2026-2027学年人教版九年级上学期数学期中调研测试

**基本信息** 2026-2027学年九上期中数学调研卷，聚焦人教版九上25-27章，原创题占比高，通过“遗忘率”情境题（10题）和“2倍函数”新定义题（24题），融合抽象能力、模型意识与创新思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题/32分|一元二次方程解（1题）、抛物线顶点（3题）、反比例函数定义（5题）|第8题综合判断考查推理能力| |填空题|8题/32分|二次函数平移（11题）、对称轴（12题）、反比例函数性质（13题）|10题结合生活俗语设计“遗忘率”问题| |解答题|8题/86分|利润函数（22题）、根与系数关系（23题）、新定义“2倍函数”（24题）|24题以新定义探究函数交点，体现创新意识|

学科网知识店铺:苍穹精品工作室 原创精品资源，学科网独家享有版权，侵权必究！ 2026-2027学年九上期中调研测试 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：人教版2024九年级上册第25,26,27章 一、选择题（共32分） 1．（本题4分）方程的解是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， ， ∴或， 解得，． 2．（本题4分）将方程化成（a、b为常数）的形式，则a、b的值分别是（　　） A．1，2 B．1， C．， D．，2 【答案】D 【详解】解：原方程为， 移项得， 配方，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 即，整理为的形式得， ，． 3．（本题4分）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查抛物线顶点坐标的求解，需利用抛物线顶点式的性质进行推导． 【详解】解：∵抛物线顶点式为，其顶点坐标为， 又∵可化为， ∴，，即顶点坐标为． 故选A 4．（本题4分）关于抛物线，下列说法错误的是（   ） A．图象开口向上 B．图象与轴有两个交点 C．随的增大而增大 D．顶点坐标是 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，根据二次函数顶点式的性质，分析开口方向、顶点坐标、与轴交点及增减性． 【详解】解：∵是二次函数的顶点形式，其中， ∴ 图象开口向上，选项A正确，不符合题意； 令，得，即， 解得或， ∴ 图象与轴有两个交点，选项B正确，不符合题意； 顶点坐标为，选项D正确，不符合题意； ∵ ，对称轴为， ∴ 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∴ 选项C错误，符合题意； 故选：C． 5．（本题4分）下列选项中，表示y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据反比例函数的定义：满足形式的函数是反比例函数，可知选项A是反比例函数； 选项B，C，D满足的形式，是一次函数， 故选：A． 6．（本题4分）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三点横坐标分别代入反比例函数解析式，求出对应函数值后比较大小． 【详解】解：把各点横坐标代入， 得， ， ， ∵， ∴． 7．（本题4分）下表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值：那么关于的方程的一个根的近似值可能是（   ） … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … … 0.14 0.62 … A．1.07 B．1.17 C．1.27 D．1.37 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，通过观察表格数据，发现当时，当时，因此函数在和之间与x轴有交点，即方程有一个根在此区间内． 【详解】∵当时，；当时，， ∴方程的一个根在1.2和1.3之间． 观察四个选项，只有选项C符合题意． 故选：C． （原创）8．（本题4分）关于x的一元二次方程，下列说法： ①若，则方程必有一个根是； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是一元二次方程的根，则； ④若方程的两个根为，且满足，则方程，必有实数根． 其中，正确的说法有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，求根公式． 直接将代入即可判断说法①；根据根的判别式即可判断说法②；根据求根公式即可判断说法③；根据根与系数的关系得到，则方程可化为，求解方程即可判断说法④． 【详解】解：说法①：若， 则当时，， ∴是方程的根，故①正确； 说法②：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴方程必有两个不相等的实数根，故②正确； 说法③：∵是一元二次方程的根， ∴， ， ∴，故③正确； 说法④：∵方程两根为， ∴， ， ∴方程可化为：， 即：， ∴， ∴或，故④正确； 综上所述，四个说法都正确． 故选：D． 二、填空题（共32分） 9．（本题4分）已知是方程的一个根，则的值为______． 【答案】5 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义、整体代入法求代数式的值． 利用方程的根的定义得到含的等式，再将所求代数式变形后整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程，根据方程的根的定义可得： ， 移项得． 将代入，得． 10．（本题4分）俗语有云：在技能学习中，有“一日不练手生，两日不练眼生，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看”的说法，意味着知识或技艺若不及时巩固会逐渐遗忘．假设某人学习了一项技能，初始掌握程度为100分．且每天“遗忘”的百分比相同．若经过2天后，技能掌握程度剩余49分，每天“遗忘”的百分比为______ 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每天遗忘的百分比为x，则每天剩余比例为 ，根据题意列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设每天“遗忘”的百分比为x， 由题意，得 ， 解得或（舍去）， ∴每天“遗忘”的百分比为， 故答案为：． 11．（本题4分）将二次函数的图象整体平移，使其顶点移至的位置，则平移后的解析式为___________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的平移性质，二次函数图象平移不改变二次项系数，根据二次函数的顶点式（其中为顶点坐标，为二次项系数），将，，代入，即可求出答案． 【详解】解：平移后的解析式为， 故答案为： 12．（本题4分）二次函数的图象的对称轴是___________· 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数对称轴公式直接求解即可． 【详解】解：对于二次函数 ， 对称轴方程为 ， 本题中 ，， 代入得 ， 故答案为 ． 13．（本题4分）反比例函数的图象经过点，当时，反比例函数取值范围是_______． 【答案】 【分析】先根据反比例函数图象经过的点求出的值，再分析反比例函数在给定取值范围时的取值范围．本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点 ∴ ∴反比例函数的解析式为 ∵ ∴在每个象限内，随的增大而减小 当时， 当时， 又∵ ∴ 故答案为：． 14．（本题4分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于M、N两点，观察图象知，不等式的解集为_______． 【答案】或 【分析】此题主要考查函数与不等式之间的关系，解题的关键是正确理解函数图象和性质． 先求得n的值，然后观察函数图象即可求解． 【详解】解：由题意可得， 解得， ∴， 观察图像可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方， ∴不等式的解集为或， 故答案为：或． （原创）15．（本题4分）二次函数与x轴有两个交点，则k的取值范围是________． 【答案】且 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是将二次函数与x轴交点问题转化为一元二次方程根的个数问题． 根据二次函数的定义得出，根据图象与x轴有两个交点，得出，即可求解． 【详解】解：∵是二次函数， ∴， ∵二次函数与x轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴，，， ∴， 解得：， 综上：的取值范围为：且， 故答案为：且 （改编）16．（本题4分）已知二次函数，当时，y随x增大而减小，则的最大值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，先求出原函数的对称轴为直线，当时，函数开口向下，则在对称轴右侧y随x增大而减小，可得，进而得到；当时，函数开口向上，则在对称轴左侧y随x增大而减小，可得，进而得到，据此分别求出两种情形下的最大值即可得到答案． 【详解】解：由题意得，二次函数对称轴为直线， 当，即时，， ∴此时函数开口向下， ∴在对称轴右侧y随x增大而减小， ∵当时，y随x增大而减小， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随m的增大而增大， ∴当时，； 当，即时，， ∴此时函数开口向上， ∴在对称轴左侧y随x增大而减小， ∵当时，y随x增大而减小， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∵， ∴的最大值为． 故答案为：． 三、解答题（共86分） 17．（本题8分）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 或， 解得； （2）解：∵ ∴ 或 解得． 18．（本题8分）已知关于x的方程（为常数）． (1)求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根是，求的值． 【答案】(1) 证明：， 不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根． (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的运用，以及一元二次方程的解的定义，熟练掌握一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解的概念是解答此题的关键． （1）根据，一元二次方程有两个不相等的实数根直接进行求解； （2）将方程的根代入方程中，再进行移项即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：方程有一个根是， 把代入方程， 得， 整理得 ． 19．（本题10分）如图，点为二次函数的图象与x轴的一个交点． (1)求该二次函数的表达式； (2)将该二次函数图象沿x轴向右平移1个单位，请直接写出平移后的图象与x轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)平移后的图象与x轴的交点坐标分别为，． 【分析】本题考查求二次函数解析式，函数图象与x轴交点坐标的求法，函数图象的平移，关键是用待定系数法求函数表达式，再求与x轴的交点坐标，根据平移特点表示出平移后的坐标． （1）将点代入二次函数，求出b的值，进而表示出该二次函数的表达式； （2）令求出二次函数与x轴的交点坐标，根据平移特点写出平移后与x轴的交点坐标． 【详解】（1）解：点在抛物线上， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）令，则， 整理得， 解得，， 原抛物线与x轴的交点坐标分别为，， 二次函数图象沿x轴向右平移1个单位， 平移后的图象与x轴的交点坐标分别为，． 20．（本题10分）已知反比例函数（m为常数）． (1)若函数图象经过点，求m的值； (2)若时，直接写出y的取值范围______． 【答案】(1)2 (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数特征． （1）将点A的坐标代入即可求得m的值； （2）结合（1）知函数为．当时，．分为和分别求解即可． 【详解】（1）解：∵函数图象经过点， ∴， 解得：， ∴m的值是2； （2）解：由（1）知函数为． 当时，． 若，则； 若，则． ∴y的取值范围是或． 故答案为：或． 21．（本题10分）市政府计划建设一项绿化工程，工程需要运送的土石方总量为，某运输公司承担了运送土石方的任务． (1)求运输公司平均运送速度（单位：/天）与完成运送任务所需时间（单位：天）之间的函数关系式； (2)若这个运输公司每天可运送土石方，该公司完成全部运输任务需要多长时间？ 【答案】(1) (2)该公司完成全部运输任务需要9天 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据运送的土石总量等于平均每天运送的土石量乘以运送天数列式求解即可； （2）根据（1）所求，求出时t的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解：在中，当时，则， 解得， 答：该公司完成全部运输任务需要9天． 22．（本题12分）芒市街心花园某商场经营某种品牌童装，购进时的单价是元，根据市场调查，在一段时间内，销售单价是元时，销售量是件．当销售单价每降低元，就可多售出件． (1)求出销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式； (2)若童装厂规定该品牌童装的销售单价不低于元且不高于元，求出销售该品牌童装获得的利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)，商场销售该品牌童装获得的最大利润是4500元 【分析】本题考查了二次函数的应用：根据实际问题列出二次函数关系式，然后利用二次函数的性质和二次函数的最值，解决实际问题中的最大或最小值问题． （1）销售量y件为200件加增加的件数； （2）利润w等于单件利润×销售量y件，即，整理即可，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， 所以销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式为； （2）解：， 所以销售该品牌童装获得的利润w元与销售单价x元之间的函数关系式为：， 故当时，取最大值4500， 所以商场销售该品牌童装获得的最大利润是4500元． 23．（本题14分）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数关系等知识． （1）利用一元二次方程根的判别式可得到，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数关系，可得，根据，可得到，即可求解． 【详解】（1）解：方程有实数根， ， 即， 解得：． （2）解：方程的两个实数根分别为， ， ∵， ， 解得：． （原创）24．（本题14分）定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“2倍函数”．该点称为该函数的“2倍点”．例如：“2倍函数”，其“2倍点”为． (1)函数__________“2倍函数”；（填“是”或“不是”） (2)请直接写出函数的图像上“2倍点”的坐标___________； (3)若关于x的函数的图像上有两个“2倍点”，求m的取值范围； (4)若关于x的函数的图像上存在唯一的“2倍点”，且当时，n的最小值为k，请求出k的值． 【答案】(1)不是 (2)或 (3)且 (4)或 【分析】本题考查了函数解析式与函数图像上点的坐标关系、二次函数根的判别式、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识并采用分类讨论思想是解题关键． （1）假设是“2倍函数”函数，设出“2倍点”坐标代入函数看是否有解， （2）设出“2倍点”坐标代入函数解方程即可得解； （3）设出“2倍点”坐标代入函数得到一元二次方程，令判别式即可求出的取值范围； （4）设“2倍点”坐标为，代入函数得到一元二次方程，然后令，得到关于的二次函数关系，求出对称轴，根据图像对称轴的位置与的取值范围，分情况进行讨论，不同情况下与取得最小值构成关于未知数的方程，然后分别解方程即可． 【详解】（1）解：假设函数是“2倍函数”，设“2倍点”横坐标为，纵坐标为，代入，得 此方程无解，故函数不是“2倍函数”， 故答案为：不是； （2）解：设函数的图像上的“2倍点”是，代入得 解方程得 故答案为：或； （3）解：设抛物线（），“2倍点”的坐标为， 则 整理得 ∵有两个“2倍点” ∴ 解不等式得： 即m的取值范围是且； （4）解：设函数的“2倍点”的坐标为 则 整理得 ∵存在唯一的一个“2倍点”， ∴ 整理得 则关于的二次函数关系，其图像对称轴为直线 当时，则时， 值最小为 整理得， 解得（舍去）， 当时，则时， 值最小为 整理得 当时，则时， 值最小为 整理得， ，方程无解 综上得k的值为或． 学科网（北京）股份有限公司 $学科网知识店铺:苍穹精品工作室 原创精品资源，学科网独家享有版权，侵权必究！ 2026-2027学年九上期中调研测试 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：人教版2024九年级上册第25,26,27章 一、选择题（共32分） 1．（本题4分）方程的解是（） A． B． C． D． 2．（本题4分）将方程化成（a、b为常数）的形式，则a、b的值分别是（　　） A．1，2 B．1， C．， D．，2 3．（本题4分）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（本题4分）关于抛物线，下列说法错误的是（   ） A．图象开口向上 B．图象与轴有两个交点 C．随的增大而增大 D．顶点坐标是 5．（本题4分）下列选项中，表示y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 6．（本题4分）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 7．（本题4分）下表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值：那么关于的方程的一个根的近似值可能是（   ） … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … … 0.14 0.62 … A．1.07 B．1.17 C．1.27 D．1.37 （原创）8．（本题4分）关于x的一元二次方程，下列说法： ①若，则方程必有一个根是； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是一元二次方程的根，则； ④若方程的两个根为，且满足，则方程，必有实数根． 其中，正确的说法有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（共32分） 9．（本题4分）已知是方程的一个根，则的值为______． 10．（本题4分）俗语有云：在技能学习中，有“一日不练手生，两日不练眼生，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看”的说法，意味着知识或技艺若不及时巩固会逐渐遗忘．假设某人学习了一项技能，初始掌握程度为100分．且每天“遗忘”的百分比相同．若经过2天后，技能掌握程度剩余49分，每天“遗忘”的百分比为______ 11．（本题4分）将二次函数的图象整体平移，使其顶点移至的位置，则平移后的解析式为___________． 12．（本题4分）二次函数的图象的对称轴是___________· 13．（本题4分）反比例函数的图象经过点，当时，反比例函数取值范围是_______． 14．（本题4分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于M、N两点，观察图象知，不等式的解集为_______． （原创）15．（本题4分）二次函数与x轴有两个交点，则k的取值范围是________． （改编）16．（本题4分）已知二次函数，当时，y随x增大而减小，则的最大值为________． 三、解答题（共86分） 17．（本题8分）解方程： (1)； (2)． 18．（本题8分）已知关于x的方程（为常数）． (1)求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根是，求的值． 19．（本题10分）如图，点为二次函数的图象与x轴的一个交点． (1)求该二次函数的表达式； (2)将该二次函数图象沿x轴向右平移1个单位，请直接写出平移后的图象与x轴的交点坐标． 20．（本题10分）已知反比例函数（m为常数）． (1)若函数图象经过点，求m的值； (2)若时，直接写出y的取值范围______． 21．（本题10分）市政府计划建设一项绿化工程，工程需要运送的土石方总量为，某运输公司承担了运送土石方的任务． (1)求运输公司平均运送速度（单位：/天）与完成运送任务所需时间（单位：天）之间的函数关系式； (2)若这个运输公司每天可运送土石方，该公司完成全部运输任务需要多长时间？ 22．（本题12分）芒市街心花园某商场经营某种品牌童装，购进时的单价是元，根据市场调查，在一段时间内，销售单价是元时，销售量是件．当销售单价每降低元，就可多售出件． (1)求出销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式； (2)若童装厂规定该品牌童装的销售单价不低于元且不高于元，求出销售该品牌童装获得的利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少？ 23．（本题14分）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，若，求的值． （原创）24．（本题14分）定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“2倍函数”．该点称为该函数的“2倍点”．例如：“2倍函数”，其“2倍点”为． (1)函数__________“2倍函数”；（填“是”或“不是”） (2)请直接写出函数的图像上“2倍点”的坐标___________； (3)若关于x的函数的图像上有两个“2倍点”，求m的取值范围； (4)若关于x的函数的图像上存在唯一的“2倍点”，且当时，n的最小值为k，请求出k的值． 学科网（北京）股份有限公司 $