专题2.4.3 抛物线的几何性质（2）讲义-2026-2027学年高二上学期数学沪教版选择性必修第一册

本讲义聚焦抛物线几何性质，系统梳理切线方程、切点弦方程、三角形面积计算、直线过定点、定值及定直线问题，构建从基础到综合的知识脉络，为高二学生预修提升搭建逻辑清晰的学习支架。 资料以题型示例与跟踪训练结合，通过“特殊到一般”探究培养数学思维，如切线问题从具体点到斜率推导，提升推理能力。综合题型如面积计算、定点证明，助力学生用数学语言表达，课中辅助教师引导探究，课后帮助学生查漏补缺。

2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题2.4.3 抛物线的几何性质（3） 知识点一、抛物线的切线问题 1、过抛物线y2=2px(p>0)上的点P的切线方程是. 切点弦方程为，点在抛物线外 2、抛物线y2=2px(p>0)的斜率为k的切线方程是(k≠0). 3、如图，过点向抛物线引两条切线，切点分别为，则有：直线的方程为. 知识点二、三角形面积的四种常用形式 ，适合一切题型，属于通法，但计算量会大些， 如图， (其中底为弦长，高为点到直线的距离) ，适合边角已知的题型； 拆补法，水平底铅垂高，适合三角形某一顶点在坐标轴上的题型； 如图，点在轴上，直线交轴于点， 当是在轴异侧时， 当是在轴同侧时， 注:不管在轴同侧还是异侧，公式依然成立. 若点在轴类似可得. 知识点三、直线过定点问题 方法1：设线法，用两个参数表示直线方程，一般步骤为： ①设直线方程为(或)，联立直线与圆锥曲线方程，得出根与系数的关系； ②结合韦达定理和已知条件，得到或的关系，或者解出的值； ③将②的结果代入(或)，得到定点坐标． 方法2：解点法，用一个参数表示直线方程，一般步骤为： ①引进参数，根据已知条件，求出直线上两个点的坐标(含参)； ②特殊位置入手，找到定点(有时可考虑对称性)； ③证明三点共线，从而直线过定点．(其中一个方法是证明) 知识点四、定值问题 1、从特殊到一般求定值)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 2、直接消参求定值)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 3.常用消参方法： ①等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系，用一个参数表示另外一个参数，即可带用其他式子，消去参数． ②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值． ③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉． ④参数无关消参：当与参数相关的因式为时，此时与参数的取值没什么关系，比如： ，只要因式，就和参数没什么关系了，或者说参数不起作用． 知识点五、定直线问题 动直线与圆锥曲线相交于、两点，、为圆锥曲线上两定点，求动直线与得交点所在定直线.求解思路如下： （1）联立：联立直线与圆锥曲线的方程； （2）整理：整理得二次方程，写韦达定理； （3）翻译：表示动直线与方程； （4）二次联立：联立动直线与方程，求交点坐标； （5）消参：消参，得定直线. 知识点一、抛物线的切线问题 题型一、求抛物线的切线方程 【例1】抛物线过点的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.抛物线在点处的切线的斜率为（    ） A．－1 B． C． D．1 2.已知抛物线，过点作抛物线的切线，则切线方程为___________. 3. 抛物线在处的切线方程为___________． 题型二、求抛物线的切点弦方程 【例2】过引抛物线的切线，切点分别为A，.若的斜率等于2，则（    ） A． B． C．1 D．2 【跟踪训练】 1.已知抛物线：，过直线：上的动点可作的两条切线，记切点为，则直线（   ） A．斜率为2 B．斜率为 C．恒过点 D．恒过点 2. 已知抛物线，弦过其焦点，分别过弦的端点的两条切线交于点，点到直线距离的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 3.已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为． （1）求； （2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值． 4.已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B. （1）证明：直线AB过定点： （2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积. 知识点二、直线与抛物线的综合问题 题型三、抛物线中的面积问题 【例3】已知抛物线上一点到焦点的距离为9. (1)求抛物线的方程； (2)过点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，点为抛物线准线上一点，且，求的面积. 【跟踪训练】 1.如图，已知直线与抛物线交于、两点，且，于点． (1)求直线的方程； (2)求的面积． 2.已知抛物线的焦点为，为上一点，且. (1)求的方程； (2)过点且斜率存在的直线与交于不同的两点，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于点. （i）求点的坐标； （ii）求与的面积之和的最小值. 题型四、抛物线中的定点问题 【例4】已知点，是平面上一动点，以为直径的圆与轴相切，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知点，为不过点的直线与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 【例5】设抛物线：，F是其焦点，已知抛物线上一点，且 (1)求该抛物线的方程； (2)过点F作两条互相垂直的直线和，分别交曲线C于点A，B和K，N.设线段AB，KN的中点分别为P，Q，求证:直线恒过一个定点. 【跟踪训练】 1.已知抛物线的焦点为，点在拋物线上，且的面积为（为坐标原点）． (1)求抛物线的标准方程； (2)点、是抛物线上异于原点的两点，直线、的斜率分别为、，若，求证：直线恒过定点． 2.设抛物线：，F是其焦点，已知抛物线上一点，且 (1)求该抛物线的方程； (2)过点F作两条互相垂直的直线和，分别交曲线C于点A，B和K，N.设线段AB，KN的中点分别为P，Q，求证:直线恒过一个定点. 3.已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到双曲线的渐近线的距离为1． （1）求抛物线C的方程； （2）若抛物线C上一点P到F的距离是4，求P的坐标； （3）若不过原点O的直线l与抛物线C交于A、B两点，且OA⊥OB，求证：直线l过定点． 题型五、抛物线中的定值问题 【例6】已知点是抛物线：上的一点，点，是上异于点的不同的两点． (1)求的标准方程； (2)若直线，的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值，并求出此定值． 【跟踪训练】 1.已知点是抛物线：上的一点，点，是上异于点的不同的两点． (1)求的标准方程； (2)若直线，的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值，并求出此定值． 2.已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点P（x0，2）到焦点F的距离|PF|＝2x0． （1）求C的方程； （2）点M、N在C上，且PM⊥PN，PD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值． 3.已知抛物线Γ：的焦点为F，准线为l，直线经过点F且与Γ交于点A、B． (1)若，求线段AB的中点到x轴的距离； (2)设O为坐标原点，M为Γ上的动点，直线AM、BM分别与准线l交于点C、D．求证：为常数． 4.已知抛物线的准线与轴的交点为 . (1)求的方程，若经点的直线与有且只有一个公共点时，求直线的方程. (2)若过点的直线与抛物线交于，两点.求证： 为定值. 题型六、抛物线中的定直线问题 【例7】已知抛物线，过点的两条直线、分别交于、两点和、两点．当的斜率为时，． (1)求的标准方程； (2)设为直线与的交点，证明：点在定直线上． 【跟踪训练】 1.抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，在处的切线与在处的切线交于点. (1)求抛物线的方程； (2)证明：点在定直线上 题型七、抛物线中的最值与范围问题 【例8】已知抛物线的焦点为，直线与抛物线在第一象限的交点为且. (1)求抛物线的方程； (2)过直线上的点作抛物线的两条切线，设切点分别为，，求点到直线的距离的最大值. 【跟踪训练】 1.已知抛物线的焦点到直线的距离为为直线上的动点，过点作直线分别与相切于点. (1)求的方程； (2)证明：直线过定点； (3)若直线分别交轴于点，求的最小值. 2.已知抛物线的焦点为上任意一点到的距离与到点的距离之和的最小值为3． (1)求抛物线的标准方程． (2)已知过点且互相垂直的直线与分别交于点与点，线段与的中点分别为．若直线的斜率分别为，求的取值范围． 3.如图，曲线C2与抛物线C1：y＝x2关于x轴对称．P是C2上一动点，过点P作C2的切线与C1自下而上依次交于两点A，B，过点P作C1的切线与C1切于点C（P，C在y轴同侧），直线BC与y轴交于点Q． （Ⅰ）若直线AB经过C1的焦点，求|AB|； （Ⅱ）记△QAB和△PAC的面积分别为S1和S2，判断是否为定值．若是，求出此定值，若不是，请说明理由． 4.已知动点P到点F1（﹣1，0）的距离与到点F2（1，0）的距离之和为，若点P形成的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）过F1作直线l与曲线C分别交于两点M，N，当最大时，求△MF2N的面积． 一、填空题 1.已知抛物线（）与倾斜角为45°的一直线相切于点，则该抛物线的焦点坐标为______ 2.若过点的直线与抛物线交于B，C两点，以B，C为切点分别作的两条切线，则两条切线的交点的轨迹方程为 ． 3.设抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，则的面积为（    ） 4.已知抛物线的焦点为，点是抛物线上位于第一象限的点，若，则的面积为（      ） 二、选择题 5.设抛物线的准线与对称轴交于点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为和，则下列结论不正确的（ ） （A）点坐标为 （B）直线的方程为 （C） （D） 6.设抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 7.已知点为抛物线上异于原点的两个动点，若，则线段中点的横坐标的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 8.已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点的直线与抛物线交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 三、解答题 9.已知抛物线的焦点为，且F与圆上点的距离的最小值为2． (1)求； (2)已知点，，是抛物线的两条切线，，是切点，求． 10.拋物线的顶点为坐标原点，焦点为，过且斜率为的直线与交于两点． (1)当时，求； (2)若的面积为，求的值． 11.已知抛物线的焦点为． (1)求的方程； (2)若过点的直线与抛物线交于，两点．是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由． 12. 已知抛物线的焦点F到准线的距离为4 (1)求抛物线的方程； (2)已知直线与抛物线交于点两点，若，且，证明：直线过定点. 13. 已知抛物线，过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M. (1)当直线l的倾斜角为时，，求抛物线G的方程； (2)对于（1）问中的抛物线G，若点，求证：为定值，并求出该定值. 14. 已知以为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点，设直线、的斜率分别是和． (1)求抛物线的标准方程及其准线方程． (2)求证：为定值． (3)求证：直线过定点，并求出该定点． 15.已知抛物线C：，过点的直线l交抛物线交于A，B两点，抛物线在点A处的切线为，在点B处的切线为，直线与交于点M. (1)设直线，的斜率分别为直线，，求证：； (2)证明：点M在定直线上； (3)设线段AB的中点为N，求的取值范围. 16.已知抛物线：，在上有一点位于第一象限，设的纵坐标为． (1)若到抛物线准线的距离为，求的值； (2)当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离； (3)直线：，抛物线上有一异于点的动点，在直线上的投影为点，直线与直线的交点为若在的位置变化过程中，恒成立，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题2.4.3 抛物线的几何性质（3） 知识点一、抛物线的切线问题 1、过抛物线y2=2px(p>0)上的点P的切线方程是. 切点弦方程为，点在抛物线外 2、抛物线y2=2px(p>0)的斜率为k的切线方程是(k≠0). 3、如图，过点向抛物线引两条切线，切点分别为，则有：直线的方程为. 知识点二、三角形面积的四种常用形式 ，适合一切题型，属于通法，但计算量会大些， 如图， (其中底为弦长，高为点到直线的距离) ，适合边角已知的题型； 拆补法，水平底铅垂高，适合三角形某一顶点在坐标轴上的题型； 如图，点在轴上，直线交轴于点， 当是在轴异侧时， 当是在轴同侧时， 注:不管在轴同侧还是异侧，公式依然成立. 若点在轴类似可得. 知识点三、直线过定点问题 方法1：设线法，用两个参数表示直线方程，一般步骤为： ①设直线方程为(或)，联立直线与圆锥曲线方程，得出根与系数的关系； ②结合韦达定理和已知条件，得到或的关系，或者解出的值； ③将②的结果代入(或)，得到定点坐标． 方法2：解点法，用一个参数表示直线方程，一般步骤为： ①引进参数，根据已知条件，求出直线上两个点的坐标(含参)； ②特殊位置入手，找到定点(有时可考虑对称性)； ③证明三点共线，从而直线过定点．(其中一个方法是证明) 知识点四、定值问题 1、从特殊到一般求定值)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 2、直接消参求定值)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 3.常用消参方法： ①等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系，用一个参数表示另外一个参数，即可带用其他式子，消去参数． ②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值． ③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉． ④参数无关消参：当与参数相关的因式为时，此时与参数的取值没什么关系，比如： ，只要因式，就和参数没什么关系了，或者说参数不起作用． 知识点五、定直线问题 动直线与圆锥曲线相交于、两点，、为圆锥曲线上两定点，求动直线与得交点所在定直线.求解思路如下： （1）联立：联立直线与圆锥曲线的方程； （2）整理：整理得二次方程，写韦达定理； （3）翻译：表示动直线与方程； （4）二次联立：联立动直线与方程，求交点坐标； （5）消参：消参，得定直线. 知识点一、抛物线的切线问题 题型一、求抛物线的切线方程 【例1】抛物线过点的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设出切线方程，与抛物线联立，结合判别式，即得解 【解答过程】由于不为的切线，故切线斜率存在； 不妨设切线的斜率为，故切线的方程为 ，即 故，解得 故切线方程为： 故选：D. 【跟踪训练】 1.抛物线在点处的切线的斜率为（    ） A．－1 B． C． D．1 【答案】C 【解题思路】设切线方程为，联立方程组，，可解. 【解答过程】根据题意，抛物线在点处的切线的斜率存在， 设切线方程为， 联立方程组，得， 则，解得. 故选：C. 2.已知抛物线，过点作抛物线的切线，则切线方程为___________. 【答案】或 【解题思路】设切线方程，再联立令求解即可． 【解答过程】由题知切线斜率存在，设， 联立，得到， ，解得或， 则切线方程为或． 故答案为：或. 3. 抛物线在处的切线方程为___________． 【答案】 【解题思路】设出切线，联立抛物线与切线，消去x得一元二次方程，由解出参数即可得切线方程. 【解答过程】设切线为， 联立抛物线与切线，消去x得， 由，解得， 故切线为. 故答案为：. 题型二、求抛物线的切点弦方程 【例2】过引抛物线的切线，切点分别为A，.若的斜率等于2，则（    ） A． B． C．1 D．2 【解题思路】先设切点，根据导数的几何意义求切线方程，再代入点M，得到A，均满足得到一元二次方程，即得到直线的方程和斜率，结合斜率为2解得参数即可. 【解答过程】抛物线，即，则由切线斜率， 设切点，则，又， 所以切线方程为，即 ， 同理切线方程为， 两切线均过点，故，即，所以点均满足方程，即均在直线上，即直线的方程为，所以斜率为， 故. 故选：C. 【跟踪训练】 1.已知抛物线：，过直线：上的动点可作的两条切线，记切点为，则直线（   ） A．斜率为2 B．斜率为 C．恒过点 D．恒过点 【解题思路】设，求导，根据导函数几何意义得到切线方程，设，将其代入两切线方程，得到直线的方程为，得到过定点. 【解答过程】设，则，， 由于，故过点的切线方程为， 即，即， 同理可得过点的切线方程为， 设，过点的两切线交于点， 故，整理得， 同理，整理得， 故直线的方程为， 斜率不为定值，AB错误，当时，，恒过点，C错误，D正确. 故选：D. 2. 已知抛物线，弦过其焦点，分别过弦的端点的两条切线交于点，点到直线距离的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解题思路】设，设出过点过处的切线方程与抛物线联立，由，得出其斜率，化简点过处的切线方程，同理得出点过处的切线方程,根据题意得出点的坐标，结合点到直线的距离公式可得出答案. 【解答过程】设，设过处的切线方程是， 联立，得， 由题意，即， 则在处的切线方程为， 同理，处的切线方程为， 设交点的坐标为，点在两条切线上， 所以，，则直线的方程是. 又过其焦点，易知交点的轨迹是，所以，：，所以交点到直线的距离是， 所以当时距离最小值为2. 故选：D. 3.已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为． （1）求； （2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据圆的几何性质可得出关于的等式，即可解出的值； （2）设点、、，利用导数求出直线、，进一步可求得直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得面积的最大值. 【详解】（1）抛物线的焦点为，， 所以，与圆上点的距离的最小值为，解得； （2）抛物线的方程为，即，对该函数求导得， 设点、、， 直线的方程为，即，即， 同理可知，直线的方程为， 由于点为这两条直线的公共点，则， 所以，点、的坐标满足方程， 所以，直线的方程为， 联立，可得， 由韦达定理可得，， 所以，， 点到直线的距离为， 所以，， ， 由已知可得，所以，当时，的面积取最大值. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 4.已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B. （1）证明：直线AB过定点： （2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积. 【答案】（1）见详解；（2）3或. 【解析】（1）设，则. 由于，所以切线DA的斜率为，故 . 整理得 设，同理可得. 故直线AB的方程为. 所以直线AB过定点. （2）由（1）得直线AB的方程为. 由，可得. 于是， . 设分别为点D，E到直线AB的距离，则. 因此，四边形ADBE的面积. 设M为线段AB的中点，则. 由于，而，与向量平行，所以.解得t=0或. 当=0时，S=3；当时，. 因此，四边形ADBE的面积为3或. 【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题，第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小. 知识点二、直线与抛物线的综合问题 题型三、抛物线中的面积问题 【例3】已知抛物线上一点到焦点的距离为9. (1)求抛物线的方程； (2)过点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，点为抛物线准线上一点，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【解题思路】(1)根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，求； (2)把向量的数量积转化为坐标运算，求得，利用点到直线的距离公式，求出三角形的高，利用焦点弦长公式，求出，三角形面积公式，求出面积. 【解答过程】（1）由抛物线的定义得，解得， 抛物线的方程为； （2）设，由（1）知点， 直线的方程为， 由可得， 则， 不妨取，则点的坐标分别为， 设点的坐标为，则， 则， 解得.即， ， 点到直线的距离， 的面积. 【跟踪训练】 1.如图，已知直线与抛物线交于、两点，且，于点． (1)求直线的方程； (2)求的面积． 【答案】(1);(2) 【分析】（1）由点的坐标求出直线的斜率，根据垂直得到直线的斜率，利用点斜式方程可得出直线的方程； （2）联立直线与抛物线的方程，根据，结合韦达定理求出的值，由弦长公式求出，即可得到的面积. 【解析】（1）由题意可得直线的斜率为， 因为，所以直线的斜率为， 又因为直线过点，所以直线的方程为，即. （2）由得，， 设点，，则， 因为，则，解得， 所以，， 由弦长公式可得. 因为，故. 所以的面积为. 2.已知抛物线的焦点为，为上一点，且. (1)求的方程； (2)过点且斜率存在的直线与交于不同的两点，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于点. （i）求点的坐标； （ii）求与的面积之和的最小值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【解题思路】（1）由条件结合抛物线的定义列方程求，由此可得抛物线方程； （2）（i）设的方程为，联立方程组并化简，设，应用韦达定理得，写出直线方程，求出它与轴的交点坐标即得； （ii）由（i）的结论计算三角形面积和，结合基本不等式求其最值． 【解答过程】（1）由题意可得，解得， 所以的方程为：； （2）（i）由已知可得直线的斜率不为0，且过点， 故可设的直线的方程为， 代入抛物线的方程， 可得， 方程的判别式， 设，， 不妨设，则, 所以直线AD的方程为：，即 即，令，可得， 所以，所以 所以； （ii）如图所示，可得， ， 所以与的面积之和 当且仅当时，即时，等号成立， 所以与的面积之和的最小值为. 题型四、抛物线中的定点问题 【例4】已知点，是平面上一动点，以为直径的圆与轴相切，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知点，为不过点的直线与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1);(2)证明见解析， 【解析】（1）设，则中点， 以为直径的圆半径为：， 因为以为直径的圆与轴相切， 所以， 化简可得：， 即曲线的轨迹方程是； （2）设点,,直线的方程为：, 联立,得,所以,所以 因为, 即, 即 所以, 所以或 当时,直线的方程：过定点,舍去； 当时,直线的方程：过定点, 所以直线过定点． 【例5】设抛物线：，F是其焦点，已知抛物线上一点，且 (1)求该抛物线的方程； (2)过点F作两条互相垂直的直线和，分别交曲线C于点A，B和K，N.设线段AB，KN的中点分别为P，Q，求证:直线恒过一个定点. 【答案】(1);(2)证明见解析 【分析】（1）根据题意可得，进而求解即可； （2）分别建立的方程，再分别与抛物线联立方程组，求出弦中点为的坐标，最后借助斜率的变化确定直线经过定点. 【解析】（1）由题意，得，解得，， 所以该抛物线的方程为. （2）证明：设两点坐标分别为，则点的坐标为. 由题意可设直线的方程为. 由，得， 则， ， 所以点的坐标为. 同理可得，点的坐标为. 当时，有，此时直线的斜率. 所以，直线的方程为，整理得. 于是，直线恒过定点； 当时，直线的方程为，也过点. 综上所述，直线恒过定点. 【跟踪训练】 1.已知抛物线的焦点为，点在拋物线上，且的面积为（为坐标原点）． (1)求抛物线的标准方程； (2)点、是抛物线上异于原点的两点，直线、的斜率分别为、，若，求证：直线恒过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）由题意可得出关于实数、的方程组，解出的值，即可得出抛物线的标准方程； （2）设点、，由斜率公式结合抛物线方程推导出，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，可求得的值，化简直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标. 【解答过程】（1）由题意得，解得， 所以，抛物线的方程为. （2）设点、，则， 即， 显然，所以，， 若直线垂直于轴，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为， 联立，消去得， 则，且，又， 则，解得，满足， 所以，直线的方程为，故该直线过定点. 2.设抛物线：，F是其焦点，已知抛物线上一点，且 (1)求该抛物线的方程； (2)过点F作两条互相垂直的直线和，分别交曲线C于点A，B和K，N.设线段AB，KN的中点分别为P，Q，求证:直线恒过一个定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据题意可得，进而求解即可； （2）分别建立的方程，再分别与抛物线联立方程组，求出弦中点为的坐标，最后借助斜率的变化确定直线经过定点. 【解答过程】（1）由题意，得，解得，， 所以该抛物线的方程为. （2）证明：设两点坐标分别为，则点的坐标为. 由题意可设直线的方程为. 由，得， 则， ， 所以点的坐标为. 同理可得，点的坐标为. 当时，有，此时直线的斜率. 所以，直线的方程为，整理得. 于是，直线恒过定点； 当时，直线的方程为，也过点. 综上所述，直线恒过定点. 3.已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到双曲线的渐近线的距离为1． （1）求抛物线C的方程； （2）若抛物线C上一点P到F的距离是4，求P的坐标； （3）若不过原点O的直线l与抛物线C交于A、B两点，且OA⊥OB，求证：直线l过定点． 【解题思路】（1）由抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离可得p值，即得抛物线方程， （2）由抛物线的定义，可得P点， （3）由直线的位置关系，再联立抛物线，可得定点． 【解答过程】解：（1）抛物线的焦点F为，双曲线的渐近线方程为， 即，则， 解得p＝4， 故抛物线的方程为y2＝8x， （2）设P（x0，y0），由抛物线的定义可知，即， 解得x0＝2， 将x0＝2代入方程y2＝8x， 得y0＝±4， 即P的坐标为（2，±4）． 证明：（3）由题意知直线l不能与x轴平行， 故方程可设为x＝my+n（n≠0）， 与抛物线联立得，消去x得y2﹣8my﹣8n＝0， 设A（x1，y1）B（x2，y2）， 则y1+y2＝8m，y1y2＝﹣8n， 由OA⊥OB，可得x1x2+y1y2＝0， ，即， 亦即﹣8n（1）＝0，又n≠0， 解得n＝8， 所以直线方程为x＝my+8，易得直线l过定点（8，0）． 题型五、抛物线中的定值问题 【例6】已知点是抛物线：上的一点，点，是上异于点的不同的两点． (1)求的标准方程； (2)若直线，的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值，并求出此定值． 【答案】(1);(2)证明见解析，定值为 【分析】（1）点代入抛物线方程求出即可； （2）设出直线，的方程，与抛物线方程联立，求出，，结合抛物线方程，利用斜率公式求出直线的斜率即可． 【解析】（1）因为点是抛物线：上的一点， 所以，解得， 所以的标准方程为； （2）显然直线、的斜率存在且， 设直线的方程为，则直线的方程为， 由，得，， 所以，解得， 同理可得， 所以， 即直线的斜率为定值，该定值为． 【跟踪训练】 1.已知点是抛物线：上的一点，点，是上异于点的不同的两点． (1)求的标准方程； (2)若直线，的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值，并求出此定值． 【答案】(1) (2)证明见解析，定值为 【解题思路】（1）点代入抛物线方程求出即可； （2）设出直线，的方程，与抛物线方程联立，求出，，结合抛物线方程，利用斜率公式求出直线的斜率即可． 【解答过程】（1）因为点是抛物线：上的一点， 所以，解得， 所以的标准方程为； （2）显然直线、的斜率存在且， 设直线的方程为，则直线的方程为， 由，得，， 所以，解得， 同理可得， 所以， 即直线的斜率为定值，该定值为． 2.已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点P（x0，2）到焦点F的距离|PF|＝2x0． （1）求C的方程； （2）点M、N在C上，且PM⊥PN，PD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值． 【解题思路】（1）利用抛物线的定义，转化求解抛物线方程即可． （2）①直线MN斜率不存在时，PM⊥PN不成立； ②直线MN斜率不存在时，设直线MN：y＝kx+m，联立直线与抛物线方程，设M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理，结合向量的数量积，推出k、m的关系，说明直线MN过点H（5，﹣2），推出结果． 【解答过程】解：（1）由抛物线定义，得，由题意得，，解得 所以抛物线C的方程为y2＝4x． （2）证明：①直线MN斜率不存在时，PM⊥PN不成立； ②直线MN斜率存在时，设直线MN：y＝kx+m，解得k2x2+（2km﹣4）x+m2＝0， 设M（x1，y1），N（x2，y2），则，， 因为PM⊥PN，所以， 得， 所以， 得5k2+（6m﹣8）k+m2﹣4＝0，即（k+m﹣2）（5k+m+2）＝0， 当m＝﹣k+2时，过定点P（1，2），不符合题意； 当m＝﹣5k﹣2时，直线MN过点H（5，﹣2）， 所以点D在以PH为直径的圆上， 故当Q为PH的中点Q（3，0）时，定值． 3.已知抛物线Γ：的焦点为F，准线为l，直线经过点F且与Γ交于点A、B． (1)若，求线段AB的中点到x轴的距离； (2)设O为坐标原点，M为Γ上的动点，直线AM、BM分别与准线l交于点C、D．求证：为常数． 【解析】（1）设，，因为，所以． 由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为， 将直线方程代入抛物线方程得． 因为，所以，得． 设线段AB的中点，则， 所以线段AB的中点到x轴的距离为1． （2）准线方程，设，，，，， 直线AM的斜率为，直线BM的斜率为， 直线AM的方程为，直线BM的方程为， 所以， ． 设直线AB的方程为：，代入抛物线方程得， ，所以， 所以 ． 所以为常数． 4.已知抛物线的准线与轴的交点为 . (1)求的方程，若经点的直线与有且只有一个公共点时，求直线的方程. (2)若过点的直线与抛物线交于，两点.求证： 为定值. 【解析】（1）抛物线的准线方程为，依题意，解得， 所以抛物线， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由， 消去整理得，则，解得或， 所以直线的方程为或， 综上可得直线的方程为或或. （2）依题意直线的斜率存在，设直线的方程为，，， 联立抛物线有，消去得，则， ∴，，又，. ∴. ∴为定值. 题型六、抛物线中的定直线问题 【例7】已知抛物线，过点的两条直线、分别交于、两点和、两点．当的斜率为时，． (1)求的标准方程； (2)设为直线与的交点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）当直线的斜率为时，写出直线的方程，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可得出关于的方程，结合可求出的值，即可得出抛物线的标准方程； （2）分析可知直线、都不与轴重合，设直线的方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，设、，由韦达定理可得，同理可得出，写出直线、的方程，求出这两条直线的交点的横坐标，即可证得结论成立. 【解答过程】（1）解：当直线的斜率为时，直线的方程为，设点、， 联立可得， ，因为，可得， 由韦达定理可得，， ， 整理可得，解得或（舍去）， 因此，抛物线的方程为. （2）证明：当直线与轴重合时，直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 所以，直线不与轴重合，同理可知直线也不与轴重合， 设直线的方程为，联立可得， 则可得， 设点、，由韦达定理可得， 设直线的方程为，设点、，同理可得， 直线的方程为，即， 化简可得， 同理可知，直线的方程为， 因为点在抛物线的对称轴上，由抛物线的对称性可知，    交点必在垂直于轴的直线上，所以只需证明点的横坐标为定值即可， 由，消去， 因为直线与相交，则， 解得 ， 所以，点的横坐标为，因此，直线与的交点必在定直线上. 【跟踪训练】 1.抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，在处的切线与在处的切线交于点. (1)求抛物线的方程； (2)证明：点在定直线上 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】（1）利用给定的焦点坐标求出抛物线方程. （2）利用导数的几何意义求出抛物线在点处的切线方程，进而得直线方程即可推理得证. 【解析】（1）抛物线的焦点坐标为，则，解得， 所以抛物线的方程为. （2）设，直线的方程为，由，求导得， 抛物线在处的切线方程为，即， 依题意，直线过，则， 同理在处的切线过，则， 显然点在上，即直线与是同一直线， 因此，则，所以点在定直线上. 题型七、抛物线中的最值与范围问题 【例8】已知抛物线的焦点为，直线与抛物线在第一象限的交点为且. (1)求抛物线的方程； (2)过直线上的点作抛物线的两条切线，设切点分别为，，求点到直线的距离的最大值. 【解析】（1）抛物线的准线方程为：， 由抛物线定义得：，解得，所以抛物线的方程为：. （2）记，，则可设直线， 由消去并整理得， 则由题意得， 又得， 所以直线的方程为，同理，直线的方程为， 若设，则， 所以直线的方程为，即， 所以点到直线的距离，即， 当，即时，； 当时，因为则 即，所以且； 综上，. 所以点到直线的距离的最大值为5. 【跟踪训练】 1.已知抛物线的焦点到直线的距离为为直线上的动点，过点作直线分别与相切于点. (1)求的方程； (2)证明：直线过定点； (3)若直线分别交轴于点，求的最小值. 【解析】（1）由题意知， 结合，解得. 故的方程为. （2）证明：根据题意，直线的斜率存在，设其方程为. 联立，得. . 由可得，所以，因此的斜率分别为， 的方程分别为， 整理得， 联立的方程，解得，即. 因为点在直线上，所以， 所以直线的方程为， 故直线过定点. （3）由（2）可知与轴的交点横坐标分别为. 因为， 当时取等号， 故的最小值为. 2.已知抛物线的焦点为上任意一点到的距离与到点的距离之和的最小值为3． (1)求抛物线的标准方程． (2)已知过点且互相垂直的直线与分别交于点与点，线段与的中点分别为．若直线的斜率分别为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意结合抛物线的定义分析可得，进而可得； （2）设直线的方程为，直线的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理整理得，利用基本不等式运算求解. 【解答过程】（1）抛物线的准线方程为， 设点到准线的距离为． 由抛物线的定义，得，解得， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以抛物线的标准方程为． （2）设， 由题意可知，的斜率存在且均不为0， 设直线的方程为， 将其代入，得，则有． 同理可得：设直线的方程为，则． 所以， 所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 又易知， 所以的取值范围为． 3.如图，曲线C2与抛物线C1：y＝x2关于x轴对称．P是C2上一动点，过点P作C2的切线与C1自下而上依次交于两点A，B，过点P作C1的切线与C1切于点C（P，C在y轴同侧），直线BC与y轴交于点Q． （Ⅰ）若直线AB经过C1的焦点，求|AB|； （Ⅱ）记△QAB和△PAC的面积分别为S1和S2，判断是否为定值．若是，求出此定值，若不是，请说明理由． 【解题思路】（Ⅰ）设，根据导数写出切线方程，由lAB过抛物线y＝x2的焦点，解得，进而与抛物线联立求弦长即可； （Ⅱ），联立y＝x2，得，设C（x3，y3），得，由，转化为坐标运算即可． 【解答过程】解：（Ⅰ）由对称性不妨设P在y轴左侧，设， ∵y＝﹣x2，∴y'＝﹣2x，∴， 又lAB过抛物线y＝x2的焦点， ∴，∴（舍去）∴， 联立y＝x2，得． 设A（x1，y1），B（x2，y2），则， ∴． （Ⅱ）由对称性不妨设P在y轴左侧，设， ，联立y＝x2，得， ∴， ∵点C在y轴左侧，∴， 设C（x3，y3），∴， 联立， ∴x2＝﹣x3，∴BC∥x轴．∴SΔQAB＝SΔQAC＝S1， ∴． ∴． 4.已知动点P到点F1（﹣1，0）的距离与到点F2（1，0）的距离之和为，若点P形成的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）过F1作直线l与曲线C分别交于两点M，N，当最大时，求△MF2N的面积． 【解题思路】（1）根据椭圆的定义可得动点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，求出a，b的值，即可得出答案． （2）对直线l的斜率分类讨论，若斜率不存在，直接求出•和S的最值；若斜率不存在，设直线方程和点M，N坐标，联立方程组，并消元得到一元二次方程，根据韦达定理表示出x1+x2，x1x2，y1y2，进而表示出•，化简求值，即可得出答案． 【解答过程】解：（1）动点P到两顶点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离之和为2， 所以|PF1|+|PF2|＝2|F1F2|＝2， 则动点P的轨迹是F1，F2为焦点的椭圆， 所以2a＝2，c＝1， 即a，b2＝a2﹣c2＝1， 所以曲线C的方程为y2＝1． （2）①当直线l的斜率不存在时，x＝﹣1， 则M（﹣1，），N（﹣1，）， 此时•， S2×|（）|， ②当直线l的斜率存在时，设为y＝k（x+1）（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）， 联立，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2＝0， 所以x1+x2，x1x2， 所以y1y2＝k（x1+1）•k（x2+1）＝k2（x1x2+x1+x2+1）， •（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2＝x1x2﹣（x1+x2）+1+y1y2 ， 综合①②可得，当直线l：x＝﹣1时，•取得最大值， 所以S． 一、填空题 1.已知抛物线（）与倾斜角为45°的一直线相切于点，则该抛物线的焦点坐标为______ 【答案】 【解题思路】根据题意得到直线方程，联立直线和抛物线方程，令得到即可得到抛物线方程和焦点坐标. 【解答过程】由题意得，直线方程为，即， 直线方程代入抛物线方程得，由得， 所以抛物线方程为，焦点坐标为. 2.若过点的直线与抛物线交于B，C两点，以B，C为切点分别作的两条切线，则两条切线的交点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设出直线方程，利用韦达定理可求两条切线的交点的轨迹方程. 【解析】设的方程为，代入中，整理得， 设，则， 由题意过点的切线斜率存在且不为0，设为， 联立，得，由可得，即， 所以切线方程为，同理可得过点的切线方程为. 联立解得消去，得， 所以两条切线交点的轨迹方程为． 故答案为：. 3.设抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，则的面积为（    ） 【答案】 【解题思路】求出的直线，再与抛物线方程联立后化简得，再结合韦达定理可求得，从而可得，即可求解. 【解答过程】易知过点的直线为：，设，， 由得，则， 因为， 则．故D正确. 4.已知抛物线的焦点为，点是抛物线上位于第一象限的点，若，则的面积为（      ） 【答案】 【解题思路】由抛物线的定义得出的坐标，即可求出面积. 【解答过程】根据题意，可知， 因为，所以由抛物线的定义可得点的横坐标为，故 ， 所以的面积为， 二、选择题 5.设抛物线的准线与对称轴交于点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为和，则下列结论不正确的（ ） （A）点坐标为 （B）直线的方程为 （C） （D） 【答案】D 6.设抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易知过点的直线为：，设，， 由得，则， 因为， 则．故D正确. 故选：D. 7.已知点为抛物线上异于原点的两个动点，若，则线段中点的横坐标的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解析】设的中点，抛物线的准线为， 如图，作，垂足分别为. 由直角梯形的性质可得， 取抛物线焦点为，由抛物线定义可得， 当且仅当直线经过点时取等号， 所以线段中点的横坐标的最小值为． 故选：B. 8.已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点的直线与抛物线交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】（方法一） 因为抛物线的焦点到准线的距离为，故， 所以抛物线的方程为，焦点坐标为， 设直线的方程为：，不妨设， 联立方程，整理得，则， 故， 又，， 则， 当且仅当时等号成立，故的最小值为. 故选：B. （方法二）由方法一可得，则， 因此 ， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为. 故选：B. 三、解答题 9.已知抛物线的焦点为，且F与圆上点的距离的最小值为2． (1)求； (2)已知点，，是抛物线的两条切线，，是切点，求． 【答案】(1)2 (2) 【解题思路】（1）根据圆外一点到圆上的点的最小距离的求法确定的值. （2）设过点的切线方程，带入抛物线方程，由直线与抛物线相切，可求切线斜率和切点坐标，利用两点间的距离公式求. 【解答过程】（1）因为（），则其到圆心距离减去半径为2，故 . （2）由（1）可知，抛物线的标准方程为：. 如图：    因为过点的切线一定有斜率，故设切线方程为：，即， 代入得：，整理得：. 因为直线与抛物线相切，所以 或. 当时，由 ，所以切点； 当时，由 ，所以切点. 所以 . 10.拋物线的顶点为坐标原点，焦点为，过且斜率为的直线与交于两点． (1)当时，求； (2)若的面积为，求的值． 【解题思路】（1）首先得到焦点坐标，则直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据焦点弦公式表示出，再代入即可得解； （2）求出点到直线的距离，再由面积公式得到方程，解得即可. 【解答过程】（1）拋物线的焦点， 则直线的方程为． 设， 由，得， 则，所以， 所以， 当时，． （2）因为， 点到直线 的距离， 所以， 化简得，解得，即． 11.已知抛物线的焦点为． (1)求的方程； (2)若过点的直线与抛物线交于，两点．是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由． 【解题思路】（1）根据抛物线焦点写出抛物线方程即可； （2）设直线的方程为，，，联立抛物线，应用韦达定理及两点距离公式化简目标式，即可证结论. 【解答过程】（1）抛物线的焦点为，依题意，解得， 所以抛物线． （2）由题意，直线斜率不为0，设直线的方程为，，， 联立抛物线有，消去得，则， ∴，，又，， ∴ ，为定值. 12. 已知抛物线的焦点F到准线的距离为4 (1)求抛物线的方程； (2)已知直线与抛物线交于点两点，若，且，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）由题意结合抛物线定义可得答案； （2）设，，将直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理结合·＝0，可得，据此可得答案. 【解答过程】（1）抛物线的焦点F，准线方程为x＝－， 由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，∴抛物线的方程为. （2）证明：设， 联立，消去x，整理得，， 得，又，可知且 由韦达定理可知，＝· 由·＝0，即，. 即，直线，故直线l过定点. 13. 已知抛物线，过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M. (1)当直线l的倾斜角为时，，求抛物线G的方程； (2)对于（1）问中的抛物线G，若点，求证：为定值，并求出该定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析，6. 【解题思路】（1）求得抛物线的焦点坐标，设直线的方程代入抛物线的方程，设，运用韦达定理，弦长公式，解方程可得，进而得到所求方程； （2）运用中点坐标公式，求得，由两点的距离公式，可得，进而得到的定值. 【解答过程】（1）由题意知，设直线的方程为， 由 得：，所以， 所以，所以， 故抛物线的方程为 （2）由（1）抛物线的方程为， 当直线的斜率为0时，直线的方程为，直线与抛物线只有一个交点，与已知矛盾， 故直线的斜率不为0，故可设的方程为 消去得：，设， 则， 所以， ，即 ， 所以 . 所以：为定值，该定值为6. 14. 已知以为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点，设直线、的斜率分别是和． (1)求抛物线的标准方程及其准线方程． (2)求证：为定值． (3)求证：直线过定点，并求出该定点． 【答案】(1)标准方程为，准线方程为； (2)证明见解析； (3)证明见解析，. 【解题思路】（1）根据焦点坐标求解即可； （2）设切线的方程为，将其与抛物线方程联立，利用韦达定理求解即可； （3）直线的方程为，将其与抛物线方程联立，利用得到且，代入计算即可得证． 【解答过程】（1）由题意知抛物线的标准方程为（）且， ∴，抛物线的标准方程为，准线方程为； （2）设点P的坐标为，， 由题意，过点与抛物线相切的直线的斜率存在且不为0， 设切线的斜率为，则切线的方程为， 联立方程组，消去，得， ∴得（*）， 又、为方程（*）的两根，由韦达定理得为定值； （3）由题知，直线的斜率不为， 设直线的方程为，，， 联立，整理得，， ∴，， ∵， ∴， 整理得， 代入有， ∴， ∴且， ∴，故直线过定点． 15.已知抛物线C：，过点的直线l交抛物线交于A，B两点，抛物线在点A处的切线为，在点B处的切线为，直线与交于点M. (1)设直线，的斜率分别为直线，，求证：； (2)证明：点M在定直线上； (3)设线段AB的中点为N，求的取值范围. 【解析】（1）由题意知，直线的斜率存在，设直线与抛物线交于不同的两点，， 设直线的方程为， 联立，消去得，，且， 则 由，得， ，， . （2）直线与交于点M，设， 抛物线在点A处的切线方程为， 即， 同理，在点B处的切线方程为. 联立，解得， 将式代入化简得， 则点在定直线上. （3）线段AB的中点为N， 由（1）可得，，， 则. ， 又 将式代入得，， 则， 由，则. 的取值范围为. 16.已知抛物线：，在上有一点位于第一象限，设的纵坐标为． (1)若到抛物线准线的距离为，求的值； (2)当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离； (3)直线：，抛物线上有一异于点的动点，在直线上的投影为点，直线与直线的交点为若在的位置变化过程中，恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）抛物线：的准线为，由于到抛物线准线的距离为， 则点的横坐标为，则，解得； （2）当时，点的横坐标为，则， 设，则的中点为， 由题意可得，解得， 所以，则， 由点斜式可得，直线的方程为，即， 所以原点到直线的距离为； （3）如图， 设，则， 故直线的方程为，令，可得， 即， 则，依题意，恒成立， 又，则最小值为， 即，即， 则，解得， 又当时，，当且仅当时等号成立， 而，即当时，也符合题意．故实数的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $