专题05 有理数的简便运算（重难点讲义）数学新教材人教版七年级上册

本讲义聚焦有理数的简便运算核心知识点，先系统梳理加法交换律、结合律和乘法交换律、结合律、分配律等运算律基础，再通过凑整法、分组法、拆分法等常用技巧搭建学习支架，逐步过渡到不同题型的典例与变式应用，形成从原理到技巧再到实践的完整脉络。 资料亮点在于以运算律为核心，通过“典例-变式”分层设计培养学生运算能力与推理意识，如拆分法典例中带分数拆分示范与变式练习，帮助学生理解算理并迁移应用。巩固与强化训练覆盖多种技巧，课中辅助教师实施分层教学，课后助力学生自主查漏补缺，提升运算灵活性与准确性。

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05有理数的简便运算 攻 重难目标 1.会运用加法运算律简化加减运算： 2.熟练运用乘法运算律简化乘除运算； 3.能灵活运用运算律、简便技巧简化复杂运算。 汇 重难知识 一、运算律 （1)加法运算律 加法交换律：a+b=b+a;加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。可灵活凑整、凑相反数简化计算。 (2)乘法运算律 交换律：aXb=b×a;结合律：(aXb)Xc=aX(bXc);分配律：aX(btc)=aXb+aXc。 二、常用简便运算技巧 (1)凑整法：将能凑成整数、整十数的数结合运算；(2)分组法：正数、负数分别分组相加： (3)拆分法：将带分数、接近整数的数拆分后运算：(4)裂项相消法(5)倒序相加法 斩 重难题型 题型01加法运算律 【典例】小慧同学解题时， 先将式写引4+()变度4+引（别 再计算结果，则小慧同学 运用了() A.加法交换律B.加法结合律 C.加法交换律与结合律D.分配律 【变式】下列对加法运算律的运用正确的是() A.3+(-2)=2+3 B.4+(6)+3=(-6)+4+3 119 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 c.[5+(-2]+4=[5+(4)]+2 。.*0(G引( 题型02乘法运算律 1+1_1 【典例】计算：24×2十34： 【变式】用简便方法计算： 9x163个9x6 (1) 5 22x3x05x(-7) 题型03凑整法 【典例】计算（-2.4)+(+3.5)+(-4.6)+(+3.5) 【变式】计算： a5.6+(-0.9)+44+(8.1) a引(2(2 题型04拆分法 【典例】数学雷老师在多媒体上列出了如下的材料： 计- ￥.别-引 [5列*(*(3*][引（=0+- 上述这种方法叫作拆项法.请仿照上面的方法计算： a国+2-25： 219 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a2024号)-2025引+4050-+（》 【变式】阅读例题的计算方法 8》 解：([（引引（别 =[-54(+17+(--[) =0( 4 上面这种解题方法叫做拆项法. 算.64引》s引 (2)计算： +2024r18o0}r0sg)r1u 题型05取倒数法 【典例】数学老师布置了一道思考题： “计算： 小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法解决了这个问题：原式的倒数为 G-g(-4o-6-G 6请你运用小明的方法计算： (d)-g8到 【变式】阅读下列材料： 319 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 计算： 〔4-g 鞋：原武4片号日 1 1 24×2+24×3-24 = 8 、7 24· 的的医层动动》 =(-240-号×(-24+6×(-24 =-12+8-3 =-7 所以原式=7· (1)上述两种解法的结果不一样，解法 是正确的 ®根务可运照志兴布时玉的方H成-仔名引 题型06列项相消法 【典例】计算题， 1,1 1 1 1 1×55×99×13 21×2525×29 224262 1002 【变式】计算：1x33x55x7 …十 99×101 题型07分组法 【典例】计算：1-2+3-4+.-10=() A.5 B.-5 c.55 D.-55 12.计算：1-2-3+4+5-6-7+8+9-10-11+…+2013-2014-2015+2016= 419 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 练 分层训练 【巩固训练】 1++ 1 1.2612 …+ 9900 2.计算： (-53)+38+(-47)+62 引 4.用简便方法计算： m4烟品动 2号（别号 5.用简便方法计算： a》19(() a(-15r95 6.用简便方法计算下列各题： 4924 4925x(-5), a3+(引+引15+到 7.请你仔细阅读下列材料并计算： -传6) 解法：简便计算，先求其倒数 5/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 原s装.后动-居高6(0-0g-0 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算： 〔食引 8.先阅读理解第(1)小题的计算方法，再计算第(2)小题. 6④计算：-205+40+(-204月+( 4 3 解：原式=-205+(40+子+(-204-子+(1-之 =-205+400+子+(-204+(3+(-0+(2 =-205+40+204+(-n+[2+(3+(】 -10+高 =-1 12 上面的计算方法叫做拆项法， 清法（引2（引 9.用运算律简便运算 99×1181+333× 3 -9号 10.观察下列各式： -1x}=-1+,-x{-1+11x111 2 2:2323:3434:… 619 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)按照上述规律，第4个等式是： ®医周奇在限制，〔兮动合 (3)计算： 【1(*（ 【强化训练】 1.计算： 2（ 2计算 31-(2y号+3-(45号}016 3.5号34+4号+10+(68+(42 4计76品+(315}105x7》-[g4 5.计算：[455-(0.125×76+1259%x×24)x8+9]÷28 6碳利样：对（5动（引》 可以进行如下计算： 原(（引+[-（别 [-列()*17(-引++（ 719 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 上面这种方法叫拆数法，仿照上面的方法，请你计算： （-s88+（-n引+166+ 11.11,11,,1 1 十…十 7.计算：32T4354++20022001 (1+3+5++2017+2019+2021)-(2+4+6+..+2018+2020+2022)= 8. 9.阅读下列材料，完成后面任务. 1.21,12 计算： 30310+65 解法①：原式 (0(动0动{0号 111,11 2035126 @代（[后8品引 (0)信》0=8 解法③：原式的倒数为 ×(-30)=-20+3-5+12=-10 故原式=-10 任务： (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法是错误的.（填序号） (2)在正确的解法中，你认为解法比较简便.（填序号） (3)请你进行简便计算： 10.用适当方法计算 819 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 但7×1-3x1)+(7x3-3x2)+(7x5-3x3)++(7×49-3×25) 可ig可o 2025 9/9函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05有理数的简便运算 重难目标 1.会运用加法运算律简化加减运算： 2.熟练运用乘法运算律简化乘除运算； 3.能灵活运用运算律、简便技巧简化复杂运算。 汇 重难知识 一、运算律 （1)加法运算律 加法交换律：a+b=b+a;加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。可灵活凑整、凑相反数简化计算。 (2)乘法运算律 交换律：aXb=bXa结合律：(aXb)Xc=a×(b×c);分配律：a×(b+c)=a×b+aXc。 二、常用简便运算技巧 (1)凑整法：将能凑成整数、整十数的数结合运算；(2)分组法：正数、负数分别分组相加： (3)拆分法：将带分数、接近整数的数拆分后运算；(4)裂项相消法(5)倒序相加法 斩 重难题型 题型01加法运算律 【典例】小慧同学解题时， 先将式子(4+()变4+写】 再计算结果，则小慧同学 运用了() A.加法交换律 B.加法结合律 C.加法交换律与结合律 D.分配律 【答案】C 1/23 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :交换了加数4的位置， .使用了加法交换律： 动a ∴使用了加法结合律， 综上，运用了加法交换律与结合律. 故选：C. 【答案】B 【详解】解：A、3+(-2)=-2+3,故A错误，不符合题意； B、4+(-6)+3=(6)+4+3,故B正确，符合题意： C、[5+(-2别+4=5+4)+(-2)，故C错误，不符合题意， .6初 故D错误，不符合题意。 故选：B 【答案】14 【样解】解：原式-24×分+24×写24x} 1 1 2 4 =12+8-6 =14. 【答案】(1)9990 (2)-21 【详解】(1)解： 99x16+33x-9x6 =999x164 +999× 5 999x63 =999×16 41-62 055-65 =999×10 =9990 (2)原式=(2x0.5)×[3x(-7]=1x(-21)=-21 2/23 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】0 【详解】观察发现-2.4和-4.6可以凑成整数-7，两个+3.5可以凑成+7， 原武[-24)+(4.6H[(+35)+(+3.5】=-7+7=0 【答案】(1)1 (2)-5 5.6+(-0.9)+4.4+（-8.1) 【详解】(1)解： =(5.6+4.4)+(-0.9-8.1) =10+(-9) 2解（引(2-2 -(号4(2*2) =-5+0 =-5 【珍关1a时 (20 【f1四-引5--s--信-号 2原默(204-引2如5-升-》 =(-224-2025+4030+(号号》 =1+(-) =0 【答案】(1)-5 3/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a号 【详解】(1)解： 〔-6》+引》-5吗》 [or([4+引2[（别 =【o1425-[9》引周 [1o-(-14+1a-》片（别 =[(-31)+26]+0 =-5 (2)解 （am4到r41wea引nae [a+r-o0-(f[eno(】 -[-1o0)+204+1os+(-12-[（引++（到 =[-1890)+(142)+2024+1ow9]-[〔8}（+g+ -[024302]+[--引 042 2 1 【答案】4 4/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.1,112 1,11 【详解】解： g8引(6 =-18-4+2+24=4, 【答案】(1)二 (2)-1,见解析 【详解】(1)解：解法一在将除法转化为乘法时出现了错误，除法没有分配律，不能像乘法一那样进行 拆分计算： 解法二先求原式的倒数，然后进行乘法运算，方法正确 (2)解：原式的倒数为 传6 -传6(- =5x(-18-名-18)-g(-18) =-1 所以原式=-1 1 【答案29 1,1,1 11 【详解】解：1x5+5×9+g×13+.+21×25+25×29 市+分石石对 =x1-》 4^29 1、28 429 5/23 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7 29 5100 【答案】101 22.4262 1x33x5+5x7+…+ 1002 【详解】解： 99×101 1×3+13×5+1,5×7+1 99×101+1 1×3 3×5 5×7 99×101 +)-+r++9o） 1 99×101 =0*) .1100 =50+2×101 =50+ 50 101 5100 101· 【答案】B 【详解】解：1-2+3-4+5-6+7-8+9-10 （1-2)+(3-4)+(5-6)+(7-8)+(9-10) =（-1)+(-1)+…+(-1) 5个-1 =5×(-1) =-5 故选B. 【答案】0 【详解】解：1-2-3+4+5-6-7+8++2013-2014-2015+2016 =(1-2-3+4)+(5-6-7+8)++(2009-2010-2011+2012)+(2013-2014-2015+2016) =0. 6/23 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：0 99 【答案】100 111 【详解】解：2+6+12 、1 9900 s、1 1 1 1 1×22×3'3×44×5 +…+99×100 1,11,11,11 =1- 十十 22334 99100 1 =1-100 99 100 99 故答案为：100 【答案】0 【详解】解：原式=-53-47+38+62 =-100+100 =0 【答案】 36 【解1服：原武g片明 =12-38 3 =38-1号) -36 . 【答案】(1)-22 (2)5 【详解】（④解：原式=(48x(48)x 7/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =-28+6 =-22; ②原t〔身号引 =1+4 =5. 【答案】(1)-22 (2)-3 【联解1，别19(}》 ((》1()5x》 =(1+19-列号》 =x(》 =-22. a(us [【 =1×(-3) =-3； 【答案】()-2494 (2)-1 【详解】(1)解：49 25 ×(-5) =50*(-5)25×(-5列 8/23 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =250+号 s-2494 : (2)解： 3)+()+++引15+ 7437,72 2342+43 (引+到 =0-2+1 =-1 1 【答案】2 【详解】解：原式的倒数为： 食 -g4}引) 3 号8×56+入656+号6 =-21+12-28+16 =-21, 故答案为21 【答米】13 【球1服，引2 （1s-引4+s 9/23 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =(-(+(524+()( =[1+(+24+(-3[〔引( =15+ =133 4 【答案】四8： (2)99900 3 【详解】(1)解：原式 42 )_3x5+3x1 42+43 -X 3 =引 (2)解：原式=99×1181-999×：-99×182 =999× =999×100 =99900 【答案】)4545 235 2022 (3)-2023 10123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.11,1 【详解】(1)解：按照上述规律，第4个等式是4×5一4+5， 11-11 故答案为：4×5=-45： 111,1111,1 (2)解：按照上述规律，5×6=5+6,6×7=6十7， )传片是 （- 气+r4…* =-1+ 2023 2022 2023· 1 【答案】4 【1解：原 4 3 【答案】4 【详解】解： 3.162-(2)-3+3-（+5-0162 =3162+2-3号+3-5号0162 4 =6162-0162)-分5(2+) 11/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =3-82+5 4 3 =一 4 【答案】17 【详解1解：5g34+4号+-16+(-68+42) 5 =5+2+34+4+2+-16+-6.8+(4.2 2 5 5 32 =5+34+4+-+三+(-16)+(-6.8)+(-4.2) 55 =44+(-27) =17. 【点睛】本题考查有理数加法运算律，同号结合是解题的关键 【答案】-110 【详解】解： (429+(r+105xg副-（4 -(7529+31521057}-g}(2刘 =-765+7152片105(-7}5(-20)-(-20+昌(2刘 =(00x29+105x-7+(3)48+(410) =1057}3+8-10 =(-10.5)×10-3+8-10 =-105-3+8-10 =-110 【答案】13 【详解】解： [455-(0.125×76+12.5%×24)x8+9]÷28 =455-(0.125×76+0.125×24)×8+9÷28 12/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =[455-(76+24)×0.125×8+9]÷28 =(455-100×0.125×8+9)÷28 =(455-100+9)÷28 =364÷28 =13 【答】号 【详解】解： （8-7到1o》 [引[(mr(+16[e)-( [-)+(--166+(-]++（引++别 =0+(到 5 4 【点睛】本题主要考查了有理数的加法运算，理解阅读材料中拆数法是解题的关键. 500 【答案】1001 11,11.11.,11 【详解】解：324354++20022001 +…十 -传4传】 传居 11 2002 500 1001· 13123 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】-1011 【详解】解：(1+3+5++2017+2019+2021)-(2+4+6+..+2018+2022) =1+3+5+..+2017+2019+2021-2-4-6-..-2018-2022 =(1-2)+(3-4)+(5-6)+.+(2017-2018)+(2019-2020)+(2021-2022) =(-1)+(-1)++(-1)=-1011 故答案为：-1011 【点睛】本题主要考查有理数的加减混合运算，熟练掌握加法交换律和加法结合律的灵活运用是解题的关 键。 【答案】(1)① (2)③ 1 3138 【详解】(1)解：解法①是错误的. 故答案为：① (2)解：在正确的解法中，解法③运用了有理数的除法的运算法则，乘法的分配律，比较简便， 故答案为：③： (3)解：原式的倒数为： 号4 -日82 =x(-24)号x(-24+x(-24-x(-24刘 =-12+16-20+54 =38 1 故原式38 【答案】() 3400 (2) 14123 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1012 1013 【详解】(1)解： (7×1-3×1)+(7×3-3×2)+(7×5-3×3)+…+(7×49-3×25) =7×1-3×1+7×3-3×2+7×5-3×3+…+7×49-3×25 =(7×1+7×3+7×5+.+7×49)-(3×1+3×2+3×3+…+3×25) =7×(1+3+5+…+49)-3×(1+2+3+…+25) 13”5”…49共25项，和为0+4925-625. 2 1'2”3”’25共25项，和为 +25)×25-325, 2 .原式=7×625-3×325=4375-975=3400： (2)解：对于第k项，2≤k≤2025 净果+凯》》- k 2, 1 2=211 ∴第项为k+灯k(k+)气kk+1, k2 1 1 1 3 2025 可-可-周 2[g)Gs】 1、、1 1013 1012 1013· 【变式】下列对加法运算律的运用正确的是() 15/23 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3+(-2)=2+3 B,4+(6)+3=(-6)+4+3 c.[5+(-2]+4=[5+(-4)】+2 。.(-+-g( 题型02乘法运算律 【典例】计算 24G号月 【变式】用简便方法计算： 2×3×0.5×(-7) 2 题型03凑整法 【典例】计算（-2.4)+(+3.5)+(4.6)+(+3.5) 【变式】计算： a5.6+(-0.9)+44+(-8.)】 (2(2 题型04拆分法 【典例】数学雷老师在多媒体上列出了如下的材料： 鼻引17（号 原=(-（引[引 [5(-(3+1]引(】-0+- 上述这种方法叫作拆项法.请仿照上面的方法计算： 16123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 +2+（-25: a2024号引(-20s引400+(》 【变式】阅读例题的计算方法， 侧，)7》 原t(引[（引+引[( [-5+(-9+17+(-3-引++（ =0( 上面这种解题方法叫做拆项法. (1)计算： 6*引915别 (2)计算： +224}-1swg}+10ws}1 题型05取倒数法 【典例】数学老师布置了一道思考题： “计算： 小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法解决了这个问题：原式的倒数为 （店动司头(+0=6传引-市运用的 17/23 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 66)s引 【变式】阅读下列材料： 计算： （得制 11.111.1 解法一：原式=-242243248 1 4x2+24324) 、7 24· 架达=的餐数为传别司 日(24 =2x(-24)-3×(-24+8×(-24 =-12+8-3 =-7 1 所以原式=一7· (1)上述两种解法的结果不一样，解法 是正确的. ®洁银器对述材样的理能，店积华高但的方法〔成片后名)引】 题型06列项相消法 【典例】计算题. 1 1 1 。1 1x55x99x13+.+ 1 21×25+25×29 224263 1002 【变式】计算：13+3x5+5x7++ 99×101 题型07分组法 18123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例】计算：1-2+3-4+.-10=() A.5 B.-5 c.55 D.-55 12.计算：1-2-3+4+5-6-7+8+9-10-11++2013-2014-2015+2016= 练 分层训练 【巩固训练】 1+1+1 1.2*6*2 9900 2.计算：（53)+38+(47)+62 a.s》2 4.用简便方法计算： m4树后 a2号() 5.用简便方法计算： m-1(动-5() a(-1(9} 6.用简便方法计算下列各题： 回92若(， 23()-（到引15+到 7.请你仔细阅读下列材料并计算： 19123 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (后0+8到 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 后0+6引-动-居0+6引(30)=203-5+12=10 1)21+1_2=-1 故30(31065=10 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算： （-食 8.先阅读理解第(1)小题的计算方法，再计算第(2)小题. 64)计算：205+40}(204号+(-1月 解：原式=205+(40+子+(-204-子+(1-分 =-205+40++(-204+(3+(-0+(2 =-205+0+(204+-nr[2+(-3+(】 =-10+(） 5 =-10 12 上面的计算方法叫做拆项法。 9.用运算律简便运算 m)品 31 999x18 10.观察下列各式： 20123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对+对5好好一 (1)按照上述规律，第4个等式是： Q运用际安在限#，（台产动引 - 【强化训练】 2.计算： 3162-(2)-3号+3-(45日-0162 3.5号+34+4号+(10+(-68+(42) 4762+(3(210s7g（4 4.计算 5.计算：[455-(0.125×76+125%×24)x8+9]÷28 6医利：对 可以进行如下计算： *([(引++到[(-- [-5列+(-9+7+(-3-引++（ 0-到 21123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 上面这种方法叫拆数法，仿照上面的方法，请你计算： -7n}-16引 111111,1 1 +…+ 7.计算：324354+20022001 8. (1+3+5+.+2017+2019+2021)-(2+4+6+..+2018+2020+2022)= 9.阅读下列材料，完成后面任务· 计算： 动0+6到 解法①：原式 （0号0动 1,11,11 2035126 解@：原式（动[居品别 （0各引03=品 21+1- 解法③：原式的倒数为 后06 ×(-30)=-20+3-5+12=-10 1 故原式=10 任务： (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法是错误的.（填序号） (2)在正确的解法中，你认为解法_比较简便.（填序号） 22123 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)请你进行简便计算： (4-g 10.用适当方法计算 a7x1-3x0+(7x3-3x2)+(7x5-3×3)++(7×49-3×25) 2025 肉写'g---- 23123