专题 2.10 有理数的运算 基础知识专项突破讲与练- 2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学讲义通过分类框架系统梳理有理数运算知识体系，将考点分为基本法则、基本运算、基本应用、综合运算、拓展培优五大板块，各板块明确定位如基础题零失分、综合题必考等，清晰呈现重难点分布与内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题如乘方易错辨析夯实运算能力，压轴题如非负数0+0模型培养推理意识，实际应用题强化模型意识。不同层次学生可针对性提升，教师能据此实施精准教学，助力单元复习高效开展。

专题 2.10 有理数的运算（全章常考点分类专题） 目录 一.考点梳理与题型精析 2 （一） 基本法则（常考辨析题型） 2 【题型 1】有理数符号法则辨析题 2 【题型 2】乘方易错形式辨析题 3 【题型 3】特殊数法则判断题 5 （二）基本运算（基础必考题型·零失分） 7 【题型 4】有理数加减运算（去括号类） 7 【题型 5】有理数乘除基础运算 9 【题型 6】简单乘方直接计算 10 【题型 7】科学记数法与近似数 12 （三）基本应用（实际应用题·固定考法） 13 【题型 8】温度、水位变化应用题 13 【题型 9】盈亏、收支应用题 16 【题型 10】运动、距离偏差应用题 18 （四）综合运算（期末核心大题·必考） 21 【题型 11】常规四级混合运算（无括号） 21 【题型 12】带括号混合运算 22 （五）拓展培优（压轴拉分题型） 25 【题型 13】乘法分配律简便运算（必考解答） 25 【题型 14】非负数0+0模型（填空压轴） 27 【题型 15】有理数复杂求值培优题 29 二、同步检测 35 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 35 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 40 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 43 一.考点梳理与题型精析 （一） 基本法则（常考辨析题型） 板块定位：选择、填空高频判断题，专攻符号、乘方易错辨析 【题型 1】有理数符号法则辨析题 常考考法：根据加减、乘除符号法则，判断式子正负、运算正误。 【例题1】（25-26七年级上·河南许昌·阶段检测）根据有理数加法法则，计算过程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数加法法则． 根据有理数加法法则，异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大绝对值减去较小绝对值，即可求解． 解：． 故选：B． 【变式1】（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）小明在计算时，误将“”看成了“”，从而算得结果是5，则正确的结果应是_______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法、一元一次方程的应用，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据题意可得，则可得，再代入计算即可得． 解：由题意得：， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（23-24七年级上·河北唐山·期中）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成计算．规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算．过程如图所示：    接力中，自己负责的一步正确的是（    ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．全都正确 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据有理数的运算法则计算后判断即可． 解：甲负责的计算结果，故甲计算错误； 乙负责的计算结果，故乙计算正确； 丙负责的计算结果，故丙计算正确； 故选：C． 【变式3】（24-25七年级上·河北石家庄·阶段检测）珍珍同学在计算“”时，做法如下： 珍珍同学对照答案后发现计算结果是错误的，则她出错的步骤是第______步（填序号），本题正确的结果应是___________．       （第①步）                       （第②步）              （第③步） 【答案】 ② 【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算，简便运算；掌握运算法则与运算顺序是解本题的关键，根据运算法则确定第②步计算错误，再按照减法运算法则正确的计算即可． 解：她出错的步骤是第②步， ； 故答案为：②，． 【题型 2】乘方易错形式辨析题 常考考法：区分(-a)ⁿ与-aⁿ的底数、符号、结果，全章最高频易错题。 【例题2】（25-26七年级上·河北沧州·期中）已知和，下列关于甲、乙二人的说法判断正确的是（    ） 甲：二者的底数不同； 乙：二者的计算结果相同． A．只有甲的说法正确 B．只有乙的说法正确 C．两人的说法都正确 D．两人的说法都不正确 【答案】A 【分析】本题考查乘方运算中底数的概念和运算顺序．的底数是3，而 的底数是 -3，因此底数不同；计算结果分别为和9，不同，即可得到答案． 解：，底数为3； ，底数为． 则甲的说法正确，乙的说法错误， 故选：A． 【变式1】（24-25七年级上·山东滨州·阶段检测）下列对于的理解，正确的是__________（填序号） ①6个相乘；②与6相乘；③2个6的积的相反数；④6与2相乘． 【答案】① 【分析】本题考查了有理数的幂的定义，了解乘方的意义是解答本题的关键，难度不大．根据幂的定义进行判断即可． 解：表示6个相乘，故①正确． 故答案为：①． 【变式2】（24-25六年级上·上海·阶段检测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘方运算，熟练掌握有理数的乘方运算是关键．根据有理数的乘方运算法则计算，即可判断答案． 解： A、 因为，所以选项 A错误，不合题意； B、 因为，所以选项 B错误，不合题意； C、计算正确，选项C符合题意； D、因为，所以选项D错误，不合题意． 故选：C． 【变式3】（24-25七年级上·江苏南京·期中）下列情景描述的结果与相符的是________（填写所有正确选项的序号） ①把一张报纸沿同一方向连续对折5次得到的后折痕条数； ②把一团和好的面，揉搓成一根长条后，连续拉扣5次得到的面条根数 ③细胞分裂时，由1个分裂成2个，由2个分裂成4个，以此类推，一个这样的细胞分裂5次形成的细胞个数． 【答案】②③/③② 【分析】根据题干叙述分别计算找出对折的次数与折痕的条数，拉扣的次数和面条的根数，分裂的次数和细胞个数的规律，判断是否符合规律即可． 解：①把一张报纸沿同一方向对折，对折一次有1条折痕，对折两次是3条折痕，以此类推，对折5次后有条折痕，不符合题意． ②把一团和好的面，揉搓成一根长条后，拉扣一次时有两根面条，两次有4根面条，以此类推，拉扣5次有根面条，符合题意． ③由题意可得，一个这样的细胞分裂5次形成细胞个数为个，符合题意． 故答案为②③． 【点拨】本题主要考查幂的应用，清楚理解幂的含义是解决本题的关键． 【题型 3】特殊数法则判断题 常考考法：考查0、1、-1的相反数、倒数、乘方特殊性质。 【例题3】（25-26七年级上·甘肃武威·期末）下列说法正确的是（    ） ①相反数等于它本身的数是0 ②绝对值等于它本身的数是正数 ③平方等于它本身的数是0或1 ④倒数等于它本身的数是1或 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】此题考查了相反数、绝对值、平方和倒数的定义．利用相反数、绝对值、平方和倒数的定义判断即可； 解：①相反数等于它本身的数是0，说法正确； ②绝对值等于它本身的数是正数和0，原说法错误； ③平方等于它本身的数是0或1，说法正确； ④倒数等于它本身的数是，说法正确； 则正确的是①③④． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级上·江苏·阶段检测）0的相反数是______；的倒数是______；______； 【答案】 0 2 【分析】本题考查了相反数，倒数，绝对值，据此相关性质进行逐项分析，即可作答． 解：0的相反数是0，的倒数是，， 故答案为：0，，2． 【变式2】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．绝对值一定是正数 B．相反数等于本身的数只有 C．倒数等于本身的数只有 D．负数的绝对值小于本身 【答案】B 【分析】本题根据绝对值、相反数、倒数的基本概念，逐一判断各选项正误即可． 解：对于A，的绝对值是，不是正数，故A错误，不符合题意； 对于B，若一个数的相反数等于它本身，满足，解得，相反数等于本身的数只有，故B正确，符合题意； 对于C，倒数等于本身的数有和，故C错误，不符合题意； 对于D，负数的绝对值是它的相反数，为正数，正数大于负数，因此负数的绝对值大于它本身，故D错误，不符合题意． 【变式3】（25-26七年级上·江苏南京·期末）当a，b满足___________，a，b互为相反数；当a，b满足___________，a，b互为倒数． 【答案】 解：根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，互为相反数的两个数和为，因此当，满足，，互为相反数． 根据倒数的定义：乘积为的两个数互为倒数，因此当，满足，，互为倒数． （二）基本运算（基础必考题型·零失分） 板块定位：纯基础计算题，月考、单元测送分题，必须满分 【题型 4】有理数加减运算（去括号类） 常考考法：含多重括号、正负混合加减，核心考查去括号变号规则。 【例题4】（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）计算下列各式． （1）； （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握有理数的加减运算法则． （1）先去括号，然后进行有理数加减运算即可； （2）利用有理数的加减混合运算法则计算即可． （1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】（25-26六年级上·山东淄博·期中）2减去的差，再加上，所得的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了有理数的加减法，先计算2减去的差，再加上，最后通分计算和． 解：∵ 2减去的差为：， ∴再加上：． 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·广东揭阳·期末）设是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，是最小的正整数，则______． 【答案】0 【分析】本题考查有理数的基本概念，包括最大的负整数、绝对值最小的有理数、最小的正整数，先确定的值，再代入计算即可． 解：∵是最大的负整数，∴； ∵是绝对值最小的有理数，∴； ∵是最小的正整数，∴； 将其代入，得； 故答案为：0． 【变式3】（25-26七年级上·湖北荆门·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，需要根据运算法则，先处理括号和负号，然后进行计算． （1）根据有理数的加减混合运算计算即可求解． （2）通过组合带分数和小数部分简化计算． （1）解： ； （2）解： ． 【题型 5】有理数乘除基础运算 常考考法：分数、整数混合乘除，重点考查符号判断。 【例题5】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握有理数的乘除法的运算法则是关键． （1）先确定符号，把除法变乘法，再根据乘法运算法则计算即可； （2）把带分数化为假分数，确定符号，把除法变乘法，再根据乘法运算法则计算即可． （1）解： ． （2）解： ． 【变式1】（25-26六年级上·山东淄博·期中）下面算式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题考查了有理数的混合运算，通过直接计算每个选项的表达式，判断其正确性． 解：A、，故错误； B、，故错误； C、，故正确． D、，故错误； 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除法运算，解决本题的关键是掌握运算法则. 根据有理数的乘除法运算，先将除法转化为乘法，再从左向右依次进行运算. 解：原式 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了有理数的乘除法，掌握有理数的乘除法法则是解决本题的关键． （1）将除法转化为乘法，利用乘法法则进行计算即可； （2）将除法转化为乘法，利用乘法法则进行计算即可. （1）解：原式． （2）解：原式． 【题型 6】简单乘方直接计算 常考考法：单独乘方运算，区分正负底数，规避基础符号错误。 【例题6】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了有理数的乘方，掌握有理数的乘方的运算法则是关键． （1）按照有理数的乘方运算法则计算即可． （2）按照有理数的乘方运算法则计算即可． （3）按照有理数的乘方运算法则计算即可． （1）解：． （2）解： （3）解： 【变式1】（26-27七年级上·江苏扬州·开学考试）在、、、中，负数的个数是（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 解：，是负数， ，不是负数， ，是负数， ，是负数， 综上，负数的个数是3个． 【变式2】（25-26六年级上·上海·期末）比较大小：______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的大小比较，根据乘方计算即可求值； 解：∵， ∴ 故答案为：. 【变式3】（25-26七年级上·安徽合肥·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键． 先计算乘方，再算乘除法，最后算加减法即可． 解：原式 【题型 7】科学记数法与近似数 【例题7】（2026年湖南省长沙市中考数学试题）长沙，正为湖南建设年轻人友好省份贡献坚实的省会力量，让“青春长沙”成为新时代最闪耀的名片．省市两级共设亿元创业投资基金，支持大学生创业，用科学记数法将数据表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 解：． 【变式1】（26-27七年级上·河南郑州·开学考试）【近似数】一个三位小数保留两位小数是，这个三位小数最大是________，最小是________． 【答案】 【分析】分两种情况讨论得到近似数的原数，四舍得到近似数时原数更大，五入得到近似数时原数更小，分别确定最大和最小的三位小数即可． 解：求保留两位小数得到的三位小数，分“四舍”和“五入”两种情况讨论： 若为“四舍”得到，说明千分位上的数小于，舍去后得到，千分位最大取， 因此最大的三位小数是， 若为“五入”得到，说明千分位上的数大于或等于，进后得到，原来的百分位为，千分位最小取， 因此最小的三位小数是． 【变式2】（2026·全国·模拟预测）是一款基于混合专家（）架构的大语言模型，它的参数量巨大，截至去年1月，的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的一般形式为（，n为整数），据此确定a的值以及n的值即可． 解：∵1亿， ∴亿． 【变式3】（25-26七年级上·广西·开学考试）（大数的读写）世界上最大的海洋是太平洋，包括属海的面积约是平方千米，这个数读作__________，改写成以“万”为单位的数是__________万，省略亿位后面的尾数约为__________亿． 【答案】 一亿八千一百三十四万 【分析】整数的读法：从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的都不读出来，其他数位连续几个都只读一个“零”．改写成用“万”作单位的数，就是把万位后面的个去掉，再在数的后面写上“万”字．省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字． 解：读作一亿八千一百三十四万；数中，万位上的数字为，去掉末尾的个为，所以改写成以“万”为单位的数是万；数中，亿位上数字为，千万位上的数为，满向前进，故亿． （三）基本应用（实际应用题·固定考法） 板块定位：文字应用题，依托正负数表示相反意义的量 【题型 8】温度、水位变化应用题 常考考法：上升、下降类连续变化运算。 【例题8】（23-24七年级上·河南南阳·期中）某地区高山上的温度从山脚处开始每升高100米气温大约降低．小王和小李计划用温差测量此高山的高度，当小王在山脚处测得温度是时，小李在山顶测得温度是． （1）这座山峰的高度大约是多少米？ （2）一般地，此地区比山脚高x米处的温度为______． 【答案】（1）米；（2） 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，列出代数式． （1）运用有理数的混合运算解应用题即可； （2）根据题意，列出代数式即可． （1）解：这座山峰的高度大约是米， 答：这座山峰的高度大约是米． （2）解：一般地，此地区比山脚高x米处的温度为， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）水文观测中，常遇到水位上升或下降的问题．我们规定：水位上升为正，水位下降为负；几天后为正，几天前为负．如果水位每天下降，今天的水位为，那么2天后的水位用算式表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的乘法，正数与负数，以及有理数的减法，根据题中的规定，列出正确的算式即可． 解：根据题意：2天后的水位用算式表示：． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·河南郑州·阶段检测）风寒效应是一种因风引起的体感温度较实际气温低的现象．从大量的科学实验中，人们找出了风速大小和体感温度的关系，当风速为时，体感温度T为，风速每增加，体感温度降低．若某时刻的体感温度为，那么此时的风速为 _______． 【答案】75 【分析】本题考查有理数的四则混合运算的应用，理解题意是解答的关键． 先根据题意，通过计算体感温度从降至的降低量，利用“风速每增加，体感温度降低”求风速即可． 解：由题意，体感温度降低量为． ∵风速每增加，体感温度降低， 故风速增加量为． 故答案为：75． 【变式3】（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）下表为某个雨季某地一条河流一周以来的水位变化情况．上周日水位为50米．（注：正数表示水位比前一天上升，负数表示比前一天下降） 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化/米 （1）本周哪一天水位最高，哪一天水位最低，最高水位是多少？ （2）本周日与上周日相比较，水位是上升了还是下降了？ 【答案】（1）本周星期二水位最高，星期一水位最低，最高水位是51米；（2）本周日与上周日相比较，水位是上升了 【分析】本题主要考查了有理数的加减法的实际应用，正负数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据表格中的数据求出这七天中每一天的水位即可得到答案； （2）用本周日的水位减去上周日的水位即可得到答案． （1）解：星期一的水位为米， 星期二的水位为米， 星期三的水位为米， 星期四的水位为米， 星期五的水位为米， 星期六的水位为米， 星期日的水位为米， 答：本周星期二水位最高，星期一水位最低，最高水位是51米； （2）解：米， 答：本周日与上周日相比较，水位是上升了． 【题型 9】盈亏、收支应用题 常考考法：盈利为正、亏损为负，计算最终盈亏情况。 【例题9】（24-25七年级上·河南南阳·期末）某文具店在一星期的销售中，盈亏情况如下表所示（记盈余为正，单位：元）： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 200 38 188 458 （1）表中星期五的盈亏数被墨水涂污了，请你算出星期五的盈亏数． （2）说明星期五是盈利还是亏损？盈亏是多少？ （3）请计算盈利最多的一天比亏损最多的一天多多少． 【答案】（1）；（2）亏了，亏了8元；（3）盈利最多的一天比亏损最多的一天多元 【分析】本题主要考查了有理数减法的应用，正负数的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出算式． （1）用总数减去另外6天的盈亏情况，得出答案即可； （2）根据解析（1）的计算结果进行判断即可； （3）根据表格中数据列式计算即可． （1）解： ， ∴星期五的盈亏数为； （2）解：由于是负数，故星期五亏了，亏了8元． （3）解：（元）． 答：盈利最多的一天比亏损最多的一天多元 【变式1】（25-26七年级上·湖北孝感·期末）手机移动支付给生活带来便捷．下图是小李某天微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小李当天微信收支的最终结果是（   ） A．支出元 B．收入元 C．收入元 D．支出元 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加法的应用，正负数的应用．将数据相加即可求解． 解：（元）． 即支出元． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级上·山西吕梁·期末）某文具店在某一星期的销售中，盈亏情况如下表所示（记盈余为正，单位：元） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 310 287.3 288.7 768 表中星期日的盈亏数被墨水污染了，请你算出星期日的盈亏数为________． 【答案】 【分析】本题考查的是正负数的应用，有理数加减混合运算，根据正负数的意义列式，再计算即可． 解： 元， 故答案为：． 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）萌萌帮家庭记录6个月的生活收支账目如表（用正数表示收入，用负数表示支出，单位：万元） 时间 1月 2月 3月 4月 5月 6月 收入 支出 （1）萌萌家月支出最大的是哪个月？ （2）萌萌家6个月的总收入和总支出各是多少万元？ （3）萌萌家平均每月的支出是多少万元？（精确到百分位） 【答案】（1）1月；（2）萌萌家6个月的总收入是万元，总支出是2万元；（3）万元 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加法运算，有理数的除法应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出每个月支出的绝对值，根据有理数的大小比较，可得答案； （2）根据有理数的加法运算，可得萌萌家6个月的总收入和总支出，即可作答． （3）根据有理数的除法，可得每月的支出是万元． （1）解：依题意，， ∵， ∴萌萌家月支出最大的是1月； （2）解：依题意，（万元），（万元）， 答：萌萌家6个月的总收入是万元，总支出是2万元； （3）解：由（2）得萌萌家6个月总支出是2万元 ∴（万元）， 答：萌萌家平均每月的支出是万元． 【题型 10】运动、距离偏差应用题 常考考法：正向、反向运动，记录位置变化。 【例题10】（24-25七年级上·湖北荆州·期末）小慧要把一篇社会调查报告录入电脑．完成录入的时间（分）与录入文字的速度（字/分）之间的关系如下表： 完成录入的时间t（分） 75 60 50 30 … 录入文字的速度v（字/分） 40 50 60 100 … （1）这篇社会调查报告共有多少字？ （2）完成录入的时间是怎样随着录入文字的速度的变化而变化的？ （3）用t表示完成录入的时间，用v表示录入文字的速度，用代数式表示t与v之间的关系，t与v成什么比例关系？ 【答案】（1）3000字；（2）完成录入的时间随着录入文字的速度变大而变小；（3），t与v成反比例关系 【分析】本题考查成反比例关系的量，熟练掌握成反比例关系的量的特征是解题的关键． （1）用录入文字的速度乘完成录入的时间即可得到答案； （2）根据表格中的数据即可得到完成录入的时间是怎样随着录入文字的速度的变化而变化的； （3）由于总字数一定，则完成录入的时间t与录入文字的速度v的乘积一定，为3000，则可知t与v成反比例关系． （1）解：， 即这篇社会调查报告共有3000字； （2）解：由表可知完成录入的时间随着录入文字的速度变大而变小； （3）解：∵总字数一定，为， ∴， ∴t与v成反比例关系． 【变式1】（25-26八年级上·河南周口·期末）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲的速度为，乙的速度为，经过2h两人相遇，则A、B两地的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相遇问题的路程计算，利用“总路程=速度和×相遇时间”的公式即可求解，关键是理解相向而行时两人的路程和等于两地距离. 解：∵甲的速度为，乙的速度为，两人相向而行经过相遇 ∴A、B两地的距离为两人行驶的路程之和 ∴距离. 【变式2】（24-25七年级下·山东威海·期末）在长跑比赛的冲刺阶段，小强位居小明前面．在离终点时，小强以的速度向终点冲刺．他身后的小明至少需以超过______的速度同时开始冲刺，方可在小强之前到达终点． 【答案】5 【分析】本题考查了行程问题，有理数的混合运算，理解数量关系是关键，根据行程的数量关系计算即可求解． 解：小强的时间为， 小明的路程为， ∴， ∴小明至少需以超过的速度同时开始冲刺，方可在小强之前到达终点， 故答案为：5 ． 【变式3】（25-26六年级上·上海松江·期中）为备战学校秋季运动会，小明记录了9月21日至25日每日跑步的距离，正数表示比前一天多跑的距离，负数表示比前一天少跑的距离．已知9月20日小明跑步1000米，具体每日距离变化如表： 日期 9月21日 9月22日 9月23日 9月24日 9月25日 距离变化/米 （1）小明在9月21日、22日各跑步多少米？ （2）小明在这5天的跑步练习中，跑步最多的一天是多少米？ （3）小明在这5天的跑步练习中，累计跑步多少米？ 【答案】（1）米；米；（2）米；（3）累计跑步米 【分析】本题考查正负数的应用，有理数加减运算解决实际问题，读懂题意，准确得到每天跑步距离是解决问题的关键． （1）按照每日距离变化表，直接计算即可得到答案； （2）按照每日距离变化表，直接计算这5天跑步距离即可得到答案； （3）由（2）中各天跑步距离直接求和即可得到答案． （1）解：9月21日：（米）， 9月22日：（米）， 答：小明在9月21日跑步米、22日跑步米； （2）解：9月21日：（米）， 9月22日：（米）， 9月23日：（米）， 9月24日：（米）， 9月25日：（米）， 9月25日是跑步最多的一天，是（米）； （3）解：由（2）中各天跑步距离可得，（米） 答：累计跑步米． （四）综合运算（期末核心大题·必考） 板块定位：解答题压轴基础，融合乘方、乘除、加减、括号，必考题型 【题型 11】常规四级混合运算（无括号） 常考考法：先乘方、再乘除、最后加减，标准运算顺序考查。 【例题11】（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算． （1）先计算乘除法，再计算减法即可； （2）先计算乘除法，再计算加法即可． （1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】（23-24七年级上·重庆永川·阶段检测）计算的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，熟练掌握含乘方的有理数混合运算是解题的关键；按照运算顺序，先计算乘方，再计算乘法，最后计算减法，注意负数的运算规则，进而问题可求解． 解：， 故选D． 【变式2】（2026·安徽宣城·一模）计算：_____． 【答案】 解：． 【变式3】（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）计算 （1） （2） 【答案】（1）4；（2） 【分析】（1）先计算乘方，再利用乘法分配律计算即可； （2）先计算乘方、小括号内的减法，再计算括号内的减法，然后计算乘法，最后计算减法即可． （1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【题型 12】带括号混合运算 常考考法：含小括号、分数混合运算，分步计算规范答题。 【例题12】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）计算： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） （1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）要使算式的计算结果最大，则在“”里填入的运算符号应是（   ） A．+ B．－ C． D．÷ 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 先计算和的值，然后分别代入四种运算，比较结果大小，最大结果对应的运算符号即为答案． 解：，， 则算式为． 分别计算：，，，， ∵， ∴计算结果最大为， 对应运算符号为． 故选：D． 【变式2】（2026·黑龙江绥化·三模）计算：_______． 【答案】 解： ． 【变式3】（26-27六年级·上海·小升初衔接）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用乘法运算律计算即可得出结果； （2）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减即可得出结果． （1）解： ； （2）解： ． （五）拓展培优（压轴拉分题型） 板块定位：单元、月考拔高题，突破满分瓶颈 【题型 13】乘法分配律简便运算（必考解答） 常考考法：整数分配、负数分配、分数分配简便计算。 【例题13】（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） （1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘法法则，根据乘法分配律的逆运算解答即可． 解：， 故选：A． 【变式2】（24-25六年级上·上海·阶段检测）规定，如果，则___________ 【答案】/ 【分析】本题主要考查有理数的运算，根据定义计算和的值，代入方程后通过通分和约分求解b． 解：由定义，， 则， ． 代入方程：， 即， 则． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·山西吕梁·期末）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） （1）解： ； （2）解： ． 【题型 14】非负数0+0模型（填空压轴） 常考考法：绝对值+平方双非负性，和为0则各项为0，求代数式的值。 【例题14】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）（1）列式并计算：差是，被减数是，求减数： （2）如果，求的值． 【答案】（1）减数为60；（2）124 【分析】本题主要考查有理数的减法运算、绝对值与偶次幂的非负性及代数式的值，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）根据有理数的减法运算可进行求解； （2）由题意易得，然后代值进行求解即可． 解：（1）由题意得：； 故减数为60； （2）∵，且， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26七年级上·河北承德·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求代数式的值，解决本题的关键是利用非负数的性质求出字母的值．根据非负数的性质，平方项和绝对值项均为非负数，它们的和为零，则每个项必须为零，求出、，再把字母的值代入代数式中求值． 解：，且 ，， 且 ， ，即， ，即， ． 故选：B． 【变式2】（24-25九年级下·内蒙古赤峰·期中）按如图所示的程序计算，当输入的有理数m，n满足时，y的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查程序流程图与代数式求值，非负性，根据非负性求出的值，根据流程图将的值代入关系式进行计算即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·河北唐山·期中）如果． （1）求x，y的值． （2）求的值． 【答案】（1），；（2）8 【分析】本题考查了偶次方和绝对值的非负性、代数式求值，熟练掌握偶次方和绝对值的非负性是解题关键． （1）根据偶次方和绝对值的非负性可得，由此即可得； （2）将的值代入，先计算括号内的加法、乘方，再计算乘方，最后计算加法即可得． （1）解：∵，且， ∴， ∴，． （2）解：由（1）已得：，， ∴ ． 【题型 15】有理数复杂求值培优题 常考考法：先化简、后代入，结合乘方、绝对值综合求值。 【例题15】（25-26七年级上·山东德州·期中）计算 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】（1）利用加法交换律和结合律简化运算； （2）利用加法交换律和结合律简化运算； （3）先将带分数化为假分数，再按有理数乘除法则计算； （4）先通分计算括号内的运算，再计算乘法； （5）将带分数拆分后简化计算； （6）按先算括号内，再算乘除，最后算加减的顺序计算． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； 【变式1】（24-25七年级上·广东揭阳·期中）如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序，第一次计算输出的结果是，第二次计算输出的结果是，…，这样下去，第次计算输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字的变化规律，通过计算探索出输出结果的循环规律是解题的关键； 通过计算发现，每次输出的结果循环出现，则可知第次计算输出的结果与第次计算输出的结果相同，由此求解即可． 解：第一次计算输出的结果是， 第二次计算输出的结果是， 第三次计算输出的结果是， 第四次计算输出的结果是， 第五次计算输出的结果是， 第六次计算输出的结果是， 第七次计算输出的结果是， 第八次计算输出的结果是， 第九次计算输出的结果是， 第十次计算输出的结果是，…， ∴从第二次开始，每次输出的结果循环出现， ， ∴第次计算输出的结果是， 故选：A． 【变式2】（25-26七年级上·湖南·期末）观察等式：，，，将这三个等式两边分别相加得． 计算______． 【答案】 【分析】本题考查了裂项相消法求和，关键是仿照题干将每一项进行拆分；通过观察分母为连续奇数的乘积，将每一项拆分为差的形式，利用裂项相消法求和． 解： ． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·山东青岛·开学考试）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12） （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ； （9）解： ； （10）解： ； （11）解： ； （12）解： ． 二、同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026九年级·吉林·专题练习）在“”的“□”里填入“”“”“”“”运算符号中的一个，使计算结果最小的运算符号是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的运算，有理数的大小比较，正确计算是解题的关键． 分别计算填入四种运算符号后的结果，比较大小即可得到使结果最小的运算符号． 解：依次计算四种情况的结果： 填入时，. 填入时，. 填入时，. 填入时，. 比较大小得 . 因此计算结果最小的运算符号是， 故选：A． 2．（25-26七年级上·福建漳州·阶段检测）应用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和加法结合律 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法运算律，解题的关键在于掌握加法的交换律和结合律． 先根据加法的交换律，加法的结合律等知识点进行判断，即可得出答案． 解：应用了加法交换律和加法结合律． 故选：C 3．（21-22七年级上·四川宜宾·阶段检测）在同一数轴上，点表示的数是2，又知点与点相距3个单位长度，则点所表示的数是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，需分情况讨论点的位置，避免漏解． 解：点表示数，点与点相距个单位长度， ∴分两种情况讨论： 当点在点的右侧时， 点表示的数为； 当点在点的左侧时， 点表示的数为； 点表示的数是或． 4．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）如图，在数轴上的点A、B对应的有理数分别为a、b，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在数轴原点左侧的数为负数，在数轴原点右侧的数为正数；数轴上的点到原点的距离表示该数的绝对值；A选项用有理数加法法则判断，B选项用有理数减法法则判断，C选项用有理数乘法法则判断． 解：由图可知：，，，故选项D符合题意； ，异号相加，取绝对值大的符号，即，故选项A不符合题意； ，减去一个数等于加上这个数的相反数，即，，负数加负数等于负数，，故选项B不符合题意； ，负数乘正数等于负数，，故选项C不符合题意． 5．（25-26七年级上·河南郑州·期中）暑期爆红网络的《黑神话：悟空》取材于中国四大名著之一、吴承恩所著长篇小说《西游记》．原版《西游记》字数约为万，“万”用科学记数法可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：万. 6．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）与绝对值等于的数的和等于（     ） A． B．1 C． D．或1 【答案】D 【分析】需注意绝对值等于的数有两个，分两种情况计算和. 解：∵绝对值等于的数是或， ∴当这个数为时，； 当这个数为时，， ∴所求的和为或. 7．（22-23七年级上·浙江杭州·开学考试）运算结果大于1的选项是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分数与小数的四则运算及数的大小比较，依次计算各选项的运算结果，将结果与1比较大小即可得到答案． 解：选项A：，， A不符合要求， 选项B：，， B不符合要求， 选项C：， ，， C符合要求， 选项D：，， D不符合要求． 8．（25-26七年级上·河南新乡·阶段检测）如图所示，在单位长度为1的数轴上，点A、B表示的数分别为，且，则的倒数为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，绝对值的概念，倒数，熟知不同的数的绝对值相等，则这两个数互为相反数是解题的关键． 由题意可得互为相反数，则可得，，代入即可解答． 解：， 互为相反数， 由图可得，， ， 的倒数为， 故选：C． 9．（25-26七年级上·山东临沂·期中）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，爱思考的小明利用这个方法，在练习本上从上往下依次每行画上〇，满八进一，用来记录一个月做数学计算题的数量．若小明做了148道计算题，则画出的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了进制之间的转换，含乘方的有理数的混合运算，解题的关键是理解题目中的进制． 根据进制转换法则，列出算式求解即可． 解：， ∴对应的是选项B中的图形， 故选：B． 10．（25-26七年级上·河南洛阳·阶段检测）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入x的值是6时，根据程序，第一次计算输出的结果是3，第二次计算输出的结果是，…，这样下去第2 026次计算输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据程序框图计算出前9个数，从而得出这列数除前2个数外，每4个数为一个周期的规律．先根据程序框图计算出前9个数，从而得出这列数除前1个数外，每4个数为一个周期，据此求解可得． 解：由题意知，第1次输出的结果为3，第2次输出的结果为， 第3次输出的结果为，第4次输出的结果为， 第5次输出的结果为，第6次输出的结果为， 第7次输出的结果为，第8次输出的结果为， 第9次输出的结果为，… 这列数除前1个数外，每4个数为一个周期， ∵， ∴第次计算输出的结果是， 故选：D． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·浙江杭州·一模）计算：________． 【答案】 解： 12．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）某地某天早晨的气温是，中午的气温比早晨的气温高，夜间的气温比中午的气温低，则这天夜间的气温是________． 【答案】 【分析】本题考查有理数运算的应用，熟练掌握有理数运算法则是解题的关键． 根据气温变化条件，先计算中午气温，再计算夜间气温即可． 解：早晨气温为，中午气温比早晨高， 因此中午气温为， 夜间气温比中午低， 因此夜间气温为， 故答案为：． 13．（25-26七年级上·山东菏泽·期中）_________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘法运算，需先确定积的符号，再计算数值部分，因式中有三个负因数，故结果为负，数值部分通过分数乘法约分简化后结果为1，因此最终结果为． 解： ， 故答案为：． 14．（25-26七年级上·全国·期末）计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 将除法转化为乘法，带分数化为假分数，再通过约分计算． 解：原式 ， 故答案为：． 15．（24-25九年级下·上海静安·阶段检测）某公司开发了一款先进的人工智能模型，其训练参数量达到175亿个，将该数值用科学记数法为_____个（保留两位有效数字） 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，有效数字从左边第一个非数字起开始计数，按要求保留位数即可． 解：175亿． 16．（25-26七年级下·重庆·自主招生）公元2025年11月25日，长征二号F运载火箭在酒泉卫星发射中心完成中国载人航天工程首次应急发射，为纪念其在航天的伟大进步，我们在小数加两个循环点，能得到最小循环小数，则这两个循环点的数字之和是________． 【答案】8 【分析】根据循环小数的定义进行求解即可． 解：由题意得，第二个循环点必然是小数最后一位数字， ∵要使得到的循环小数最小，应使循环节的起始数字尽可能小， ∴将第一个循环点放在数字上，得到的循环小数最小，即， ∴二者之和为． 17．（25-26七年级上·广东中山·期中）材料：一般地，n个相同因数a相乘：记为，如，此时，3叫做以2为底的8的对数，记为（即）．那么，_____． 【答案】 【分析】本题考查新定义，根据对数的定义，先求出和的值，然后代入表达式进行计算即可． 解：由对数的定义可知： ， ； ， ． 代入原式： 故答案为：. 18．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）如图，从六块木牌中任选三块木牌上的数字，先做乘法运算，再做减法，结果记作．那么的最大值为______． 【答案】7 【分析】本题主要考查了有理数的运算. 利用有理数的运算法则解答即可． 解：∵各数中，的绝对值最大，、其次， ∴求最大的数应用， ∵再做减法， ∴应减去负数， 最大， 的最大值为． 故答案为：． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级上·福建泉州·阶段检测）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）1；（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确计算是解题的关键． （1）按照有理数加减运算法则计算； （2）先算乘方、绝对值，再算乘法，最后算加减． （1）解：， ， ， ， ； （2）解：原式， ， ． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级上·全国·期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）7；（2） 【分析】本题考查有理数的混合运算，乘法分配律及其逆应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先用分配律将分别与括号内的四个分数相乘，再进行加法运算； （2）将除法转化为乘法，用乘法分配律的逆应用进行运算． （1）解： ； （2）解： ． 21．（本小题满分10分）（24-25七年级上·福建莆田·期中）计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10000转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法． （1）根据以上信息，将二进制数“1011”转化为十进制数． （2）中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果数量．请计算采集到的野果数量． 【答案】（1）11；（2）采集到的野果数量为个 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用，解的关键是： （1）根据题意写成，进而进行计算即可求解； （2）由于满五进一，类似于五进制数，转化为十进制数为：，进而计算即可求解． （1）解：1011转化为十进制数是： ； （2）解：由于满五进一，类似于五进制数，转化为十进制数为： ． 答：采集到的野果数量为个． 22．（本小题满分10分）（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）计算： （1） （2） （3） （4） （5） 【答案】（1）；（2）2；（3）6；（4）；（5） （1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）盲盒是指消费者无法提前得知具体产品款式的包装商品，受到年轻消费者的青睐．某商店购进一批盲盒，进价为每个元；为合理定价，前五天试行机动价格，售出时以每个元为标准价格，超出元的部分记为正，不足元的部分记为负，该店记录的前五天盲盒的售价与标准价的差值和售出数量（共计个）如下表所示： 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 售价相对于标准价（元/个） 售出数量（个） 20 35 10 15 5 （1）该店前五天出售的这批盲盒中，单价最高的是第________天，最高单价为________元/个，最高单价比最低单价多________元/个； （2）以标准价格为准，前五天这个盲盒的售价总计超过或不足多少元？ （3）不考虑其他成本，求出前五天该店出售这批盲盒的总利润． 【答案】（1）；；；（2）前五天这个盲盒的售价总计不足元；（3）前五天该店出售这批盲盒的总利润为元 【分析】（1）根据以每个25元为标准价格，通过表格直接计算每天的商品售价，并比较确定单价最高的天数； （2）计算每天售价偏差带来的总金额变化：每天偏差当天销量，将5天的金额变化相加，结果为负表示不足标准总价； （3）计算总进价：进价总销量，计算总售价：标准价总销量偏差总和，总利润：总售价总进价． （1）解：第天：（元）， 第天：（元）， 第天：（元）， 第天：（元）， 第天：（元）， ，， 单价最高的是第天，最高单价为元/个，最高单价比最低单价多元/个； （2）解：第天：（元）， 第天：（元）， 第天：（元）， 第天：（元）， 第天：（元）， （元）， 前五天这个盲盒的售价总计不足元． （3）解：总进价：（元）， 总售价：（元）， 总利润：（元）， 前五天该店出售这批盲盒的总利润为元． 24．（本小题满分12分）（24-25七年级上·福建厦门·期中）观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你仔细观察，开动脑筋，解答下列问题 ①； ②； ③； （1）按以上规律，第④个等式为：________；第个等式为：________（用含的式子表示，为正整数）； （2）按此规律，计算的值； （3）探究计算：的值． 【答案】（1）；；；（2）；（3） 【分析】（）根据已给三个等式反映出的规律写出第④个等式，第个等式即可； （）利用（）的规律分别将每个分数写出差的形式，再计算即可； （）找出两个连续奇数乘积的倒数与两个奇数的倒数间的关系，再利用这种关系对每个分数进行变形，并计算即可； 本题考查了数字变化类规律探究，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，找出规律． （1）解：由规律可得，第④个等式为；第个等式为； 故答案为：；； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.10 有理数的运算（全章常考点分类专题） 目录 一.考点梳理与题型精析 2 （一） 基本法则（常考辨析题型） 2 【题型 1】有理数符号法则辨析题 2 【题型 2】乘方易错形式辨析题 2 【题型 3】特殊数法则判断题 3 （二）基本运算（基础必考题型·零失分） 4 【题型 4】有理数加减运算（去括号类） 4 【题型 5】有理数乘除基础运算 4 【题型 6】简单乘方直接计算 5 【题型 7】科学记数法与近似数 5 （三）基本应用（实际应用题·固定考法） 5 【题型 8】温度、水位变化应用题 5 【题型 9】盈亏、收支应用题 6 【题型 10】运动、距离偏差应用题 7 （四）综合运算（期末核心大题·必考） 8 【题型 11】常规四级混合运算（无括号） 8 【题型 12】带括号混合运算 9 （五）拓展培优（压轴拉分题型） 9 【题型 13】乘法分配律简便运算（必考解答） 9 【题型 14】非负数0+0模型（填空压轴） 10 【题型 15】有理数复杂求值培优题 10 二、同步检测 11 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 11 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 13 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 14 一.考点梳理与题型精析 （一） 基本法则（常考辨析题型） 板块定位：选择、填空高频判断题，专攻符号、乘方易错辨析 【题型 1】有理数符号法则辨析题 常考考法：根据加减、乘除符号法则，判断式子正负、运算正误。 【例题1】（25-26七年级上·河南许昌·阶段检测）根据有理数加法法则，计算过程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）小明在计算时，误将“”看成了“”，从而算得结果是5，则正确的结果应是_______． 【变式2】（23-24七年级上·河北唐山·期中）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成计算．规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算．过程如图所示：    接力中，自己负责的一步正确的是（    ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．全都正确 【变式3】（24-25七年级上·河北石家庄·阶段检测）珍珍同学在计算“”时，做法如下： 珍珍同学对照答案后发现计算结果是错误的，则她出错的步骤是第______步（填序号），本题正确的结果应是___________．       （第①步）                       （第②步）              （第③步） 【题型 2】乘方易错形式辨析题 常考考法：区分(-a)ⁿ与-aⁿ的底数、符号、结果，全章最高频易错题。 【例题2】（25-26七年级上·河北沧州·期中）已知和，下列关于甲、乙二人的说法判断正确的是（    ） 甲：二者的底数不同； 乙：二者的计算结果相同． A．只有甲的说法正确 B．只有乙的说法正确 C．两人的说法都正确 D．两人的说法都不正确 【变式1】（24-25七年级上·山东滨州·阶段检测）下列对于的理解，正确的是__________（填序号） ①6个相乘；②与6相乘；③2个6的积的相反数；④6与2相乘． 【变式2】（24-25六年级上·上海·阶段检测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级上·江苏南京·期中）下列情景描述的结果与相符的是________（填写所有正确选项的序号） ①把一张报纸沿同一方向连续对折5次得到的后折痕条数； ②把一团和好的面，揉搓成一根长条后，连续拉扣5次得到的面条根数 ③细胞分裂时，由1个分裂成2个，由2个分裂成4个，以此类推，一个这样的细胞分裂5次形成的细胞个数． 【题型 3】特殊数法则判断题 常考考法：考查0、1、-1的相反数、倒数、乘方特殊性质。 【例题3】（25-26七年级上·甘肃武威·期末）下列说法正确的是（    ） ①相反数等于它本身的数是0 ②绝对值等于它本身的数是正数 ③平方等于它本身的数是0或1 ④倒数等于它本身的数是1或 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式1】（24-25七年级上·江苏·阶段检测）0的相反数是______；的倒数是______；______； 【变式2】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．绝对值一定是正数 B．相反数等于本身的数只有 C．倒数等于本身的数只有 D．负数的绝对值小于本身 【变式3】（25-26七年级上·江苏南京·期末）当a，b满足___________，a，b互为相反数；当a，b满足___________，a，b互为倒数． （二）基本运算（基础必考题型·零失分） 板块定位：纯基础计算题，月考、单元测送分题，必须满分 【题型 4】有理数加减运算（去括号类） 常考考法：含多重括号、正负混合加减，核心考查去括号变号规则。 【例题4】（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）计算下列各式． （1）； （2） 【变式1】（25-26六年级上·山东淄博·期中）2减去的差，再加上，所得的和为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·广东揭阳·期末）设是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，是最小的正整数，则______． 【变式3】（25-26七年级上·湖北荆门·期中）计算： （1）； （2）． 【题型 5】有理数乘除基础运算 常考考法：分数、整数混合乘除，重点考查符号判断。 【例题5】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【变式1】（25-26六年级上·山东淄博·期中）下面算式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算：________． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）． （2）． 【题型 6】简单乘方直接计算 常考考法：单独乘方运算，区分正负底数，规避基础符号错误。 【例题6】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）． 【变式1】（26-27七年级上·江苏扬州·开学考试）在、、、中，负数的个数是（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式2】（25-26六年级上·上海·期末）比较大小：______． 【变式3】（25-26七年级上·安徽合肥·期中）计算： 【题型 7】科学记数法与近似数 【例题7】（2026年湖南省长沙市中考数学试题）长沙，正为湖南建设年轻人友好省份贡献坚实的省会力量，让“青春长沙”成为新时代最闪耀的名片．省市两级共设亿元创业投资基金，支持大学生创业，用科学记数法将数据表示为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27七年级上·河南郑州·开学考试）【近似数】一个三位小数保留两位小数是，这个三位小数最大是________，最小是________． 【变式2】（2026·全国·模拟预测）是一款基于混合专家（）架构的大语言模型，它的参数量巨大，截至去年1月，的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级上·广西·开学考试）（大数的读写）世界上最大的海洋是太平洋，包括属海的面积约是平方千米，这个数读作__________，改写成以“万”为单位的数是__________万，省略亿位后面的尾数约为__________亿． （三）基本应用（实际应用题·固定考法） 板块定位：文字应用题，依托正负数表示相反意义的量 【题型 8】温度、水位变化应用题 常考考法：上升、下降类连续变化运算。 【例题8】（23-24七年级上·河南南阳·期中）某地区高山上的温度从山脚处开始每升高100米气温大约降低．小王和小李计划用温差测量此高山的高度，当小王在山脚处测得温度是时，小李在山顶测得温度是． （1）这座山峰的高度大约是多少米？ （2）一般地，此地区比山脚高x米处的温度为______． 【变式1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）水文观测中，常遇到水位上升或下降的问题．我们规定：水位上升为正，水位下降为负；几天后为正，几天前为负．如果水位每天下降，今天的水位为，那么2天后的水位用算式表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·河南郑州·阶段检测）风寒效应是一种因风引起的体感温度较实际气温低的现象．从大量的科学实验中，人们找出了风速大小和体感温度的关系，当风速为时，体感温度T为，风速每增加，体感温度降低．若某时刻的体感温度为，那么此时的风速为 _______． 【变式3】（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）下表为某个雨季某地一条河流一周以来的水位变化情况．上周日水位为50米．（注：正数表示水位比前一天上升，负数表示比前一天下降） 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化/米 （1）本周哪一天水位最高，哪一天水位最低，最高水位是多少？ （2）本周日与上周日相比较，水位是上升了还是下降了？ 【题型 9】盈亏、收支应用题 常考考法：盈利为正、亏损为负，计算最终盈亏情况。 【例题9】（24-25七年级上·河南南阳·期末）某文具店在一星期的销售中，盈亏情况如下表所示（记盈余为正，单位：元）： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 200 38 188 458 （1）表中星期五的盈亏数被墨水涂污了，请你算出星期五的盈亏数． （2）说明星期五是盈利还是亏损？盈亏是多少？ （3）请计算盈利最多的一天比亏损最多的一天多多少． 【变式1】（25-26七年级上·湖北孝感·期末）手机移动支付给生活带来便捷．下图是小李某天微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小李当天微信收支的最终结果是（   ） A．支出元 B．收入元 C．收入元 D．支出元 【变式2】（24-25七年级上·山西吕梁·期末）某文具店在某一星期的销售中，盈亏情况如下表所示（记盈余为正，单位：元） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 310 287.3 288.7 768 表中星期日的盈亏数被墨水污染了，请你算出星期日的盈亏数为________． 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）萌萌帮家庭记录6个月的生活收支账目如表（用正数表示收入，用负数表示支出，单位：万元） 时间 1月 2月 3月 4月 5月 6月 收入 支出 （1）萌萌家月支出最大的是哪个月？ （2）萌萌家6个月的总收入和总支出各是多少万元？ （3）萌萌家平均每月的支出是多少万元？（精确到百分位） 【题型 10】运动、距离偏差应用题 常考考法：正向、反向运动，记录位置变化。 【例题10】（24-25七年级上·湖北荆州·期末）小慧要把一篇社会调查报告录入电脑．完成录入的时间（分）与录入文字的速度（字/分）之间的关系如下表： 完成录入的时间t（分） 75 60 50 30 … 录入文字的速度v（字/分） 40 50 60 100 … （1）这篇社会调查报告共有多少字？ （2）完成录入的时间是怎样随着录入文字的速度的变化而变化的？ （3）用t表示完成录入的时间，用v表示录入文字的速度，用代数式表示t与v之间的关系，t与v成什么比例关系？ 【变式1】（25-26八年级上·河南周口·期末）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲的速度为，乙的速度为，经过2h两人相遇，则A、B两地的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·山东威海·期末）在长跑比赛的冲刺阶段，小强位居小明前面．在离终点时，小强以的速度向终点冲刺．他身后的小明至少需以超过______的速度同时开始冲刺，方可在小强之前到达终点． 【变式3】（25-26六年级上·上海松江·期中）为备战学校秋季运动会，小明记录了9月21日至25日每日跑步的距离，正数表示比前一天多跑的距离，负数表示比前一天少跑的距离．已知9月20日小明跑步1000米，具体每日距离变化如表： 日期 9月21日 9月22日 9月23日 9月24日 9月25日 距离变化/米 （1）小明在9月21日、22日各跑步多少米？ （2）小明在这5天的跑步练习中，跑步最多的一天是多少米？ （3）小明在这5天的跑步练习中，累计跑步多少米？ （四）综合运算（期末核心大题·必考） 板块定位：解答题压轴基础，融合乘方、乘除、加减、括号，必考题型 【题型 11】常规四级混合运算（无括号） 常考考法：先乘方、再乘除、最后加减，标准运算顺序考查。 【例题11】（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）计算： （1）； （2）． 【变式1】（23-24七年级上·重庆永川·阶段检测）计算的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·安徽宣城·一模）计算：_____． 【变式3】（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）计算 （1） （2） 【题型 12】带括号混合运算 常考考法：含小括号、分数混合运算，分步计算规范答题。 【例题12】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）计算： （1）． （2）． 【变式1】（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）要使算式的计算结果最大，则在“”里填入的运算符号应是（   ） A．+ B．－ C． D．÷ 【变式2】（2026·黑龙江绥化·三模）计算：_______． 【变式3】（26-27六年级·上海·小升初衔接）计算： （1）； （2）． （五）拓展培优（压轴拉分题型） 板块定位：单元、月考拔高题，突破满分瓶颈 【题型 13】乘法分配律简便运算（必考解答） 常考考法：整数分配、负数分配、分数分配简便计算。 【例题13】（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C．0 D． 【变式2】（24-25六年级上·上海·阶段检测）规定，如果，则___________ 【变式3】（25-26七年级上·山西吕梁·期末）计算： （1） （2） 【题型 14】非负数0+0模型（填空压轴） 常考考法：绝对值+平方双非负性，和为0则各项为0，求代数式的值。 【例题14】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）（1）列式并计算：差是，被减数是，求减数： （2）如果，求的值． 【变式1】（25-26七年级上·河北承德·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·内蒙古赤峰·期中）按如图所示的程序计算，当输入的有理数m，n满足时，y的值为_________． 【变式3】（25-26七年级上·河北唐山·期中）如果． （1）求x，y的值． （2）求的值． 【题型 15】有理数复杂求值培优题 常考考法：先化简、后代入，结合乘方、绝对值综合求值。 【例题15】（25-26七年级上·山东德州·期中）计算 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【变式1】（24-25七年级上·广东揭阳·期中）如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序，第一次计算输出的结果是，第二次计算输出的结果是，…，这样下去，第次计算输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·湖南·期末）观察等式：，，，将这三个等式两边分别相加得． 计算______． 【变式3】（24-25七年级上·山东青岛·开学考试）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）． 二、同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026九年级·吉林·专题练习）在“”的“□”里填入“”“”“”“”运算符号中的一个，使计算结果最小的运算符号是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·福建漳州·阶段检测）应用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和加法结合律 D．以上都不对 3．（21-22七年级上·四川宜宾·阶段检测）在同一数轴上，点表示的数是2，又知点与点相距3个单位长度，则点所表示的数是（     ） A． B． C．或 D．或 4．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）如图，在数轴上的点A、B对应的有理数分别为a、b，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·河南郑州·期中）暑期爆红网络的《黑神话：悟空》取材于中国四大名著之一、吴承恩所著长篇小说《西游记》．原版《西游记》字数约为万，“万”用科学记数法可表示为（     ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）与绝对值等于的数的和等于（     ） A． B．1 C． D．或1 7．（22-23七年级上·浙江杭州·开学考试）运算结果大于1的选项是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·河南新乡·阶段检测）如图所示，在单位长度为1的数轴上，点A、B表示的数分别为，且，则的倒数为（    ） A．4 B． C． D． 9．（25-26七年级上·山东临沂·期中）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，爱思考的小明利用这个方法，在练习本上从上往下依次每行画上〇，满八进一，用来记录一个月做数学计算题的数量．若小明做了148道计算题，则画出的图形是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级上·河南洛阳·阶段检测）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入x的值是6时，根据程序，第一次计算输出的结果是3，第二次计算输出的结果是，…，这样下去第2 026次计算输出的结果是（    ） A． B． C． D． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·浙江杭州·一模）计算：________． 12．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）某地某天早晨的气温是，中午的气温比早晨的气温高，夜间的气温比中午的气温低，则这天夜间的气温是________． 13．（25-26七年级上·山东菏泽·期中）_________． 14．（25-26七年级上·全国·期末）计算：__________． 15．（24-25九年级下·上海静安·阶段检测）某公司开发了一款先进的人工智能模型，其训练参数量达到175亿个，将该数值用科学记数法为_____个（保留两位有效数字） 16．（25-26七年级下·重庆·自主招生）公元2025年11月25日，长征二号F运载火箭在酒泉卫星发射中心完成中国载人航天工程首次应急发射，为纪念其在航天的伟大进步，我们在小数加两个循环点，能得到最小循环小数，则这两个循环点的数字之和是________． 17．（25-26七年级上·广东中山·期中）材料：一般地，n个相同因数a相乘：记为，如，此时，3叫做以2为底的8的对数，记为（即）．那么，_____． 18．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）如图，从六块木牌中任选三块木牌上的数字，先做乘法运算，再做减法，结果记作．那么的最大值为______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级上·福建泉州·阶段检测）计算： （1）； （2）． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级上·全国·期末）计算： （1）； （2）． 21．（本小题满分10分）（24-25七年级上·福建莆田·期中）计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10000转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法． （1）根据以上信息，将二进制数“1011”转化为十进制数． （2）中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果数量．请计算采集到的野果数量． 22．（本小题满分10分）（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）计算： （1） （2） （3） （4） （5） 23．（本小题满分10分）（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）盲盒是指消费者无法提前得知具体产品款式的包装商品，受到年轻消费者的青睐．某商店购进一批盲盒，进价为每个元；为合理定价，前五天试行机动价格，售出时以每个元为标准价格，超出元的部分记为正，不足元的部分记为负，该店记录的前五天盲盒的售价与标准价的差值和售出数量（共计个）如下表所示： 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 售价相对于标准价（元/个） 售出数量（个） 20 35 10 15 5 （1）该店前五天出售的这批盲盒中，单价最高的是第________天，最高单价为________元/个，最高单价比最低单价多________元/个； （2）以标准价格为准，前五天这个盲盒的售价总计超过或不足多少元？ （3）不考虑其他成本，求出前五天该店出售这批盲盒的总利润． 24．（本小题满分12分）（24-25七年级上·福建厦门·期中）观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你仔细观察，开动脑筋，解答下列问题 ①； ②； ③； （1）按以上规律，第④个等式为：________；第个等式为：________（用含的式子表示，为正整数）； （2）按此规律，计算的值； （3）探究计算：的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $