专题 2.5 实数（全章常考点分类专题）- 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学讲义以“学习目标-考点梳理-易错点汇总”为框架构建实数单元知识体系，通过对比表格清晰呈现平方根、算术平方根、立方根的定义与性质，用思维导图梳理实数分类和二次根式运算脉络，突出二次根式化简、隐含条件应用等重难点的内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，基础题型如“实数的识别与分类”夯实概念，综合题型如“含字母根式化简”培养推理意识，“二次根式混合运算”提升运算能力，同步检测涵盖选择、填空、解答题。不同层次学生可循序渐进提升，教师能据此实施精准教学，助力学生自主复习与能力进阶。

专题 2.5 实数（全章常考点分类专题） 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）本章学习目标 1 （二）本章重难点 2 二.考点梳理与解读 2 【考点1】实数的概念与分类 2 【考点2】平方根、算术平方根、立方根 2 【考点3】二次根式的概念与性质 3 【考点4】二次根式四则运算与实数混合运算 3 【考点5】本章高频易错点汇总 3 三、考点题型精析（基础夯实） 4 【题型 1】实数的识别与分类 4 【题型 2】平方根、算术平方根、立方根计算 6 【题型 3】二次根式有意义的条件 8 【题型 4】二次根式基础化简与简单运算 10 四、考点题型精析（综合提升题型） 11 【题型 5】利用根式定义列方程求值 11 【题型 6】 化简（含字母根式化简） 13 【题型 7】实数估算与大小比较 15 【题型 8】二次根式混合运算 17 五、同步检测 19 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 26 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 29 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 33 一.学习目标与重难点 （一）本章学习目标 1. 理解无理数、实数的概念，能准确对实数进行分类，掌握实数与数轴上点的一一对应关系。 2. 掌握平方根、算术平方根、立方根的定义与性质，能熟练求解各类根式的值，区分三者的符号与取值差异。 3. 掌握二次根式的概念、基本性质、化简方法，熟练进行二次根式的加、减、乘、除运算。 4. 熟练掌握实数混合运算规则，能够解决实数大小比较、根式化简求值、含参根式求解等常见问题。 （二）本章重难点 重点：平方根、算术平方根、立方根的概念与计算；二次根式的化简与四则运算；实数的分类与性质。 难点：根式 的化简；二次根式被开方数非负的隐含条件应用；实数综合运算与含参求值问题。 二.考点梳理与解读 【考点1】实数的概念与分类 1. 无理数：无限不循环小数叫做无理数。 常见无理数类型：①开方开不尽的数，如 、；②含 的数，如 、；③特定无限不循环小数，如 （相邻两个1之间0的个数依次递增）。 2. 实数定义：有理数和无理数统称为实数。 3. 实数分类 （1）按定义分类：实数分为有理数（整数、分数，有限小数或无限循环小数）、无理数（无限不循环小数）。 （2）按正负分类：实数分为正实数、0、负实数。 4. 实数与数轴：实数和数轴上的点一一对应；数轴上右侧的数始终大于左侧的数。 5. 实数的相关性质：实数范围内，相反数、倒数、绝对值的定义与有理数完全一致。 【考点2】平方根、算术平方根、立方根 1. 算术平方根：若 ，且 ，则 叫做 的算术平方根，记作 。性质：，被开方数 。 2. 平方根：若 ，则 叫做 的平方根，记作 。 性质：正数有两个互为相反数的平方根；0的平方根是0；负数没有平方根。 3. 立方根：若 ，则 叫做 的立方根，记作 。 性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0；任意实数都有且只有一个立方根。 4. 核心公式： （1） （2） （3） （4） 【考点3】二次根式的概念与性质 1. 二次根式定义：形如 的式子叫做二次根式，被开方数 必须满足 。 2. 二次根式基本性质 （1） （2） 3. 最简二次根式条件 ①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。 【考点4】二次根式四则运算与实数混合运算 1. 乘法运算： 2. 除法运算： 3. 加减运算：先将所有二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式。 4. 混合运算顺序：先开方、乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内的运算。 【考点5】本章高频易错点汇总 1. 概念混淆：（算术平方根唯一正值），16的平方根是 ； 2. 化简必须加绝对值，即 ，负数开方后为其相反数； 3. 带根号的数不一定是无理数，化简后为整数、分数的是有理数（如 ）； 4. 二次根式有意义的前提是被开方数非负，是求字母取值范围的核心依据。 三、考点题型精析（基础夯实） 本部分为单元检测、月考基础必考题型，侧重基础概念辨析与简单应用，难度较低，必须全员掌握。 【题型 1】实数的识别与分类 【例题1】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）把下列各数写入相应的括号中：、、、、、（两个1之间依次增加一个7）． （1）正实数：{ }； （2）负实数：{ }； （3）有理数：{ }； （4）无理数：{ }． 【答案】（1），，，（两个1之间依次增加一个7）；（2），；（3），，；（4），，（两个1之间依次增加一个7） 【分析】（1）根据正实数的定义确定，正实数包括正有理数和正无理数； （2）根据负实数的定义确定，负实数包括负有理数和负无理数； （3）根据有理数的定义确定，有理数包括整数和分数； （4）根据无理数的定义确定，无理数是无限不循环小数． 解：（1）正实数：{，，，（两个1之间依次增加一个7）}； （2）负实数：{，}； （3） 有理数：{，，}； （4）无理数：{，，（两个1之间依次增加一个7）}． 【变式1】（2025·广东广州·中考真题）下列四个选项中，负无理数的是（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】本题考查的是负无理数的含义，根据负无理数的定义，需同时满足负数和无理数两个条件．对各选项逐一分析即可． 解：选项A： 是无理数（无法表示为分数且是无限不循环小数），因此也是无理数．负号表明其为负数，故是负无理数． 选项B： 是整数，属于有理数，不符合无理数的条件． 选项C： 是整数，属于有理数，且非负数． 选项D： 是正整数，属于有理数，且非负数． 综上，只有选项A同时满足负数和无理数的条件， 故选A． 【变式2】（2026·重庆·中考真题）满足的整数的值可以是_____（写一个即可）． 【答案】（答案不唯一，，，任选其一即可） 【分析】先估算无理数和的取值范围，再确定范围内的整数，任选一个整数即可作答． 解：∵， ∴， ∵，且n是整数， ∴n的值可以是3或4或5， ∴满足题意的n的值可以是3． 【变式3】（23-24七年级下·湖北恩施·期中） 实数a，b，c是数轴上三点A，B，C所对应的数，如图， （1）比较大小 a 0； 0； 0 ； 0 （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质： （1）根据数轴可得，据此可得答案； （2）根据（1）所求先计算算术平方根，立方根和绝对值，再合并同类项即可得到答案． （1）解：由数轴可知，， ∴，； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴ ． 【题型 2】平方根、算术平方根、立方根计算 【例题2】（25-26七年级下·广西崇左·期中）计算求值 （1）计算：； （2）求x的值：． 【答案】（1）；（2）或． 【分析】（）先根据有理数的乘方、算术平方根、绝对值的性质进行化简，然后计算即可得到结果； （）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解． （1）解： ； （2）解： 或， ∴或． 【变式1】（25-26七年级下·湖北孝感·期末）下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据算术平方根和立方根的性质，逐项判断，即可解答． 解：，故A错误． ，故B错误． ，故C正确． ， ，故D错误． 【变式2】（24-25七年级下·吉林·阶段检测）4的平方根是________，的立方根是________，的算术平方根是________； 【答案】 【分析】根据平方根、立方根、算术平方根的定义逐步求解，第三个空需先计算的值，再求它的算术平方根． 解：∵ ， ∴ 4的平方根是； ∵ ， ∴ 的立方根是； ∵ ，且，算术平方根为非负的平方根， ∴ 的算术平方根是． 【变式3】（25-26七年级下·广东东莞·期中）计算 （1）； （2）． 【答案】（1）11；（2） （1）解： ； （2）解： ． 【题型 3】二次根式有意义的条件 【例题3】（25-26八年级上·全国·课后作业）当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）． （2）． 【答案】（1）；（2）且 【分析】本题主要考查了零次幂的性质，二次根式有意义的条件； （1）根据二次根式有意义，被开方数非负列式求解即可； （2）根据零次幂的性质，二次根式有意义，被开方数非负列式求解即可． （1）解：由题意，得， 解得：； （2）由题意，得， 解得：且． 【变式1】（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）当时，下列二次根式没有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件逐个分析即可． 解：， ， 二次根式没有意义的是． 【变式2】（24-25九年级下·云南曲靖·期中）若都是实数，且，则的算术平方根是______． 【答案】 【分析】根据二次根式被开方数非负的性质求出的值，再代入求出的值，最后计算的算术平方根. 解：∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数， ∴，， 解得， 把代入，得， ∴， ∵的算术平方根为， ∴的算术平方根是． 【变式3】（25-26八年级上·全国·随堂练习）求使下列各式有意义的字母x的取值范围： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． （1）根据二次根式有意义的条件可得不等式，再解不等式即可； （2）根据二次根式有意义的条件可得不等式，再解不等式即可； （3）根据二次根式有意义的条件可得不等式，再解不等式即可； （1）解：∵ ∴ ∴； （2）解：∵ ∴， ∴； （3）解：∵ ∴， ∴． 【题型 4】二次根式基础化简与简单运算 【例题4】（25-26八年级下·贵州黔东南·期末）计算 （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） （1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26八年级下·湖北孝感·期末）下列运算中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 解：∵ ，∴ A错误． ∵ ，∴ B正确． ∵ ，∴ C错误． ∵ 与不能合并，∴ D错误． 【变式2】（25-26八年级下·四川绵阳·期末）已知，，，则________． 【答案】 【分析】根据题意将，，代入计算即可． 解：将，，代入得， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） （1）解：原式， ； （2）解：原式， ． 四、考点题型精析（综合提升题型） 【题型 5】利用根式定义列方程求值 【例题5】（25-26七年级下·江西南昌·期末）已知正数的两个不相等的平方根为m和． （1）当时，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据正数的两个不相等的平方根互为相反数，结合的值求出，再计算． （2）利用平方根的平方等于原数，代入等式化简求得． （1）解：正数的两个不相等的平方根为和， ，，， ， ， ， ， ． （2）把，代入得： ， ， ， ， 为正数， ． 【变式1】（25-26七年级下·四川凉山·期末）若的两个平方根分别是和，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方根的定义得到，，则可求出，据此利用整体代入法求解即可． 解：∵2026的两个平方根是和， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知和的值互为相反数，且的平方根是它本身，则的平方根为_______． 【答案】 【分析】根据相反数的性质得到两个立方根的等量关系，利用立方根的性质求出的值，再根据平方根的定义求出的值，计算得到后，求其平方根即可． 解：∵和互为相反数 解得 的平方根是它本身，平方根等于本身的数只有， 解得 ∵的平方根是 的平方根为． 【变式3】（25-26七年级下·吉林四平·期末）已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分 （1）求、、的值； （2）求的算术平方根． 【答案】（1），，；（2）４ 【分析】（1）先根据平方根和立方根的定义求出a、b,然后估算出的范围即可求出c； （2）根据（1）所求，结合算术平方根的定义求解即可． （1）解：由题意可得， 解得：，； ∵，是的整数部分， ∴； （2）解：当，，时，． 【题型 6】 化简（含字母根式化简） 【例题6】（25-26八年级下·云南曲靖·期末）计算： 【答案】 【分析】按运算顺序分步化简：利用去根号、依据零次幂性质求值、套用二次根式除法公式化简，最后合并同类二次根式算出结果． 解： ． 【变式1】（24-25八年级下·四川德阳·期中）实数a、b在数轴上对应的位置如图，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴确定 a，b 与 1的大小关系，利用二次根式性质和绝对值的性质化简，最后利用整式的加减运算法则计算即可． 解：由数轴可知 ， ∴， ， ∴ ． 【变式2】（24-25七年级下·上海·期末）已知实数、、在数轴上的位置如图所示，则___________． 【答案】 【分析】由数轴可得，，从而可得，，，再结合二次根式的性质、绝对值的性质化简即可得出结果． 解：由数轴可得，， ∴，，， ∴ ． 【变式3】（25-26七年级下·北京·期末）计算：． 【答案】 解：原式 ． 【题型 7】实数估算与大小比较 【例题7】（25-26八年级下·全国·课后作业）比较大小： （1）与． （2）与． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的乘法，实数大小的比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键． （1）根据二次根式的乘法，先化简，然后比较被开方数的大小即可，或利用平方法进行比较； （2）根据二次根式的乘法，先化简，然后比较被开方数的大小，两个负数比较大小，被开方数越大，原数越小；或利用平方法进行比较，两个负数比较大小，平方后的数越大，原数越小． （1）解：， ． ， ． 【一题多解法】，． ， ． （2）解：， ． ， ． 【一题多解法】，，，， 而， ． 【变式1】（25-26八年级下·河南濮阳·期末）如图，数轴上被墨水覆盖的点表示的无理数可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无理数的估算求解即可． 解：∵，，，， ∴数轴上被墨水覆盖的点表示的无理数可能是 ． 【变式2】（23-24八年级上·上海·阶段检测）比较大小：________（填“>”、“”、“<”）． 【答案】< 【分析】两个数均为负数，先对两个数做分子有理化变形，再比较绝对值的大小，根据两个负数比较大小的规则：绝对值大的负数反而小，即可得出结论． 解：由题意得，， 对两个数变形得：， ， ， ， ， ． 【变式3】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）已知：，求证： 【答案】证明：∵， ∴，，， ∵，， 又∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查比较二次根式的大小关系，通过比较与的大小，即可得出结论． 解：略 【题型 8】二次根式混合运算 【例题8】（25-26八年级下·福建南平·阶段检测）计算： （1）； （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先将所有二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式． （2）利用平方差公式和完全平方公式展开计算，再合并常数项． （1）解：原式 （2）解：原式 【变式1】（24-25·河北石家庄·模拟预测）小明的作业本上有以下四题，做错的题是（     ） ①；②；③；④． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】利用二次根式的性质和混合运算法则计算即可． 解：①，计算正确； ②，计算正确； ③，计算错误； ④，计算正确． 【变式2】（24-25八年级下·重庆南岸·开学考试）计算：_____． 【答案】 解： ． 【变式3】（24-25八年级下·江苏盐城·阶段检测）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）第一步按照平方差公式和完全平方公式计算并化简，再做减法运算． （2）先把每一项都化成最简二次根式，去括号注意变号，然后合并同类二次根式． （1）解：原式 （2）解：原式 【题型 9】二次根式化简求值 【例题9】（24-25八年级下·辽宁抚顺·阶段检测）化简求值． （1）已知，求的值； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）化简结果为，值为 【分析】 （1）将所求代数式变形，先根据已知条件计算出和的值，再整体代入计算即可； （2）根据二次根式的性质化简原式，再将的值代入化简后的式子计算即可； （1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：由二次根式有意义的条件可得，， ∴原式 ， 将，代入得：原式． 【变式1】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知，则代数式的值为（   ） A．14 B．30 C．35 D．48 【答案】B 【分析】因为已知，所以先对其进行变形，求出的值，同时推导的整式关系式，用于降次．如果得到的整式关系式，那么利用该关系式对进行降次化简，最后将降次后的结果与的计算结果合并，代入求值． 解：已知 ， 移项，得 ， 两边平方，得， 展开得， ∴ ， ∴， ∴ ． 对 分母有理化， ∴ ∴ 原式． 【变式2】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知，，则式子的值为_________． 【答案】 【分析】先将所求代数式利用完全平方公式变形为 ，再分别计算与的值，代入变形后的式子计算即可得到结果． 解： 已知，， ∴ ， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·甘肃庆阳·期末）【阅读感悟】 小华与他的小组成员在数学小组探究学习中，遇到这样一道题： 已知，求的值． 他们是这样解答的： ， ， ，即， ， ． 【解决问题】 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： （1）_____； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题意，分母有理化，即可求解； （2）先求得的值，进而可得，整体代入，降次计算即可求解． （1）解：原式． （2）， ， ， ， ， 【题型 10】二次根式的应用 【例题10】（25-26八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）根据题目条件解答下列各题 （1）计算：． （2）【再读教材】我们八年级下册数学课本第17页介绍了“海伦—秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为 【解决问题】已知如图在中，，，． 请你用“海伦—秦九韶公式”求的面积． 设边上的高为，边上的高为，边上的高为，求的值． 【答案】（1）3；（2）①；② 【分析】（1）先计算乘方、绝对值、零指数幂、二次根式的除法，再计算加减即可得出结果； （2）①根据题干所给的公式计算即可得出结果；②利用三角形的面积公式分别计算出、、的值，求和即可． （1）解： ． （2）解：①∵三角形三边长分别为4、5、7， ∴， ∴； ②∵， ∴， 解得，，． ∴． 【变式1】（24-25·湖南娄底·模拟预测）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式．称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．在中，，，所对的边分别记为a，b，c，若，，，则的面积为（     ） A． B．6 C．18 D． 【答案】A 【分析】首先根据题目给出的三边长，，，利用公式计算半周长的值，再将计算得到的以及三边长代入海伦—秦九韶公式，计算三角形的面积． 解：∵，，， ∴， 把、、、代入面积公式得： 因此△ABC的面积为． 【变式2】（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）刘徽在《九章算术注》的“开立圆术”中提出：对于正整数，若球体积公式（为直径）存在误差，可用“以盈补虚”法修正．其思想可推广至求二次根式的近似值：对于正整数，若（为正整数，为非零整数且最小），则．用此方法计算的近似值为_____（结果保留两位小数）． 【答案】13.68 【分析】根据题目给出的近似方法，先将表示为的形式，确定满足最小的正整数和非零整数，再代入近似公式计算，结果保留两位小数即可. 解：由题意，对，找出满足条件的和， ∵，， 若取，则，此时， 若取，则，此时，满足最小的条件， 因此，，代入近似公式得： ∴. 【变式3】（25-26九年级下·山东淄博·期末）阅读材料，在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如：；． （1）填空： ； （2）请你仿照小明的方法化简． 【拓展提升】 （3）如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【分析】（1）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （2）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意得：，，即可得x、y的值，再根据剩余部分的面积为，代值计算即可． （1）解： （2）略 （3）设正方形的边长为，正方形的边长为， 根据题意得：，， ∴，， 剩余部分的面积为：． 五、同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2025·山东枣庄·模拟预测）下列实数中，无理数是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】D 解：A、2是整数，属于有理数； B、是整数，属于有理数； C、是分数，属于有理数； D、是无理数． 2．（25-26七年级下·重庆荣昌·期末）下列四个数中最小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将四个数进行比较即可得出结论． 解：∵，， ∴， ∴最小的数是． 3．（24-25七年级下·广西柳州·阶段检测）下列等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：，故A错误． ，故B正确． ∵， ∴，故C错误． ，故D错误． 4．（25-26七年级下·江苏南通·期末）已知，，可得的值大约是（     ） A．22.36 B．70.71 C．223.6 D．707.1 【答案】A 【分析】根据被开方数的小数点向右移动两位，其算术平 方根的小数点就向右移动一位解答即可． 解：， ∴． 5．（24-25七年级下·山东德州·阶段检测）的平方根是（     ） A． B． C． D．不存在 【答案】D 解：∵任意实数的平方为非负数， ∴不存在平方后等于的实数，即没有平方根． 6．（25-26七年级下·全国·周测）若，则的算术平方根是（    ） A．49 B．53 C．7 D． 【答案】D 【分析】先根据已知方程求出的值，再计算的算术平方根，最后逐一判断选项． 解：∵ = 7， ∴ 两边平方得：． ∴ ． ∴ 的算术平方根为 ． 故选：D． 【点拨】本题考查了算术平方根的定义与方程求解，解题关键是先通过方程求出的值，再根据算术平方根的定义计算结果，避免混淆“”与“的算术平方根”这两个概念． 7．（25-26八年级下·河北邯郸·期末）二次根式有意义，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数列不等式求解即可． 解：∵ 二次根式有意义的条件是被开方数为非负数， ∴ 有意义需满足 ， 解不等式得． 8．（25-26八年级下·浙江台州·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：A选项，与无法直接合并，，错误； B选项，，错误； C选项，与无法直接合并，，错误； D选项，，正确． 9．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成的正方形的面积是75， ，图中空白的地方是一个正方形，则这个小正方形的面积为（　　） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】通过正方形的面积求出边长为，根据图形之间的联系求出空白小正方形的边长，即可求解． 解：∵正方形的面积是75， ∴， ∵， ∴， ∴空白小正方形的边长， ∴这个小正方形的面积为． 10．（25-26八年级下·云南红河·期末）在如图所示的网格中，小正方形的边长为，，，三点均在正方形的顶点上，则下列结论不正确的是（     ） A． B．的周长为 C．到直线的距离为 D． 【答案】D 【分析】先根据勾股定理求出，，，根据勾股定理逆定理判断为直角三角形，，然后逐项进行验证即可． 解：根据勾股定理得：， ， ， ∵， ∴为直角三角形，， ∴，故A正确，不符合题意； 的周长为，故B正确，不符合题意； 设点A到的距离为h，则， 即， 解得：， 即点A到的距离为4，故C正确，不符合题意； ∵，，， ∴，故D错误，符合题意． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·广西崇左·期末）已知为整数，且，则______________． 【答案】5 【分析】先确定介于哪两个连续整数之间，再结合已知不等式求出整数的值． 解：， ， 即， 为整数，且， ． 12．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，数轴上的点表示的数是________． 【答案】 解：由图可知， 即数轴上的点表示的数是． 13．（25-26八年级下·陕西西安·期中）若，则的值为________． 【答案】0 【分析】和都是非负数，两个非负数的和为0时，每个非负数都等于0，据此求出和的值，再代入代数式计算即可． 解：∵，且，， ∴，， 解得，， 故． 14．（追梦中考模拟演练卷（一））请写出一个使在实数范围内有意义的的值_______________． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】二次根式有意义要求被开方数为非负数，据此解出的取值范围，在范围内任取一个值即可． 解：∵要使在实数范围内有意义， ∴ 被开方数需大于或等于0，可得，解得， ∴任取一个小于或等于3的数即可，例如，． 15．（2025九年级·全国·专题练习）计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，观察算式，发现符合平方差公式的形式，直接应用公式计算即可． 解： ； 故答案为：． 16．（25-26八年级下·广东广州·期中）比较大小：_______，_______2，_______． 【答案】 < < > 【分析】实数的大小比较方法： 比较带二次根号的正数，可通过比较被开方数的大小判断结果；比较两个负数，先比较两个数的绝对值，再根据负数大小比较法则判断． 解：①比较和， ， ； ②比较和， ， ，即； ③比较和， ，， ， ，即， ． 17．（25-26七年级下·广东汕头·期末）已知表示不超过x的最大整数，例如，．则的结果为________． 【答案】 【分析】根据的定义，先估算的大小范围，再分别求出两个取整结果，求和即可得到答案. 解：，， ， 根据定义可得， 又， 因此不超过的最大整数为， 即， . 18．（25-26七年级下·湖北荆州·期末）学习《实数》之后，在数学活动课上，马老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律：，，，，… 【实践探究】 （1）按照此规律，计算：___________； （2）若符合上述规律，则___________． 【答案】 【分析】（1）根据题干所给式子进行计算，并得出规律即可得解； （2）根据题干所给式子得出规律计算即可． 解：（1） 可得规律：，其中为大于的正整数． ； （2）由（1）得：， ∵， ， 解得：， ． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·广西桂林·期中）已知和是实数的两个不同的平方根． （1）求，的值； （2）计算的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）一个正数的两个平方根互为相反数，据此列方程求出的值，进而可求出的值； （2）根据（1）所求代入求值即可． （1）解：∵和是实数的两个不同的平方根， ∴， 解得， ∴； （2）解：由（1）得， ∴． 20．（本小题满分8分）（2025八年级下·辽宁鞍山·竞赛）计算： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据二次根式的性质和二次根式的乘除运算法则求解即可； （2）根据二次根式的性质和二次根式的乘除运算法则，结合乘法分配律计算即可． （1）解： ； （2）解： ． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·内蒙古兴安·阶段检测）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先对分式分母有理化，再化简各二次根式和负整数指数幂，最后合并同类项即可； （2）先利用完全平方公式展开，再化简括号内的二次根式，最后合并同类项． （1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·广东湛江·期末）计算下列各题： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）通过化简二次根式、去绝对值求解； （2）运用平方差公式、完全平方公式展开求解． （1）解：原式． （2）解：原式． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·山东聊城·期末）已知，求的值，小明是这样分析与解答的： 因为， 所以， 所以 ，即， 所以， 所以 ． 请你根据小明的分析过程，解决下列问题： （1）化简：__________； （2）计算：； （3）若，求 的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）直接分母有理化即可得到答案； （2）可求出（n为正整数），据此把所求式子的每一项分母有理化，再计算即可； （3）分母有理化得到，则，进而得到，再利用整体代入法求解即可． （1）解：； （2）解：设n为正整数， 则， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级下·安徽合肥·期中）在学习二次根式后，数学兴趣小组探究发现，一些含有根号的特殊式子可以化成另一个式子的平方，例如：； ． 【类比】（1）仿照上述方法将化成另一个式子的平方； 【拓展】（2）运用上述方法化简：； 【变式】（3）若，且，，均为正整数，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）8或16． 【分析】本题主要考查二次根式的化简、完全平方公式，解题的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）仿照所给的方法求解即可； （2）将化成，再代入求解； （3）利用所给的方法进行分析，即可求解． 解：（1）； （2）∵， ∴； （3）①当，， ②当，． 综上所述，或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.5 实数（全章常考点分类专题） 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）本章学习目标 1 （二）本章重难点 2 二.考点梳理与解读 2 【考点1】实数的概念与分类 2 【考点2】平方根、算术平方根、立方根 2 【考点3】二次根式的概念与性质 3 【考点4】二次根式四则运算与实数混合运算 3 【考点5】本章高频易错点汇总 3 三、考点题型精析（基础夯实） 4 【题型 1】实数的识别与分类 4 【题型 2】平方根、算术平方根、立方根计算 4 【题型 3】二次根式有意义的条件 4 【题型 4】二次根式基础化简与简单运算 5 四、考点题型精析（综合提升题型） 5 【题型 5】利用根式定义列方程求值 5 【题型 6】 化简（含字母根式化简） 6 【题型 7】实数估算与大小比较 6 【题型 8】二次根式混合运算 7 五、同步检测 7 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 9 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 11 一.学习目标与重难点 （一）本章学习目标 1. 理解无理数、实数的概念，能准确对实数进行分类，掌握实数与数轴上点的一一对应关系。 2. 掌握平方根、算术平方根、立方根的定义与性质，能熟练求解各类根式的值，区分三者的符号与取值差异。 3. 掌握二次根式的概念、基本性质、化简方法，熟练进行二次根式的加、减、乘、除运算。 4. 熟练掌握实数混合运算规则，能够解决实数大小比较、根式化简求值、含参根式求解等常见问题。 （二）本章重难点 重点：平方根、算术平方根、立方根的概念与计算；二次根式的化简与四则运算；实数的分类与性质。 难点：根式 的化简；二次根式被开方数非负的隐含条件应用；实数综合运算与含参求值问题。 二.考点梳理与解读 【考点1】实数的概念与分类 1. 无理数：无限不循环小数叫做无理数。 常见无理数类型：①开方开不尽的数，如 、；②含 的数，如 、；③特定无限不循环小数，如 （相邻两个1之间0的个数依次递增）。 2. 实数定义：有理数和无理数统称为实数。 3. 实数分类 （1）按定义分类：实数分为有理数（整数、分数，有限小数或无限循环小数）、无理数（无限不循环小数）。 （2）按正负分类：实数分为正实数、0、负实数。 4. 实数与数轴：实数和数轴上的点一一对应；数轴上右侧的数始终大于左侧的数。 5. 实数的相关性质：实数范围内，相反数、倒数、绝对值的定义与有理数完全一致。 【考点2】平方根、算术平方根、立方根 1. 算术平方根：若 ，且 ，则 叫做 的算术平方根，记作 。性质：，被开方数 。 2. 平方根：若 ，则 叫做 的平方根，记作 。 性质：正数有两个互为相反数的平方根；0的平方根是0；负数没有平方根。 3. 立方根：若 ，则 叫做 的立方根，记作 。 性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0；任意实数都有且只有一个立方根。 4. 核心公式： （1） （2） （3） （4） 【考点3】二次根式的概念与性质 1. 二次根式定义：形如 的式子叫做二次根式，被开方数 必须满足 。 2. 二次根式基本性质 （1） （2） 3. 最简二次根式条件 ①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。 【考点4】二次根式四则运算与实数混合运算 1. 乘法运算： 2. 除法运算： 3. 加减运算：先将所有二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式。 4. 混合运算顺序：先开方、乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内的运算。 【考点5】本章高频易错点汇总 1. 概念混淆：（算术平方根唯一正值），16的平方根是 ； 2. 化简必须加绝对值，即 ，负数开方后为其相反数； 3. 带根号的数不一定是无理数，化简后为整数、分数的是有理数（如 ）； 4. 二次根式有意义的前提是被开方数非负，是求字母取值范围的核心依据。 三、考点题型精析（基础夯实） 本部分为单元检测、月考基础必考题型，侧重基础概念辨析与简单应用，难度较低，必须全员掌握。 【题型 1】实数的识别与分类 【例题1】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）把下列各数写入相应的括号中：、、、、、（两个1之间依次增加一个7）． （1）正实数：{ }； （2）负实数：{ }； （3）有理数：{ }； （4）无理数：{ }． 【变式1】（2025·广东广州·中考真题）下列四个选项中，负无理数的是（   ） A． B． C．0 D．3 【变式2】（2026·重庆·中考真题）满足的整数的值可以是_____（写一个即可）． 【变式3】（23-24七年级下·湖北恩施·期中） 实数a，b，c是数轴上三点A，B，C所对应的数，如图， （1）比较大小 a 0； 0； 0 ； 0 （2）化简： 【题型 2】平方根、算术平方根、立方根计算 【例题2】（25-26七年级下·广西崇左·期中）计算求值 （1）计算：； （2）求x的值：． 【变式1】（25-26七年级下·湖北孝感·期末）下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·吉林·阶段检测）4的平方根是________，的立方根是________，的算术平方根是________； 【变式3】（25-26七年级下·广东东莞·期中）计算 （1）； （2）． 【题型 3】二次根式有意义的条件 【例题3】（25-26八年级上·全国·课后作业）当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）． （2）． 【变式1】（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）当时，下列二次根式没有意义的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·云南曲靖·期中）若都是实数，且，则的算术平方根是______． 【变式3】（25-26八年级上·全国·随堂练习）求使下列各式有意义的字母x的取值范围： （1）； （2）； （3）． 【题型 4】二次根式基础化简与简单运算 【例题4】（25-26八年级下·贵州黔东南·期末）计算 （1）； （2）． 【变式1】（25-26八年级下·湖北孝感·期末）下列运算中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·四川绵阳·期末）已知，，，则________． 【变式3】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）计算： （1） （2） 四、考点题型精析（综合提升题型） 【题型 5】利用根式定义列方程求值 【例题5】（25-26七年级下·江西南昌·期末）已知正数的两个不相等的平方根为m和． （1）当时，求的值； （2）若，求的值． 【变式1】（25-26七年级下·四川凉山·期末）若的两个平方根分别是和，则的值是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知和的值互为相反数，且的平方根是它本身，则的平方根为_______． 【变式3】（25-26七年级下·吉林四平·期末）已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分 （1）求、、的值； （2）求的算术平方根． 【题型 6】 化简（含字母根式化简） 【例题6】（25-26八年级下·云南曲靖·期末）计算： 【变式1】（24-25八年级下·四川德阳·期中）实数a、b在数轴上对应的位置如图，则（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·上海·期末）已知实数、、在数轴上的位置如图所示，则___________． 【变式3】（25-26七年级下·北京·期末）计算：． 【题型 7】实数估算与大小比较 【例题7】（25-26八年级下·全国·课后作业）比较大小： （1）与． （2）与． 【变式1】（25-26八年级下·河南濮阳·期末）如图，数轴上被墨水覆盖的点表示的无理数可能是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·上海·阶段检测）比较大小：________（填“>”、“”、“<”）． 【变式3】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）已知：，求证： 【题型 8】二次根式混合运算 【例题8】（25-26八年级下·福建南平·阶段检测）计算： （1）； （2） 【变式1】（24-25·河北石家庄·模拟预测）小明的作业本上有以下四题，做错的题是（     ） ①；②；③；④． A．① B．② C．③ D．④ 【变式2】（24-25八年级下·重庆南岸·开学考试）计算：_____． 【变式3】（24-25八年级下·江苏盐城·阶段检测）计算： （1） （2） 【题型 9】二次根式化简求值 【例题9】（24-25八年级下·辽宁抚顺·阶段检测）化简求值． （1）已知，求的值； （2）先化简，再求值：，其中． 【变式1】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知，则代数式的值为（   ） A．14 B．30 C．35 D．48 【变式2】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知，，则式子的值为_________． 【变式3】（25-26八年级下·甘肃庆阳·期末）【阅读感悟】 小华与他的小组成员在数学小组探究学习中，遇到这样一道题： 已知，求的值． 他们是这样解答的： ， ， ，即， ， ． 【解决问题】 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： （1）_____； （2）若，求的值． 【题型 10】二次根式的应用 【例题10】（25-26八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）根据题目条件解答下列各题 （1）计算：． （2）【再读教材】我们八年级下册数学课本第17页介绍了“海伦—秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为 【解决问题】已知如图在中，，，． 请你用“海伦—秦九韶公式”求的面积． 设边上的高为，边上的高为，边上的高为，求的值． 【变式1】（24-25·湖南娄底·模拟预测）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式．称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．在中，，，所对的边分别记为a，b，c，若，，，则的面积为（     ） A． B．6 C．18 D． 【变式2】（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）刘徽在《九章算术注》的“开立圆术”中提出：对于正整数，若球体积公式（为直径）存在误差，可用“以盈补虚”法修正．其思想可推广至求二次根式的近似值：对于正整数，若（为正整数，为非零整数且最小），则．用此方法计算的近似值为_____（结果保留两位小数）． 【变式3】（25-26九年级下·山东淄博·期末）阅读材料，在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如：；． （1）填空： ； （2）请你仿照小明的方法化简． 【拓展提升】 （3）如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 五、同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2025·山东枣庄·模拟预测）下列实数中，无理数是（     ） A．2 B． C． D． 2．（25-26七年级下·重庆荣昌·期末）下列四个数中最小的是（     ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·广西柳州·阶段检测）下列等式正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·江苏南通·期末）已知，，可得的值大约是（     ） A．22.36 B．70.71 C．223.6 D．707.1 5．（24-25七年级下·山东德州·阶段检测）的平方根是（     ） A． B． C． D．不存在 6．（25-26七年级下·全国·周测）若，则的算术平方根是（    ） A．49 B．53 C．7 D． 7．（25-26八年级下·河北邯郸·期末）二次根式有意义，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·浙江台州·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成的正方形的面积是75， ，图中空白的地方是一个正方形，则这个小正方形的面积为（　　） A． B． C． D．5 10．（25-26八年级下·云南红河·期末）在如图所示的网格中，小正方形的边长为，，，三点均在正方形的顶点上，则下列结论不正确的是（     ） A． B．的周长为 C．到直线的距离为 D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·广西崇左·期末）已知为整数，且，则______________． 12．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，数轴上的点表示的数是________． 13．（25-26八年级下·陕西西安·期中）若，则的值为________． 14．（追梦中考模拟演练卷（一））请写出一个使在实数范围内有意义的的值_______________． 15．（2025九年级·全国·专题练习）计算：_____． 16．（25-26八年级下·广东广州·期中）比较大小：_______，_______2，_______． 17．（25-26七年级下·广东汕头·期末）已知表示不超过x的最大整数，例如，．则的结果为________． 18．（25-26七年级下·湖北荆州·期末）学习《实数》之后，在数学活动课上，马老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律：，，，，… 【实践探究】 （1）按照此规律，计算：___________； （2）若符合上述规律，则___________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·广西桂林·期中）已知和是实数的两个不同的平方根． （1）求，的值； （2）计算的值． 20．（本小题满分8分）（2025八年级下·辽宁鞍山·竞赛）计算： （1）． （2）． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·内蒙古兴安·阶段检测）计算： （1） （2） 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·广东湛江·期末）计算下列各题： （1）； （2）． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·山东聊城·期末）已知，求的值，小明是这样分析与解答的： 因为， 所以， 所以 ，即， 所以， 所以 ． 请你根据小明的分析过程，解决下列问题： （1）化简：__________； （2）计算：； （3）若，求 的值． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级下·安徽合肥·期中）在学习二次根式后，数学兴趣小组探究发现，一些含有根号的特殊式子可以化成另一个式子的平方，例如：； ． 【类比】（1）仿照上述方法将化成另一个式子的平方； 【拓展】（2）运用上述方法化简：； 【变式】（3）若，且，，均为正整数，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $