专题 3.4 代数式全章复习讲义基础知识专项突破讲与练- 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义系统梳理代数式全章核心知识点，从用字母表示数与书写规范入手，衔接代数式定义辨析、列代数式、代数式求值，延伸至图形与数字规律探究，构建从概念到应用的完整知识支架。 资料特色在于分层题型设计，夯实基础题型覆盖书写纠错、实际列式等，综合提升题型聚焦负数分数代入、整体思想及规律探究，培养抽象能力与运算能力。通过购物、几何等情境题发展模型意识，同步检测助力课后查漏补缺，课中辅助教师高效教学。

专题 3.4 代数式全章复习讲义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 2 学习目标 2 重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】用字母表示数 & 代数式书写规范 2 【知识点二】代数式的定义与辨析 3 【知识点三】列代数式 3 【知识点四】代数式的值 3 【知识点五】图形与数字规律探究 3 三.题型精析（夯实基础） 4 【题型1】代数式判定与书写纠错 4 【题型2】文字转代数式综合列式 4 【题型3】实际应用列式（购物、几何、行程） 5 【题型4】直接代入求代数式的值 6 四.题型精析（综合提升） 6 【题型5】负数、分数代入求值（易错重考） 7 【题型6】整体思想代入求值 7 【题型7】几何情境求值 8 【题型8】拔高拓展题型（规律探究） 9 【题型9】图形规律归纳 10 五.同步检测 11 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 11 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 13 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 14 19．（本小题满分8分） 14 20．（本小题满分8分） 14 21．（本小题满分10分） 14 22．（本小题满分10分） 14 23．（本小题满分10分） 14 24．（本小题满分12分） 15 一.学习目标与重难点 学习目标 1. 系统梳理代数式全章核心知识点，厘清字母表示数、列代数式、代数式求值、图形规律探究的完整知识体系。 2. 熟练掌握代数式规范书写、数量关系列式、数值代入运算、图形规律归纳等核心技能，规避全章高频易错点。 3. 能灵活运用代数式解决生活、几何、行程、规律探究类综合题型，建立符号思维与从特殊到一般的数学思想。 4. 突破全章重难点题型，提升综合运算、归纳推理、实际应用解题能力，适配单元测试与专项考试。 重难点 重点：代数式的概念与规范书写；根据文字、实际情境列代数式；负数、分数条件下代数式求值；图形数字规律探究。 难点：复杂情境下隐蔽数量关系的提取；乘方运算中负数、分数的规范代入计算；图形递变规律的归纳与代数式表达；正反比例数量关系辨析。 高频易错点：省略乘号还原、带分数化简、除法写分式；负数乘方漏括号、符号混淆；图形规律找不准固定量与变化量。 二.知识梳理与解读 【知识点一】用字母表示数 & 代数式书写规范 1. 字母可以表示任意数、未知量、变化量，是代数学习的基础，可通用、简洁地表示数学规律与数量关系。 2. 全章必考书写标准 （1）数与字母、字母与字母相乘，省略乘号或用，数字前置。例：，。 （2）除法运算统一写成分式形式，禁止使用除号。例：。 （3）带分数必须化为假分数，杜绝不规范书写。 （4）代数式带单位时，整体加括号。例：元、平方米。 【知识点二】代数式的定义与辨析 1. 定义：用加、减、乘、除、乘方运算符号连接数和字母组成的式子，叫做代数式。 2. 特殊规定：单独一个数（）或单独一个字母（）都是代数式。 3. 排除判定：含等号（）、不等号（）的式子，不是代数式。 举例：是代数式；不是代数式。 【知识点三】列代数式 1. 本质：将文字语言、实际情境转化为数学符号语言，实现数量关系的代数转化。 2. 解题三步法：审题找量→分析运算关系→规范列式。 3. 高频文字关系汇总： ① 与的平方和： ② 与和的平方： ③ 的3倍与5的差： ④ 的倒数与的和： 4. 正反比例关系：正比例；反比例。 【知识点四】代数式的值 1. 定义：用具体数值代替代数式中的字母，按运算顺序计算出的结果，即为代数式的值。 2. 标准解题步骤：写取值条件→代入数值→规范计算。 3. 核心易错规则：负数、分数进行乘方运算时，必须整体加括号；代入数值后补全省略的乘号。 例：，则，严禁写成。 【知识点五】图形与数字规律探究 1. 解题核心思想：从特殊到一般，通过前几组特殊数据，归纳通用代数式。 2. 通用步骤：数特例数量→列表对应序号与数值→分析增减规律→写出第个代数式→代入验证。 3. 常考模型：等差递增模型（）、平方递增模型（）、固定增量模型。 三.题型精析（夯实基础） 【题型1】代数式判定与书写纠错 【例题1】（24-25七年级上·全国·课后作业）判断下列式子是否是代数式． ，，，，，，，，． 【变式1】（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中代数式有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2】（23-24七年级上·江西萍乡·期中）下列式子是一些书写规范吗？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； （1）；___________ （2）；___________ （3）；___________ （4）；___________ 【变式3】（2025七年级上·北京·专题练习）判断下列代数式书写是否规范，若不规范，请改正：． 【题型2】文字转代数式综合列式 【例题2】（24-25七年级上·全国·课后作业）用代数式表示： （1）长为cm、宽为cm的长方形的周长是多少？ （2）开学时爸爸给小强元，小强买文具用去了元，还剩多少元？ （3）某机关原有工作人员人，被抽调下基层工作后，留在该机关工作的还有多少人？ （4）甲每小时走千米，乙每小时走千米，两人同时同地出发反向行走，小时后，他们之间的距离是多少？ 【变式1】（26-27七年级上·江苏徐州·开学考试）某地某天凌晨的温度比上午9时的温度低，中午12时的温度比凌晨的温度高，晚上9时的温度比中午12时的温度低，若该地当天上午9时的温度记为，则当天晚上9时的温度应记为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·上海·阶段检测）某小区房价去年第二季度每平方米元，若平均每季度上涨，则去年第四季度的价格为每平方米______________元（用含的代数式表示）． 【变式3】（25-26七年级上·河北沧州·期中）根据题意列代数式： （1）m的一半与n的和； （2）x的3倍与y的差的平方． 【题型3】实际应用列式（购物、几何、行程） 【例题3】（25-26七年级上·全国·单元测试）体育委员小金带了500元去买体育用品，已知一个足球x元，一个篮球y元．那么代数式表示的实际意义是什么？如果体育委员小金买了4个足球、2个篮球，那么剩余的经费是多少？ 【变式1】（24-25七年级下·山东德州·阶段检测）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长（）35米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则种植面积（单位：平方米）为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）某市出租车收费标准：3公里以内（含3公里）收费8元，超过3公里的部分每公里收费1.5元．若行驶路程为x公里（，x为正整数），则收费金额为________元（用含x的代数式表示）． 【变式3】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，池塘边有一块长为，宽为的长方形土地，现在将其余三面留出宽都是的小路，中间余下的长方形部分做菜地，用代数式表示： （1）菜地的长为 ，宽为 ； （2）菜地的面积为多少平方米？ 【题型4】直接代入求代数式的值 【例题4】（26-27七年级·全国·暑假作业）当，时，求的值 【变式1】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·四川成都·开学考试）为了确保通讯安全，信息需要加密传输．现规定加密规则如下：加密变成，加密后是___________；__________加密后是． 【变式3】（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）已知，且，求的值． 【题型5】正（反）比例关系 【例题5】（25-26七年级上·河北沧州·期中）一本《诗词大全》，小林每天读的页数和需要读的天数如表所示． 每天读的页数（页） 需要读的天数（天） （1）小林需要读的总页数为 页，“”盖住的数字为 ； （2）随着每天读的页数越来越多，需要读的天数将会怎样变化？ （3）设每天读的页数为，需要读的天数为，判断与之间成什么比例关系？ 【变式1】（25-26七年级下·重庆·阶段检测）下面各选项中，两个量成反比例的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·湖北黄石·期末）某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输的天数之间的关系如表： 每天运输的吨数 300 150 100 75 60 50 ··· 运输的天数 1 2 3 4 5 6 ··· 若每天运输a吨，则运输天数是____（用含a的代数式表示）． 【变式3】（25-26七年级上·广西南宁·期中）小字计划背诵一本单词书，每天背诵的单词数量与所需天数的关系如下表所示： 每天背诵的单词数 50 25 20 10 … 所需的天数 4 8 t 20 … （1）这本单词书一共有________个单词； （2）所需天数是怎么样随着每天背诵单词数的变化而变化？ （3）用t表示所需天数，用m表示每天背诵的单词数，写出t与m的关系式，并判断它们成什么比例关系？并说明理由． 四.题型精析（综合提升） 【题型6】负数、分数代入求值（易错重考） 【例题6】（24-25六年级上·北京·期中）已知，求代数式的值： （1）； （2）． 【变式1】（25-26七年级上·山东德州·期末）若，且，则的值为（    ） A． B．10 C． D．10或 【变式2】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）当时，代数式 的值为2026，则当时，代数式 的值为______． 【变式3】（25-26七年级上·江西赣州·期中）当时，求下列代数式的值： （1） （2）． 【题型7】整体思想代入求值 【例题7】（25-26七年级下·云南昭通·期中）已知，求代数式的值． 【变式1】（25-26七年级下·安徽六安·期末）若，则代数式的值为（     ） A． B． C． D．不确定，与k值大小有关 【变式2】（23-24七年级上·上海·阶段检测）若，则_____________． 【变式3】（25-26七年级上·山东济宁·期末）【阅读理解】 已知代数式的值为9，求代数式的值． 小明采用的方法如下： 解：由题意得，． 则有，． 所以 ． 所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若，则代数式的值为_____； （2）若代数式的值为12，求代数式的值； 【拓展应用】 （3）若，求代数式的值． 【题型8】几何情境求值 【例题8】（23-24七年级上·山西临汾·期中）综合与探究 课上，老师让同学们探究图形的周长、面积问题． 【基础巩固】（1）图1是某校园的游泳池的平面示意图，尺寸如图所示，需在游泳池的四周铺设草坪，宽均为2，已知外围长方形场地的宽为a，长为b．用含a，b的代数式表示图中游泳池的周长． 【深入探究】（2）根据需要，该长方形场地的长、宽不变，学校对游泳池的位置和长、宽做了调整，且长方形场地内又多种植了一个长方形花草地，其余部分（阴影部分）为小路，如图2，用含a，b的代数式表示小路的面积． 【拓展探究】（3）聪明的小康在图1的基础上，设计出了更加美丽的游泳池图案，已知两个小游泳池的直径相等，如图3所示，根据图中尺寸，用含a，b的代数式分别表示游泳池的周长和、面积和（面积和不要求化简，保留）． 【变式1】（24-25七年级上·广东清远·期中）一个长方形周长为20，若一边长用字母表示，则此长方形的面积（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·江苏苏州·开学考试）如图，，C为线段上的一点，以为直径的半圆的周长分别记作、、，（注：半圆的周长=圆周长的一半+直径）． 、、满足的关系为____． 【变式3】（23-24七年级上·山东烟台·期末）书是人类进步的阶梯！为爱护书一般都将书本用封皮包好，现有一本如图的数学课本，其长为、宽为、厚为，小明用一张长方形纸包好了这本数学书，他为了将封面和封底各折进去，在长方形纸的上方和下方合适的位置处，各剪去一个小长方形，包书纸展开后如图所示（图中的阴影部分即为剪去的小长方形）．求： （1）小明剪去的一个小长方形的周长为______； （2）小明所用到的包书纸的周长是多少？（用含x的代数式表示，不包含阴影部分） （3）当封面和封底各折进去时，请帮小明计算一下他需要的长方形包书纸的面积至少为多少？ 【题型9】拔高拓展题型（数字规律探究） 【例题9】（24-25七年级下·贵州六盘水·期末）观察下列等式，找出其中的规律，并完成下列问题． ， ， ， ， …… （1）请你根据以上规律，直接写出第5个等式：__________，第个等式：__________； （2）利用以上规律计算． 【变式1】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段检测）已知为实数，规定运算：，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·甘肃嘉峪关·二模）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第二个三角形数，6是第三个三角形数，…，依此类推，那么第n个三角形数是________． 【变式3】（25-26七年级下·江西吉安·期末）观察下列各式，解答问题： ； ； ； …… （1）【发现规律】填空：（     ）（     ）（     ）（     ）； （2）【总结规律】猜想填空：（     ）（     ）（     ）； （3）【应用规律】求的值． 【题型10】拔高拓展题型（图形规律探究） 【例题10】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）观察下图： （1）图中的点被线段隔开分成了四层，则第1层有1个点，第2层有3个点，第5层有________个点； （2）第n层应该有多少个点？ （3）第27层有多少个点？ 【变式1】（25-26七年级下·重庆荣昌·期末）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有6个圆点，第②个图中有10个圆点，第③个图中有15个圆点，…，按照这一规律，第⑦个图中圆点的个数是（     ） A．36 B．42 C．45 D．48 【变式2】（25-26七年级上·山西吕梁·期末）下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第个图中所贴剪纸“○”的个数为________． 【变式3】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3张餐桌拼在一起可坐8人，如图． （1）观察思考，发现规律：每增加1张桌子，可坐人数就增加__________人． （2）如果10张餐桌拼在一起，一共可以坐__________人． （3）按这样拼下去，m张餐桌可坐__________人．（用含有字母的式子表示）． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26六年级下·上海·期末）下列各式中，不是代数式的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）万山悬崖泳池是网红打卡点．若泳池原有水20立方米，现打开进水管匀速进水，每小时进水立方米，小时后泳池中有水（　　）立方米． A． B．at C． D． 3．（25-26七年级上·江苏南通·期末）下表中x和y两个量成反比例关系，则“△”处应填（   ） x 4 △ y 6 3 A．1 B．2 C．8 D．24 4．（2026·河北保定·二模）代数式的意义可以是（     ） A．与的和 B．与的差 C．个相加 D．个相乘 5．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）若，则代数式的值是（     ）． A．11 B．8 C．5 D．2 6．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·山西大同·阶段检测）若，，且，则（     ） A．7 B．1 C．1或 D．7或 8．（26-27七年级上·江苏南京·开学考试）活动课上，小亮用火柴棒摆成了“小鱼”（如下图）．按照这样的规律摆下去，摆条“小鱼”需要火柴棒的根数是（     ）． A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）我们规定一个新数“i”，使其满足 并进一步规定：一切有理数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有 则 值为（     ） A．i B． C． D．1 10．（2026·贵州遵义·二模）杨辉三角是中国古代数学的杰出成果，比欧洲发现此规律早300多年，彰显了中国古代数学的辉煌成就．如图是杨辉三角的前几行．观察数字规律，第9行从左数第3个数字是（     ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25七年级上·上海·期中）用代数式表示：“的倍减去的差”是________． 12．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）今年11月1日湘潭地区早晚温差为，最高气温为，则最低气温为________． 13．（2026·河南南阳·一模）观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为___________． 14．（25-26六年级下·上海·期末）如果，那么________． 15．（2026·四川成都·三模）任意给一个非零数x，若输入x的值为5，则输出的结果为_________ ． 16．（2026·河南信阳·三模）下图所示图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中图①中有5颗棋子，图②中有8颗棋子，图③中有13颗棋子，图④中有20颗棋子……按照此规律排列下去，则图⑩中的棋子颗数为_____． 17．（26-27七年级上·江苏南京·开学考试）数字游戏：第一步：取一个自然数，计算得；第二步：算出的各位数字之和得，计算得；第三步：算出的各位数字之和得，再计算得以此类推，___． 18．（2025·江苏徐州·三模）如图，每个图案均由相同大小的圆和正三角形按规律排列，依照此规律，第n个图形中三角形的个数比圆的个数多 _____个．（由含n的代数式表示） （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（23-24八年级上·河北保定·期末）甲、乙两地间的公路全长千米，某人从甲地到乙地每小时走千米，用代数式表示： （1）此人从甲地到乙地需要走______小时； （2）如果每小时多走千米，此人从甲地到乙地需要走______小时；则此人从甲地到乙地少用______小时． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级上·全国·课后作业）写出下列代数式的意义： （1）一个三角形的一边长是，该边上的高是，那么表示什么？ （2）汽车每小时行驶，那么表示什么？ 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·四川宜宾·期中）对于任意的两个有理数a、b，定义． （1）计算的结果； （2）计算的结果． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级上·河北衡水·期末）观察下列等式，回答问题． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … （1）按以上规律写出第6个等式： ； （2）若是正整数，请用含的代数式表示第个等式： ； （3）求的值． 23．（本小题满分10分）（24-25七年级上·浙江宁波·期中）求值： （1）已知，，且，求的值； （2）已知对于任意的x都成立，求的值． 24．（本小题满分12分）（24-25七年级上·福建龙岩·期末）【综合与实践】 “好学小组”和“乐学小组”开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．他们利用边长为的正方形纸板设计成如图所示的甲、乙两种纸盒，甲种纸盒是无盖的纸盒，乙种纸盒是有盖的纸盒． 【动手操作】好学小组：根据图1方式制作一个甲种无盖的长方体盒子．方法是先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．乙乐学小组：根据图2方式制作一个乙种有盖的长方体纸盒．方法是先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来． 【问题解决】 （1）①无盖长方体纸盒的底面积为________（用含和的代数式表示）； ②有盖长方体纸盒的底面周长为________（用含和的代数式表示）． 【拓展探究】 （2）两小组探究发现：按照上面的制作方案，甲种纸盒的体积和乙种纸盒的体积的比与、取值无关．请你写出的值，并说明理由． 【实际应用】 （3）春节临近，杭城某纸箱厂，接到一笔订单，需要赶制长、宽、高分别为、、的有盖长方体盒子若干．为了降低成本，提高效率，厂方决定购买大小合适的长方形纸板，采用乙种纸盒的制作方案，并且一张纸板制作一个纸盒． ①请分别在图3、图4虚线框内画出两种不同的设计图，并标上相应的尺寸； ②求厂方采购的长方形纸板的最小面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.4 代数式全章复习讲义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 2 学习目标 2 重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】用字母表示数 & 代数式书写规范 2 【知识点二】代数式的定义与辨析 3 【知识点三】列代数式 3 【知识点四】代数式的值 3 【知识点五】图形与数字规律探究 3 三.题型精析（夯实基础） 4 【题型1】代数式判定与书写纠错 4 【题型2】文字转代数式综合列式 6 【题型3】实际应用列式（购物、几何、行程） 8 【题型4】直接代入求代数式的值 9 四.题型精析（综合提升） 11 【题型5】负数、分数代入求值（易错重考） 13 【题型6】整体思想代入求值 15 【题型7】几何情境求值 18 【题型8】拔高拓展题型（规律探究） 21 【题型9】图形规律归纳 23 五.同步检测 26 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 26 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 30 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 33 19．（本小题满分8分） 33 20．（本小题满分8分） 34 21．（本小题满分10分） 34 22．（本小题满分10分） 35 23．（本小题满分10分） 36 24．（本小题满分12分） 37 一.学习目标与重难点 学习目标 1. 系统梳理代数式全章核心知识点，厘清字母表示数、列代数式、代数式求值、图形规律探究的完整知识体系。 2. 熟练掌握代数式规范书写、数量关系列式、数值代入运算、图形规律归纳等核心技能，规避全章高频易错点。 3. 能灵活运用代数式解决生活、几何、行程、规律探究类综合题型，建立符号思维与从特殊到一般的数学思想。 4. 突破全章重难点题型，提升综合运算、归纳推理、实际应用解题能力，适配单元测试与专项考试。 重难点 重点：代数式的概念与规范书写；根据文字、实际情境列代数式；负数、分数条件下代数式求值；图形数字规律探究。 难点：复杂情境下隐蔽数量关系的提取；乘方运算中负数、分数的规范代入计算；图形递变规律的归纳与代数式表达；正反比例数量关系辨析。 高频易错点：省略乘号还原、带分数化简、除法写分式；负数乘方漏括号、符号混淆；图形规律找不准固定量与变化量。 二.知识梳理与解读 【知识点一】用字母表示数 & 代数式书写规范 1. 字母可以表示任意数、未知量、变化量，是代数学习的基础，可通用、简洁地表示数学规律与数量关系。 2. 全章必考书写标准 （1）数与字母、字母与字母相乘，省略乘号或用，数字前置。例：，。 （2）除法运算统一写成分式形式，禁止使用除号。例：。 （3）带分数必须化为假分数，杜绝不规范书写。 （4）代数式带单位时，整体加括号。例：元、平方米。 【知识点二】代数式的定义与辨析 1. 定义：用加、减、乘、除、乘方运算符号连接数和字母组成的式子，叫做代数式。 2. 特殊规定：单独一个数（）或单独一个字母（）都是代数式。 3. 排除判定：含等号（）、不等号（）的式子，不是代数式。 举例：是代数式；不是代数式。 【知识点三】列代数式 1. 本质：将文字语言、实际情境转化为数学符号语言，实现数量关系的代数转化。 2. 解题三步法：审题找量→分析运算关系→规范列式。 3. 高频文字关系汇总： ① 与的平方和： ② 与和的平方： ③ 的3倍与5的差： ④ 的倒数与的和： 4. 正反比例关系：正比例；反比例。 【知识点四】代数式的值 1. 定义：用具体数值代替代数式中的字母，按运算顺序计算出的结果，即为代数式的值。 2. 标准解题步骤：写取值条件→代入数值→规范计算。 3. 核心易错规则：负数、分数进行乘方运算时，必须整体加括号；代入数值后补全省略的乘号。 例：，则，严禁写成。 【知识点五】图形与数字规律探究 1. 解题核心思想：从特殊到一般，通过前几组特殊数据，归纳通用代数式。 2. 通用步骤：数特例数量→列表对应序号与数值→分析增减规律→写出第个代数式→代入验证。 3. 常考模型：等差递增模型（）、平方递增模型（）、固定增量模型。 三.题型精析（夯实基础） 【题型1】代数式判定与书写纠错 【例题1】（24-25七年级上·全国·课后作业）判断下列式子是否是代数式． ，，，，，，，，． 【答案】代数式：，，，，，，；，不是代数式 【分析】本题主要考查了代数式的定义，解题的关键在于熟知定义：用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式，单独的一个数或字母也叫做代数式．据此判断式子即可解答． 解：代数式：，，，，，，； ，不是代数式． 【变式1】（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中代数式有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查代数式的判断，掌握用运算符号连接数或字母的式子叫代数式，单独的数或字母也是代数式．依据代数式的定义：由运算符号连接数或字母的式子，或单独的数、字母，含有等号、不等号的式子不是代数式，据此判断即可． 解：∵代数式是指用运算符号连接数或字母的式子，或单独的数、字母，含有等号、不等号的式子不是代数式 ∴①（单独的数）是代数式， ②（数与字母的乘积）是代数式， ④（数与字母的除法）是代数式， ⑦（字母的乘方）是代数式， ③（含等号，是方程）不是代数式， ⑤（含等号，是公式）不是代数式， ⑥（含不等号，是不等式）不是代数式， 综上，代数式有①②④⑦，共个． 故选：C． 【变式2】（23-24七年级上·江西萍乡·期中）下列式子是一些书写规范吗？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； （1）；___________ （2）；___________ （3）；___________ （4）；___________ 【答案】 / 【分析】本题考查代数式的书写规范，熟练掌握代数式的书写规范是解题的关键. （1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写，数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面； （2）带分数要写成假分数的形式； （3）1通常省略不写； （4）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写． （1）解：应写为； 故答案为：． （2）解：应写为； 故答案为：． （3）解：应写为/； 故答案为：/． （4）解：应写为； 故答案为：． 【变式3】（2025七年级上·北京·专题练习）判断下列代数式书写是否规范，若不规范，请改正：． 【答案】解：：不规范，除法运算应写成分数形式，改正； ：规范． 【分析】本题考查代数式规范写法，熟记代数式相关规范写法是解决问题的关键． 根据除法运算应写成分数形式；数字与括号相乘，乘号可省略也可用点号表示求解即可得到答案． 解：略 【题型2】文字转代数式综合列式 【例题2】（24-25七年级上·全国·课后作业）用代数式表示： （1）长为cm、宽为cm的长方形的周长是多少？ （2）开学时爸爸给小强元，小强买文具用去了元，还剩多少元？ （3）某机关原有工作人员人，被抽调下基层工作后，留在该机关工作的还有多少人？ （4）甲每小时走千米，乙每小时走千米，两人同时同地出发反向行走，小时后，他们之间的距离是多少？ 【答案】（1）cm；（2）元；（3）人；（4）千米 【分析】本题考查了列代数式，理解题意是解题关键． （）根据长方形周长公式 “周长（长宽）”，直接代入长和宽，得到代数式； （）根据小强剩下的钱数开学爸爸给小强钱数小强买文具用的钱数，列出式子即可； （）先算出抽调的人数 （原有人的，即），再用“原有人数抽调人数”，得到； （）根据“路程速度时间”，分别算出甲、乙小时走的路程，反向行走时总距离为两人路程之和是千米； （1）解：∵长方形长为、宽为， ∴长方形的周长是； （2）∵剩余钱数总钱数花费钱数， ∴由题意得：小强还剩元； （3）∵原有工作人员人，被抽调下基层工作， ∴留在该机关工作的还有人； （4）∵甲每小时走千米，乙每小时走千米， ∴小时后，甲走的路程千米，乙走的路程千米， ∵两人同时同地出发反向行走， ∴甲、乙之间的距离是千米， 即千米. 【变式1】（26-27七年级上·江苏徐州·开学考试）某地某天凌晨的温度比上午9时的温度低，中午12时的温度比凌晨的温度高，晚上9时的温度比中午12时的温度低，若该地当天上午9时的温度记为，则当天晚上9时的温度应记为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列式化简即可． 解：由题意得晚上9时温度为． 【变式2】（23-24八年级上·上海·阶段检测）某小区房价去年第二季度每平方米元，若平均每季度上涨，则去年第四季度的价格为每平方米______________元（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据每季度的增长率计算第三季度的房价，再根据相同增长率计算第四季度的房价即可得到结果． 解：由题意可知，去年第二季度房价为每平方米元， 平均每季度上涨， 去年第三季度的价格为元，去年第四季度的价格为元． 【变式3】（25-26七年级上·河北沧州·期中）根据题意列代数式： （1）m的一半与n的和； （2）x的3倍与y的差的平方． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查列代数式，根据题意列出代数式是解题的关键． （1）把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来即可解答； （2）把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来即可解答． （1）解：； （2）解：． 【题型3】实际应用列式（购物、几何、行程） 【例题3】（25-26七年级上·全国·单元测试）体育委员小金带了500元去买体育用品，已知一个足球x元，一个篮球y元．那么代数式表示的实际意义是什么？如果体育委员小金买了4个足球、2个篮球，那么剩余的经费是多少？ 【答案】代数式表示的实际意义是体育委员小金买了2个足球、3个篮球后，剩余的经费；体育委员小金买了4个足球、2个篮球，剩余的经费为元 【分析】本题考查了代数式在实际问题中的意义，理解代数式中各项的含义，结合已知条件分析代数式所表示的实际意义，同时根据购买物品的数量和单价计算剩余经费． 解：代数式表示体育委员小金买了2个足球、3个篮球后，剩余的经费； 如果体育委员小金买了4个足球、2个篮球，那么剩余的经费为元． 【变式1】（24-25七年级下·山东德州·阶段检测）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长（）35米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则种植面积（单位：平方米）为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：设小道的宽为x米， 根据题意得，种植面积为． 【变式2】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）某市出租车收费标准：3公里以内（含3公里）收费8元，超过3公里的部分每公里收费1.5元．若行驶路程为x公里（，x为正整数），则收费金额为________元（用含x的代数式表示）． 【答案】 【分析】收费分为两部分，3公里以内固定收费8元，超过3公里的部分按每公里1.5元计算，总收费为两部分的和． 解：∵， ∴总收费由两部分组成：3公里以内收费为8元， 超过3公里的路程为公里，这部分收费为元， 总收费：元． 【变式3】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，池塘边有一块长为，宽为的长方形土地，现在将其余三面留出宽都是的小路，中间余下的长方形部分做菜地，用代数式表示： （1）菜地的长为 ，宽为 ； （2）菜地的面积为多少平方米？ 【答案】（1）；；（2）． 【分析】本题考查了列代数式． （1）根据题干图列代数式即可； （2）将（1）中两代数式相乘即可． （1）解：菜地的长为，宽为， 故答案为：，； （2）解：菜地的面积为． 【题型4】直接代入求代数式的值 【例题4】（26-27七年级·全国·暑假作业）当，时，求的值 【答案】16 【分析】直接代入a、b值求解即可． 解：当，时， 原式． 【变式1】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用绝对值和完全平方数的非负性可求出、的值，再计算即可． 解：，，， ，， ，， ． 【变式2】（23-24七年级上·四川成都·开学考试）为了确保通讯安全，信息需要加密传输．现规定加密规则如下：加密变成，加密后是___________；__________加密后是． 【答案】 或 【分析】根据规定的加密规则进行计算即可． 解：∵加密变成， ∴加密后是，即， 由加密后为，则 解得或 ∴或加密变成． 【变式3】（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）已知，且，求的值． 【答案】3或9 【分析】先求出，，再根据确定的值，代入计算即可． 解：∵， ∴，， ∵， ∴或， ∴或． 【题型5】正（反）比例关系 【例题5】（25-26七年级上·河北沧州·期中）一本《诗词大全》，小林每天读的页数和需要读的天数如表所示． 每天读的页数（页） 需要读的天数（天） （1）小林需要读的总页数为 页，“”盖住的数字为 ； （2）随着每天读的页数越来越多，需要读的天数将会怎样变化？ （3）设每天读的页数为，需要读的天数为，判断与之间成什么比例关系？ 【答案】（1），；（2）越来越少；（3）与成反比例关系． 【分析】本题主要考查了有理数的运算的应用，成反比例关系，理解题意，根据表格得出结果是解题的关键． （）用表格中的一组数据，求出两数的积即可； （）观察表格数据即可求解； （）根据书的总页数等于每天读的页数乘以天数，得到与的关系，根据积一定，两个变量成反比例关系，作答即可． （1）解：，， 故答案为：，； （2）解：观察表格数据可得：随着每天读的页数越来越多，需要读的天数将会越来越少； （3）解：∵， ∴与的关系是， ∴与成反比例关系． 【变式1】（25-26七年级下·重庆·阶段检测）下面各选项中，两个量成反比例的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例关系的判断，掌握反比例的定义是解题关键，两个相关联的量，若乘积为定值，则两个量成反比例． 解：A 选项，，，比值为定值，故和成正比例，不成反比例； B 选项，，和为定值，两个量乘积不是定值，故和不成反比例； C 选项，，等式两边同乘x得 ，乘积为定值，故和成反比例； D 选项，，差为定值，两个量乘积不是定值，故和不成反比例． 故选C． 【变式2】（25-26七年级上·湖北黄石·期末）某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输的天数之间的关系如表： 每天运输的吨数 300 150 100 75 60 50 ··· 运输的天数 1 2 3 4 5 6 ··· 若每天运输a吨，则运输天数是____（用含a的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例关系的应用． 从表格数据可知，每天运输的吨数与运输天数的乘积恒为300吨，因此货物总吨数为300吨；每天运输a吨时，运输天数为总吨数除以a． 解：由表可知，， 故货物总吨数为300吨， 若每天运输吨，则运输天数为天． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·广西南宁·期中）小字计划背诵一本单词书，每天背诵的单词数量与所需天数的关系如下表所示： 每天背诵的单词数 50 25 20 10 … 所需的天数 4 8 t 20 … （1）这本单词书一共有________个单词； （2）所需天数是怎么样随着每天背诵单词数的变化而变化？ （3）用t表示所需天数，用m表示每天背诵的单词数，写出t与m的关系式，并判断它们成什么比例关系？并说明理由． 【答案】（1）200；（2）所需天数随着每天背诵单词数的增加而减少，且它们的乘积始终为200；（3），反比例关系， 理由：由（1）可知：， ∴t与m成反比例关系，因为每天背诵的单词数与所需天数的乘积是单词总数，为一个定值（200）． 【分析】本题主要考查反比例关系的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据表格可直接进行求解； （2）由表格可直接进行求解； （3）根据反比例关系的意义可进行求解． （1）解：由表可得：（个）； 故答案为200； （2）解：由表可知：所需天数随着每天背诵单词数的增加而减少，且它们的乘积始终为200； （3）略 四.题型精析（综合提升） 【题型6】负数、分数代入求值（易错重考） 【例题6】（24-25六年级上·北京·期中）已知，求代数式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）12；（2）0或16 【分析】由非负数的和为零得， ，求得，  ，分别代入求解即可． （1）解：， ， ， 解得：，  ， 当时，， 当时，， ； （2）解：当时，， 当时，， 综上，或16． 【变式1】（25-26七年级上·山东德州·期末）若，且，则的值为（    ） A． B．10 C． D．10或 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值的意义、代数式求值，由可知，即 ，结合得 ，代入计算即可． 解：∵，且， ∴，即． ∵， ∴． ∵， ∴或． 但，故． ∴， 故选A． 【变式2】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）当时，代数式 的值为2026，则当时，代数式 的值为______． 【答案】 【分析】先将代入已知代数式，求出的值，再将代入待求代数式，整体代入计算即可． 解：当时，， ， ； 当时，． 【变式3】（25-26七年级上·江西赣州·期中）当时，求下列代数式的值： （1） （2）． 【答案】（1）13；（2） 【分析】本题考查了代数式求值和有理数的混合运算，解题的关键在于准确无误地将给定的数值代入代数式，并严格按照运算顺序进行计算； （1）将代入代数式后，记得加括号，先算平方，再算乘法，最后算加减法； （2）将分别代入分母和分子，计算出结果，最后将分子除以分母得到最终值． （1）解：依题意，把代入， 得 ． 故原式． （2）解：依题意，把代入， 得， 把代入， 得． ． 故原式． 【题型7】整体思想代入求值 【例题7】（25-26七年级下·云南昭通·期中）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】先把条件式变形为，再把要求的代数式整理为，然后整体代入计算即可． 解：， ， ． 【变式1】（25-26七年级下·安徽六安·期末）若，则代数式的值为（     ） A． B． C． D．不确定，与k值大小有关 【答案】A 【分析】本题运用整体代入法求解代数式的值，先对所求代数式提取公因式变形，再结合已知条件整体代入计算即可． 解：， ， 对所求代数式变形得：， 将代入得：原式，因此代数式的值为． 【变式2】（23-24七年级上·上海·阶段检测）若，则_____________． 【答案】2024 【分析】利用已知条件得到，对所求多项式进行降次变形，再整体代入计算，运用整式的变形和整体代入的思想求解． 解：∵， ∴， ∴ ． 【变式3】（25-26七年级上·山东济宁·期末）【阅读理解】 已知代数式的值为9，求代数式的值． 小明采用的方法如下： 解：由题意得，． 则有，． 所以 ． 所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若，则代数式的值为_____； （2）若代数式的值为12，求代数式的值； 【拓展应用】 （3）若，求代数式的值． 【答案】（1）1；（2）2003；（3） 【分析】本题考查了代数式求值，添括号的应用，整体代入是解题的关键； （1）直接利用整体代入计算即可； （2）先由可得，由可得，然后整体代入计算即可； （3）先由可化为，然后把，代入计算即可． 解：（1）∵， ∴． （2）∵ ∴， ∴； （3）∵，， ∴ ． 【题型8】几何情境求值 【例题8】（23-24七年级上·山西临汾·期中）综合与探究 课上，老师让同学们探究图形的周长、面积问题． 【基础巩固】（1）图1是某校园的游泳池的平面示意图，尺寸如图所示，需在游泳池的四周铺设草坪，宽均为2，已知外围长方形场地的宽为a，长为b．用含a，b的代数式表示图中游泳池的周长． 【深入探究】（2）根据需要，该长方形场地的长、宽不变，学校对游泳池的位置和长、宽做了调整，且长方形场地内又多种植了一个长方形花草地，其余部分（阴影部分）为小路，如图2，用含a，b的代数式表示小路的面积． 【拓展探究】（3）聪明的小康在图1的基础上，设计出了更加美丽的游泳池图案，已知两个小游泳池的直径相等，如图3所示，根据图中尺寸，用含a，b的代数式分别表示游泳池的周长和、面积和（面积和不要求化简，保留）． 【答案】（1）；（2）；（3）周长和；面积和． 【分析】（1）先计算得出这个游泳池的宽为，长为，再计算周长即可； （2）由题意可得将阴影部分分成一个长为，宽为1的小长方形和一个长为a，宽为2的小长方形，再求出其面积即可； （3）由题意可得可得大游泳池的直径为a，每个小游泳池的直径为，再求出游泳池的周长和、面积和． 解：（1）这个游泳池的宽为，长为， 所以周长． 答：游泳池的周长为． （2）将阴影部分分成一个长为，宽为1的小长方形和一个长为a，宽为2的小长方形， 所以小路的面积． （3）由题图3可得大游泳池的直径为a，每个小游泳池的直径为， 所以游泳池的周长和． 游泳池的面积和． 【点拨】本题考查了列代数式的应用，解决本题的关键是熟练掌握在几何问题中通过列代数式表示图形的周长与面积． 【变式1】（24-25七年级上·广东清远·期中）一个长方形周长为20，若一边长用字母表示，则此长方形的面积（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式的知识，根据长方形的周长，用含x的式子表示出另一边，再利用长方形的面积公式：长宽，列出代数式即可． 解：长方形的周长为20，一边用x表示， 则：另一边表示为：， ∴长方形的面积为：； 故选：A． 【变式2】（23-24七年级上·江苏苏州·开学考试）如图，，C为线段上的一点，以为直径的半圆的周长分别记作、、，（注：半圆的周长=圆周长的一半+直径）． 、、满足的关系为____． 【答案】 【分析】本题考查圆的周长，利用代数式表示等．根据题意设，则，再分别计算、、即可得到本题答案． 解：∵以，为直径的半圆的周长分别记作、、， ∴设，则， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（23-24七年级上·山东烟台·期末）书是人类进步的阶梯！为爱护书一般都将书本用封皮包好，现有一本如图的数学课本，其长为、宽为、厚为，小明用一张长方形纸包好了这本数学书，他为了将封面和封底各折进去，在长方形纸的上方和下方合适的位置处，各剪去一个小长方形，包书纸展开后如图所示（图中的阴影部分即为剪去的小长方形）．求： （1）小明剪去的一个小长方形的周长为______； （2）小明所用到的包书纸的周长是多少？（用含x的代数式表示，不包含阴影部分） （3）当封面和封底各折进去时，请帮小明计算一下他需要的长方形包书纸的面积至少为多少？ 【答案】（1）；（2）所用到的包书纸的周长为；（3）包书纸的面积为 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，正确的列出代数式，是解题的关键． （1）根据题意，得到小长方形的长为，宽为，根据长方形的周长公式，列出代数式即可； （2）求出包书纸的长和宽，根据长方形的周长公式，列出代数式即可； （3）用（2）中的长乘以宽得到包书纸的面积，再把代入求值即可． （1）解：由题意，得：小长方形的长为，宽为， ∴小长方形的周长为：； 故答案为：； （2）由题意，包书纸的长为：， 包书纸的宽为：， ∴小明所用到的包书纸的周长是； （3）当时，包书纸的面积为：． 【题型9】拔高拓展题型（数字规律探究） 【例题9】（24-25七年级下·贵州六盘水·期末）观察下列等式，找出其中的规律，并完成下列问题． ， ， ， ， …… （1）请你根据以上规律，直接写出第5个等式：__________，第个等式：__________； （2）利用以上规律计算． 【答案】（1）第5个等式：，第个等式：；（2） 【分析】（1）先观察已知等式，总结各部分和序号的变化规律，推导得到第个等式的通用形式； （2）利用（1）中推导得到的规律计算即可． （1）解：由规律得，第5个等式为：，第个等式为：． （2）解： ． 【变式1】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段检测）已知为实数，规定运算：，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将，代入进行计算，可知数列3个为一次循环，按此规律即可进行求解． 解：由题意可知，时，，，，，…， 其规律是3个为一次循环， ∵， ∴． 【变式2】（2026·甘肃嘉峪关·二模）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第二个三角形数，6是第三个三角形数，…，依此类推，那么第n个三角形数是________． 【答案】 【分析】观察已知三角形数的变化规律，可得第个三角形数是从1到的连续正整数的和，计算求和即可得到结果． 解：第一个三角形数为 ， 第二个三角形数为 ， 第三个三角形数为 ， 第四个三角形数为 ， 依此类推，可得第个三角形数为 ．解 【变式3】（25-26七年级下·江西吉安·期末）观察下列各式，解答问题： ； ； ； …… （1）【发现规律】填空：（     ）（     ）（     ）（     ）； （2）【总结规律】猜想填空：（     ）（     ）（     ）； （3）【应用规律】求的值． 【答案】（1）30；4；5；9；（2）n；；；（3） 【分析】（1）根据规律直接求解即可； （2）根据规律直接求解即可； （3）根据题意变形得，求解即可． （1）解：根据题意得：； （2）解：根据题意得： ； ； ； … 由此发现，； （3） ． 【题型10】拔高拓展题型（图形规律探究） 【例题10】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）观察下图： （1）图中的点被线段隔开分成了四层，则第1层有1个点，第2层有3个点，第5层有________个点； （2）第n层应该有多少个点？ （3）第27层有多少个点？ 【答案】（1）9；（2）；（3）53 【分析】（1）先统计已知的第1层、第2层、第3层、第4层的点数，分析相邻两层点数的差值规律即可求解； （2）根据层数和对应点数之间的规律，即可归纳出第层的点数公式； （3）将层数代入（2）中的公式计算即可． （1）解： 第1层有 个点，第2层有 个点，第3层有 个点，第4层有 个点， 如果继续画下去，那么第5层有 个点 （2）解：第1层： 第2层： 第3层： 第4层： 按照这个规律：第层应该有个点． （3）解：把代入规律公式，得（个）， 所以第27层有个点． 【变式1】（25-26七年级下·重庆荣昌·期末）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有6个圆点，第②个图中有10个圆点，第③个图中有15个圆点，…，按照这一规律，第⑦个图中圆点的个数是（     ） A．36 B．42 C．45 D．48 【答案】C 【分析】观察图形及数据，根据发现的规律求解即可． 解：由图可得：第①个图中有个圆点， 第②个图中有个圆点， 第③个图中有个圆点， ……， 第个图中有个圆点， 第⑦个图中圆点的个数是． 【变式2】（25-26七年级上·山西吕梁·期末）下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第个图中所贴剪纸“○”的个数为________． 【答案】 【分析】观察图形，得出第个图中所贴剪纸“〇”的个数为个，据此求解即可． 解：当时，剪纸“○”的个数有个； 当时，剪纸“○”的个数有个； 当时，剪纸“○”的个数有个； … 从而可以探究：第n个图案所贴剪纸“○”的个数为个， ∴第个图中所贴剪纸“○”的个数为个． 【变式3】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3张餐桌拼在一起可坐8人，如图． （1）观察思考，发现规律：每增加1张桌子，可坐人数就增加__________人． （2）如果10张餐桌拼在一起，一共可以坐__________人． （3）按这样拼下去，m张餐桌可坐__________人．（用含有字母的式子表示）． 【答案】（1）2；（2）22；（3） （1）解：观察发现：每增加1张桌子，可坐人数就增加2人． （2）解：10张桌子拼在一起，相当于增加了 （张）桌子． （人） 因此如果10张餐桌拼在一起，一共可以坐22人． （3）解：人 因此按这样拼下去，m张餐桌可坐人． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26六年级下·上海·期末）下列各式中，不是代数式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：A.，是数与字母经过运算得到的式子，是代数式．故A项不符合题意． B.，单独一个字母属于代数式，是代数式．故B项不符合题意． C.，式子中含有等号，是等式，不是代数式．故项符合题意． D.，单独一个数属于代数式，是代数式．故D项不符合题意． 2．（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）万山悬崖泳池是网红打卡点．若泳池原有水20立方米，现打开进水管匀速进水，每小时进水立方米，小时后泳池中有水（　　）立方米． A． B．at C． D． 【答案】A 【分析】本题考查匀速进水问题．熟练掌握：总水量 = 原有水量 + 进水总量，进水总量 = 进水速度 × 时间，是解题的关键． 泳池总水量由原有水量和进水量组成，进水量为进水速率乘以时间． 解：∵原有水量为20立方米，进水速率为a立方米/小时，时间为t小时， ∴进水量为立方米， ∴总水量为立方米． 故选：A． 3．（25-26七年级上·江苏南通·期末）下表中x和y两个量成反比例关系，则“△”处应填（   ） x 4 △ y 6 3 A．1 B．2 C．8 D．24 【答案】C 【分析】本题考查反比例关系的定义，利用反比例关系中x与y的乘积为定值这一性质，先求出定值，再计算“△”处的数值即可． 解：∵x和y两个量成反比例关系 ∴x与y的乘积为定值 ∵当时， ∴定值为 ∵当时， ∴ 故选C 4．（2026·河北保定·二模）代数式的意义可以是（     ） A．与的和 B．与的差 C．个相加 D．个相乘 【答案】C 【分析】只需根据各选项描述写出对应代数式，与对比即可得到答案. 解：A选项：与的和对应代数式为，故A选项错误； B选项：与的差对应代数式为，故B选项错误； C选项：个相加对应代数式为，故C选项正确； D选项：个相乘对应代数式为，故D选项错误. 5．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）若，则代数式的值是（     ）． A．11 B．8 C．5 D．2 【答案】B 【分析】将代数式变形为含的整体，代入已知条件计算即可． 解：∵， ∴ ． 6．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】所有代数式都含字母，找出系数的变化规律，即可推出第个代数式． 解：∵第个代数式为，系数， 第个代数式为，系数， 第个代数式为，系数， 第个代数式为，系数， ……， ∴以此类推，第个代数式的系数为，即第个代数式是． 7．（24-25七年级上·山西大同·阶段检测）若，，且，则（     ） A．7 B．1 C．1或 D．7或 【答案】C 【分析】由得同号，结合绝对值的取值分两种情况计算． 解：， ； ， ； ， 同号， 故当，时，； 当，时，． 的值为或． 8．（26-27七年级上·江苏南京·开学考试）活动课上，小亮用火柴棒摆成了“小鱼”（如下图）．按照这样的规律摆下去，摆条“小鱼”需要火柴棒的根数是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查图形类规律探究，观察图形，第一个图形有根火柴，后一个图形比前一个图形多根火柴，进而求出摆条小鱼需要火柴棒的根数． 解：观察图形可知：第一个图形有根火柴，后一个图形比前一个图形多根火柴， ∴摆条小鱼需要火柴棒的根数为根． 9．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）我们规定一个新数“i”，使其满足 并进一步规定：一切有理数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有 则 值为（     ） A．i B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据给定规则可得的幂次以为周期循环，先计算每个连续项的和，再分组计算剩余项即可得到最终结果． 解：∵，，，，， ∴，，，，， ∴算式中的项以循环， ∵，， ∴ ． 10．（2026·贵州遵义·二模）杨辉三角是中国古代数学的杰出成果，比欧洲发现此规律早300多年，彰显了中国古代数学的辉煌成就．如图是杨辉三角的前几行．观察数字规律，第9行从左数第3个数字是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意补全杨辉三角形，即可求解． 解：如图所示： 第9行左起第3个数是28. （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25七年级上·上海·期中）用代数式表示：“的倍减去的差”是________． 【答案】 【分析】此题考查了列代数式，以及代数式的书写规范；根据题意先求倍数后求差，列出代数式，将带分数写成假分数的形式即可求解． 解：根据：的倍减去的差 ∴ 故答案为：． 12．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）今年11月1日湘潭地区早晚温差为，最高气温为，则最低气温为________． 【答案】 【分析】根据温差的定义，温差为最高气温与最低气温的差，变形即可得到最低气温的表达式． 解：∵ 温差 最高气温 最低气温，已知温差为，最高气温为， ∴ 最低气温 ． 13．（2026·河南南阳·一模）观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为___________． 【答案】 【分析】分别找出系数的变化规律和的指数的变化规律，总结得到一般规律即可求解． 解：第1个式子：， 第2个式子：， 第3个式子：， 第4个式子：， ∴第个式子：． 14．（25-26六年级下·上海·期末）如果，那么________． 【答案】 【分析】平方和绝对值均为非负数，若两个非负数的和为，则每个非负数都为，先求出和的值，再代入式子计算即可． 解：∵，，且， ∴，． 解得，． 将，代入， 得：． 15．（2026·四川成都·三模）任意给一个非零数x，若输入x的值为5，则输出的结果为_________ ． 【答案】 【分析】根据流程图可知，运算顺序为：输入后先减去，再将结果平方，最后乘以． 解：根据流程图，输出结果的代数式为 当时， 原式 ． 16．（2026·河南信阳·三模）下图所示图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中图①中有5颗棋子，图②中有8颗棋子，图③中有13颗棋子，图④中有20颗棋子……按照此规律排列下去，则图⑩中的棋子颗数为_____． 【答案】104 【分析】观察图形中棋子数量的变化，将每个图形的棋子数表示为序号的平方与常数4的和，归纳出第个图形的通项公式，代入进行计算即可． 解：图①中棋子数量为， 图②中棋子数量为， 图③中棋子数量为， 图④中棋子数量为， ， 由此规律可知，第个图形中棋子的数量为， 当时，棋子数量为． 17．（26-27七年级上·江苏南京·开学考试）数字游戏：第一步：取一个自然数，计算得；第二步：算出的各位数字之和得，计算得；第三步：算出的各位数字之和得，再计算得以此类推，___． 【答案】26 【分析】分别计算出，，，，，的值，观察规律，再计算即可． 解：根据题意有， ，， ，， ，， ，， ，， ，， …， 则该数列是以26，65，122这三个数循环出现， ∵， ∴． 18．（2025·江苏徐州·三模）如图，每个图案均由相同大小的圆和正三角形按规律排列，依照此规律，第n个图形中三角形的个数比圆的个数多 _____个．（由含n的代数式表示） 【答案】 解：每个图形可以看成是1个圆配3个正三角形，再额外加1个三角形，根据其规律，可求其值． 【分析】解：根据题意有， 第1个图形，圆的个数为：1；正三角形的个数为：； 第2个图形，圆的个数为：2；正三角形的个数为：； 第3个图形，圆的个数为：3；正三角形的个数为：； ……， 第n个图形，圆的个数为：n；正三角形的个数为：； 则， ∴第n个图形中三角形的个数比圆的个数多个． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（23-24八年级上·河北保定·期末）甲、乙两地间的公路全长千米，某人从甲地到乙地每小时走千米，用代数式表示： （1）此人从甲地到乙地需要走______小时； （2）如果每小时多走千米，此人从甲地到乙地需要走______小时；则此人从甲地到乙地少用______小时． 【答案】（1）；（2）； 【分析】本题考查了代数式的问题，列代数式关键是找到题目中的数量关系． （1）根据“时间路程速度”，列出代数式； （2）先求得加速后的速度，然后依据“时间路程速度”，列出代数式； 依据从“甲地到乙地少用的时间加速前所需时间加速后所需时间”列代数式． （1）解：此人从甲地到乙地所需时间为：小时， 故答案为：； （2）加速后，此人从甲地到乙地所需时间为：小时； 此人从甲地到乙地少用：小时； 故答案为：；． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级上·全国·课后作业）写出下列代数式的意义： （1）一个三角形的一边长是，该边上的高是，那么表示什么？ （2）汽车每小时行驶，那么表示什么？ 【答案】（1）的意义是三角形面积的倍；（2）表示汽车行驶所用的时间 【分析】本题考查了代数式所表示的实际意义，根据题意，正确得出整式的具体意义是解题的关键． （1）先根据三角形的面积公式得出：，然后乘以即可得出，进而得出答案； （2）行程问题中，时间=路程÷速度，由此得出． （1）解：由题意得，三角形的面积，， 所以的意义是三角形面积的倍； （2）解：汽车每小时行驶，则表示汽车行驶所用的时间． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·四川宜宾·期中）对于任意的两个有理数a、b，定义． （1）计算的结果； （2）计算的结果． 【答案】（1）30；（2） 【分析】（1）根据定义，代入求解即可； （2）根据定义，代入求解即可． （1）解：根据， 得 ； （2）解：根据， 得， ； 故； 22．（本小题满分10分）（25-26七年级上·河北衡水·期末）观察下列等式，回答问题． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … （1）按以上规律写出第6个等式： ； （2）若是正整数，请用含的代数式表示第个等式： ； （3）求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查用代数式表示运算规律，涉及有理数的混合运算，关键是观察等式中分母的变化规律并概括． （1）通过观察前4个等式，找到第个等式分母的两个数为和，代入即可写出第6个等式； （2）根据前几个等式的共性，用含的代数式表示出第个等式的分母及裂项形式； （3）利用裂项相消法，将每一项展开后，中间的项相互抵消，最后计算剩余的部分即可求出总和． （1）解：观察等式可知，第个等式的分母为两个连续奇数的乘积，即，当时，，， ； （2）解：由前个等式的规律可得，第个等式的分母为， ； （3）解： ． 23．（本小题满分10分）（24-25七年级上·浙江宁波·期中）求值： （1）已知，，且，求的值； （2）已知对于任意的x都成立，求的值． 【答案】（1）7或19；（2） 【分析】（1）首先化简绝对值得到，，然后根据分两种情况讨论，分别代入求解即可； （2）将代入即可求解． （1）解：∵， ∴， ∵ ∴当，时，； 当，时，； 综上所述，的值为7或19； （2）解：∵对于任意的x都成立 ∴当时，， ∴． 24．（本小题满分12分）（24-25七年级上·福建龙岩·期末）【综合与实践】 “好学小组”和“乐学小组”开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．他们利用边长为的正方形纸板设计成如图所示的甲、乙两种纸盒，甲种纸盒是无盖的纸盒，乙种纸盒是有盖的纸盒． 【动手操作】好学小组：根据图1方式制作一个甲种无盖的长方体盒子．方法是先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．乙乐学小组：根据图2方式制作一个乙种有盖的长方体纸盒．方法是先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来． 【问题解决】 （1）①无盖长方体纸盒的底面积为________（用含和的代数式表示）； ②有盖长方体纸盒的底面周长为________（用含和的代数式表示）． 【拓展探究】 （2）两小组探究发现：按照上面的制作方案，甲种纸盒的体积和乙种纸盒的体积的比与、取值无关．请你写出的值，并说明理由． 【实际应用】 （3）春节临近，杭城某纸箱厂，接到一笔订单，需要赶制长、宽、高分别为、、的有盖长方体盒子若干．为了降低成本，提高效率，厂方决定购买大小合适的长方形纸板，采用乙种纸盒的制作方案，并且一张纸板制作一个纸盒． ①请分别在图3、图4虚线框内画出两种不同的设计图，并标上相应的尺寸； ②求厂方采购的长方形纸板的最小面积． 【答案】（1）①；②；（2）解：，理由如下 依题意，得 ∴ ∴ （3）①两种不同的设计图如下 ② 【分析】本题主要考查列代数式，几何体的展开与折叠； （1）①根据题意得底面是正方形，得到边长为，根据面积公式列出代数式即可；②先表示出底面长方形的宽，再根据周长的公式列出代数式即可； （2）依题意，得到，，再求出比值即可； （3）根据两种不同的设计图分别求出长方形纸板的面积，进行比较即可求出． 解：（1）①底面是正方形，边长为， ∴面积为：； ②底面长方形的宽为： 底面周长为：． （2）略； （3）①略； ②图3中长方形纸板的面积为： 图4中长方形纸板的面积为： ∵ ∴厂方采购的长方形纸板的最小面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $