专题 3.2 代数式的值 专项突破讲与练- 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦代数式的值这一核心知识点，系统梳理概念（用数值代替代数式字母的计算结果）、标准步骤（写条件、代数值、算结果）、高频易错点（负数分数乘方括号规范等）及实际应用，构建从基础理解到规范运算再到情境应用的递进学习支架。 该资料通过分层题型设计（基础含直接代入、表格型，综合含几何图形、生活应用等），结合电信收费方案、几何草坪面积等实例，培养学生运算能力（数学思维）与模型意识（数学语言）。课中辅助教师分层教学，课后同步检测助力学生查漏补缺，强化符号意识与应用能力。

专题 3.2 代数式的值（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 2 学习目标 2 重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】代数式的值的概念 2 【知识点二】代数式求值标准步骤（必考规范） 2 【知识点三】高频易错点（考试重灾区） 3 【知识点四】代数式求值的实际应用 3 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】直接代入法求代数式的值 3 【题型2】表格型代数式求值 3 四.题型精析（综合提升） 5 【题型3】几何图形代数式求值 5 【题型4】生活与行程实际应用求值 6 【题型5】代数式值的实际意义解读 6 五.同步检测 8 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 8 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 11 19．（本小题满分8分） 11 20．（本小题满分8分） 11 21．（本小题满分10分） 11 22．（本小题满分10分） 11 23．（本小题满分10分） 11 24．（本小题满分12分） 11 一.学习目标与重难点 学习目标 1. 理解代数式的值的定义与含义，熟练掌握求代数式值的完整规范解题步骤。 2. 能够准确代入负数、分数、小数求解代数式的值，规避乘方、运算符号类常见易错点。 3. 学会利用代数式求值解决几何、行程、生活实际应用问题，能准确解释计算结果的实际意义。 4. 感知字母取值与代数式结果的变化关系，进一步强化数学符号意识与运算求解能力。 重难点 重点：掌握代数式求值的标准步骤，熟练进行各类数值的代入计算。 难点：负数、分数参与乘方运算时的规范书写与计算；结合实际情境理解代数式值的实际意义。 二.知识梳理与解读 【知识点一】代数式的值的概念 一般地，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式规定的运算顺序计算出的结果，叫做代数式的值。 核心要点 1. 代数式的值随字母取值的变化而变化，字母取值不同，计算结果通常不同； 2. 实际问题中，字母的取值必须符合实际意义，不能取无意义的数值（如人数、边长不能为负数）。 【知识点二】代数式求值标准步骤（必考规范） 步骤1：写条件：规范写出字母的取值，格式：当时； 步骤2：代数值：将字母替换为对应数值，还原省略的乘号；负数、分数代入乘方运算时，必须整体加括号； 步骤3：算结果：按照有理数混合运算顺序计算，先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内。 【知识点三】高频易错点（考试重灾区） 1. 省略乘号还原：代数式中，代入数值后必须补全乘号，写作； 2. 负数、分数乘方必加括号：若，则，严禁写为；若，则； 3. 区分整体与符号：括号决定运算主体，无括号仅对数字乘方，符号单独保留。 【知识点四】代数式求值的实际应用 解题思路：先根据题意列出代数式表示数量关系，再将已知数值代入代数式计算，最终结合情境解释结果的实际意义。常考场景：几何周长、面积、体积计算，行程问题、生活购物、工程问题等。 三.题型精析（夯实基础） 【题型1】直接代入法求代数式的值 【例题1】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）当时，求下列代数式的值： （1）； （2）． 【变式1】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）如果，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）已知，，且，则________． 【变式3】（25-26七年级上·四川自贡·期中）当，，时求下列代数式的值： （1）； （2）． 易错提示：代入负数时，必须添加括号，保证运算符号准确。 【题型2】表格型代数式求值 【例题2】（24-25七年级上·山西太原·期中）综合与实践 为探索代数式与的值的变化情况，小明通过填写下表，获得了相应的结论． （1）请你将小明所填的表格补充完整； （2）根据表格解答问题： ①随着的值逐渐增大，关于这两个代数式的值的变化情况，小明给出下列结论： A．代数式的值逐渐增大；    B．代数式的值逐渐增大； C．代数式的值逐渐减小；    D．代数式的值先逐渐减小，再逐渐增大． 其中正确的是________（在横线上填写所有正确结论的字母序号）； ②这两个代数式中，________的值先超过100． 【变式1】（24-25七年级下·广东河源·期末）已知变量，的一些对应值如表： … … … … 根据表格中的数据规律，当时，的值是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·甘肃天水·二模）由表格规律可知，当时，______． m 1 2 3 4 5 … a 3 5 7 9 11 … b 1 4 9 16 25 … 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）填写下列表格，观察表中的两个代数式的值有什么特点？并由此猜猜看，有什么结论． x 0    3 结论：__________________________． 四.题型精析（综合提升） 【题型3】几何图形代数式求值 【例题3】（25-26七年级上·广东广州·期中）如图所示，一个长方形区域长为，宽为，分别以长方形的较短的边为直径作两个半圆，然后在阴影部分种植草坪． （1）用代数式表示草坪区域的周长及面积（用含有的式子）． （2）当时，求草坪区域的周长及面积． 【变式1】（25-26八年级上·广西贵港·期中）已知长、宽分别为a，b的长方形的周长为22，面积为18，则的值为（    ） A．198 B．216 C．252 D．396 【变式2】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图是由3个完全相同的小长方形拼成的图形，其周长为，则一个小长方形的周长为______． 【变式3】（23-24七年级上·辽宁锦州·期中）将一个长方形中剪下两个大小相同的长方形（有关线段的长如图所示），留下一个“工”字型的图形（阴影部分），如图所示． （1）用含、代数式表示出图形中阴影部分的周长； （2）用含、代数式表示出图形中阴影部分的面积； （3）若，，求出图形中阴影部分的周长和面积． 【题型4】生活与行程实际应用求值 【例题4】（24-25七年级上·广东茂名·期末）某电信公司手机收费有两种方案． 方案一：月租费30元，本地通话费0.4元/分钟； 方案二：不收月租费，本地通话费0.6元/分钟； （1）某用户某月打电话时间为分钟，则方案一收费方式下应支付的费用为________元；方案二收费方式下应支付的费用为________元； （2）若某用户估计一个月打电话的时间为5小时，你认为哪种收费方式比较合算，为什么？ 【变式1】（24-25七年级上·湖南常德·期末）某县至2020年以来受持续干旱影响，河道来水偏少，已严重影响生活和生产用水，因此自来水厂从2021年1月1日起推行阶梯水价，引导人们节约用水，调整后的用水价格如下： 每月用水量（吨） 单价（元/吨） 不超过20的部分 1.5 超过20的部分 2 如果小明家月份的用水量为吨，那么小明家月份的水费为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式2】（24-25七年级上·山东菏泽·开学考试）小军到某快递公司工作，该公司按日计薪，每日基本工资80元，每送一件快递另加0.6元，小军每天送件快递，他一天可拿到的工资是______元．昨天他送了200件快递，可拿到的工资是______元． 【变式3】（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）给一间教室铺地砖,每块地砖的面积与所需地砖的数量如下． 每块地砖的面积/平方米 0.1 0.2 0.3 0.6 所需地砖的数量/块 600 300 200 100 （1）分别用x（单位：平方米）和y（单位：块）表示每块地砖的面积和所需地砖的数量,用式子表示y与x的关系为 ． （2）如果采用边长为5分米的方砖铺这间教室,需要多少块？ 【题型5】流程图与代数式的值 【例题5】（25-26七年级上·陕西汉中·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图是一个数值运算程序． （1）用含的代数式表示输出的结果；（结果化为最简） （2）当输入的值为时，求输出的值． 【变式1】（25-26七年级下·江苏无锡·期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，我们发现第次输出结果为，第次输出结果为，…请你探索第次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27七年级上·广东·开学考试）有一数值转换器，原理如图所示，如果开始输入的值是5，则第一次输出的结果是8，第二次输出的结果是7，……那么第2026次输出的结果是______． 【变式3】（25-26七年级上·山西运城·期中）在计算机上可以设置运算程序，输入一组数据，计算机就会呈现运算结果，就好像一个“数值转换机”，右面是一组“数值转换机”． （1）图1输出的结果为______________；图2的问号处应为______________； （2）填表； 输入 0 图1的输出 ______________ 图2的输出 ______________ （3）预测图______________（填序号）输出的代数式的值先超过20． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）若m的相反数是4，则的结果是（     ） A．5 B． C．13 D． 2．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）若，，则等于（     ）． A． B．0 C．18 D．12 3．（25-26九年级下·广东汕头·期中）若m，n互为倒数，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 4．（2026·重庆·模拟预测）已知，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·重庆·期中）如图是一个运算程序的示意图，若输入的值为，则输出的结果为（     ） A． B．1 C．3 D． 6．（24-25七年级上·全国·期末）方程，且，则的值为（     ） A．11 B．12 C．13 D．14 7．（25-26七年级下·陕西西安·期中）已知，则的值为（     ） A．1 B． C． D． 8．（24-25九年级下·重庆·阶段检测）请将分别填入如图所示的九宫格中，要求同一横行、同一竖行以及同一条斜对角线上的3个数相加都得0．则的值为（   ） A．5 B． C． D．0 9．（2026·湖南长沙·三模）数学家欧拉最先把关于x的多项式用符号表示，并把当时的多项式的值用表示．对于多项式，若，则的值等于（     ） A．6 B． C．7 D． 10．（25-26八年级上·河北唐山·期末）嘉淇计算时，发现结果可以用下面两个正方形的面积差（阴影部分）表示，其中正确的是（   ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（26-27六年级上·上海金山·开学考试）工地上有水泥，如果每天用，用了天，还剩______t水泥，已知，，还剩______t水泥． 12．（2026·山西长治·三模）在中等配速（约6～7分钟/公里）的长跑中，当步幅（单位：）与身高（单位：）满足公式时，通常能获得较省力、高效舒适的跑步节奏．若小明同学身高，他长跑时应将步幅调整至________左右更省力． 13．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）已知，，则______． 14．（26-27七年级·全国·小升初衔接）陈叔叔在快递公司上班，每日基本工资元，每送一件快递另加元．如果陈叔叔每天送件快递，一天拿到工资__________元．6月日，陈叔叔送快递件，这一天他可拿到工资__________元． 15．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为明文，对应的密文为，．例如：明文1，2对应的密文是，4，当明文是2，5时，密文应是______，______． 16．（2026·山西朔州·模拟预测）如图是一个运算程序，若开始输入x的值为25，则第2025次输出的结果为__________． 17．（2026·山西太原·二模）在中国的古代建筑中，山西应县木塔以其独特的结构和悠久的历史而闻名于世．榫卯是中国传统木艺的精神内核，被称为“巧夺天工”的中国古典智慧，如图结构为固定榫槽连接结构，彼此按照同样的拼接方式紧密相连，当榫槽结构数分别为和时，长度分别为和，则当有个榫槽结构时，拼接成的木条总长为________． 18．（25-26七年级下·上海虹口·期末）据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成，每条径赛跑道的起跑线是不同的，径赛规则规定，第跑道的弯道半径长=弯道最内侧半径跑道宽度测量规定．其中第1跑道的测量规定为，其余各条跑道的测量规定为．如图，已知米，每条跑道宽米，共有8条跑道，那么第4跑道的起跑线与第1跑道的起跑线相差____________米．（结果保留） （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）我们把称为a的差倒数．如的差倒数．已知y是x的差倒数，且，求y的值． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级上·山西临汾·期中）求下列代数式的值： （1），其中，，； （2），其中． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级下·江苏苏州·期中）按要求作答 （1）根据图示尺寸计算阴影部分的面积（用含、的代数式表示，并化简）； （2）在（1）中，若，，求的值． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）计算：已知，， （1）当异号时，求的值； （2）求的最大值． 23．（本小题满分10分）（24-25七年级上·新疆巴州·期中）已知有理数a，b满足，且数轴正半轴上表示数c的点C到原点的距离是3，求的值． 24．（本小题满分12分）（24-25七年级上·江苏·阶段检测）如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点把数轴分成①②③④四部分，点对应的数分别是，已知． （1）请说明原点在第几部分； （2）若，，，求；（注：表示点之间的距离．） （3）若且，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.2 代数式的值（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 2 学习目标 2 重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】代数式的值的概念 2 【知识点二】代数式求值标准步骤（必考规范） 2 【知识点三】高频易错点（考试重灾区） 3 【知识点四】代数式求值的实际应用 3 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】直接代入法求代数式的值 3 【题型2】表格型代数式求值 5 四.题型精析（综合提升） 8 【题型3】几何图形代数式求值 8 【题型4】生活与行程实际应用求值 11 【题型5】代数式值的实际意义解读 13 五.同步检测 16 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 16 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 20 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 23 19．（本小题满分8分） 23 20．（本小题满分8分） 24 21．（本小题满分10分） 24 22．（本小题满分10分） 25 23．（本小题满分10分） 25 24．（本小题满分12分） 26 一.学习目标与重难点 学习目标 1. 理解代数式的值的定义与含义，熟练掌握求代数式值的完整规范解题步骤。 2. 能够准确代入负数、分数、小数求解代数式的值，规避乘方、运算符号类常见易错点。 3. 学会利用代数式求值解决几何、行程、生活实际应用问题，能准确解释计算结果的实际意义。 4. 感知字母取值与代数式结果的变化关系，进一步强化数学符号意识与运算求解能力。 重难点 重点：掌握代数式求值的标准步骤，熟练进行各类数值的代入计算。 难点：负数、分数参与乘方运算时的规范书写与计算；结合实际情境理解代数式值的实际意义。 二.知识梳理与解读 【知识点一】代数式的值的概念 一般地，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式规定的运算顺序计算出的结果，叫做代数式的值。 核心要点 1. 代数式的值随字母取值的变化而变化，字母取值不同，计算结果通常不同； 2. 实际问题中，字母的取值必须符合实际意义，不能取无意义的数值（如人数、边长不能为负数）。 【知识点二】代数式求值标准步骤（必考规范） 步骤1：写条件：规范写出字母的取值，格式：当时； 步骤2：代数值：将字母替换为对应数值，还原省略的乘号；负数、分数代入乘方运算时，必须整体加括号； 步骤3：算结果：按照有理数混合运算顺序计算，先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内。 【知识点三】高频易错点（考试重灾区） 1. 省略乘号还原：代数式中，代入数值后必须补全乘号，写作； 2. 负数、分数乘方必加括号：若，则，严禁写为；若，则； 3. 区分整体与符号：括号决定运算主体，无括号仅对数字乘方，符号单独保留。 【知识点四】代数式求值的实际应用 解题思路：先根据题意列出代数式表示数量关系，再将已知数值代入代数式计算，最终结合情境解释结果的实际意义。常考场景：几何周长、面积、体积计算，行程问题、生活购物、工程问题等。 三.题型精析（夯实基础） 【题型1】直接代入法求代数式的值 【例题1】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）当时，求下列代数式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）1 【分析】（1）代入计算即可求解； （2）代入计算即可求解． （1）解：当时， 原式 ； （2）解：当时， 原式 ； 【变式1】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）如果，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴. 【变式2】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）已知，，且，则________． 【答案】或 【分析】根据绝对值的定义得到，的所有可能取值，结合的条件筛选出符合要求的取值，再计算． 解：∵ ， ∴ 或 ， ∵ ， ∴ 或 ， ∵ ，当时，，，不满足条件，舍去； 当时，，，两种情况都满足条件， 当，时，， 当，时，， 因此的值为或． 【变式3】（25-26七年级上·四川自贡·期中）当，，时求下列代数式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）25 【分析】把，，直接代入计算． （1）解：当，，时， ； （2）当，，时， ． 易错提示：代入负数时，必须添加括号，保证运算符号准确。 【题型2】表格型代数式求值 【例题2】（24-25七年级上·山西太原·期中）综合与实践 为探索代数式与的值的变化情况，小明通过填写下表，获得了相应的结论． （1）请你将小明所填的表格补充完整； （2）根据表格解答问题： ①随着的值逐渐增大，关于这两个代数式的值的变化情况，小明给出下列结论： A．代数式的值逐渐增大；    B．代数式的值逐渐增大； C．代数式的值逐渐减小；    D．代数式的值先逐渐减小，再逐渐增大． 其中正确的是________（在横线上填写所有正确结论的字母序号）； ②这两个代数式中，________的值先超过100． 【答案】（1）填表如下： （2）①AD，② 【分析】本题考查代数式求值，掌握代数式求值的方法是解题的关键． （1）将的值代入对应代数式计算即可； （2）①②根据各代数式的值变化情况判断即可． （1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，． （2）解：①随着的值逐渐增大，代数式的值逐渐增大，代数式的值先逐渐减小，再逐渐增大， ∴AD正确. 故答案为：AD． ②由表格可知，代数式的值先逐渐减小，再逐渐增大后比代数式的值增大的更快， 的值先超过100． 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·广东河源·期末）已知变量，的一些对应值如表： … … … … 根据表格中的数据规律，当时，的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字规律，代数式求值，通过观察表格中与的对应值，发现的值恰好是的立方，即，将代入即可求得对应的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：根据表格数据，当时，； 时，； 时，； 时，； 时，； 时，， 由此可得与的关系式为， 当时，， 故选：． 【变式2】（2026·甘肃天水·二模）由表格规律可知，当时，______． m 1 2 3 4 5 … a 3 5 7 9 11 … b 1 4 9 16 25 … 【答案】79 【分析】先根据表格数据分别得到、关于的变化规律，再代入计算的值． 解：对于，当时，， 当时，， 当时，， 归纳可得规律：． 对于，当时，， 当时，， 当时，， 归纳可得规律：． 当时，，， ∴． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）填写下列表格，观察表中的两个代数式的值有什么特点？并由此猜猜看，有什么结论． x 0    3 结论：__________________________． 【答案】解：表格填写如下， x 0    3 4 1 25 4 1 25 通过观察表中数据可得结论为：． 【分析】本题考查了代数式求值，准确计算是解题的关键．通过计算填表格，然后依据表格中的数值特点即可得到结论． 解：略 四.题型精析（综合提升） 【题型3】几何图形代数式求值 【例题3】（25-26七年级上·广东广州·期中）如图所示，一个长方形区域长为，宽为，分别以长方形的较短的边为直径作两个半圆，然后在阴影部分种植草坪． （1）用代数式表示草坪区域的周长及面积（用含有的式子）． （2）当时，求草坪区域的周长及面积． 【答案】（1）草坪区域周长为：，草坪区域面积为：；（2）草坪区域的周长为，草坪区域的面积为． 【分析】本题考查的是列代数式，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据周长为长方形的长的2倍加上两个半圆的周长即可，面积为长方形的面积减去两个半圆的面积即可得到答案． （2）先根据，得，再分别代入和进行计算，即可作答． （1）解：∵一个长方形区域长为，宽为，分别以长方形的较短的边为直径作两个半圆，然后在阴影部分种植草坪 ∴草坪区域周长为：， ∴草坪区域面积为： ． （2）解：由（1）得草坪区域周长为：，草坪区域面积为：． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴草坪区域的周长为，草坪区域的面积为． 【变式1】（25-26八年级上·广西贵港·期中）已知长、宽分别为a，b的长方形的周长为22，面积为18，则的值为（    ） A．198 B．216 C．252 D．396 【答案】A 【分析】本题主要考查了代数式求值，掌握整式代入思想是解题的关键． 根据长方形的周长和面积可求出和的值，然后将所求表达式变形后整体代入求值即可． 解：∵ 长方形的周长为 22， ∴ ， ∴． ∵ 面积为 18， ∴． 又 ∵ ， ∴原式 =． 故选A． 【变式2】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图是由3个完全相同的小长方形拼成的图形，其周长为，则一个小长方形的周长为______． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，设小长方形的长为，宽为，根据图形的周长为，得出，进而得出一个小长方形的周长，即可求解． 解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意得，， ∴ ∴，即一个小长方形的周长为 故答案为：． 【变式3】（23-24七年级上·辽宁锦州·期中）将一个长方形中剪下两个大小相同的长方形（有关线段的长如图所示），留下一个“工”字型的图形（阴影部分），如图所示． （1）用含、代数式表示出图形中阴影部分的周长； （2）用含、代数式表示出图形中阴影部分的面积； （3）若，，求出图形中阴影部分的周长和面积． 【答案】（1）；（2）；（3），； 【分析】本题考查列代数式，代数式求值， （1）根据图形的线段相加即可得到答案； （2）利用长方形减去两个空白长方形即可得到答案； （3）将x，y的值代入（1）（2）式子即可得到答案； （1）解：由题意可得， 阴影部分的周长为：； （2）解：由题意可得， 阴影部分的面积为： ； （3）解：当，时，阴影部分的周长为：； 阴影部分的面积为：． 【题型4】生活与行程实际应用求值 【例题4】（24-25七年级上·广东茂名·期末）某电信公司手机收费有两种方案． 方案一：月租费30元，本地通话费0.4元/分钟； 方案二：不收月租费，本地通话费0.6元/分钟； （1）某用户某月打电话时间为分钟，则方案一收费方式下应支付的费用为________元；方案二收费方式下应支付的费用为________元； （2）若某用户估计一个月打电话的时间为5小时，你认为哪种收费方式比较合算，为什么？ 【答案】（1）；；（2）方案一收费方式比较合算．通话5小时时，方案一费用为150元，方案二费用为180元． 【分析】（1）根据两种方案，列出代数式即可； （2）求出两种方案所需费用，比较大小即可. （1）解：方案一收费方式下应支付的费用为元，方案二收费方式下应支付的费用为元； （2）解：方案一收费方式比较合算，理由如下： 5小时300分钟， 当时， 方案一应支付的费用：（元）， 方案二应支付的费用：（元）， ， 方案一收费方式比较合算， 答：当一个月打电话的时间为5小时，方案一收费方式比较合算． 【变式1】（24-25七年级上·湖南常德·期末）某县至2020年以来受持续干旱影响，河道来水偏少，已严重影响生活和生产用水，因此自来水厂从2021年1月1日起推行阶梯水价，引导人们节约用水，调整后的用水价格如下： 每月用水量（吨） 单价（元/吨） 不超过20的部分 1.5 超过20的部分 2 如果小明家月份的用水量为吨，那么小明家月份的水费为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】先求出小明家水费代数式，再根据小明解用水量确定代数式，代入求代数式的值即可． 解：设小明家用水量为x， 当x≤20， 1,5x， 当x＞20， 20×1.5+（x-20）×2=2x-10，， ∵小明家月份的用水量为吨， 30＞20， ∴当x=30时，小明家月份的水费为2×30-10=50元． 故选择B ． 【点拨】本题考查列代数式和求代数式的值，掌握列代数式的方法，根据用量确分段收费确定求代数式的值是解题关键． 【变式2】（24-25七年级上·山东菏泽·开学考试）小军到某快递公司工作，该公司按日计薪，每日基本工资80元，每送一件快递另加0.6元，小军每天送件快递，他一天可拿到的工资是______元．昨天他送了200件快递，可拿到的工资是______元． 【答案】 【分析】根据题意，日工资由基本工资和送件额外报酬两部分组成，先列出表示日工资的代数式，再代入计算具体工资即可． 解：由题意可得，日工资 = 基本工资 + 每件快递报酬×送件数量， 因此小军一天可拿到的工资为 元， 当时，元． 【变式3】（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）给一间教室铺地砖,每块地砖的面积与所需地砖的数量如下． 每块地砖的面积/平方米 0.1 0.2 0.3 0.6 所需地砖的数量/块 600 300 200 100 （1）分别用x（单位：平方米）和y（单位：块）表示每块地砖的面积和所需地砖的数量,用式子表示y与x的关系为 ． （2）如果采用边长为5分米的方砖铺这间教室,需要多少块？ 【答案】（1）；（2）需要块 【分析】（1）利用教室总面积不变，即每块地砖面积与所需地砖数量的乘积为定值60表示y与x的关系； （2）求出边长为5分米的方砖的面积，代入计算即可． （1）解：根据表格的数据得：；；，， 所以，，即； （2）解：换算单位得5分米米， 边长为5分米的方砖面积为（平方米）， 把代入得：， 所以，需要块． 【题型5】流程图与代数式的值 【例题5】（25-26七年级上·陕西汉中·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图是一个数值运算程序． （1）用含的代数式表示输出的结果；（结果化为最简） （2）当输入的值为时，求输出的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查程序流程图与代数式求值： （1）根据流程图，列出代数式即可； （2）把代入（1）中的代数式进行求解即可． （1）解： ． （2）解：当时，． 【变式1】（25-26七年级下·江苏无锡·期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，我们发现第次输出结果为，第次输出结果为，…请你探索第次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出前十次的输出结果，可得从第七次开始，依次以4，2，1循环出现，由此求解即可． 解：由题意可得，当开始输入的值为22，第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， 第九次输出的结果为， 第十次输出的结果为， ， 由上可得，从第七次开始，依次以4，2，1循环出现， ， ， ， 第2020次输出的结果为4． 【变式2】（26-27七年级上·广东·开学考试）有一数值转换器，原理如图所示，如果开始输入的值是5，则第一次输出的结果是8，第二次输出的结果是7，……那么第2026次输出的结果是______． 【答案】8 【分析】根据输入数值的奇偶，按照流程图要求代入合适的代数式，求出前四次输出的结果，能够发现输出结果按照8、7、10三个数字进行循环，由此进行求解即可． 解：开始输入的值是5，5为奇数代入，得到第一次输出的结果是8； 8为偶数代入，得到第二次输出的结果是7； 7为奇数代入，得到第三次输出的结果是10； 10为偶数代入，得到第四次输出的结果是8， 这与第一次输出结果相同，所以输出结果按照8、7、10三个数字进行循环， ， 则第2026次输出的结果是8． 【变式3】（25-26七年级上·山西运城·期中）在计算机上可以设置运算程序，输入一组数据，计算机就会呈现运算结果，就好像一个“数值转换机”，右面是一组“数值转换机”． （1）图1输出的结果为______________；图2的问号处应为______________； （2）填表； 输入 0 图1的输出 ______________ 图2的输出 ______________ （3）预测图______________（填序号）输出的代数式的值先超过20． 【答案】（1）；；（2）；；（3） 【分析】本题考查了列代数式、代数式的求值，根据题意正确列式是解题的关键； （1）根据运算程序进行计算，列出代数式即可求解； （2）将和分别代入代数式，进行计算即可求解； （3）将分别代入代数式，进行计算即可求解； （1）解：图1输出的结果为；图2的问号处应为， 故答案为：；． （2）解：当时，， 依题意，图2输出的结果为 当时，图2的输出为 故答案为：；． （3）当时， 当时， ∴预测图1输出的代数式的值先超过20． 故答案为：． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）若m的相反数是4，则的结果是（     ） A．5 B． C．13 D． 【答案】A 解：∵的相反数是4， ∴， ∴． 2．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）若，，则等于（     ）． A． B．0 C．18 D．12 【答案】B 解：∵，， ∴． 3．（25-26九年级下·广东汕头·期中）若m，n互为倒数，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 解：∵， 互为倒数， ∴， ∴． 4．（2026·重庆·模拟预测）已知，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知等式整理出的值，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 解：， 则， 故． 5．（25-26七年级下·重庆·期中）如图是一个运算程序的示意图，若输入的值为，则输出的结果为（     ） A． B．1 C．3 D． 【答案】C 【分析】把代入运算程序中，计算可得，根据，那么需再次代入得到结果． 解：∵， ∴， ∵， ∴需把再次代入，可得， ∵， ∴输出的结果为． 6．（24-25七年级上·全国·期末）方程，且，则的值为（     ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】利用绝对值的非负性，即多个非负数的和为0时，每个非负数都为0，先求出、的值，再代入式子计算即可． 解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴ ． 7．（25-26七年级下·陕西西安·期中）已知，则的值为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】令，代入等式后等式右边恰好等于所求代数式，计算左边即可得到结果． 解：令，代入等式， ∴左边， 右边， ∴ ， 故选：B． 8．（24-25九年级下·重庆·阶段检测）请将分别填入如图所示的九宫格中，要求同一横行、同一竖行以及同一条斜对角线上的3个数相加都得0．则的值为（   ） A．5 B． C． D．0 【答案】B 解：同一横行、同一竖行以及同一条斜对角线上的3个数相加都得0， ，解得； 设右下角数字为，则，即，解得， ，即，解得， ． 9．（2026·湖南长沙·三模）数学家欧拉最先把关于x的多项式用符号表示，并把当时的多项式的值用表示．对于多项式，若，则的值等于（     ） A．6 B． C．7 D． 【答案】B 【分析】先根据求出的值，再代入计算即可得到结果． 解：∵， ∴ ， ∴． 10．（25-26八年级上·河北唐山·期末）嘉淇计算时，发现结果可以用下面两个正方形的面积差（阴影部分）表示，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，可求出，则，据此可得答案． 解：， ， ， ， ……， 以此类推可知，， ∴， 故选：C． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（26-27六年级上·上海金山·开学考试）工地上有水泥，如果每天用，用了天，还剩______t水泥，已知，，还剩______t水泥． 【答案】 65 【分析】根据题意列出代数式，代入求值即可． 解：根据题意可知还剩水泥， 当，时，原式． 12．（2026·山西长治·三模）在中等配速（约6～7分钟/公里）的长跑中，当步幅（单位：）与身高（单位：）满足公式时，通常能获得较省力、高效舒适的跑步节奏．若小明同学身高，他长跑时应将步幅调整至________左右更省力． 【答案】 解：当时，． 13．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）已知，，则______． 【答案】 解：∵，， ∴， ∴ ． 14．（26-27七年级·全国·小升初衔接）陈叔叔在快递公司上班，每日基本工资元，每送一件快递另加元．如果陈叔叔每天送件快递，一天拿到工资__________元．6月日，陈叔叔送快递件，这一天他可拿到工资__________元． 【答案】 【分析】根据题意可列代数式，再把代入中，求解即可． 解：根据题意可得陈叔叔每天送件快递，一天拿到工资元， ∴当时，， ∴陈叔叔送快递件，这一天他可拿到工资元． 15．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为明文，对应的密文为，．例如：明文1，2对应的密文是，4，当明文是2，5时，密文应是______，______． 【答案】 9 【分析】根据给定的加密规则，将明文的值代入对应密文计算即可． 解：由题意得，明文，，将，代入加密规则得： 第一个密文：， 第二个密文：． 16．（2026·山西朔州·模拟预测）如图是一个运算程序，若开始输入x的值为25，则第2025次输出的结果为__________． 【答案】5 【分析】根据运算程序图可知输出结果按5和1一循环，然后问题可求解． 解：由运算程序图可知： 第一次输出结果为，第二次输出结果为，第三次输出结果为，第四次输出结果为，…..；由此可知：输出结果按5和1一循环， ∵， ∴第2025次输出的结果为5． 17．（2026·山西太原·二模）在中国的古代建筑中，山西应县木塔以其独特的结构和悠久的历史而闻名于世．榫卯是中国传统木艺的精神内核，被称为“巧夺天工”的中国古典智慧，如图结构为固定榫槽连接结构，彼此按照同样的拼接方式紧密相连，当榫槽结构数分别为和时，长度分别为和，则当有个榫槽结构时，拼接成的木条总长为________． 【答案】38 【分析】先通过分析榫槽结构数为1和2时的长度，找出榫槽结构数与总长度之间的规律，再根据规律计算12个榫槽结构时的总长度． 解：由题意得：当榫槽结构数为1时，长度为；当榫槽结构数为2时长度为， 所以，从1个榫槽结构增加到2个榫槽结构，增加的长度为， 由此可推测，每增加1个榫槽结构，总长度就增加， 设榫槽结构数为n，总长度为L，则总长度L与榫槽结构数n的关系为． 当时，将其代入可得：． 18．（25-26七年级下·上海虹口·期末）据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成，每条径赛跑道的起跑线是不同的，径赛规则规定，第跑道的弯道半径长=弯道最内侧半径跑道宽度测量规定．其中第1跑道的测量规定为，其余各条跑道的测量规定为．如图，已知米，每条跑道宽米，共有8条跑道，那么第4跑道的起跑线与第1跑道的起跑线相差____________米．（结果保留） 【答案】 【分析】根据题意可知，跑道周长由两条直道和两个半圆弯道组成，直道长度相等，故起跑线的差值等于弯道周长之差；两个半圆弯道合起来即为一个圆，根据题目给出的第跑道弯道半径计算公式，分别表示出第跑道和第跑道的弯道半径，求出半径之差，再利用圆周长公式计算即可； 解：根据题意，（米）， 第跑道的弯道半径为：（米）， 第跑道的弯道半径为： （米）， ∵直道长度相等， ∴第跑道与第跑道的起跑线差值等于两跑道弯道周长之差， 差值． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）我们把称为a的差倒数．如的差倒数．已知y是x的差倒数，且，求y的值． 【答案】 【分析】本题考查新定义的计算，正确地理解题意是解题的关键．根据，y是x的差倒数，即可求出y的值． 解：∵，y是x的差倒数， ∴． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级上·山西临汾·期中）求下列代数式的值： （1），其中，，； （2），其中． 【答案】（1）17；（2） 【分析】本题考查了代数式求值，解题关键是准确地将给定的数值代入到代数式中，并熟练掌握有理数运算法则． （1）将a，b，c的值代入到代数式中，然后根据有理数运算法则计算即可； （2）将整体代入代数式中，然后根据有理数运算法则计算即可． （1）解：当，，时， 原式； （2）解：当时， 原式． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级下·江苏苏州·期中）按要求作答 （1）根据图示尺寸计算阴影部分的面积（用含、的代数式表示，并化简）； （2）在（1）中，若，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据组合图形的特点可知阴影部分由长、宽的长方形和边长为的正方形两部分组成，依此列出代数式并化简； （2）将，的值代入即可求出的值． （1）解：阴影部分的面积 ； （2）解：将，代入得， ． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）计算：已知，， （1）当异号时，求的值； （2）求的最大值． 【答案】（1）；（2）的最大值是5． 【分析】（1）根据x，y异号，进而得出，或，，代入求解即可； （2）由题意，，分情况计算，取最大值即可． （1）解：∵，， ∴，， ∵x，y异号，即， ∴，或，， ∴； （2）解：由题意知：，， 当，时； 当，时，； 当，时，； 当，时，， 故的最大值是5． 23．（本小题满分10分）（24-25七年级上·新疆巴州·期中）已知有理数a，b满足，且数轴正半轴上表示数c的点C到原点的距离是3，求的值． 【答案】9 【分析】根据非负数的性质可求出a、b的值，根据数轴上两点间的距离公式可得c的值，据此可得答案． 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵数轴正半轴上表示数c的点C到原点的距离是3， ∴， ∴． 24．（本小题满分12分）（24-25七年级上·江苏·阶段检测）如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点把数轴分成①②③④四部分，点对应的数分别是，已知． （1）请说明原点在第几部分； （2）若，，，求；（注：表示点之间的距离．） （3）若且，求的值． 【答案】（1）③；（2）；（3）7 【分析】（1）根据异号两数相乘结果为负可知b，异号，即可求解； （2）根据线段的和差可得，再根据点在数轴上的位置即可求解； （3）利用整体代入法即可求解． （1）解：， ，异号． 原点在第③部分； （2）解： ，， ． ， ； （3）解：，， 即， ， ∴ ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $