专题 3.3 数学活动——图形规律探究基础知识专项突破讲与练- 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦初中数学图形规律探究核心知识点，通过梳理通用方法（数特例、列表对应、归纳变化、代数式表示、检验验证）搭建学习支架，衔接火柴棒拼图形、正方形拼接等基础题型与点阵图案、密码编码等综合应用，形成从具体到抽象的认知脉络。 资料以“观察-归纳-抽象”为主线，通过分层题型（夯实基础与综合提升）培养数学眼光（几何直观）、数学思维（推理意识）和数学语言（模型意识），如火柴棒拼三角形规律探究、密码编码实际应用等实例，助力教师系统教学，学生课后可通过同步检测查漏补缺，强化规律探究能力。

专题 3.3 数学活动——图形规律探究（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 学习目标 2 重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】图形规律探究通用方法 2 【知识点一】教材活动1 拼搭图形规律 2 【知识点三】密码编码规律（字母与代数式） 3 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】火柴棒拼图形规律 3 【题型2】正方形拼接图形规律 7 四.题型精析（综合提升） 11 【题型3】点阵、图案类图形规律 11 【题型4】密码编码（代数式实际应用） 14 五.同步检测 19 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 19 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 24 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 28 19．（本小题满分8分） 28 20．（本小题满分8分） 29 21．（本小题满分10分） 30 22．（本小题满分10分） 31 23．（本小题满分10分） 33 24．（本小题满分12分） 34 一.学习目标与重难点 学习目标 1. 经历观察图形、统计数量、列表归纳的过程，能发现图形变化蕴含的数字规律，会用代数式表示图形规律。 2. 掌握图形规律探究通用解题流程：数特例数量→列表建立序号与数量对应关系→猜想代数式→代入数值检验。 3. 了解简单密码编码变换规律，体会代数式在生活中的实际应用。 4. 提升观察、归纳、抽象概括能力，感悟从特殊到一般的数学思想。 重难点 重点：观察图形变化，归纳数量变化规律，写出第个图形对应数量的代数式。 难点：分析图形递变，理清图形序号和数量之间的关系；对猜想得到的代数式进行验证。 二.知识梳理与解读 【知识点一】图形规律探究通用方法 对于火柴棒拼搭、小正方形拼接类图形探究题，解题步骤： ① 数特例：数出第1、2、3个图形对应的物体个数； ② 列对应表：将图形序号和对应数量一一列出； ③ 找变化：观察每增加1组图形，数量增加多少；区分固定不变部分、每次新增部分； ④ 写代数式：写出含序号的代数式，表示第个图形的数量； ⑤ 做检验：将代入代数式，核对计算结果与图形实际数量是否一致。 【知识点一】教材活动1 拼搭图形规律 （1）火柴棒拼接三角形 1个三角形：需要3根火柴棒； 2个三角形：需要5根火柴棒； 3个三角形：需要7根火柴棒； 4个三角形：需要9根火柴棒。 规律：每增加1个三角形，增加2根火柴棒。 个三角形，火柴棒总根数：。 验证：，；，，与图形一致。 （2）小正方形拼大正方形 第1个正方形：共个小正方形； 第2个正方形：共个小正方形； 第3个正方形：共个小正方形。 第个正方形一共需要小正方形：。 第个正方形比第个正方形多的小正方形数量：。 举例：第2个比第1个多 ；第3个比第2个多 。 【知识点三】密码编码规律（字母与代数式） 将26个英文字母 依次对应自然数 。 加密规则（教材）： 明文数字为奇数，密文数字：； 明文数字为偶数，密文数字：。 解题思路：字母→对应数字→代数式运算→再转回字母，完成加密解密。 三.题型精析（夯实基础） 【题型1】火柴棒拼图形规律 【例题1】（24-25七年级上·广东珠海·期中）综合与实践． 在一个创新教育中心，学生们正在参与一个名为“火柴棍工程”的综合实践活动．这个活动旨在通过动手实践来培养学生的空间想象力、逻辑思维和数学计算能力．如图所示，学生们需要使用火柴棍来构建一系列由三角形组成的图形，并探索这些图形的数学规律． （1）实践操作：如果图形中含有4个三角形，那么拼成这个图形需要 根火柴棍． （2）数学探究：如果图形中含有n个三角形，那么拼成这个图形需要 根火柴棍． （3）应用数学：若图形中含有2024个三角形，并且每根火柴棍的长度为，则图形中所有火柴棍的长度和为多少？ 【答案】（1）9；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据题意数出图形中含有4个三角形时需要的火柴棒数量即可； （2）观察图形可知，每多一个三角形，则要多两根火柴棒，据此规律求解即可； （3）根据（2）所求求出所需要的火柴棒数量即可得到答案． （1）解：由题意得，如果图形中含有4个三角形，那么拼成这个图形需要9根火柴棒； （2）解：图形中含有1个三角形，需要3根火柴棒， 图形中含有2个三角形，需要根火柴棒， 图形中含有3个三角形，需要根火柴棒， 图形中含有4个三角形，需要根火柴棒， ……， 以此类推，可知，图形中含有n个三角形，需要根火柴棒， （3）解：当图形中含有2024个三角形时，火柴棍的根数为（根）， ∴图形中所有火柴棍的长度和为． 【变式1】（25-26七年级上·广西南宁·期中）下列图案是用长度相等的火柴按一定规律拼搭而成，第①个图案需要3根火柴，第②个图案需要5根火柴，第③个图案需要7根火柴，．．．，按此规律，第个图案需要的火柴数量为（   ） A．62 B．64 C．67 D．69 【答案】C 【分析】本题考查了图形规律．根据所给图形找出图形的变化规律是解答本题的关键． 通过观察时，需要火柴的根数为：；时，需要火柴的根数为：；时，需要火柴的根数为：，按规律求解即可． 解：第①个图案，即时，需要火柴的根数为：， 第②个图案，即时，需要火柴的根数为：， 第③个图案，即时，需要火柴的根数为：， …… 依此类推， 第个图案，需要火柴的根数为：， 依题意，当时，需要火柴的根数为：， 故选：C． 【变式2】（2025·山西朔州·模拟预测）如图所示是由一些火柴摆成的图案：摆第1个图案用了15根火柴，摆第2个图案用了22根火柴，摆第3个图案用了29根火柴……按照这种方式摆下去，摆第n（n为正整数）个图案需要用的火柴是______根． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化规律，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．根据图形的变化情况写出每个图形需要的火柴棒数，从而得出规律，写出一般式即可求解． 解：观察图形，得 摆第1个图案用了15根火柴，即， 摆第2个图案用了22根火柴，即， 摆第3个图案用了29根火柴，即， 则摆第n个图案需要用根火柴． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·山东威海·期末）火柴拼图是一种道具简单、开启思维、挖掘智力、陶冶情趣的数字游戏．这种游戏形式万千，可简可繁．下面是小明同学利用火柴按照一定的规律拼摆的一组图形： （1）填写下面的表格： 第1个 第2个 第3个 第4个 第5个 ... 三角形的个数 1 2 3 ... 正方形的个数 3 5 ... 火柴棒总根数 12 20 ... （2）按此规律拼摆的第个图中，三角形有_____个，正方形有_____个，所用的火柴棒总很数是_____；（用含n的代数式表示） （3）按这种方法拼摆出的第100个图中，三角形有_____个，正方形有_____个，所用的火柴棒总根数是_____． 【答案】（1）如下表格： 第1个 第2个 第3个 第4个 第5个 …… 拼成三角形个数 1 2 3 4 5 …… 拼成的正方形个数 3 5 7 9 11 …… 所用火柴棒总根数 12 20 28 36 44 …… （2）n；；；（3）100；201；804 【分析】主要考查了图形类规律探索．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出分式的符号的变化规律是此类题目中的难点． （1）根据题意，数出图中的三角形、正方形、火柴棒数量即可； （2）由（1）可知，找出数量的变化规律，即可得到答案； （3）把代入，即可求出答案． 解：（1）略 （2）解：第n个图中，三角形有n个，正方形：个，所有火柴棒有根； （3）解：当时，， ； 所以，按这种拼图方法拼出的第100个图形三角形有100个，正方形201个，共需要火柴棒804根． 【题型2】正方形拼接图形规律 【例题2】（25-26七年级上·河北邢台·期末）将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，如图1（算作剪1次），然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，如图2（算作剪2次），再将其中最小的一个小正方形剪成四个大小相同的小正方形，如图3（算作剪3次），如此进行下去． （1）填表： 剪的次数 1 2 3 4 小正方形个数 7 10 （2）如果剪10次，共剪出_____个小正方形；如果剪n次，共剪出_____个小正方形； （3）假设一直剪下去，能不能恰好剪出100个小正方形？请说明理由； （4）若原正方形纸片的边长为1，直接写出剪10次后最小正方形的边长（结果写成含有幂的形式）． 【答案】（1）4；13；（2）31；；（3） 能，理由如下： 根据题意得，令， 解得， ∴如果剪33次，能恰好剪出100个小正方形． （4）． 【分析】本题考查图形的变化规律，理解题意并归纳总结出规律是关键． （1）根据题意可以将表格中的数据补充完整； （2）根据表格中的数据总结规律，计算出剪了10次，共剪出多少个正方形，也可以计算出剪次，共剪了多少个正方形； （3）根据（2）中算出的用表示的式子，令其等于100，即可算出的值，即剪了多少次； （4）写出前三个图中最小正方形的边长，对比后归纳出规律，再计算出剪10次后的最小正方形的边长． （1）解：根据题意可得，剪1次时，正方形的个数为4，由表中规律可得，剪4次后，正方形的个数为13． 故答案为：4，13； （2）解：根据表格中的数据观察可知， 剪1次时，正方形的个数为， 剪2次时，正方形的个数为， 剪3次时，正方形的个数为， 剪4次后，正方形的个数为； ∴如果剪10次，剪成的正方形的个数为：个， ∴如果剪n次，剪成的正方形个数为：． 故答案为：31，； （3）略 （4）解：由题意可知，剪1次后最小正方形的边长为； 剪2次后最小正方形的边长为； 剪3次后最小正方形的边长为； ∴剪10次后最小正方形的边长． 【变式1】（25-26九年级上·重庆潼南·阶段检测）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有个正方形，第④个图案中有个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，有理数的计算，能根据所给图形发现正方形的个数依次增加4是解题的关键．根据所给图形，依次求出图案中正方形的个数，发现规律即可解决问题． 解：由所给图形可知， 第①个图中正方形的个数为：； 第②个图中正方形的个数为：； 第③个图中正方形的个数为：； ， 所以第个图中正方形的个数为个． 当时， （个， 即第⑨个图中正方形的个数为个． 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，将一张正方形纸片沿各边中点剪成4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形按同样的方式再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形按同样的方式再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；．．．，根据以上操作，若要得到2026个小正方形，需要操作的次数是___________． 【答案】675 【分析】本题考查了图形的变化规律，解题的关键是能用正整数n表示第n次操作后所得正方形的个数．根据题意可以发现：每一次剪的时候，都是把上一次的图形中的一个进行剪切．所以在4的基础上，依次多3个，继而解答各题即可． 解：根据题意可知：后一个图形中的个数总比前一个图形中的个数多3个， 即剪第1次时，可剪出4个正方形； 剪第2次时，可剪出7个正方形； 剪第3次时，可剪出10个正方形； 剪第4次时，可剪出13个正方形； … 剪n次时，共剪出小正方形的个数为：， 设第n次操作后正方形的个数有2026个， 则：， 解得， 即：若要得到2026个小正方形，需要操作的次数是675次． 故答案为：675． 【变式3】（25-26七年级上·浙江金华·期末）“中国结”寓意美满团圆，下列图案是由小正方形按一定规律组成，第1个图形有14个小正方形，第2个图形有19个小正方形，第3个图形有24个小正方形，…… （1）第5个图形共有_____个小正方形，第个图形共有_____个小正方形（用的代数式表示）． （2）循此规律，是否存在由2026个小正方形组成的图形？若存在，请求出是第几个图形；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；；（2）解：不存在，理由如下， 依题意， 解得：，不是整数， ∴不存在由2026个小正方形组成的图形 【分析】本题考查图形规律探究； （1）根据所给图形，依次求出小正方形的个数，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）的结论，列出方程解方程，即可求解． （1）解：由所给图形可知， 第1个图形中小正方形的总个数为：； 第2个图形中小正方形的总个数为：； 第3个图形中小正方形的总个数为：； 第4个图形中小正方形的总个数为：； 第5个图形共有个小正方形， 所以第n个图形中小正方形的总个数为个， 故答案为：；． （2）略 四.题型精析（综合提升） 【题型3】点阵、图案类图形规律 【例题3】（23-24六年级下·全国·假期作业）如图，从第三个图形开始，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用含n的等式表示第n个正方形点阵对应的等式． 【答案】 【分析】本题考查找规律，正确找到规律是解题的关键．根据题意可得点阵左上角和点阵右下角点数规律，以及第n个正方形点阵总数，将点阵左上角和点阵右下角点数列式相加，即可解题． 解：由题知， 点阵左上角点数， ， 点阵右下角点数， ， 第n个正方形点阵总数为， 第n个正方形点阵对应的等式为． 【变式1】（24-25七年级上·广东东莞·期末）观察如图所示的四个点阵，s表示每个点阵中点的个数，按照图形中点的个数变化规律，猜想第6个点阵中点的个数s为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． 找出前四个图形中点的个数的规律，进而求解即可． 解：∵第1个点阵中的点的个数， 第2个点阵中的点的个数， 第3个点阵中的点的个数， 第4个点阵中的点的个数， … ∴第6个点阵中的点的个数． 故选：A． 【变式2】（2026·安徽滁州·二模）如图1是一个点阵多边形，若四个相邻的点围成的正方形的面积为1，数学家发现了一个计算点阵多边形的面积公式：，其中表示多边形内部的点数，表示边界上的点数，表示多边形的面积． （1）如图1，多边形的面积__________； （2）如图2的点阵图中五边形的面积为10，根据点的位置，则的值为__________． 【答案】 6 14或15 【分析】（1）根据题意直接列式求解即可； （2）根据题意得出，结合点阵求解即可． 解：（1）由图象得：， ∴； （2）根据题意得：， ∴， ∴， 如图所示：当或时，满足题意； ∴或． 【变式3】（25-26九年级上·广东惠州·阶段检测）如图是一个形如正六边形的点阵，它的中心是一个点，算第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，，依此类推． （1）填写下表： 层数 1 2 3 4 该层对应的点数 1 6 12 18 所有层的总点数 1 （2）写出第层所对应的点数； （3）写出层的正六边形点阵的总点数； （4）如果点阵中所有层的总点数为331，请求出它共有几层？ 【答案】（1）解：如表： 层数 1 2 3 4 该层对应的点数 1 6 12 18 所有层的总点数 1 7 19 37 （2）；（3）；（4）共有11层 【分析】（1）观察点阵可以写出答案； （2）观察可知，从第二层开始，每增加一层就增加六个点； （3）将每一层的点数相加后即可得到答案； （4）将331代入后解方程即可． 解：（1）略 （2）第一层上的点数为1； 第二层上的点数为； 第三层上的点数为； 第四层上的点数为； ； 第层上的点数为． （3）第二层开始，每增加一层就增加六个点，即层六边形点阵的总点数为， ， ， ， ． 第层六边形的点阵的总点数为：． （4）令 解得：（舍去）或 答：共有11层． 【点拨】此题主要考查了找规律——图形的变化，学生通过特例分析从而归纳总结出一般规律的能力，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解． 【题型4】密码编码（代数式实际应用） 【例题4】（25-26七年级上·山西阳泉·期中）阅读与思考 活动 密码中的数学 密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．例如， 对于密文“”，如果给一把破译它的“钥匙”，联想英语字母表中字母的顺序：，如果规定a又接在z的后面，使26个字母排成圈，并能想到可以代表“把一个字母换成字母表中从它向前移动3位的字母”，按这个规律就有． 这样就能把密文“”破译成明文“”， 从而解读出密文的意思了． 请你研究以下问题： （1）基础破译题 已知破译“钥匙”为“”，请将密文“”破译成明文． （2）反向编码题 已知编码“钥匙”为“”，请将明文“”编码成密文． （3）钥匙推理题 现有明文“”，按照某一“钥匙”编码后得到密文“”，请观察字母移动规律，推断出这次破译使用的“钥匙”（格式示例：）． （4）拓展延伸 规定字母对应英语字母表中的位置（），编码“钥匙”为“字母对应数字，再转换回字母（若结果超过26则减26）”．请将明文“”按照此规则编码成密文． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）根据题意分别找到密文中每个字母的序号，减去3就是对应的明文即可得到答案； （2）根据题意分别找到密文中每个字母对应的明文即可得到答案； （3）先分别求出密文和明文对应的序号，再找到序号之间的关系即可得到答案． （4）先分别求出密文和明文对应的序号，再找到序号之间的关系即可得到答案． 本题主要考查了数字类的规律探索，正确理解明文，密文的关系是解题的关键． （1）解：根据题意，破译“钥匙”为“”， 密文“”中N的前面第三个字母是K, f的前面第三个字母是c, g的前面第三个字母是d, h的前面第三个字母是e, j的前面第三个字母是g, 故破译成明文为：． （2）解：编码“钥匙”为“”，明文“”中，g的前面第1个字母是f, o的前面第1个字母是n, d的前面第1个字母是c, 故编码成密文为． （3）解：密文“”分别向前数3个字母即为明文字母， 故明文“”，按照 “钥匙”编码后得到密文“” 故答案为： （4）解：根据题意，得，e的序号是5，且， 故对应密文字母为z； a的序号是1，且， 故对应密文字母为v； s的序号是19，且， 故对应密文字母为n； y的序号是25，且， 故对应密文字母为t； 故答案为： 【变式1】（25-26八年级上·福建三明·期末）某科技馆的数学史展厅内，当日WiFi密码是一个动态8位数，它由当天的月份和日期通过特定规则编制而成．如：3月14日，将月份和日期均处理为两位数（即1月至9前补0），记为0314，然后再通过数位的四则运算编制成密码，以下是一些日期所对的密码： 日期 1月5日 3月14日 5月17日 10月1日 12月27日 记为 0105 0314 0517 1001 1227 密码 06010506 17031408 22051713 11100102 39122712 2025年7月21日，小星在数学史展厅参观时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了网络，那么他输入的密码是（    ） A．28072121 B．28072110 C．28072128 D．07210721 【答案】B 【分析】本题考查了数字规律的探索，以及有理数的加法的应用，解决本题的关键是分析已知日期与对应密码的数位关系． 通过分析已知日期与对应密码的数位关系，总结出密码编制规则，再代入7月21日的信息计算出密码． 解：观察已知示例可总结密码编制规则：8位密码分为三部分， 前两位为两位数形式的月份两位数形式的日期， 中间四位为两位数月份与两位数日期的组合， 最后两位为组合后四位数的四个数位数字之和， ∴7月21日处理为两位数组合是0721， 前两位：， 中间四位： 最后两位： ∴密码为28072110． 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·浙江湖州·期中）如表，某学校数学兴趣小组活动室门上安装了密码锁，凡是参加兴趣活动的同学通过观察门上的小提示，输入密码便可进入活动室．李明同学要参加兴趣活动，走到门口思索了一会儿，输入密码后顺利进入活动室，他输入的密码是______． 数学兴趣活动室欢迎你！ 密码 【答案】722427 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，正确找到数字之间的规律是解题的关键．通过观察示例运算规律，密码为六位数，由三部分组成：前两位是第二个数与第三个数的乘积，中间两位是第一个数与第三个数的乘积，后两位是第一个数与第二个数的乘积，据此解答即可． 解：对于输入 ，设 ， ， ． ∵， ， ， 因此密码为 ． 故答案为： 【变式3】（24-25七年级上·福建厦门·期中）【活动主题】 密码中的数学． 【阅读材料】 密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．例如，对于密文“”，如果给一把破译它的“钥匙”，联想英语字母表中字母的顺序：如果规定a又接在z的后面，使26个字母排成圈，并能想到可以代表“把一个字母换成字母表中从它向前移动3位的字母”，按这个规律就有．这样就能把密文“”破译成明文“ ”，从而解读出密文的意思了． （1）根据材料填空：密文“”可破译成明文______． 【类比研究】 （2）将26个英文字母a，b，c，…，z依次对应序号1，2，3，…，26．对于密文“26 2 19 7 38”，给出密文与明文之间的关系如下： 当密文对应的序号x为奇数时，明文对应的序号为；当密文对应的序号x为偶数时，明文对应的序号为，则将密文破译成英文字母表示的明文为______． 【研究拓展】 （3）小叮当沿用对字母标号的方法，即将26个英文字母a，b，c，…，z依次对应序号1，2，3，…，26．把明文“”译成密文“”，请你写出这组密码的对应关系． 【答案】（1）；（2）；（3）当明文对应的序号x为奇数时，密文对应的序号为；当明文对应的序号x为偶数时，密文对应的序号为 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索： （1）根据题意分别找到密文中每个字母对应的明文即可得到答案； （2）根据题意分别找到密文中每个字母对应的明文即可得到答案； （3）先分别求出密文和明文对应的序号，再找到序号之间的关系即可得到答案． 解：（1）由题意得，密文“”可破译成明文“”， 故答案为：； （2）由题意得，密文“26  2  19  7  38”表示的明文序号为13  1  20  8  19， ∴将密文破译成英文字母表示的明文为， 故答案为：； （3）明文“”用序号表示为“20  5  1  3  8  5  18”， 密文“”用序号表示为“24  4  2  3  18  4  23”， ∵，，，，，，， ∴当明文对应的序号x为奇数时，密文对应的序号为；当明文对应的序号x为偶数时，密文对应的序号为． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（26-27七年级·全国·小升初衔接）如图所示，小明用小棒搭小房子，搭3间用了13根．照这样搭下去，搭n间小房子用了（    ）根小棒． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察图形可以发现，每增加1间小房子增加4根小棒，搭1间小房子用根小棒，搭2间小房子用根小棒，搭3间小房子用根小棒……；搭n间小房子用根小棒． 解：搭1间小房子用根小棒， 搭2间小房子用根小棒， 搭3间小房子用根小棒……； 则搭n间小房子用根小棒． 2．（2026·重庆·二模）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有个圆点，第②个图中有个圆点，第③个图中有个圆点，第④个图中有个圆点，…，按照这一规律，则第⑧个图中圆点的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据所给图形，依次求出图形中圆点的个数，发现规律即可解决问题． 解：由所给图形可知， 第①个图形中圆点的个数为：， 第②个图形中圆点的个数为：， 第③个图形中圆点的个数为：， …， 所以第n个图形中圆点的个数为． 当时， 第⑧个图形中圆点的个数为． 3．（重庆市渝中区2025-2026学年度九年级二调考试数学试题）瓦匠师傅常按图①的方式砌墙，徒弟用大小一样的砖块模仿砌墙，如图②，第1个图用砖3块，第2个图用砖5块，第3个图用砖7块，…，则第9个图需要用砖的块数为（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 【答案】C 【分析】先结合图形总结出规律，再计算第9个图需要用砖的块数即可． 解：由题意可得，第1个图用砖3块，第2个图用砖5块，第3个图用砖7块，…， ∴第个图用砖（块）， ∴第9个图需要用砖的块数为（块）． 4．（2026·重庆沙坪坝·一模）石墨烯是突破硅基芯片极限的关键材料．二维石墨烯的晶格结构如下图所示（黑色圆点表示碳原子）：第①个图中有14个碳原子，第②个图中有18个碳原子，第③个图中有22个碳原子，…，按照此规律，第⑥个图中碳原子的个数是（   ）      A．30 B．34 C．38 D．42 【答案】B 【分析】根据前三个图形可得第n个图形中，碳原子的个数为个，再进一步求解即可． 解：第1个图形中有个碳原子， 第2个图形中有个碳原子， 第3个图形中有个碳原子， 按这样的规律，第n个图形中，碳原子的个数为个， 当时，． 5．（2026·重庆南岸·模拟预测）按如图所示的规律拼接图案，其中第①个图中有5个△，第②个图中有8个△，第③个图中有11个△，第④个图中有14个△……按照这一规律，则第10个图中△的个数是（    ） A．35 B．32 C．30 D．29 【答案】B 【分析】本题考查图形的变化规律．通过观察前几个图形中三角形个数的变化情况，归纳出一般规律求值即可． 解：通过前几个图形可以发现，从第二个图形起，图形中三角形个数总比前一个多3个， 因此第个图中△的个数为， 即． 所以当时，图中△的个数为． 6．（2025·四川自贡·三模）下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去，第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为（     ） A．11 B．13 C．15 D．17 【答案】B 【分析】观察图形可知，后一个图形比前一个图形多2张黑色正方形纸片，据此得出规律求解即可． 解：观察图形可知： 第①个图中有张； 第②个图中有张； 第③个图中有张； …… ∴第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为张． 7．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）下列是由一些火柴搭成的图案：图用了根火柴，图用了根火柴，图用了根火柴，按照这种方式摆下去，摆第个图案用多少根火柴棒（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图形可知，每增加一个五边形，火柴棒数量增加4根，据此归纳出第个图案火柴棒数量的通项公式，将代入计算即可. 解：图①用了5根火柴，即； 图②用了9根火柴，即； 图③用了13根火柴，即； …… ∴第个图案用的火柴根数为. 当时，火柴根数为． 8．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，数学活动课上，老师带领学生们叠放纸杯，研究纸杯的高度与纸杯个数的关系，经过测量，绘制表格如下： 纸杯个数 个 个 个 个 个 … 纸杯高度 … 当叠放个纸杯时，纸杯的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目中的图表，可知每增加一个杯子，高度增加，从而可以得到10个杯子叠在一起的高度． 解：由图表可得，每增加一个杯子，高度增加（）， 经验证符合题意，则10个杯子叠加时高度（）． 9．（25-26八年级下·重庆·期末）按如图所示的规律拼接餐桌和椅子（每个小半圆代表把椅子），张餐桌配把椅子，张餐桌配把椅子，张餐桌配把椅子，…，若将张餐桌按上述方式拼接摆放，一共需配（     ）把椅子 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图形变化，得出张餐桌时，椅子数为把（为正整数），代入即可得出结论． 解：观察图形，发现每多添一张餐桌多2把椅子， 故张餐桌时，椅子数为（把）（为正整数）． 令，可得（把）． 10．（24-25七年级下·浙江台州·开学考试）如图，都是由棱长为的正方体叠成的立体图形，例如第个图形由个正方体叠成，第个图形由个正方体叠成，第个图形由个正方体叠成，依此规律，第个图形由个正方体叠成．（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形的变换规律，可知第个图形中的正方体的个数为，据此可得第个图形中正方体的个数． 解：由图可得： 第个图形中正方体的个数为； 第个图形中正方体的个数为； 第个图形中正方体的个数为； 第个图形中正方体的个数为； 故第个图形中的正方体的个数为， 第个图形中正方体的个数为． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）观察下列图形： 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第18个图形共有___________枚五角星． 【答案】 【分析】根据观察可以发现，每增加1个图形，就增加3个五角星，所以可以得到五角星数量与图形序号的关系：五角星数量图形序号，代入图形序号为18，即可求出第18个图形的五角星数量． 解：根据观察，可得五角星数量与图形序号的关系：五角星数量图形序号， 所以假设图形序号为，则五角星数量， 当时，五角星数量（枚）． 12．（2026·山东烟台·一模）如图，将一根绳子折成4段，然后按图中所示方式剪开，剪1刀，绳子变为5段；剪2刀，绳子变为9段；……依此规律剪n刀，绳子变为________段． 【答案】/ 【分析】通过观察剪1刀、剪2刀时绳子的段数，分析段数与刀数的数量关系，归纳得出剪刀时绳子段数的通用表达式． 解：当剪刀时，段数为：； 当剪刀时，段数为：； 当剪刀时，段数为：； ； 由此归纳，剪刀时，绳子变为段． 13．（2026·山西晋中·二模）如图是一组有规律的图案，它们由若干条长度相等的线段组成．第1个图案中有8条线段，第2个图案中有15条线段，第3个图案中有22条线段，第4个图案中有29条线段，…，按此规律，第n个图案中有_______条线段（用含n的代数式表示）． 【答案】/ 解：第1个图案中有条线段， 第2个图案中有条线段， 第3个图案中有条线段， 第4个图案中有条线段， ∴第n个图案中有条线段． 14．（2026·陕西汉中·二模）科学家们通过模仿蜂房的结构，找到了人造卫星比较理想的结构．蜜蜂蜂房中一组有规律的图案如图所示，它们由相同的小正六边形组成，第1个图案中有5个正六边形，第2个图案中有8个正六边形，第3个图案中有11个正六边形，……依此规律，第16个图案中小正六边形的个数为________． 【答案】50 【分析】根据前3个图案中的正六边形的个数，可得第n个图案中有个正六边形，即可求解． 解：第1个图案中有个正六边形， 第2个图案中有个正六边形， 第3个图案中有个正六边形， ……， 由此发现，第n个图案中有个正六边形， ∴第16个图案中小正六边形的个数为． 15．（2026·陕西渭南·一模）算筹是我国古代常用的计算工具，也叫算、筹、策、筹策、算子．如图，用大小完全相同的算筹按照一定规律摆成下列图形，第1个图形中有3个算筹，第2个图形中有4个算筹，第3个图形中有5个算筹，…，以此类推，第26个图形中有______个算筹． 【答案】28 【分析】观察图形中算筹数量的变化，发现规律：第个图形中有个算筹，令进行求解即可． 解：由图可知， 第1个图形中有个算筹， 第2个图形中有个算筹， 第3个图形中有个算筹， 以此类推，第个图形中有个算筹， 则第26个图形中有个算筹． 16．（2025·甘肃天水·模拟预测）每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第2018层的三角形个数为_____． 【答案】 【分析】根据题意和图形可以发现随着层数的变化三角形个数的变化规律，从而可以解答本题． 解：由图可得，第1层三角形的个数为：1， 第2层三角形的个数为：3， 第3层三角形的个数为：5， 第4层三角形的个数为：7， 第5层三角形的个数为：9， …… 第n层的三角形的个数为：， ∴当时，三角形的个数为：． 17．（25-26七年级上·浙江宁波·开学考试）（图形找规律）小明用小棒摆八边形，如图所示，摆n个八边形要用__________根小棒． 【答案】 【分析】观察图形，每增加1个八边形就增加7根小棒，据此规律解答即可． 解：摆n个八边形要用根小棒． 18．（24-25七年级下·湖南常德·期末）如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定规律摆成如图图形，第1幅图中“”的个数为，第2幅图中“”的个数为，第3幅图中“”的个数为，以此类推，的值为 ________． 【答案】 【分析】根据图中的规律表示出，结合解题． 解：由图可知，，，，， 则可推出， ∴原式 ． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2025·安徽亳州·二模）在一个AI智能教育中心，小学员们正在参与一个名为“火柴棒项目”的智能编程．如图所示，小学员们需要使用火柴棒来构建一系列由三角形组成的图形，并探索这些图形的数学规律； （1）若拼成的图形中含有4个三角形，则需要________根火柴棒； （2）若拼成的图形中含有n个三角形，则需要________根火柴棒；（用含有n的式子表示） （3）若每根火柴棒的长为1cm，且拼成的图形中所有火柴棒的长度和为，则拼成的图形中含有多少个三角形？ 【答案】（1）；（2）；（3）个 【分析】本题考查了用代数式表示图形的变化规律，根据图形找到图形之间的联系是解题的关键． （1）根据图形即可求解； （2）根据前几个图形找到规律，进而求解； （3）由（2）找到的规律进行求解即可． （1）解：当图形中含有1个三角形时，需要（根）； 当图形中含有2个三角形时，需要（根）； 当图形中含有3个三角形时，需要（根）； 当图形中含有4个三角形时，需要（根）； 故答案为：； （2）解：当图形中含有个三角形，需要根； 故答案为：； （3）解：由题意得：， 解得：． 20．（本小题满分8分）（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，摆1个正方形要用4根小棒，摆2个正方形要用7根小棒，摆3个正方形要用10根小棒，按此规律摆放． （1）按照上述摆放方式，摆n个正方形用______根小棒（用n的代数式表示，并化简）． （2）按照上述摆放方式，能否用18根小棒摆出6个正方形？并说明理由． （3）设小棒长度为1，用不多于18根小棒摆出6个边长为1的小正方形，画出一种示意图． 【答案】（1）；（2）不能， 根据（1）可得，摆出6个正方形时是第6个图形， ∴，即需要根小棒， ∴用18根小棒摆不出6个正方形； （3） 根据题意，第3个图中有3个正方形，需要10根小棒， 由（2）可知，按照题目中的图形摆放得到6个正方形需要19根， ∴改变摆放方式，如图所示， ∴摆放时需要根小棒，即不多于18根小棒， ∴符合题意． 【分析】本题主要考查图形规律，理解图示中数量关系，找出规律是解题的关键． （1）根据图示找出规律即可求解； （2）根据（1）中的规律计算即可求解； （3）由（2）的计算可得，用不多于18根小棒摆出6个边长为1的小正方形，需要改变摆放方式，结合图形即可求解． （1）解：第1个图有1个正方形需要根小棒， 第2个图有2个正方形需要根小棒，即， 第3个图有3个正方形需要根，即， ∴第个正方形需要（根）， 故答案为：； （2）略 （3）略 21．（本小题满分10分）（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）某公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设，图1为有块六边形地砖时，正方形地砖有块，三角形地砖有块；图2为有块六边形地砖时，正方形地砖有块，三角形地砖有块；…. （1）按照规律，每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加______块，三角形地砖会增加______块； （2）若铺设这条小路共用去块六边形地砖，分别用含的代数式表示正方形地砖、三角形地砖的数量； （3）当时，求此时正方形地砖和三角形地砖的总数量． 【答案】（1），；（2）正方形地砖有块，三角形地砖有块；（3）正方形地砖和三角形地砖的总数量为块 【分析】本题主要考查图形的规律，整式的运算，理解图形的数量关系，掌握整式的运算是解题的关键． （1）根据图形的数量，找出数量关系即可求解； （2）根据（1）中的数量关系列式求解即可； （3）把代入上述的数量关系式即可求解． （1）解：第个图，六边形的个数为块，正方形地砖有块，三角形地砖有块； 第个图，六边形的个数为块，正方形地砖有块，三角形地砖有块； 第个图，六边形的个数为块，正方形地砖有块，三角形地砖有块； ， ∴第个图，六边形的个数为块，正方形地砖有块，三角形地砖有块； ∴每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加块，三角形地砖会增加块， 故答案为：，； （2）解：根据第个图，六边形的个数为块，正方形地砖有块，三角形地砖有块， ∴用去块六边形地砖时，正方形地砖有块，三角形地砖有块； （3）解：当时，正方形地砖有：（块），三角形地砖有：（块）， ∴（块）， ∴正方形地砖和三角形地砖的总数量为块． 22．（本小题满分10分）（24-25九年级上·江苏无锡·期中）阅读下面材料，并解决相关问题． 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点……容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． （1）探索：三角点阵中前8行的点数之和为 ，那么，前行的点数之和为 ． （2）体验：三角点阵中前行的点数之和 （填“能”或“不能”）为500． （3）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【答案】（1）36，；（2）不能；（3）一共能摆放20排 【分析】本题考查图形变化的规律及列代数式，能根据所给点阵发现前n行点数之和的变化规律是解题的关键． （1）依次求出前n（n为正整数）行点数之和，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （1）解：三角点阵中前8行的点数之和为， 那么，前行的点数之和为； （2）解：不能，理由如下： 由题意得， 得， ， ∴此方程无正整数解， 所以三角点阵中前n行的点数和不能是500； （3）解：同理，前行的点数之和为， 由题意得， 得，即， 解得或（舍去）， ∴一共能摆放20排． 23．（本小题满分10分）（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）（1）探究：已知，如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有一个点，第二行有两个点…第n行有n个点…容易发现，10是三角形点阵中前4行的点数和． ①求三角形点阵中前10行的点数和； ②若三角形点阵中前a行的点数之和为300，求a的值； ③三角形点阵中前b行的点数之和 是600吗？（填“能”或“不能”） （2）拓展：若果把（1）的三角形点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，…， ①求这个三角形点阵中前n行点数和（用含n的代数式表示）； ②这个三角形点阵中前n行点数和能是600吗？若能，求出n；若不能，请说明理由． 【答案】（1）①55；②24；③不能；（2）①n（n＋1）；②能，n＝24 【分析】（1）①由于第一行有1个点，第二行有2个点…，第n行有n个点…，则前10行共有（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）个点； ②前a行共有（1+2+3+4+5+…+a）个点，然后求它们的和，前a行共有 个点，则＝300，然后解方程得到a的值； ③由（1）得b（b+1）＝600×2，求b的值即可； （2）①根据2+4+6+…+2n＝2（1+2+3+…+n）＝2× ，求n的值，进而得出这个三角形点阵中前n行点数和； ②由①得n（n+1）＝600，求n的值即可． 解：（1）①三角形点阵中前10行的点数和为： 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝55； ②由题意可得：1＋2＋3＋4＋5＋…＋a＝300， 即， 整理得a2＋a－600＝0， （a＋25）（a－24）＝0， ∴a1＝－25，a2＝24， ∵a为正整数， ∴a＝24；    ③由（1）得b（b+1）＝600×2，即， 方程无整数解， 三角点阵中前b行的点数的和不能是600． （2）①这个三角形点阵中前n行点数和为： 2＋4＋6＋…＋2n＝2（1＋2＋3＋…＋n）＝n（n＋1）； ②三角点阵中前n行的点数的和能是600．理由如下： 依题意，得n（n＋1）＝600， 即n2＋n－600＝0， △＝49，开平方得出整数， 故三角点阵中前n行的点数的和能是600．n＝24 【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用以及规律型：图形的变化，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·安徽宣城·期末）综合实践： 【问题背景】在生活中经常看到一些拼合图案如图1，它们或是用单独的正方形或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案要求严丝合缝，不留空隙．从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题． 【问题情境】如图2是某广场用正十二边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正十二边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第1层包括6块正方形和18块正三角形地板砖，第2层包括6块正方形和30块正三角形地板砖，第3层包括6块正方形和42块正三角形地板砖，…，依此类推． （1）【问题探究】①第4层中分别含有______块正方形和______块正三角形地板砖； ②第层中含有_______块正三角形地板砖（用含的代数式表示）． （2）观察下列算式，并完成填空： ； ； ； ； _______． （3）【问题拓展】现打算在此广场中央，采用如图2样式的图案铺设地面，现有1块正十二边形、120块正方形和870块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，从里向外最多能铺多少层？请说明理由． 【答案】（1）①6，54；②；（2）；（3）铺设这样的图案，最多能铺11层．理由如下： （层）， 块正方形地板砖可以铺设这样的图案20层； 由（1）（2）知，铺设层需要正三角形地板砖的数量为 ， 令， ， 因为，，且为正整数， 所以最大取12，即最大取11， 所以最多可以铺设这样的图案11层． 【分析】（1）列出前面几层正方形和三角形个数，找出规律，利用规律求解； （2）观察前面几个式子，找出规律，利用规律求解； （3）先计算出正方形地板可以铺多少层，由（1）（2）知，铺设层需要正三角形地板砖的数量为：，令，即可求解． （1）解：①第1层包括6块正方形和18块正三角形地板砖， 第2层包括6块正方形和30块正三角形地板砖，， 第3层包括6块正方形和42块正三角形地板砖，， …… 以此类推，第4层包括正方形地板砖6块，正三角形地板砖：（块）； ②由①可知，第层含有正三角形地板砖的数量为； （2）解：由题意知，； （3）略 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.3 数学活动——图形规律探究（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 学习目标 2 重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】图形规律探究通用方法 2 【知识点一】教材活动1 拼搭图形规律 2 【知识点三】密码编码规律（字母与代数式） 3 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】火柴棒拼图形规律 3 【题型2】正方形拼接图形规律 5 四.题型精析（综合提升） 6 【题型3】点阵、图案类图形规律 6 【题型4】密码编码（代数式实际应用） 7 五.同步检测 10 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 10 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 12 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 14 19．（本小题满分8分） 14 20．（本小题满分8分） 14 21．（本小题满分10分） 14 22．（本小题满分10分） 15 23．（本小题满分10分） 15 24．（本小题满分12分） 16 一.学习目标与重难点 学习目标 1. 经历观察图形、统计数量、列表归纳的过程，能发现图形变化蕴含的数字规律，会用代数式表示图形规律。 2. 掌握图形规律探究通用解题流程：数特例数量→列表建立序号与数量对应关系→猜想代数式→代入数值检验。 3. 了解简单密码编码变换规律，体会代数式在生活中的实际应用。 4. 提升观察、归纳、抽象概括能力，感悟从特殊到一般的数学思想。 重难点 重点：观察图形变化，归纳数量变化规律，写出第个图形对应数量的代数式。 难点：分析图形递变，理清图形序号和数量之间的关系；对猜想得到的代数式进行验证。 二.知识梳理与解读 【知识点一】图形规律探究通用方法 对于火柴棒拼搭、小正方形拼接类图形探究题，解题步骤： ① 数特例：数出第1、2、3个图形对应的物体个数； ② 列对应表：将图形序号和对应数量一一列出； ③ 找变化：观察每增加1组图形，数量增加多少；区分固定不变部分、每次新增部分； ④ 写代数式：写出含序号的代数式，表示第个图形的数量； ⑤ 做检验：将代入代数式，核对计算结果与图形实际数量是否一致。 【知识点一】教材活动1 拼搭图形规律 （1）火柴棒拼接三角形 1个三角形：需要3根火柴棒； 2个三角形：需要5根火柴棒； 3个三角形：需要7根火柴棒； 4个三角形：需要9根火柴棒。 规律：每增加1个三角形，增加2根火柴棒。 个三角形，火柴棒总根数：。 验证：，；，，与图形一致。 （2）小正方形拼大正方形 第1个正方形：共个小正方形； 第2个正方形：共个小正方形； 第3个正方形：共个小正方形。 第个正方形一共需要小正方形：。 第个正方形比第个正方形多的小正方形数量：。 举例：第2个比第1个多 ；第3个比第2个多 。 【知识点三】密码编码规律（字母与代数式） 将26个英文字母 依次对应自然数 。 加密规则（教材）： 明文数字为奇数，密文数字：； 明文数字为偶数，密文数字：。 解题思路：字母→对应数字→代数式运算→再转回字母，完成加密解密。 三.题型精析（夯实基础） 【题型1】火柴棒拼图形规律 【例题1】（24-25七年级上·广东珠海·期中）综合与实践． 在一个创新教育中心，学生们正在参与一个名为“火柴棍工程”的综合实践活动．这个活动旨在通过动手实践来培养学生的空间想象力、逻辑思维和数学计算能力．如图所示，学生们需要使用火柴棍来构建一系列由三角形组成的图形，并探索这些图形的数学规律． （1）实践操作：如果图形中含有4个三角形，那么拼成这个图形需要 根火柴棍． （2）数学探究：如果图形中含有n个三角形，那么拼成这个图形需要 根火柴棍． （3）应用数学：若图形中含有2024个三角形，并且每根火柴棍的长度为，则图形中所有火柴棍的长度和为多少？ 【变式1】（25-26七年级上·广西南宁·期中）下列图案是用长度相等的火柴按一定规律拼搭而成，第①个图案需要3根火柴，第②个图案需要5根火柴，第③个图案需要7根火柴，．．．，按此规律，第个图案需要的火柴数量为（   ） A．62 B．64 C．67 D．69 【变式2】（2025·山西朔州·模拟预测）如图所示是由一些火柴摆成的图案：摆第1个图案用了15根火柴，摆第2个图案用了22根火柴，摆第3个图案用了29根火柴……按照这种方式摆下去，摆第n（n为正整数）个图案需要用的火柴是______根． 【变式3】（24-25七年级上·山东威海·期末）火柴拼图是一种道具简单、开启思维、挖掘智力、陶冶情趣的数字游戏．这种游戏形式万千，可简可繁．下面是小明同学利用火柴按照一定的规律拼摆的一组图形： （1）填写下面的表格： 第1个 第2个 第3个 第4个 第5个 ... 三角形的个数 1 2 3 ... 正方形的个数 3 5 ... 火柴棒总根数 12 20 ... （2）按此规律拼摆的第个图中，三角形有_____个，正方形有_____个，所用的火柴棒总很数是_____；（用含n的代数式表示） （3）按这种方法拼摆出的第100个图中，三角形有_____个，正方形有_____个，所用的火柴棒总根数是_____． 【题型2】正方形拼接图形规律 【例题2】（25-26七年级上·河北邢台·期末）将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，如图1（算作剪1次），然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，如图2（算作剪2次），再将其中最小的一个小正方形剪成四个大小相同的小正方形，如图3（算作剪3次），如此进行下去． （1）填表： 剪的次数 1 2 3 4 小正方形个数 7 10 （2）如果剪10次，共剪出_____个小正方形；如果剪n次，共剪出_____个小正方形； （3）假设一直剪下去，能不能恰好剪出100个小正方形？请说明理由； （4）若原正方形纸片的边长为1，直接写出剪10次后最小正方形的边长（结果写成含有幂的形式）． 【变式1】（25-26九年级上·重庆潼南·阶段检测）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有个正方形，第④个图案中有个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，将一张正方形纸片沿各边中点剪成4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形按同样的方式再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形按同样的方式再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；．．．，根据以上操作，若要得到2026个小正方形，需要操作的次数是___________． 【变式3】（25-26七年级上·浙江金华·期末）“中国结”寓意美满团圆，下列图案是由小正方形按一定规律组成，第1个图形有14个小正方形，第2个图形有19个小正方形，第3个图形有24个小正方形，…… （1）第5个图形共有_____个小正方形，第个图形共有_____个小正方形（用的代数式表示）． （2）循此规律，是否存在由2026个小正方形组成的图形？若存在，请求出是第几个图形；若不存在，请说明理由． 四.题型精析（综合提升） 【题型3】点阵、图案类图形规律 【例题3】（23-24六年级下·全国·假期作业）如图，从第三个图形开始，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用含n的等式表示第n个正方形点阵对应的等式． 【变式1】（24-25七年级上·广东东莞·期末）观察如图所示的四个点阵，s表示每个点阵中点的个数，按照图形中点的个数变化规律，猜想第6个点阵中点的个数s为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·安徽滁州·二模）如图1是一个点阵多边形，若四个相邻的点围成的正方形的面积为1，数学家发现了一个计算点阵多边形的面积公式：，其中表示多边形内部的点数，表示边界上的点数，表示多边形的面积． （1）如图1，多边形的面积__________； （2）如图2的点阵图中五边形的面积为10，根据点的位置，则的值为__________． 【变式3】（25-26九年级上·广东惠州·阶段检测）如图是一个形如正六边形的点阵，它的中心是一个点，算第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，，依此类推． （1）填写下表： 层数 1 2 3 4 该层对应的点数 1 6 12 18 所有层的总点数 1 （2）写出第层所对应的点数； （3）写出层的正六边形点阵的总点数； （4）如果点阵中所有层的总点数为331，请求出它共有几层？ 【题型4】密码编码（代数式实际应用） 【例题4】（25-26七年级上·山西阳泉·期中）阅读与思考 活动 密码中的数学 密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．例如， 对于密文“”，如果给一把破译它的“钥匙”，联想英语字母表中字母的顺序：，如果规定a又接在z的后面，使26个字母排成圈，并能想到可以代表“把一个字母换成字母表中从它向前移动3位的字母”，按这个规律就有． 这样就能把密文“”破译成明文“”， 从而解读出密文的意思了． 请你研究以下问题： （1）基础破译题 已知破译“钥匙”为“”，请将密文“”破译成明文． （2）反向编码题 已知编码“钥匙”为“”，请将明文“”编码成密文． （3）钥匙推理题 现有明文“”，按照某一“钥匙”编码后得到密文“”，请观察字母移动规律，推断出这次破译使用的“钥匙”（格式示例：）． （4）拓展延伸 规定字母对应英语字母表中的位置（），编码“钥匙”为“字母对应数字，再转换回字母（若结果超过26则减26）”．请将明文“”按照此规则编码成密文． 【变式1】（25-26八年级上·福建三明·期末）某科技馆的数学史展厅内，当日WiFi密码是一个动态8位数，它由当天的月份和日期通过特定规则编制而成．如：3月14日，将月份和日期均处理为两位数（即1月至9前补0），记为0314，然后再通过数位的四则运算编制成密码，以下是一些日期所对的密码： 日期 1月5日 3月14日 5月17日 10月1日 12月27日 记为 0105 0314 0517 1001 1227 密码 06010506 17031408 22051713 11100102 39122712 2025年7月21日，小星在数学史展厅参观时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了网络，那么他输入的密码是（    ） A．28072121 B．28072110 C．28072128 D．07210721 【变式2】（25-26七年级上·浙江湖州·期中）如表，某学校数学兴趣小组活动室门上安装了密码锁，凡是参加兴趣活动的同学通过观察门上的小提示，输入密码便可进入活动室．李明同学要参加兴趣活动，走到门口思索了一会儿，输入密码后顺利进入活动室，他输入的密码是______． 数学兴趣活动室欢迎你！ 密码 【变式3】（24-25七年级上·福建厦门·期中）【活动主题】 密码中的数学． 【阅读材料】 密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．例如，对于密文“”，如果给一把破译它的“钥匙”，联想英语字母表中字母的顺序：如果规定a又接在z的后面，使26个字母排成圈，并能想到可以代表“把一个字母换成字母表中从它向前移动3位的字母”，按这个规律就有．这样就能把密文“”破译成明文“ ”，从而解读出密文的意思了． （1）根据材料填空：密文“”可破译成明文______． 【类比研究】 （2）将26个英文字母a，b，c，…，z依次对应序号1，2，3，…，26．对于密文“26 2 19 7 38”，给出密文与明文之间的关系如下： 当密文对应的序号x为奇数时，明文对应的序号为；当密文对应的序号x为偶数时，明文对应的序号为，则将密文破译成英文字母表示的明文为______． 【研究拓展】 （3）小叮当沿用对字母标号的方法，即将26个英文字母a，b，c，…，z依次对应序号1，2，3，…，26．把明文“”译成密文“”，请你写出这组密码的对应关系． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（26-27七年级·全国·小升初衔接）如图所示，小明用小棒搭小房子，搭3间用了13根．照这样搭下去，搭n间小房子用了（    ）根小棒． A． B． C． D． 2．（2026·重庆·二模）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有个圆点，第②个图中有个圆点，第③个图中有个圆点，第④个图中有个圆点，…，按照这一规律，则第⑧个图中圆点的个数是（     ） A． B． C． D． 3．（重庆市渝中区2025-2026学年度九年级二调考试数学试题）瓦匠师傅常按图①的方式砌墙，徒弟用大小一样的砖块模仿砌墙，如图②，第1个图用砖3块，第2个图用砖5块，第3个图用砖7块，…，则第9个图需要用砖的块数为（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 4．（2026·重庆沙坪坝·一模）石墨烯是突破硅基芯片极限的关键材料．二维石墨烯的晶格结构如下图所示（黑色圆点表示碳原子）：第①个图中有14个碳原子，第②个图中有18个碳原子，第③个图中有22个碳原子，…，按照此规律，第⑥个图中碳原子的个数是（   ）      A．30 B．34 C．38 D．42 5．（2026·重庆南岸·模拟预测）按如图所示的规律拼接图案，其中第①个图中有5个△，第②个图中有8个△，第③个图中有11个△，第④个图中有14个△……按照这一规律，则第10个图中△的个数是（    ） A．35 B．32 C．30 D．29 6．（2025·四川自贡·三模）下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去，第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为（     ） A．11 B．13 C．15 D．17 7．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）下列是由一些火柴搭成的图案：图用了根火柴，图用了根火柴，图用了根火柴，按照这种方式摆下去，摆第个图案用多少根火柴棒（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，数学活动课上，老师带领学生们叠放纸杯，研究纸杯的高度与纸杯个数的关系，经过测量，绘制表格如下： 纸杯个数 个 个 个 个 个 … 纸杯高度 … 当叠放个纸杯时，纸杯的高度为（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·重庆·期末）按如图所示的规律拼接餐桌和椅子（每个小半圆代表把椅子），张餐桌配把椅子，张餐桌配把椅子，张餐桌配把椅子，…，若将张餐桌按上述方式拼接摆放，一共需配（     ）把椅子 A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·浙江台州·开学考试）如图，都是由棱长为的正方体叠成的立体图形，例如第个图形由个正方体叠成，第个图形由个正方体叠成，第个图形由个正方体叠成，依此规律，第个图形由个正方体叠成．（     ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）观察下列图形： 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第18个图形共有___________枚五角星． 12．（2026·山东烟台·一模）如图，将一根绳子折成4段，然后按图中所示方式剪开，剪1刀，绳子变为5段；剪2刀，绳子变为9段；……依此规律剪n刀，绳子变为________段． 13．（2026·山西晋中·二模）如图是一组有规律的图案，它们由若干条长度相等的线段组成．第1个图案中有8条线段，第2个图案中有15条线段，第3个图案中有22条线段，第4个图案中有29条线段，…，按此规律，第n个图案中有_______条线段（用含n的代数式表示）． 14．（2026·陕西汉中·二模）科学家们通过模仿蜂房的结构，找到了人造卫星比较理想的结构．蜜蜂蜂房中一组有规律的图案如图所示，它们由相同的小正六边形组成，第1个图案中有5个正六边形，第2个图案中有8个正六边形，第3个图案中有11个正六边形，……依此规律，第16个图案中小正六边形的个数为________． 15．（2026·陕西渭南·一模）算筹是我国古代常用的计算工具，也叫算、筹、策、筹策、算子．如图，用大小完全相同的算筹按照一定规律摆成下列图形，第1个图形中有3个算筹，第2个图形中有4个算筹，第3个图形中有5个算筹，…，以此类推，第26个图形中有______个算筹． 16．（2025·甘肃天水·模拟预测）每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第2018层的三角形个数为_____． 17．（25-26七年级上·浙江宁波·开学考试）（图形找规律）小明用小棒摆八边形，如图所示，摆n个八边形要用__________根小棒． 18．（24-25七年级下·湖南常德·期末）如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定规律摆成如图图形，第1幅图中“”的个数为，第2幅图中“”的个数为，第3幅图中“”的个数为，以此类推，的值为 ________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2025·安徽亳州·二模）在一个AI智能教育中心，小学员们正在参与一个名为“火柴棒项目”的智能编程．如图所示，小学员们需要使用火柴棒来构建一系列由三角形组成的图形，并探索这些图形的数学规律； （1）若拼成的图形中含有4个三角形，则需要________根火柴棒； （2）若拼成的图形中含有n个三角形，则需要________根火柴棒；（用含有n的式子表示） （3）若每根火柴棒的长为1cm，且拼成的图形中所有火柴棒的长度和为，则拼成的图形中含有多少个三角形？ 20．（本小题满分8分）（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，摆1个正方形要用4根小棒，摆2个正方形要用7根小棒，摆3个正方形要用10根小棒，按此规律摆放． （1）按照上述摆放方式，摆n个正方形用______根小棒（用n的代数式表示，并化简）． （2）按照上述摆放方式，能否用18根小棒摆出6个正方形？并说明理由． （3）设小棒长度为1，用不多于18根小棒摆出6个边长为1的小正方形，画出一种示意图． 21．（本小题满分10分）（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）某公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设，图1为有块六边形地砖时，正方形地砖有块，三角形地砖有块；图2为有块六边形地砖时，正方形地砖有块，三角形地砖有块；…. （1）按照规律，每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加______块，三角形地砖会增加______块； （2）若铺设这条小路共用去块六边形地砖，分别用含的代数式表示正方形地砖、三角形地砖的数量； （3）当时，求此时正方形地砖和三角形地砖的总数量． 22．（本小题满分10分）（24-25九年级上·江苏无锡·期中）阅读下面材料，并解决相关问题． 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点……容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． （1）探索：三角点阵中前8行的点数之和为 ，那么，前行的点数之和为 ． （2）体验：三角点阵中前行的点数之和 （填“能”或“不能”）为500． （3）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 23．（本小题满分10分）（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）（1）探究：已知，如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有一个点，第二行有两个点…第n行有n个点…容易发现，10是三角形点阵中前4行的点数和． ①求三角形点阵中前10行的点数和； ②若三角形点阵中前a行的点数之和为300，求a的值； ③三角形点阵中前b行的点数之和 是600吗？（填“能”或“不能”） （2）拓展：若果把（1）的三角形点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，…， ①求这个三角形点阵中前n行点数和（用含n的代数式表示）； ②这个三角形点阵中前n行点数和能是600吗？若能，求出n；若不能，请说明理由． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·安徽宣城·期末）综合实践： 【问题背景】在生活中经常看到一些拼合图案如图1，它们或是用单独的正方形或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案要求严丝合缝，不留空隙．从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题． 【问题情境】如图2是某广场用正十二边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正十二边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第1层包括6块正方形和18块正三角形地板砖，第2层包括6块正方形和30块正三角形地板砖，第3层包括6块正方形和42块正三角形地板砖，…，依此类推． （1）【问题探究】①第4层中分别含有______块正方形和______块正三角形地板砖； ②第层中含有_______块正三角形地板砖（用含的代数式表示）． （2）观察下列算式，并完成填空： ； ； ； ； _______． （3）【问题拓展】现打算在此广场中央，采用如图2样式的图案铺设地面，现有1块正十二边形、120块正方形和870块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，从里向外最多能铺多少层？请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $