26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数 \( y=ax^2+bx+c \) 的图象和性质，涵盖配方转化、顶点坐标、对称轴等核心知识点。课堂导入通过对比顶点式函数的顶点、对称轴及最值，引导学生思考一般式转化方法，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于以配方法实例（如 \( y=\frac{1}{2}x^2 -6x +21 \) 配方过程）培养推理意识，结合描点法和平移法画图象发展几何直观，练习题分层设计并附详细解析。学生能提升抽象能力与应用意识，教师可借助系统资源高效开展教学。

人教版（新教材）数学九年级上册 第26章 二次函数 26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 2026/8/19 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质专项练习 （人教版数学九年级上册 26.2.3） 一、基础知识点梳理 二次函数一般式y=ax²+bx+c（a≠0）是二次函数的通用形式，可通过配方转化为顶点式，适配所有抛物线图象分析。其中a决定开口方向与开口大小，a>0开口向上，图象有最低点；a<0开口向下，图象有最高点。对称轴公式为直线x=-b/2a，顶点坐标为（-b/2a，(4ac-b²)/4a）。常数项c决定抛物线与y轴交点，交点坐标为(0,c)，a、b共同决定对称轴位置，a、b、c整体决定抛物线与x轴的交点情况。 二、专项练习题 （一）填空题（每空2分，共20分） 1. 二次函数y=x²-4x+3的对称轴为直线______，顶点横坐标为______。 2. 抛物线y=-2x²+6x-1的开口方向为______，与y轴的交点坐标为______。 3. 已知二次函数y=x²+bx+2的对称轴为直线x=1，则b=______。 4. 二次函数y=2x²-8x+5的最小值为______。 5. 抛物线y=x²-3x-4，当x______时，y随x的增大而增大。 （二）选择题（每题4分，共20分） 1. 二次函数y=3x²-2x+1的图象性质描述正确的是（） A. 开口向下 B. 对称轴为x=1/3 C. 过原点 D. 有最大值 2. 抛物线y=-x²+5x的对称轴是（） A. x=5/2 B. x=-5/2 C. x=5 D. x=-5 3. 已知二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向上，且与y轴交于负半轴，则（） A. a>0，c>0 B. a>0，c<0 C. a<0，c>0 D. a<0，c<0 4. 二次函数y=x²-6x+m的最小值为-2，则m的值为（） A. 7 B. 9 C. 11 D. 16 5. 对于抛物线y=2x²+4x-1，下列说法错误的是（） A. 对称轴为x=-1 B. 顶点坐标(-1,-3) C. x>-1时y随x增大而增大 D. 与y轴交于(0,1) （三）解答题（共60分） 1.（20分）已知二次函数y=x²-2x-3，求该抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值及函数的增减性。 2.（20分）已知二次函数y=ax²+2x-3经过点(1,2)。（1）求a的值及函数解析式；（2）求抛物线的对称轴和顶点坐标。 3.（20分）已知二次函数y=-2x²+8x-5。（1）将函数化为顶点式；（2）求函数的最大值，以及x取何值时y随x的增大而减小。 三、参考答案及解析 （一）填空题 1. x=2、2 解析：代入对称轴公式x=-b/2a，a=1，b=-4，得x=2。 2. 向下、(0,-1) 解析：a=-2<0开口向下，x=0时y=-1，即为与y轴交点。 3. -2 解析：对称轴x=-b/2a=1，a=1，解得b=-2。 4. -3 解析：配方得y=2(x-2)²-3，最小值为-3。 5. >3/2 解析：对称轴x=3/2，开口向上，对称轴右侧y随x增大而增大。 （二）选择题 1.B 2.A 3.B 4.A 5.D （三）解答题 1. 解：a=1>0，开口向上；对称轴为直线x=1，顶点坐标(1,-4)；函数最小值为-4；x<1时，y随x增大而减小；x>1时，y随x增大而增大。 2. 解：（1）将点(1,2)代入解析式，得a+2-3=2，解得a=3，解析式为y=3x²+2x-3；（2）对称轴为直线x=-1/3，顶点坐标(-1/3，-10/3)。 3. 解：（1）配方得y=-2(x-2)²+3；（2）a=-2<0，函数最大值为3；当x>2时，y随x的增大而减小。 （字数：1012） 情境导入 1. 会用配方法或公式法将二次函数的一般式 y = ax2 + bx + c 化成顶点式 y = a(x − h)2 + k (a ≠ 0)；(难点） 2. 会熟练求出抛物线 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 的顶点坐标、对称轴.（重点） 学习目标 顶点坐标 对称轴 最值 y = -2x2 y = -2x2 - 5 y = -2(x + 2)2 y = -2(x + 2)2 - 4 y = (x - 4)2 + 3 y = -x2 + 2x y = 3x2 + x - 6 (0，0) y 轴 0 (0，-5) y 轴 -5 (-2，0) 直线 x = -2 0 (-2，-4) 直线 x = -2 -4 (4，3) 直线 x = 4 3 ? ? ? ? ? ? 情境导入 思考：对于二次函数  ，如何画出它的图象并讨论它的性质？ 我们知道，像y=a(x-h)2+k这样的函数，容易确定相应抛物线的顶点为(h，k)，二次函数y=x2-6x+21也能化成这样的形式吗？ 探究新知 探究新知 根据前面的学习，可以先画出二次函数  的图象，然后把这个图象向右平移 6 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度，就得到二次函数y-6x+21  的图象.     把抛物线  向上平移 3 个单位长度，再向右平移 6 个单位长度，就得到抛物线y-6x+21 . 探究新知 思考： 能直接画出二次函数 y-6x+21的图象吗？ 由配方的结果可知，抛物线y-6x+21 的顶点是(6.3)，对称轴是x=6. 先利用图象的对称性列表： x ⋯ 3 4 5 6 7 8 9 ⋯ y= ⋯ 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 ⋯ 然后描点画图，得到  的图象. 探究新知 从二次函数  的图象可以看出： 在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升. 也就是说，当 x<6 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x>6 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x=6 时，y 取最小值，最小值是 3. 探究新知 1. 返回 用配方法将二次函数y＝x2－8x－3化成y＝a(x－h)2＋k的形式为(　　) A．y＝(x＋4)2－3 B．y＝(x＋4)2－7 C．y＝(x－4)2－13 D．y＝(x－4)2－19 D 举一反三 9 返回 2. 若y＝ax2＋bx可配方为y＝－2(x－2)2＋8，则a＝______，b＝______． －2 8 举一反三 画二次函数  的图象的方法 (1) 描点法 ① 利用配方法把二次函数 y=ax2+bx+c 化成顶点式 y=a(x-h)2+k 的形式； ② 确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，在对称轴两侧对称取点，按列表、描点、连线的步骤画出抛物线. 探究新知 画二次函数  的图象的方法 (2) 平移法 ① 利用配方法把二次函数 y=ax2+bx+c 化成顶点式 y=a(x-h)2+k 的形式，明确顶点 (h，k)； ② 作出抛物线y=ax2； ③ 将抛物线 y=ax2平移，使其顶点平移到 （h，k ）处. 探究新知 例1 已知二次函数 y=-2x2+4x+3，请回答下列问题： (1)试确定该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； 解：(1) ， ∴该二次函数图象的开口向下， 对称轴是直线 ，顶点坐标是(1,5) . 探究新知 例1 已知二次函数 y=-2x2+4x+3，请回答下列问题： (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数 y=-2x2+4x+3的图象，并指出抛物线   y=-2x2+4x+3是由抛物线 y=-2x2 经过怎样的平移得到的； 解：(2) 列表如下： x ⋯ −1 0 1 2 3 ⋯  y=-2x2+4x+3 ⋯ −3 3 5 3 −3 ⋯ 描点、连线，二次函数 y=-2x2+4x+3的图象如图所示. 将抛物线 y=-2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到抛物线 y=-2x2+4x+3. 探究新知 例1 解：(3)当x>1时，y随x的增大而减小. 已知二次函数 y=-2x2+4x+3，请回答下列问题： (3)对于二次函数 y=-2x2+4x+3，当  取何值时， 随  的增大而减小？ 探究新知 探究：你能用上面的方法研究二次函数y=-2x2-4x+1的图象和性质吗？ y=-2x2-4x+1=-2(x+1)2+3，其图象如图所示. 将抛物线y=-2x2向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，就得到二次函数y=-2x2-4x+1的图象. 抛物线y=-2x2-4x+1的开口向下，顶点为(-1，3)，对称轴为直线x=-1. 在对称轴的左侧，抛物线从左到右上升；在对称轴的右侧，抛物线从左到右下降. 也就是说，当x<-1时，y随x的增大而增大；当x>-1时，y随x的增大而减小；当x=-1时，y取最大值，最大值是3. 探究新知 一般地，我们可以类似地研究二次函数 的图象和性质. 通过配方，可以将二次函数 化成 因此，抛物线 的对称轴是 ，顶点. 探究新知 如图 ，从二次函数 的图象可以看出： 如果 a > 0， 那么当 x < 时，y 随 x 的增大而减小， 当 x > 时，y 随 x 的增大而增大； 因此，当 a > 0时， 抛物线 的顶点是最低点， 也就是说当 x = 时， 二次函数 有最小值. 探究新知 如图 ，从二次函数 的图象可以看出： 如果 a < 0， 那么当 x < 时，y 随 x 的增大而增大， 当 x >时，y 随 x 的增大而减小. 因此，当 a < 0时， 抛物线 的顶点是最高点， 也就是说当 x = 时， 二次函数 有最大值. 探究新知 函数  y=ax2+bx+c (a>0)  y=ax2+bx+c (a<0) 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 () 对称轴 直线 x=− 增减性 当 x<​​ 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x> 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x<​​ 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x>​​ 时，y 随 x 的增大而减小. 最值 当 x=​时，y最小值​= 当 x= 时，y最大值​= 二次函数  的图象和性质 探究新知 系数 字母的符号条件 图象的特征 补充说明 a a>0 开口向上 抛物线开口方向的唯一决定因素 a<0 开口向下 b b=0 对称轴为 y 轴（直线 x=0） 对称轴公式：x=− ab>0（a,b 同号） 对称轴在 y 轴左侧 a,b 同号时，−<0 ab<0（a,b 异号） 对称轴在 y 轴右侧 a,b 异号时，−​>0 c c=0 图象过原点 (0,0) 当 x=0 时，y=c，即与 y 轴交点为 (0,c) c>0 与 y 轴正半轴相交 交点坐标 (0,c) ，在 y 轴上方 c<0 与 y 轴负半轴相交 交点坐标 (0,c) ，在 y 轴下方 二次函数y=ax2+bx+c的图象特征与a,b,c的关系 简记为 “左同右异” 探究新知 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论： ①b<0; ②c>0; ③a+b+c>0; ④4a+2b+c<0. 其中正确的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 观察图象→当x=1时，y>0→a+b+c>0 抛物线与y轴正半轴相交→c>0 观察图象→当x=2时，y<0→4a+2b+c<0 C 例2 探究新知 根据二次函数图象确定字母系数及相关代数式的符号的步骤 (1)根据抛物线的开口方向和与y轴的交点位置，先确定a和c的符号； (2)根据a的符号和对称轴的位置，再确定b的符号； (3)最后结合特殊，点的位置，确定代数式的符号. 比如：a+b+c对应的是x=1时的函数值； a-b+c对应的是x=-1时的函数值； 4a+2b+c对应的是x=2时的函数值； 4a-2b+c对应的是x=-2时的函数值. 探究新知 1. 二次函数y＝x2＋4x＋2的图象的对称轴是直线( 　 ) A. x＝－2 B. x＝2 C. x＝－1 D. x＝1 A 2. 抛物线y＝－2x2－3x＋1大致是(　B　) B 当堂检测 3. 已知点A(－1，y1)，B(4，y2)，C(5，y3)都在 二次函数y＝－2x2＋12x＋1的图象上，则y1，y2，y3 的大小关系为 (用“＜”连接). y1＜y3＜y2　 草图通关 顶点坐标： ，a 0， 与y轴交点： ，对称轴： ⁠. 比较大小关键：对称轴位置，开口方向. (3，19)　 ＜　 (0，1)　 直线x＝3　 当堂检测 4. 已知二次函数的图象过(－1，0)，(3，0)，(0，－)三点，则该二次函数的解析式为 　y＝ ⁠. y＝x2 －x－　 当堂检测 (1)y＝3x2＋6x＋9； 书写通关 解：提出二次项系数，得 ⁠. 括号内配成完全平方式，得 ⁠ ⁠. 整理，得 ⁠. ∴二次函数图象的顶点坐标为 ⁠. y＝3(x2＋2x)＋9　 y＝3(x2＋2x＋1)＋9 －3　 y＝3(x＋1)2＋6　 (－1，6)　 5.将下列二次函数化成y＝a(x－h)2＋k的形式，并求出其图象的顶点坐标. 当堂检测 (2)y＝－2x2＋12x－25. 解：y＝－2(x2－6x＋9)－25＋18＝－2(x－3)2－7， ∴该二次函数的顶点式为y＝－2(x－3)2－7， 其图象的顶点坐标为(3，－7). 解：y＝－2(x2－6x＋9)－25＋18＝－2(x－3)2－7， ∴该二次函数的顶点式为y＝－2(x－3)2－7， 其图象的顶点坐标为(3，－7). 当堂检测 返回 3. 抛物线y＝ x2＋5x－3的对称轴是直线______，顶点坐标为________． x＝5 举一反三 返回 4. 二次函数y＝x2＋2x＋1的图象大致是(　　) B 举一反三 已知二次函数y＝2x2－4x＋5，当函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围是(　　) A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞2 返回 5. B 举一反三 [邯郸峰峰矿区期中]如果二次函数y＝x2－4x＋c的最小值为0，那么c的值为(　　) A．2 B．4 C．－2 D．8 返回 6. B 举一反三 返回 7. 若点(2，5)，(6，5)是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的两个点，则它的对称轴是(　　) A．直线x＝1 B．直线x＝2 C．直线x＝3 D．直线x＝4 D 举一反三 返回 8. [深圳一模]已知二次函数y＝x2＋bx＋c(b，c为 常数)的图象经过点(0，－3)，(－1，0)． (1)b＝________，c＝________； (2)该二次函数图象的顶点坐标为________； (3)在如图所示的直角坐标系中画出该二次函数的图象； (4)当－1<x<2时，y的取值范围是________． －2 －3 (1，－4) 解：如图所示． －4≤y<0 举一反三 y=ax2+bx+c (a ≠0) (一般式) (顶点式) 配方法 画法 图象 性质 描点法：列表 → 描点 → 连线 平移法： 上加上减常数项， 左加右减自变量 当  时，有最小值 当  时，有最大值 当  时，在对称轴右侧  随  的增大而增大，在对称轴左侧  随  的增大而减小 当  时，在对称轴右侧  随  的增大而减小，在对称轴左侧  随  的增大而增大 开口方向 ，开口向上 ，开口向下 对称轴：直线  顶点坐标：（） 增减性 最值 探究新知 谢谢观看 THANKS － $