妈妈分别看中一件商品，则应分别付款560元和640元；若合并付款_____________元． 【答案】996或1080 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，根据题意可知付款560元时，其实际标价为560或700元，付款640元，实际标价为800元，分两种情况分别计算求出一次购买标价1360元或1500元的商品应付款即可． 【详解】解：由题意知付款560元，实际标价为560元或元， 付款640元，实际标价为（元）， 如果一次购买标价（元）， 则商品应付款：（元）； 如果一次购买标价（元）， 则商品应付款：（元）． 故答案是：996或1080． 12．小明把自家的冬枣放到网上销售，他原计划每天卖100斤冬枣，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）：根据记录的数据可知小明这一周卖出________斤冬枣． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 +4 -3 -5 +14 -8 +21 -6 【答案】717 【分析】把计划的量和计划量的差值相加，即可得到一周卖出的冬枣数量. 【详解】解：根据题意，得： =700+17 =717； 故答案为：717. 【点睛】此题考查正数和负数的问题，此题的关键是读懂题意，列式计算． 13．现定义一种新的运算： ，例如，你按以上方法计算____． 【答案】8 【分析】根据新定义列出算式，先算出括号内的，再算括号外的，即可求得． 【详解】解： ， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的加减运算，理解新定义运算是解决本题的关键 14．某出租车司机在一条东西公路上出租．向东记为正，向西记为负．某天自A地出发，所走路程（单位：千米）为：，，，，，，，，，； (1)出租车离开A地的最远距离是多？ (2)最后该出租车是否回到出发点？若没有，则在A地的什么地方？距离A地多远？ (3)若每千米收费元，则今天共收入多少元？ 【答案】(1)千米 (2)该出租车没有回到出发点，在A的西边2千米位置 (3)元 【分析】此题主要考查了正负数的意义，有理数的加法的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性． （1）分别计算每次离开A的距离进行比较即可； （2）把所走的路程相加，然后根据正负数的意义解答； （3）先求出所有路程的绝对值的和，再乘以，计算即可得解． 【详解】（1）解：第一次距A的距离为：（千米）， 第二次距A的距离为：（千米）， 第三次距A的距离为：（千米）， 第四次距A的距离为：（千米）， 第五次距A的距离为：（千米）， 第六次距A的距离为：（千米）， 第七次距A的距离为：（千米）， 第八次距A的距离为：（千米）， 第九次距A的距离为：（千米）， 第十次距A的距离为：（千米）， 答：出租车离开A地的最远距离是千米； （2）解：（千米）， 答：该出租车没有回到出发点，在A的西边2千米位置； （3）答：：（元）， 答：今天共收入元． 15．如图，A、B、C、D四张卡片分别代表一种运算，例如，5经过顺序的运算，可列式为：，8经过运算顺序运算，可列式为    (1)请计算； (2)列式计算经过顺序的运算结果； (3)若数x经过顺序的运算，结果是12．则求初始数字x是多少？ 【答案】(1)53 (2)13 (3)初始数字x是5或1 【分析】（1）根据有理数的运算法则和运算顺序计算即可； （2）根据题意可以列出算式，计算即可； （3）根据题意可以得到，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：由题意得： ； （3）解：由题意得： 解得： ∴初始数字x是5或1． 【点睛】此题考查了有理数的运算、利用平方根解方程，理解题目提示的运算顺序是解题的关键． 16．阅读下列材料，并解决下面的问题: 我们知道，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算，其实乘方运算也有逆运算，如我们规定式子可以变形为也可以变形为.在式子中，3叫做以2为底8的对数，记为一般地，若则叫做以为底的对数，记为，且具有性质： 其中且 根据上面的规定，请解决下面问题: (1) _______ ；(请直接写出结果) 已知，则______；（用含y的代数式来表示） (2)已知请你用含m的代数式来表示n，其中(请写出必要的过程). 【答案】(1)1；2； (2) 【分析】（1）根据乘方逆运算的法则解答即可； （2）先将所求的式子变形为，再根据乘方逆运算的法则求解即可. 【详解】（1）∵， ∴， ∵，， ∴； ∵， ∴； 故答案为：1；2；； （2）∵， ∴ . 【点睛】本题考查了有理数的乘方，正确理解乘方逆运算法则是关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $