专题 2.8 有理数的运算复习专题——有理数的运算八大技巧（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年人教版七年级数学上册基础知识专项突破讲与练

该初中数学讲义通过梳理有理数运算八大技巧构建知识体系，以表格呈现错位相减法的类型与步骤，结合方法解读明确凑整、拆项等技巧的适用场景，形成清晰的知识脉络与重难点分布。 讲义亮点在于题型精析与分层练习设计，如裂项相消法通过规律探究题培养推理意识，倒数法例题对比不同解法提升运算能力。同步检测涵盖选择、填空、解答题，基础题巩固方法，综合题发展应用意识，助力教师实施分层教学与学生自主复习。

专题 2.8 有理数的运算复习专题——有理数的运算八大技巧（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一、技巧方法梳理与解读 1 【方法一】凑整法 2 【方法二】拆项法 2 【方法三】组合法 2 【方法四】列项相消法 2 【方法五】相互转化法 2 【方法六】倒数法 2 【方法七】错位相减法 2 【方法八】正逆分配律与结合律法 3 二.题型精析 3 【题型1】凑整法 3 【题型2】拆项法 5 【题型3】组合法 9 【题型3】裂项相消法 13 【题型4】相互转化法 17 【题型5】倒数法 21 【题型6】错位相减法 24 【题型7】正逆乘法分配律法 28 【题型8】整体倒数法运用乘法分配律 30 三.同步检测 33 （一）选择题（本大题共4个小题,每小题4分,共16分） 33 （二）填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 35 （三）解答题（本大题共8小题，共64分） 38 一、技巧方法梳理与解读 【方法一】凑整法 多个有理数相加时，如果既有分数，也有小数，一般将存在数量少的形式转化成数量多的形式，把能凑成整数的数结合在一起，可使计算简便，这种方法简称凑整法。 【方法二】拆项法 先把带分数拆成整数和真分数两部分，再把整数部分和真分数部分分别结合在一起，利用交换律、结合律得出答案。 【方法三】组合法 观察算式，找出算式分布规律，如互为相反数和为0，同分母等适当分组，利用结合律将相加和为整数的结合在一起简化计算。 【方法四】列项相消法 根据算式特点，将各项变为两项，然后把互为相反数的两项相加，只剩下首项和末项相加得出结果。 【方法五】相互转化法 根据算式持点，将式子中的分数转化为小数，或小数转化为分数,统一后再进行运算。 【方法六】倒数法 把除式看成一个整体，利用倒数，通过乘法分配律化简。 【方法七】错位相减法 类型 方法 等比数列 若一个数列，满足任意两项的比值是一个定值，即，则这样的数列叫等比数列。 错位相减 通常对于等比数列的求和，都可以采用错位相减法。 比如求的值，设则有： ，则S= 【方法八】正逆分配律与结合律法 二.题型精析 【题型1】凑整法 【例题1】（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】（25-26七年级上·安徽芜湖·阶段检测）计算的结果为（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，先写成省略括号和加号的形式，然后同分母的先相加进行简便运算． 解：， ， ， ， ． 故选：A 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算：_______． 【答案】1.5 【分析】本题考查了有理数的减法，先把减法转化为加法，再按加法法则计算． 解： ． 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序． （1）根据交换律和结合律进行简便计算； （2）根据交换律和结合律进行简便计算． （1）解：原式 （2）解：原式 【题型2】拆项法 【例题2】（25-26七年级上·江西吉安·期中）阅读下列计算过程，解决问题． 计算： 解：原式 ． 上面的解题方法叫作拆项法. （1）仿照上面方法，可将拆为_____，将拆为_____； （2）用拆项法计算：． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数加减混合运算法则，准确计算． （1）根据题干信息进行解答即可； （2）利用题干提供的信息，运用有理数加减混合运算法则进行计算即可． （1）解：拆为，拆为， 故答案为：，； （2）解： ． 【变式1】（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）先阅读理解第（1）小题的计算方法，再计算第（2）小题． （1）计算： 解：原式 上面的计算方法叫做拆项法． （2）请用拆项法计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．根据（1）的拆项法即可解答本题． 解： ． 【变式2】（23-24七年级上·河南驻马店·阶段检测）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法求“有理数加法”的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务． 试题：计算：． 小明：我是先把原带分数化成假分数，然后直接按照有理数加法的运算法则从左到右依次计算． 小军：我认为小明的方法很单一，而且有点麻烦，下面是我按照“拆项法”进行解答的过程： 解：原式 ． 老师：小军的方法很有创意，值得提倡与学习． 任务：请根据片段中的“拆项法”，进行下面的计算： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案． （1）解： （2） 【点拨】本题主要考查了有理数的加减混合运算，利用题干中的拆项法拆项后再利用运算律解答是解题的关键． 【变式3】（24-25七年级上·广东汕头·阶段检测）（1）①用简便的方法计算：； ②上述简便方法运用到的运算律是：______、______； （2）在计算时，没办法直接用上述方法简便运算，需要把各个数进行拆项，再运用运算律简便运算． ①请你把进行拆项：____________；____________； ②用拆项法简便计算：． 【答案】（1）①；②加法交换律、加法结合律；（2）①17，；；②1 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算： （1）①先把原式变形为，再计算求解即可；②观察解题过程可知用到了加法交换律、加法结合律； （2）①把带分数拆解成整数加分数的形式即可；②先把原式的带分数拆解成整数加分数的形式，再把整数和分数分别合在一起计算求解即可． 解：（1）① ． ； ②由解题过程可知用到了加法交换律、加法结合律； （2）①； 故答案为：17，；； ②原式 ． 【题型3】组合法 【例题3】（2025七年级上·江苏泰州·专题练习）解答下列各题： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）根据有理数的加减运算法则计算即可； （3）先计算绝对值，再根据有理数的加减运算法则计算即可； （4）观察原式可知相邻两个数之和为1，共50组数，相加即可． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】（25-26七年级上·内蒙古·阶段检测）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是根据有理数的运算法则进行计算，计算过程中可以运用运算律进行简便计算． 运用加法交换律和结合律把能凑成整数的两个数结合起来，进行简便计算； 首先把小数转换成分数，再利用加法交换律和结合律进行简便计算； 首先把小数转换成分数，再利用加法交换律和结合律进行简便计算； 运用加法交换律和结合律进行简便计算． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式2】（25-26七年级上·山西太原·阶段检测）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）0；（2）10；（3）0；（4）1 【分析】本题主要考查有理数加减法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式运用加法交换律和结合律进行计算即可； （2）原式先根据有理数减法法则变形，再进行加减运算即可； （3）原式运用加法交换律和结合律进行计算即可； （4）原式运用加法交换律和结合律进行计算即可． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3】（25-26七年级上·河南驻马店·阶段检测）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）4.5；（2）5；（3）；（4） 【分析】本题考查有理数的加减混合运算、绝对值，掌握有理数的加减混合运算法则是解题的关键． （1）先去掉绝对值符号和括号，再根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）先去掉括号，再根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （3）先去掉括号，再根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （4）先去掉绝对值符号和括号，再根据有理数的加减混合运算法则计算即可． （1）解：原式． （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【题型3】裂项相消法 【例题3】（24-25七年级上·云南昭通·期中）观察下列等式： 等式1：； 等式2：； 等式3：； …． （1）根据规律可得 ； （2）根据规律可得 ；（n为正整数） （3）根据规律计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算规律的探究，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据题干提示两个因数的规律求解即可． （2）利用（1）的特点，总结归纳即可． （3）利用（1）中的规律，拆项求解即可． （1）解：等式1：； 等式2：； 等式3：； ∴； （2）解：由（1）归纳可得： ； （3）解： ． 【变式1】（24-25七年级上·贵州·期末）我们知道：，…，那么______． 利用上面的规律计算：_______． 【答案】 【分析】此题考查有理数的混合运算，解题关键在于利用拆分法得出的规律变形，再计算即可． 根据已知等式得出拆项方法，写出规律；原式利用得出的规律变形，计算即可得到结果． 解：∵，…， ∴； ∴ ． 故答案为：，． 【变式2】（24-25七年级上·湖北武汉·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式： 按照以上规律，解决下列问题： （1）请直接写出第4个等式：______________________； （2）利用规律计算：的值； （3）直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）根据题中所给的式子直接写出第4个等式即可； （2）根据（1）中的等式相加，计算即可得到答案； （3）根据（2）的方法，计算即可求解． （1）解：根据题意可得： 第4个等式为：， 故答案为：； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ． （3）解： ． 【变式3】（25-26七年级上·安徽安庆·期中）观察是数学抽象的基础．在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题．请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题： ， ， ；… （1）按规律填空： ①______； ②如果为正整数，那么______； （2）探究、计算的值； （3）由此拓展，计算的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查阅读理解，理解材料中的解法，采用裂项相消法计算是解决问题的关键． （1）由材料中的解法直接求解即可得到答案； （2）由材料中的解法直接求解即可得到答案； （3）由材料中的解法直接求解即可得到答案． （1）解：由材料中的解法： ， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ． 【题型4】相互转化法 【例题4】（2022·浙江杭州·模拟预测）． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式1】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）下列等式不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的运算，根据有理数的运算法则分别算出每个等式的左右两边，进而即可判断求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、∵，， ∴该选项等式不成立，符合题意； 、∵，， ∴该选项等式成立，不合题意； 、∵，， ∴该选项等式成立，不合题意； 、∵，， ∴该选项等式成立，不合题意； 故选：． 【变式2】（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算法则和运算顺序． 根据含乘方的有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【变式3】（20-21六年级上·山东烟台·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4) ； (5)． 【答案】(1)13 (2) (3)6 (4) (5) 【分析】（1）先化减为加，然后运用有理数加法运算律进行简便运算即可； （2）先把带分数化成假分数，然后再化除为乘，最后运用有理数乘法法则计算即可； （3）先算乘方，再按照有理数的混合运算法则计算即可； （4）先算乘方，再去绝对值，然后按照有理数的混合运算法则计算即可； （5）直接运用有理数乘法运算律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． （5）解： ． 【题型5】倒数法 【例题5】（25-26七年级上·江西上饶·期中）数学老师布置了一道思考题“计算：”小明和小红两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题． 小明的解法： 原式 小红的解法： 原式的倒数为 故原式 请根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的简便算法，熟练掌握简便算法的技巧是解题的关键．先计算原式的倒数，利用乘法分配律可以更简便地计算，再取结果的倒数即可． 【详解】解：原式的倒数为 ， 故原式． 【变式1】（25-26七年级上·河南驻马店·期中）在计算时，现有以下三种不同的思路： 思路① 思路② 思路③ 用分别除以，，，再把所得结果相加． 先求出，，的和，再用除以这个和． 先简便运算 ，再求所得结果的倒数． (1)上述三种思路中，正确的思路有_________；（填序号） (2)原式的结果是_________； (3)请参考思路③，计算：． 【答案】(1)②③ (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是明确“除法不满足分配律”，并能利用“除以一个数等于乘它的倒数”结合分配律简化计算． （1）判断思路正误：根据除法法则，分配律仅适用于乘法，除法不满足此规律，故思路①错误；思路②（先算括号内的和再除）、思路③（先算倒数的除法再求倒数）均符合法则，正确； （2）选择思路②或思路③计算即可； （3）参考思路③，先计算，再计算其倒数即可． 【详解】（1）解：思路①：有理数除法不满足分配律，故思路①错误，不符合题意； 思路②：先算括号内和再相除，符合除法法则，故思路②正确，符合题意； 思路③：先算倒数的除法再求倒数，符合除法法则，故思路③正确，符合题意； 故答案为：②③； （2）解：选择思路2计算： ， 故答案为：； （3）解： ， ∴． 【变式2】（25-26六年级上·山东威海·期中）数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明用了一种不同的方法解决了这个问题，他认为原式的倒数为，所以．请你运用小明的解法计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算，准确计算是解题的关键． 根据所给方法计算即可； 【详解】 ， ， ． 【变式3】（25-26七年级上·河南平顶山·期中）数学老师布置了一道思考题“计算”： 小华的解法： 大白的解法：原式的倒数为       第一步     第二步，     第三步，       第四步， 所以 分析两位同学的解法，请你回答下列问题： (1)两位同学的解法中，___________同学的解法正确； (2)大白解法中，第二步到第三步的运算依据是___________． (3)用一种你喜欢的方法计算：． 【答案】(1)大白 (2)乘法分配律 (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键． （1）根据题目中的解答过程可知，大白的解答正确； （2）根据题目中的解答过程可知大白解法中，第二步到第三步的运算依据是乘法分配律； （3）根据大白的解法，可以先求所求式子的倒数，然后即可得到所求式子的值． 【详解】（1）解：由题目中的解答过程可知： 除法没有分配律，小华同学的解答错误， 大白同学的解答正确， 故答案为：大白； （2）解：大白解法中，第二步到第三步的运算依据是乘法分配律， 故答案为：乘法分配律； （3）解：原式的倒数为： ， 所以． 【题型6】错位相减法 【例题1】（25-26七年级上·重庆万州·阶段检测）“整体思想”是我们分析数学问题、解决数学问题常见的一种非常重要的数学思想，比如我们要计算的值，就可以采用这一思想，认真阅读理解下面例题，让我们感受“整体思想”在数学中妙用！计算的值． 分析：算式中后一个加数是前一个加数的3倍，因此，可以将原算式看作一个整体，记作S，整体扩大3倍后再解决问题． 解：设① 则② 得：， ∴， ∴， 即． 利用上述思想，解决下列问题： (1)计算的值； (2)计算的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数的乘方的应用，理解案例方法，掌握整体思想是解题关键． （1）根据题意可设，则，作差即可求解； （2）根据题意可设，则，作差即可求解； 【详解】（1）解：①， 两边同时乘以2得 ②， 得： ， ∴， ∴； （2）解：①， 两边同时乘以得 ②， 得： ， ∴， ∴； 【变式1】（23-24七年级上·全国·课后作业）求的值，可令，则，因此，．参照以上推理，计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，然后可以得到，再作差变形，即可求得所求式子的值． 解：设， 则， ， ， ， 即的值为． 故选：C． 【点拨】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是找出其中的规律，利用错位相减求解． 【变式2】（2024·广东·模拟预测）在求的值时，可设， ，再用可得． 请你利用上述方法计算． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，设，则：，再用，求出，进而求出即可． 解：设，则：， ∴， ∴， ∴，即：． 【变式3】（24-25七年级上·广西南宁·阶段检测）阅读理解  “数学王子”高斯从小就善于观察和思考，他在读小学时就能在课堂上快速计算出．我们可将高斯的做法归纳如下： 令，① 又，② ①②，得， 解得． 知识应用 （1）填空：计算：________； （2）填空：计算：________； （3）请你使用阅读材料归纳得的方法计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练通过材料进行方法归纳是解题的关键． （1）直接利用材料方法进行计算即可； （2）直接利用材料方法进行计算即可； （3）直接利用材料方法进行计算即可，注意个数为． （1）解：令，① 又，② ①②，得， 解得：， 故答案为：； （2）解：令，① 又，② ①②，得， 解得：， 故答案为：； （3）解：令，① 又，② ①②，得， 解得：， 故计算结果为． 【题型7】正逆乘法分配律法 【例题7】（25-26七年级上·江苏·阶段检测）下面不可以表示的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查乘法分配律，根据题意，乘法分配律指一个数乘两数之和，等于这个数分别乘这两个数再相加，用字母表示为： 解：A.图中圆点表示5个6与4个6的总和，列式为：； B.可以表示为：； C.，根据长方形的面积公式：长×宽，两个小长方形拼成大的长方形，大的长方形的长等于，宽是4，两个小长方形的面积等于大长方形面积，所以可以表示为：； D.列式为：，不可以表示， 故选：D 【变式1】（20-21七年级上·河南南阳·期中）在下列计算过程中，表示的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数混合运算和乘法分配律的应用，解题的关键是准确识别并运用乘法分配律对式子进行变形． 根据乘法分配律直接计算即可． 解： ； 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·湖南长沙·开学考试）计算：_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了小数的巧算，、、、根据积的变化规律化为，然后运用乘法分配律的逆运算计算即可． 解： ， 故答案为: ． 【变式3】（25-26七年级下·重庆·自主招生）计算：________． 【答案】9999900000 【分析】观察算式，将变形为，构造相同因数，再利用乘法结合律和乘法分配律进行简便计算． 解： ． 【题型8】整体倒数法运用乘法分配律 【例题8】（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）课堂上，老师出了一道计算题：，小明和小丽同学的解法如下： 小明的解法： 原式． 小丽的解法：原式的倒数为：． 所以原式． （1）小明和小丽的解法中，正确的是______的解法（填“小明”或“小丽”）； （2）请你运用上述正确的方法计算：． 【答案】（1）小丽；（2） 【分析】本题考查有理数的混合运算和倒数，解答本题的关键是明确有理数混合运算的运算法则和运算顺序． （1）根据题目中小明和小丽的解答过程，可以判断小丽的解法正确； （2）仿照小丽的解法，先求所求式子的倒数，然后即可得到所求式子的值． （1）解：小明的解法中没有按照先算小括号，再算除法的顺序做，故小明的解法错误； 小丽的解法是正确的； 故答案为：小丽； （2）解：原式的倒数为： ， 原式． 【变式1】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明和小红两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题． 小明的解法：原式． 小红的解法：原式的倒数为， 故原式=． （1）你觉得________的解法更具有简便性． （2）请你用你认为更简便的方法，计算：． 【答案】（1）小红；（2） 【分析】本题考查了有理数混合运算的简便算法，熟练掌握简便算法的技巧是解题的关键． （1）小红的解法运用了运算律，更具有简便性． （2）先计算原式的倒数，利用乘法分配律可以更简便地计算，再取结果的倒数即可． （1）解：小红的解法运用了运算律，这种方法避免了复杂的分数加减运算，直接得到结果，更具有简便性． 故答案为：小红． （2）原式的倒数为 ， 故原式． 【变式2】（24-25七年级上·广西桂林·阶段检测）数学老师熊老师在课堂上布置了一道思考题“计算”，小雷同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题，小雷同学的解法： 原式的倒数为，所以． （1）根据倒数的定义我们知道，若，则________． （2）请你运用小雷同学的解法解答下面的问题： 计算：． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了倒数，有理数加减运算，有理数乘法运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据题意即可求解； （）根据题意利用小雷解法先取原式的倒数，再转化为乘法，计算后再取倒数即可． （1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：原式的倒数为 ， ∴． 【变式3】（24-25六年级上·山东烟台·期末）某学校数学活动小组在一次活动中有这样一道题： 计算： 小组成员犇犇是个善于观察与思考的同学，他发现，这个算式可以看做是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，他利用这种关系，顺利的解答了这道题． （1）前后两部分存在的关系是______； （2）请选择比较简单的那一部分先进行计算，然后利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果______； （3）请求出原式的结果． 【答案】（1）互为倒数；（2）；（3） 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据被除数和除数之间的关系得出互为倒数； （2）根据乘法分配律进行计算得出答案,根据倒数的性质得出答案； （3）根据有理数的加法计算法则得出答案． （1）解：∵， ∴前后两部分直接存在的关系是互为倒数． 故答案为：互为倒数； （2）解： ； 由题意得另一部分的结果． 故答案为：； （3）解：． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共4个小题,每小题4分,共16分） 1．（25-26七年级上·河南南阳·期末）计算时，运用了加法（    ） A．交换律 B．结合律 C．分配律 D．交换律与结合律 【答案】D 【分析】计算，先运用加法交换律把6和10的位置-4和-8与交换，然后根据加法结合律把正数和负数分别结合在一起． 解：0 =（加法交换律） = （加法结合律） 故选：D． 【点拨】本题是考查加法交换律与结合律的应用，属于基础知识，要掌握． 2．（25-26七年级上·福建泉州·阶段检测）计算：的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法．观察每个分母为两个连续整数的乘积，利用裂项法将每个分数拆分为两个分数的差，然后求和时中间项相互抵消，从而简化计算. 解：∵，，，，， ∴原式. 故选：C． 3．（24-25七年级上·河南南阳·阶段检测）下列各式中，与的运算结果相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用有理数的乘除混合运算法则逐一计算，并与题中的计算结果比较即可． 本题考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除混合运算法则是解题的关键． 解： A中、，不相同，故选项不符合题意； B中、相同，故选项符合题意： C中、，不相同，故选项不符合题意； D中、，不相同，故选项不符合题意； 故选：B． 4．（25-26七年级上·安徽亳州·阶段检测）运用乘法分配律计算“（–24）×（）”，不正确的是（   ） A．（–24）×+（–24）×（–）+（–24）×+（–24）×（–） B．（–24）×–（–24）×（–）+（–24）×–（–24）×（–） C．（–24）×–（–24）×+（–24）×–（–24）× D．×（–24）–×（–24）+×（–24）–×（–24） 【答案】B 【分析】利用乘法分配律计算即可，注意符号问题. 解：运用乘法分配律计算“（–24）×（）”， B选项错误，应该是：（–24）×–（–24）×+（–24）×–（–24）× 故选B 【点拨】本题考查有理数混合运算中，乘法分配律的运用，熟练掌握乘法分配律是解题关键，注意符号问题. （2） 填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 5．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）计算：_____． 【答案】 【分析】第1个数与第2个数相结合，第3个数与第4个数相结合，……，第2019个数与第2020个数相结合进行计算即可. 解：原式． 故答案为：. 【点拨】本题考查了加法的结合律，根据加数的特点，将从第一个开始的每相邻两个数结合是解决此题的关键. 6．（25-26七年级上·重庆巫山·期中）_______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减法的简便运算，解答本题的关键是发现题目中式子的特点，裂项作差解答． 根据题目式子的特点，将式子变形，然后裂项作差即可求得所求式子的值． 解： ， 故答案为：． 7．（25-26七年级下·重庆·自主招生）计算：________． 【答案】1103 【分析】观察原式中各数字的关系，对各项变形后，利用乘法分配律进行简便计算． 解： ． 8．（24-25七年级上·四川眉山·期中）计算：①的值是______；②_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键． ①把相邻两个数相加，然后发现规律即可解答； ②运用有理数乘法的运算律进行简便运算即可． 解：① ． ②． 故答案为：； 9．（25-26七年级上·安徽合肥·阶段检测）学习了有理数的除法后，我们知道了有理数的除法可以转化为乘法，即除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．例如：，注意到与互为倒数． （1）若，则的值为_____． （2）计算的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查有理数的除法法则（除以一个数等于乘它的倒数），涉及知识点：倒数的定义、有理数的混合运算． （1）根据有理数除法的意义，是的倒数； （2）先计算，再求结果的倒数，即可求解． 解：（1）∵， ∴． （2） ， ． 故答案为：，． （3） 解答题（本大题共8小题，共64分） 10．（25-26七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）计算 （1）； （2）． （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） （1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式. 11．（2025七年级上·湖北襄阳·专题练习）计算： 【答案】39 【分析】先计算括号里面的，再根据混合运算的法则即可求解． 本题考查了有理数的混合运算，掌握运算法则是解题关键． 解：原式 ． 12．（25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测）简便运算： （1）． （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） （1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 13．（25-26七年级上·陕西西安·期中）计算： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） （1）解：原式； （2）解：原式 ． 14．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算题． （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）16 解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 15．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算题（能简算的要简算） （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）35；（3）2；（4） （1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）原式 ． 16．（24-25六年级上·山东烟台·期中）计算下列各式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） （1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 17．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． （1）阴影部分的面积是______； （2）以下是甲，乙两位同学求的方法； 甲同学的方法：利用已给正方形图形求，； 乙同学的方法：① ②   ②－①即可． 根据两位同学的方法，你认为______； （3）计算：； （4）请借助甲，乙同学的方法，求出的值． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了图形规律的探究，有理数的运算．熟练掌握图形规律的探究，有理数的运算是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2）甲同学： ；乙同学：得，，计算求解即可； （3）令，则，，计算求解即可； （4）甲同学：如图，将边长为1的正方形四等分，每分割一次面积为原来的，依此类推，则图中阴影部分的面积为，可得一般性规律为，整理得，然后求解即可；乙同学：令，则，，计算求解即可． （1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：甲同学： ； 乙同学：①，② 得，， 故答案为：； （3）解：令，则， ∴， ∴； （4）解：甲同学：如图，将边长为1的正方形四等分，每分割一次面积为原来的，依此类推， 则图中阴影部分的面积为， ∴可得一般性规律为：，整理得， ∴； 乙同学：令，则， ∴， 解得，， ∴的值为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.8 有理数的运算复习专题——有理数的运算八大技巧（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一、技巧方法梳理与解读 1 【方法一】凑整法 2 【方法二】拆项法 2 【方法三】组合法 2 【方法四】列项相消法 2 【方法五】相互转化法 2 【方法六】倒数法 2 【方法七】错位相减法 2 【方法八】正逆分配律与结合律法 3 二.题型精析 3 【题型1】凑整法 3 【题型2】拆项法 3 【题型3】组合法 5 【题型3】裂项相消法 5 【题型4】相互转化法 7 【题型5】倒数法 7 【题型6】错位相减法 9 【题型7】正逆乘法分配律法 10 【题型8】整体倒数法运用乘法分配律 11 三.同步检测 12 （一）选择题（本大题共4个小题,每小题4分,共16分） 12 （二）填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 13 （三）解答题（本大题共8小题，共64分） 13 一、技巧方法梳理与解读 【方法一】凑整法 多个有理数相加时，如果既有分数，也有小数，一般将存在数量少的形式转化成数量多的形式，把能凑成整数的数结合在一起，可使计算简便，这种方法简称凑整法。 【方法二】拆项法 先把带分数拆成整数和真分数两部分，再把整数部分和真分数部分分别结合在一起，利用交换律、结合律得出答案。 【方法三】组合法 观察算式，找出算式分布规律，如互为相反数和为0，同分母等适当分组，利用结合律将相加和为整数的结合在一起简化计算。 【方法四】列项相消法 根据算式特点，将各项变为两项，然后把互为相反数的两项相加，只剩下首项和末项相加得出结果。 【方法五】相互转化法 根据算式持点，将式子中的分数转化为小数，或小数转化为分数,统一后再进行运算。 【方法六】倒数法 把除式看成一个整体，利用倒数，通过乘法分配律化简。 【方法七】错位相减法 类型 方法 等比数列 若一个数列，满足任意两项的比值是一个定值，即，则这样的数列叫等比数列。 错位相减 通常对于等比数列的求和，都可以采用错位相减法。 比如求的值，设则有： ，则S= 【方法八】正逆分配律与结合律法 二.题型精析 【题型1】凑整法 【例题1】（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（25-26七年级上·安徽芜湖·阶段检测）计算的结果为（   ） A． B． C．1 D．5 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算：_______． 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 【题型2】拆项法 【例题2】（25-26七年级上·江西吉安·期中）阅读下列计算过程，解决问题． 计算： 解：原式 ． 上面的解题方法叫作拆项法. （1）仿照上面方法，可将拆为_____，将拆为_____； （2）用拆项法计算：． 【变式1】（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）先阅读理解第（1）小题的计算方法，再计算第（2）小题． （1）计算： 解：原式 上面的计算方法叫做拆项法． （2）请用拆项法计算：． 【变式2】（23-24七年级上·河南驻马店·阶段检测）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法求“有理数加法”的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务． 试题：计算：． 小明：我是先把原带分数化成假分数，然后直接按照有理数加法的运算法则从左到右依次计算． 小军：我认为小明的方法很单一，而且有点麻烦，下面是我按照“拆项法”进行解答的过程： 解：原式 ． 老师：小军的方法很有创意，值得提倡与学习． 任务：请根据片段中的“拆项法”，进行下面的计算： （1）． （2）． 【变式3】（24-25七年级上·广东汕头·阶段检测）（1）①用简便的方法计算：； ②上述简便方法运用到的运算律是：______、______； （2）在计算时，没办法直接用上述方法简便运算，需要把各个数进行拆项，再运用运算律简便运算． ①请你把进行拆项：____________；____________； ②用拆项法简便计算：． 【题型3】组合法 【例题3】（2025七年级上·江苏泰州·专题练习）解答下列各题： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（25-26七年级上·内蒙古·阶段检测）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式2】（25-26七年级上·山西太原·阶段检测）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式3】（25-26七年级上·河南驻马店·阶段检测）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型3】裂项相消法 【例题3】（24-25七年级上·云南昭通·期中）观察下列等式： 等式1：； 等式2：； 等式3：； …． （1）根据规律可得 ； （2）根据规律可得 ；（n为正整数） （3）根据规律计算：． 【变式1】（24-25七年级上·贵州·期末）我们知道：，…，那么______． 利用上面的规律计算：_______． 【变式2】（24-25七年级上·湖北武汉·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式： 按照以上规律，解决下列问题： （1）请直接写出第4个等式：______________________； （2）利用规律计算：的值； （3）直接写出的值． 【变式3】（25-26七年级上·安徽安庆·期中）观察是数学抽象的基础．在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题．请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题： ， ， ；… （1）按规律填空： ①______； ②如果为正整数，那么______； （2）探究、计算的值； （3）由此拓展，计算的值． 【题型4】相互转化法 【例题4】（2025·浙江杭州·模拟预测）． 【变式1】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）下列等式不成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）计算：_______． 【变式3】（24-25六年级上·山东烟台·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4) ； (5)． 【题型5】倒数法 【例题5】（25-26七年级上·江西上饶·期中）数学老师布置了一道思考题“计算：”小明和小红两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题． 小明的解法： 原式 小红的解法： 原式的倒数为 故原式 请根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：． 【变式1】（25-26七年级上·河南驻马店·期中）在计算时，现有以下三种不同的思路： 思路① 思路② 思路③ 用分别除以，，，再把所得结果相加． 先求出，，的和，再用除以这个和． 先简便运算 ，再求所得结果的倒数． (1)上述三种思路中，正确的思路有_________；（填序号） (2)原式的结果是_________； (3)请参考思路③，计算：． 【变式2】（25-26六年级上·山东威海·期中）数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明用了一种不同的方法解决了这个问题，他认为原式的倒数为，所以．请你运用小明的解法计算：． 【变式3】（25-26七年级上·河南平顶山·期中）数学老师布置了一道思考题“计算”： 小华的解法： 大白的解法：原式的倒数为       第一步     第二步，     第三步，       第四步， 所以 分析两位同学的解法，请你回答下列问题： (1)两位同学的解法中，___________同学的解法正确； (2)大白解法中，第二步到第三步的运算依据是___________． (3)用一种你喜欢的方法计算：． 【题型6】错位相减法 【例题1】（25-26七年级上·重庆万州·阶段检测）“整体思想”是我们分析数学问题、解决数学问题常见的一种非常重要的数学思想，比如我们要计算的值，就可以采用这一思想，认真阅读理解下面例题，让我们感受“整体思想”在数学中妙用！计算的值． 分析：算式中后一个加数是前一个加数的3倍，因此，可以将原算式看作一个整体，记作S，整体扩大3倍后再解决问题． 解：设① 则② 得：， ∴， ∴， 即． 利用上述思想，解决下列问题： (1)计算的值； (2)计算的值． 【变式1】（23-24七年级上·全国·课后作业）求的值，可令，则，因此，．参照以上推理，计算的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·广东·模拟预测）在求的值时，可设， ，再用可得． 请你利用上述方法计算． 【变式3】（24-25七年级上·广西南宁·阶段检测）阅读理解  “数学王子”高斯从小就善于观察和思考，他在读小学时就能在课堂上快速计算出．我们可将高斯的做法归纳如下： 令，① 又，② ①②，得， 解得． 知识应用 （1）填空：计算：________； （2）填空：计算：________； （3）请你使用阅读材料归纳得的方法计算：． 【题型7】正逆乘法分配律法 【例题7】（25-26七年级上·江苏·阶段检测）下面不可以表示的是（ ）． A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·河南南阳·期中）在下列计算过程中，表示的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·湖南长沙·开学考试）计算：_______． 【变式3】（25-26七年级下·重庆·自主招生）计算：________． 【题型8】整体倒数法运用乘法分配律 【例题8】（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）课堂上，老师出了一道计算题：，小明和小丽同学的解法如下： 小明的解法： 原式． 小丽的解法：原式的倒数为：． 所以原式． （1）小明和小丽的解法中，正确的是______的解法（填“小明”或“小丽”）； （2）请你运用上述正确的方法计算：． 【变式1】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明和小红两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题． 小明的解法：原式． 小红的解法：原式的倒数为， 故原式=． （1）你觉得________的解法更具有简便性． （2）请你用你认为更简便的方法，计算：． 【变式2】（24-25七年级上·广西桂林·阶段检测）数学老师熊老师在课堂上布置了一道思考题“计算”，小雷同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题，小雷同学的解法： 原式的倒数为，所以． （1）根据倒数的定义我们知道，若，则________． （2）请你运用小雷同学的解法解答下面的问题： 计算：． 【变式3】（24-25六年级上·山东烟台·期末）某学校数学活动小组在一次活动中有这样一道题： 计算： 小组成员犇犇是个善于观察与思考的同学，他发现，这个算式可以看做是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，他利用这种关系，顺利的解答了这道题． （1）前后两部分存在的关系是______； （2）请选择比较简单的那一部分先进行计算，然后利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果______； （3）请求出原式的结果． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共4个小题,每小题4分,共16分） 1．（25-26七年级上·河南南阳·期末）计算时，运用了加法（    ） A．交换律 B．结合律 C．分配律 D．交换律与结合律 2．（25-26七年级上·福建泉州·阶段检测）计算：的值为（  ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·河南南阳·阶段检测）下列各式中，与的运算结果相同的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·安徽亳州·阶段检测）运用乘法分配律计算“（–24）×（）”，不正确的是（   ） A．（–24）×+（–24）×（–）+（–24）×+（–24）×（–） B．（–24）×–（–24）×（–）+（–24）×–（–24）×（–） C．（–24）×–（–24）×+（–24）×–（–24）× D．×（–24）–×（–24）+×（–24）–×（–24） （2） 填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 5．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）计算：_____． 6．（25-26七年级上·重庆巫山·期中）_______． 7．（25-26七年级下·重庆·自主招生）计算：________． 8．（24-25七年级上·四川眉山·期中）计算：①的值是______；②_______． 9．（25-26七年级上·安徽合肥·阶段检测）学习了有理数的除法后，我们知道了有理数的除法可以转化为乘法，即除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．例如：，注意到与互为倒数． （1）若，则的值为_____． （2）计算的值为_____． （3） 解答题（本大题共8小题，共64分） 10．（25-26七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）计算 （1）； （2）． （3） （4） 11．（2025七年级上·湖北襄阳·专题练习）计算： 12．（25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测）简便运算： （1）． （2）； （3）． 13．（25-26七年级上·陕西西安·期中）计算： （1）． （2）． 14．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算题． （1） （2） （3） （4） 15．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算题（能简算的要简算） （1）； （2）； （3）； （4）． 16．（24-25六年级上·山东烟台·期中）计算下列各式： （1）； （2）； （3）； （4）． 17．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． （1）阴影部分的面积是______； （2）以下是甲，乙两位同学求的方法； 甲同学的方法：利用已给正方形图形求，； 乙同学的方法：① ②   ②－①即可． 根据两位同学的方法，你认为______； （3）计算：； （4）请借助甲，乙同学的方法，求出的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $