2026-2027学年北师大版数学九年级上册期中模拟试题（一） 基础卷

**基本信息** 聚焦九年级数学前三章核心内容，以《九章算术》“勾中容方”、高铁车票设计等真实情境为载体，分层考查运算能力、推理意识与空间观念，适配期中阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|特殊四边形性质、相似判定|第3题通过图形剪切考查相似本质，体现几何直观| |填空题|5/15|一元二次方程应用、位似变换|第12题结合高铁停车站设计方程，培养模型意识| |解答题|8/75|菱形证明、动态几何探究|第22题“一动点”问题融合相似与分类讨论，发展创新意识|

※※请※※※不※※※要※※※在※※※装※※※订※※※线※※※内※※※答※※※题※※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 保密★启用前 九年级数学第一学期期中模拟试题（一） 基础卷 【北师大版2026】 考试范围：北师大 第一二三章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角 2.一元二次方程化成一般形式为(    ) A． B． C． D． 3．如图，中，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 4．设方程的两实数根为，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D．5 5.《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步．一问勾中容方几何？”其大意译为：如图，在中，，，，四边形是的内接正方形，点D，E，F分别在边，，上，则正方形的边长是（    ） A． B．4 C． D． 6.已知菱形的边长为，按如图的方式，将其无重叠、无空隙地剪拼成正方形，其中点，分别为，的中点，则正方形的边长为（   ）． A． B．4 C． D．5 第6题 第7题 第8题 7.已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：）与滑行时间t（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，，其中是初始速度，是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，则此时飞机的滑行速度（   ）． A．10 B．20 C．30 D．10或30 8.如图，在中，为边上的一个动点，于点，于点．动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的最小值是（　　） A． B． C． D． 9．已知的三边长分别是有一边长是1，若和相似，则的另两边长不可能为（    ） A． B． C． D． 10.如图，在矩形中，，连接，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和点，直线分别交、于点、，连接、．给出下面四个结论： ①； ②四边形是菱形； ③； ④． 其中正确的是（     ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．正方形对角线的长是则正方形边长为____________． 12从“和谐号”动车飞驰大江南北，到“复兴号”引领世界标准，中国高铁不断创造出举世瞩目的成就．作为中国铁路网中南北走向大动脉之一的京沪铁路，促进了沿海城市与内陆城市的经济发展，若在这条线路上某个区间往返行车需印制种高铁票，设该区间共设置个停车站，请根据题意列出一元二次方程并化为一般形式为 ． 13．某如图，与关于点A位似，点C的坐标为，若与的面积比为，则点A的坐标为 ． 第11题 第13题 第14题 第15题 14如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，则此时液面的宽度为 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为4，，菱形的顶点是线段上一个动点（不与O，B重合），连接，当为直角三角形时，点的坐标为________． 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分）用适当方法解下列一元二次方程 (1)； (2)； 17.本小题分如图，在中，的平分线交于点，点是边上一点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，若，，，求的长． 18.本小题8分 如图，在正方形中，E、F分别是边、CD上的点，， ，连接并延长交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若正方形的边长为4，求的长． 19.本小题8分“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中为常数（且．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，则的值为______． 20本小题10分如图，在矩形纸片中，，．现将纸片沿对角线折叠，使点落在处，交于点．将沿翻折，使点落在内部点处，连接． (1)求线段的长； (2)若，求的度数． 21.本小题10分如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的宽AD为x米，矩形的长为AB（且AB＞AD）． （1）若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB； （2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则AD、AB的长应分别为多少米？ 22本小题12分【问题探究】 在中，，D为直线上一动点，，且，连接、，其中， （1）如图1，若，点D在线段上，则与之间有怎样的数量关系，并求k的值； （2）如图2 ，若 ，点D在的延长线上，试探究与之间有怎样的数量关系，并求k的值； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，D为上一点，以为边，在其左侧作正方形，点O为正方形的对称中心，且，求的长． 23本小题12分）四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以、为邻边作矩形，连接． (1)如图1，求证：矩形是正方形； (2)若，，求的长度； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数 —　2　— —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 九年级数学第一学期期中模拟试题（一） 基础卷 【北师大版2026】 考试范围：北师大 第一二三章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角 【答案】A 解：矩形的对角线互相平分且相等，不垂直，不平分一组对角；菱形的对角线互相平分且垂直，平分一组对角，对角线不相等；正方形的对角线同时具备矩形和菱形对角线的所有性质， 矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分． 2.一元二次方程化成一般形式为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 解：把一元二次方程化为一般形式得． 故选：B． 3．如图，中，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、根据已知条件无法证明两个三角形相似，故本选项符合题意； D、这两个三角形两边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意． 故选：C． 4．设方程的两实数根为，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】A 解：、是一元二次方程的两实数根， ，， ； 故选：A． 5.《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步．一问勾中容方几何？”其大意译为：如图，在中，，，，四边形是的内接正方形，点D，E，F分别在边，，上，则正方形的边长是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 解：四边形是正方形， ，． 设． ． ． ，解得． ． 故选：A． 6.已知菱形的边长为，按如图的方式，将其无重叠、无空隙地剪拼成正方形，其中点，分别为，的中点，则正方形的边长为（   ）． A． B．4 C． D．5 【答案】B 解：设正方形的边长为． 是中点，是中点， ． 观察图形，菱形的边可看作直角三角形斜边，两条直角边分别为正方形的边长、线段． 已知菱形边长， 由勾股定理：， ， ， 长度为正， ， 正方形边长． 7.已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：）与滑行时间t（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，，其中是初始速度，是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，则此时飞机的滑行速度（   ）． A．10 B．20 C．30 D．10或30 【答案】C 解：∵， ∴，，， ∴， ∴， 当时，， 整理得：， 解得：（舍去）， 此时， 即此时飞机的滑行速度． 故选：C 8.如图，在中，为边上的一个动点，于点，于点．动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 解：如图，连接， ，， ， 又， 四边形是矩形， ， 当时，取得最小值， 此时，， ， ，，， ， ， ， 的最小值是， 故选：B． 9．已知的三边长分别是有一边长是1，若和相似，则的另两边长不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 解：和相似，的三边长分别是有一边长是1， 设另外两边长分别为， 当长是1的一边和为对应边时，则或， 解得：或，故A选项不符合题意； 当长是1的一边和为对应边时，则或， 解得：或，故B选项不符合题意； 当长是1的一边和为对应边时，则或， 解得：或，故D选项不符合题意； ∵，故C选项符合题意； 综上，的另两边长不可能为 故选：C． 10.如图，在矩形中，，连接，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和点，直线分别交、于点、，连接、．给出下面四个结论： ①； ②四边形是菱形； ③； ④． 其中正确的是（     ）    A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 解：四边形是矩形， ，，故①正确， 如图，设与交于点，   ， 由题意得垂直平分， ，，，， 在和中， ， ， ， ， 四边形是菱形，故②正确， ，， ，故③错误， ， ， ，故④正确， 综上所述，①②④正确． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．正方形对角线的长是则正方形边长为____________． 【答案】4 解：正方形中，， ∴， ∴． 12从“和谐号”动车飞驰大江南北，到“复兴号”引领世界标准，中国高铁不断创造出举世瞩目的成就．作为中国铁路网中南北走向大动脉之一的京沪铁路，促进了沿海城市与内陆城市的经济发展，若在这条线路上某个区间往返行车需印制种高铁票，设该区间共设置个停车站，请根据题意列出一元二次方程并化为一般形式为 ． 【答案】 解：根据题意：， 化为一般形式为：， 故答案为：． 13．某如图，与关于点A位似，点C的坐标为，若与的面积比为，则点A的坐标为 ． 【答案】 解：过点A作轴于点E，过点C作轴于点F， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点C的坐标为， ∴，． ∵与关于点A位似，与的面积比为， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴点A的坐标为． 故答案为：． 14如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，则此时液面的宽度为 ． 【答案】9 解：如图，作于E，则， 由题意知，，， ∴． 又∵， ∴． ∴． 即． 解得，． 答：液面的宽度为． 故答案为：9． 15．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为4，，菱形的顶点是线段上一个动点（不与O，B重合），连接，当为直角三角形时，点的坐标为________． 【答案】或 解：∵菱形，， ∴， ∴． ①当时， ∵，， ∴， ∵菱形的边长为4， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为； ②当时， ∵，， ∴， 设，则， ∵菱形的边长为4， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，（舍）， ∴ ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分）用适当方法解下列一元二次方程 (1)； (2)； 解：（1） 因式分解得： 所以或 解得： （2） 整理得： 分解因式得： 即 所以或 解得： 17.本小题分如图，在中，的平分线交于点，点是边上一点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，若，，，求的长． (1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． (2)解：由（1）已证：四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴在中，． 18.本小题8分 如图，在正方形中，E、F分别是边、CD上的点，， ，连接并延长交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若正方形的边长为4，求的长． （1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则 ， ∴； （2）∵四边形为正方形， ∴， ，， ∴， ∴， 又∵，正方形的边长为4， ∴，， ∴，， ∴． 19.本小题8分“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中为常数（且．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，则的值为______． （1）解：方程的倒方程是；； 故答案为：； （2）解：由题意得：方程的倒方程为， 把代入方程， 得， ∴ （3）解：由题意得：方程的倒方程为， ∵m是方程的一个实数根， ∴， ∴． 故答案为：2026． 20本小题10分如图，在矩形纸片中，，．现将纸片沿对角线折叠，使点落在处，交于点．将沿翻折，使点落在内部点处，连接． (1)求线段的长； (2)若，求的度数． （1）解：四边形是矩形， ，，． ， 沿矩形对角线折叠， ， ． ． 设的长为，则，， 在中，，由勾股定理得 ， 解得 答：的长为． （2）解：设， 沿翻折，使点落在内部点处， ． 由（1）可知， ， ． 四边形是矩形， ， ． 即 解得， ． 答：的度数为． 21.本小题10分如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的宽AD为x米，矩形的长为AB（且AB＞AD）． （1）若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB； （2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则AD、AB的长应分别为多少米？ 解：（1）∵AD+BC-2+AB-2=40，AD=BC=x， ∴AB=-2x+44； （2）由题意得，（-2x+44）•x=192， 即2x2-44x+192=0， 解得x1=6，x2=16， ∵x2=16＞（舍去）， ∴AD=6， ∴AB=-2×6+44=32． 答：AD长为6米，AB长为32米． 22本小题12分【问题探究】 在中，，D为直线上一动点，，且，连接、，其中， （1）如图1，若，点D在线段上，则与之间有怎样的数量关系，并求k的值； （2）如图2 ，若 ，点D在的延长线上，试探究与之间有怎样的数量关系，并求k的值； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，D为上一点，以为边，在其左侧作正方形，点O为正方形的对称中心，且，求的长． 解：（1）∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即， 又，， ∴， ∴，， ∴； （2）∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，，即； （3）连接，， ∵点O为正方形的对称中心， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴． 23本小题12分）四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以、为邻边作矩形，连接． (1)如图1，求证：矩形是正方形； (2)若，，求的长度； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． (1)证明：如图1，过点作于点，作于点， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴（角平分线的性质定理）， 又∵，，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形． （2）解：∵四边形为正方形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 由（1）已证：， ∴， 又∵过点作，交射线于点， ∴如图2，此时点与点重合，则， 由（1）已证：四边形是正方形， ∴， ∴． （3）解：①如图3，当线段与正方形的边的夹角是时，即， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在四边形中，； ②如图4，当线段与正方形的边的夹角是时，即， 设与交于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， 即； 综上，的度数为或． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学第一学期期中模拟试题（一） 基础卷 【北师大版2026】 考试范围：北师大 第一二三章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 参考答案与评分标准 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C A A B C B C A 2、 填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11． 4． 12. 13． 14． 9 15．或 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分 解：（1） 因式分解得： 所以或 解得：┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2） 整理得： 分解因式得： 即 所以或 解得：┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 17.本小题分) (1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 (2)解：由（1）已证：四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴在中，．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 18.本小题8分（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则 ， ∴；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）∵四边形为正方形， ∴， ，， ∴， ∴， 又∵，正方形的边长为4， ∴，， ∴，， ∴．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 19.本小题8分)（1）解：方程的倒方程是；； 故答案为：；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 （2）解：由题意得：方程的倒方程为， 把代入方程， 得， ∴┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （3）解：由题意得：方程的倒方程为， ∵m是方程的一个实数根， ∴， ∴． 故答案为：2026．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 20.本小题10分）（1）解：四边形是矩形， ，，． ， 沿矩形对角线折叠， ， ． ． 设的长为，则，， 在中，，由勾股定理得 ， 解得 答：的长为．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉5分 （2）解：设， 沿翻折，使点落在内部点处， ． 由（1）可知， ， ． 四边形是矩形， ， ． 即 解得， ． 答：的度数为．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉5分 21.本小题10分） 解：（1）∵AD+BC-2+AB-2=40，AD=BC=x， ∴AB=-2x+44；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）由题意得，（-2x+44）•x=192， 即2x2-44x+192=0， 解得x1=6，x2=16， ∵x2=16＞（舍去）， ∴AD=6， ∴AB=-2×6+44=32． 答：AD长为6米，AB长为32米．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉6分 22.本小题12分解：（1）∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即， 又，， ∴， ∴，， ∴；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，，即；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （3）连接，， ∵点O为正方形的对称中心， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 23本小题12分．(1)证明：如图1，过点作于点，作于点， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴（角平分线的性质定理）， 又∵，，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）解：∵四边形为正方形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 由（1）已证：， ∴， 又∵过点作，交射线于点， ∴如图2，此时点与点重合，则， 由（1）已证：四边形是正方形， ∴， ∴．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （3）解：①如图3，当线段与正方形的边的夹角是时，即， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在四边形中，； ②如图4，当线段与正方形的边的夹角是时，即， 设与交于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， 即； 综上，的度数为或．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 九年级数学第一学期期中模拟试题（一） 基础卷 【北师大版2026】 考试范围：北师大 第一二三章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角 2.一元二次方程化成一般形式为(    ) A． B． C． D． 3．如图，中，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 4．设方程的两实数根为，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D．5 5.《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步．一问勾中容方几何？”其大意译为：如图，在中，，，，四边形是的内接正方形，点D，E，F分别在边，，上，则正方形的边长是（    ） A． B．4 C． D． 6.已知菱形的边长为，按如图的方式，将其无重叠、无空隙地剪拼成正方形，其中点，分别为，的中点，则正方形的边长为（   ）． A． B．4 C． D．5 第6题 第7题 第8题 7.已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：）与滑行时间t（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，，其中是初始速度，是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，则此时飞机的滑行速度（   ）． A．10 B．20 C．30 D．10或30 8.如图，在中，为边上的一个动点，于点，于点．动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的最小值是（　　） A． B． C． D． 9．已知的三边长分别是有一边长是1，若和相似，则的另两边长不可能为（    ） A． B． C． D． 10.如图，在矩形中，，连接，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和点，直线分别交、于点、，连接、．给出下面四个结论： ①； ②四边形是菱形； ③； ④． 其中正确的是（     ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．正方形对角线的长是则正方形边长为____________． 12从“和谐号”动车飞驰大江南北，到“复兴号”引领世界标准，中国高铁不断创造出举世瞩目的成就．作为中国铁路网中南北走向大动脉之一的京沪铁路，促进了沿海城市与内陆城市的经济发展，若在这条线路上某个区间往返行车需印制种高铁票，设该区间共设置个停车站，请根据题意列出一元二次方程并化为一般形式为 ． 13．某如图，与关于点A位似，点C的坐标为，若与的面积比为，则点A的坐标为 ． 第11题 第13题 第14题 第15题 14如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，则此时液面的宽度为 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为4，，菱形的顶点是线段上一个动点（不与O，B重合），连接，当为直角三角形时，点的坐标为________． 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分）用适当方法解下列一元二次方程 (1)； (2)； 17.本小题分如图，在中，的平分线交于点，点是边上一点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，若，，，求的长． 18.本小题8分 如图，在正方形中，E、F分别是边、CD上的点，， ，连接并延长交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若正方形的边长为4，求的长． 19.本小题8分“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中为常数（且．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，则的值为______． 20本小题10分如图，在矩形纸片中，，．现将纸片沿对角线折叠，使点落在处，交于点．将沿翻折，使点落在内部点处，连接． (1)求线段的长； (2)若，求的度数． 21.本小题10分如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的宽AD为x米，矩形的长为AB（且AB＞AD）． （1）若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB； （2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则AD、AB的长应分别为多少米？ 22本小题12分【问题探究】 在中，，D为直线上一动点，，且，连接、，其中， （1）如图1，若，点D在线段上，则与之间有怎样的数量关系，并求k的值； （2）如图2 ，若 ，点D在的延长线上，试探究与之间有怎样的数量关系，并求k的值； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，D为上一点，以为边，在其左侧作正方形，点O为正方形的对称中心，且，求的长． 23本小题12分）四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以、为邻边作矩形，连接． (1)如图1，求证：矩形是正方形； (2)若，，求的长度； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数 —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $