专题3.4.1 空间向量在立体几何中的应用--判断空间直线、平面的位置关系 2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义（沪教版2020选择性必修第一册）

2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题3.4.1 空间向量在立体几何中的应用 --判断空间直线、平面的位置关系 知识点一、直线的方向向量与平面的法向量 1.直线的方向向量：与直线平行的任何非零向量 2.平面的法向量：垂直于平面的任何非零向量 3.平面法向量的求法 要求一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系,如果已有直线与平面垂直,那就直接得到平面 的法向量.如果没有明显直线与平面垂直,一般用待定系数法求法向量,其步骤如下: (1)设平面法向量为; (2)找出平面内的两个不共线向量 (3)根据法向量的定义建立方程组; (4)解方程组,取其中一个解,得到(因为有无数个,常在方程组的解中取一个比较简单的解作为平面的一个法向量,一般令,,) 建立空间直角坐标系的注意点: 选取原点时,要以坐标计算简便为标准,要注意找到两两垂直且交于一点的三条直线 知识点二、用空间向量研究直线、平面的平行关系 1．空间中直线、平面的平行 (1)线线平行的向量表示：设分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔⇔∃λ∈R，使得. (2)线面平行的向量表示：设是直线 l 的方向向量，是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔⊥⇔·＝0. (3)面面平行的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔⇔∃λ∈R，使得. 2．利用向量证明线线平行的思路： 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 3．证明线面平行问题的方法： (1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内； (2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内； (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内． 4．证明面面平行问题的方法： (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 知识点三、用空间向量研究直线、平面的垂直关系 1．空间中直线、平面的垂直 (1)线线垂直的向量表示：设 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则l1⊥l2⇔⇔. (2)线面垂直的向量表示：设是直线 l 的方向向量，是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔∥⇔∃λ∈R，使得＝λ. (3)面面垂直的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔⇔. 2．证明两直线垂直的基本步骤： 建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 3．用坐标法证明线面垂直的方法及步骤： (1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直． (2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 4．证明面面垂直的两种方法： (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 考点一 直线方向向量、平面的法向量的概念与求解 题型01：直线的方向向量 【例1】若A（﹣1，0，1），B（1，4，7）在直线l上，则直线l的一个方向向量为（　　） A．（1，2，3） B．（1，3，2） C．（2，1，3） D．（3，2，1） 【解答】解：由题意可得：直线l的一个方向向量 （2，4，6）， 又∵（1，2，3）（2，4，6）， ∴（1，2，3）是直线l的一个方向向量． 故选：A． 【跟踪训练】 1.（1）已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于___________. (2)在如图所示的坐标系中，ABCD­A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为________，直线BC1的一个方向向量为________． [解析]　(1)∵A(0，y，3)和 B(－1，2，z)，∴＝(－1，2－y，z－3)， ∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)， 故设＝km. ∴－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k. 解得k＝－，y＝z＝. ∴y－z＝0. (2)∵DD1∥AA1，＝(0，0，1)， ∴直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)； ∵BC1∥AD1，＝(0，1，1)， ∴直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)． [答案]　(1)A　(2)(0，0，1)　(0，1，1)(答案不唯一) 2．从点A(2，－1，7)沿向量a＝(8，9，－12)的方向取线段长||＝34，则B点的坐标为(　　) A．(18，17，－17) B．(－14，－19，17) C. D. 解析：选A　设B点坐标为(x，y，z)，则＝λa(λ>0)，即(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8，9，－12)，因为||＝34， 即＝34，得λ＝2， 所以x＝18，y＝17，z＝－17. 3．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线l是两平面与的交线，则下列向量可以为直线l的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线l的方向向量， 【详解】由阅读材料可知：平面的法向量可取， 平面的法向量可取， 设直线的方向向量， 则，令，则， 故选：B 题型02：平面法向量的的概念与求解 【方法点拨】法向量的求解： （1）直接求解法：几何体中存在垂直平面的棱，直接提取棱的方向向量作为法向量，只需先证明该棱与平面内两条相交直线垂直。 （2）待定系数坐标法：设平面内两相交直线方向向量，设法向量，联立方程组，赋值求解一组非零解即为平面法向量。 【例2】已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则的值（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【分析】由已知可得，即，计算即可得出结果. 【详解】因为是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量， 且直线平面，所以， 所以，解得. 故选：B. 【例3】已知点，，，则平面的法向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用待定系数法，设出法向量，取平面中两个不共线向量，根据向量点积建立方程，可得答案. 【解答过程】由已知得，．设， 则即令，则，，所以． 故选：A. 【例4】如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD＝2，PD⊥底面ABCD，且PD＝AD，求：平面PAB的一个法向量． 【解答过程】解：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BDAD， 从而BD2+AD2＝AB2，故BD⊥AD，坐标原点，射线DA，DB，DP为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz， 则A（1，0，0），B（0，，0），P（0，0，1）． 设平面PAB的法向量为（x，y，z），则，即， 即，因此可取． 【跟踪训练】 1．在空间直角坐标系中，是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则________ 【分析】直线与平面垂直则直线的方向向量与平面的法向量平行，再根据空间中两平行向量的坐标关系进行求解. 【详解】因为，所以∥，则，解得. 2.已知，则平面ABC的一个法向量可以为_______ 【解题思路】由题设，，根据平面的法向量性质及空间向量数量积的坐标运算求法向量即可. 【解答过程】由题设，， 若是平面ABC的一个法向量，则， 取，则. 3.直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量为，，，则、、的值依次为 . 【答案】、、 【分析】依题意可得、，即可求出、、的值. 【详解】因为，直线的方向向量为，直线的方向向量为， 所以，则，即，解得， 因为，直线的方向向量为，平面的法向量为， 所以，所以，即，所以，解得， 则、、的值依次为、、. 故答案为：、、 4.空间直角坐标系中，已知，，，则“”是“为平面的法向量”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为，，， 所以. 当时，， ，， 所以是平面的一个法向量； 当是平面的一个法向量时， ，解得. 所以“”是“为平面的法向量”的充分不必要条件. 故选：A. 考点二 向量法证明空间中的平行 题型03：用向量法证明线面平行 【例5】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，在阳马中，侧棱平面，且，E为BC的中点，F为DP上的点，．当时，证明：平面． 【答案】证明见解析 【详解】因为侧棱平面，底面为长方形， 以A为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 又因为E为的中点，F为上的点，，即F为的中点， 则，可得， 又因为侧棱平面，平面，所以， 又因为底面为长方形，有， 平面，，所以平面， 所以为面的法向量. 又因为，所以， 又平面，所以平面． 【跟踪训练】 1.已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则实数的值为_______ 【详解】由直线平面，可得，则 则，解得 2.直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若平面，则______ 【解题思路】根据题意可得，结合空间向量数量积的坐标运算可求得的值. 【解答过程】直线的一个方向向量为， 平面的一个法向量为， 因为平面，则， 所以，，解得. 3.如图，已知矩形所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且.设点为棱的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【解题思路】利用勾股定理逆定理先判定，建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系即可. 【解答过程】由已知，， 可知，则， 又矩形中有，且， 平面， 所以平面， 又， 则平面， 所以两两垂直， 故以为原点，分别为轴，轴，轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则， 所以. 易知平面的一个法向量等于， 所以， 所以， 又平面， 所以平面. 4.如图，已知多面体是由正四棱锥P-ABCD与正方体组合而成的，且.    (1)求证：平面； (2)若，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)9． 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系证明线面平行即可； （2）根据线面垂直结合锥体体积公式计算即可. 【解答过程】（1）如图以点为原点，为 x 轴为 y 轴为 z 轴建立空间直角坐标系． 设 ,则 ,过 P 作平面 . 是正四棱锥点是正方形的中心, 因为，所以, 设平面法向量为, , , 则, 可得, 所以,,不在平面内，所以平面    （2）因为，所以, 因为平面,所以， 因为,平面,平面,所以平面, . 题型04：用向量法证明面面平行 【例6】如图，在八面体中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面∥平面QBC，二面角与二面角的大小都是，，．证明：平面∥平面QAB． 【答案】证明见解析 【详解】因为为正方形，所以， 又因为，，，平面， 所以平面，且平面，则， 所以为二面角的平面角，即， 又因为平面∥平面QBC，∥， 所以平面，且平面，则， 所以为二面角的平面角，即，    如图建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，即，所以∥， 且平面，平面，所以∥平面， 又因为∥，平面，平面，所以∥平面， 因为，平面， 所以平面∥平面QAB． 【跟踪训练】 1.已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为________ 【解题思路】由空间向量平行的坐标表示得结论． 【解答过程】因为，所以，所以，解得， 2.已知平面平面，与的法向量分别为，，且，，则__________. 【答案】 【详解】因为平面平面，与的法向量分别为，，所以， 所以，即，所以， 解得，所以. 故答案为： 3.如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）由已知可证得两两垂直，所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明； （2）证明平行于平面，结合面面平行判定定理证明结论. 【解答过程】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 因为四边形为矩形，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，，. 则，因为，，分别是，，的中点， 所以，，， 所以. 因为平面的一个法向量为， 所以，即. 又因为平面，所以平面. （2）因为， 所以，所以， 又平面，所以平面. 又因为，平面， 所以平面平面. 题型05：向量法探究空间中的平行关系 【方法点拨】（1）设参建模：棱、面上动点设含单参数坐标，写出直线方向向量、平面法向量，结合平行向量等式列方程。 （2）求解检验：解方程得到参数后，一定要验证参数取值范围，保证动点落在对应线段、平面内。 【例7】如图，长方体中，，， (1)求证：平面平面; (2)线段上，是否存在点，使得平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在. 【分析】 【详解】（1）因为长方体，所以，，两两垂直， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系： 由题知， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设平面的法向量为， 则，故可取， 因为，所以平面平面. （2）设线段上存在点使得平面， 由（1）得，，平面的法向量， 所以， 由解得， 即为线段中点时，平面. 【跟踪训练】 1. 如图，在长方体中，，，点在棱上运动. (1)证明：； (2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点使得平面， 【分析】 【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系， ， 设，则， ，所以. （2）若是的中点，则，， ，， 设平面的法向量为， 则， 设，则，， 故为平面的一个法向量. 设，， 若平面，平面， 则，所以是的中点，所以. 2. 在四棱锥中，平面平面，，，，，，. (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】 【详解】（1）∵面面，面面， ，面， ∴面， ∵面， ∴， 又，，面，面 ∴面， （2）取中点为，连结， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵面面，面面， 两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 易知，，，， 则，，，， 设为面的法向量，令. 则 假设存在点使得面， 设，， 又，，，， 有∴ ∵面，为的法向量， ∴，即，得 综上，存在点，即当时，点即为所求. 考点三 向量法证明空间中的垂直 题型06：用向量法证明线线垂直 【例8】如图，在正方体中，，分别是，的中点，则直线与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．异面垂直 D．异面不垂直 【答案】C 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解判断即可. 【解答过程】以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2， 则，，，， ，， ，， 又平面，平面，平面，且， 直线与异面垂直． 故选：C． 【跟踪训练】 1.如图所示，平面，底面边长为1的正方形，2，P是MC上一点，且. (1)建立适当的坐标系并求点坐标； (2)求证：. 【答案】(1)答案见解析， (2)证明见解析 【解题思路】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，由条件列式可求得点坐标； （2）利用空间向量的数量积的坐标运算证明即可． 【解答过程】（1）因为平面，且平面， 所以，， 在正方形中，， 所以两两垂直， 如图，以为原点，方向为轴，建立空间直角坐标系， 因为底面边长为1的正方形，2， 则，， 设， 由，可得， 解得，即. （2）因为， 所以，，则， 所以，. 题型07：用向量法证明线面垂直 【例9】如图，四棱锥P­ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F分别为PB，AD中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是________. 【答案】垂直 【详解】以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则E ，F ，∴＝， 平面PBC的一个法向量＝(0,1,1)． ∵＝－，∴∥.∴EF⊥平面PBC． 故答案为：垂直 【点睛】本题考查线面垂直的判定，考查向量数量积与垂直的关系，考查逻辑推理与计算能力，属于中档题. 【跟踪训练】 1.如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点. (1)求的长； (2)求证： 平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）先建立空间直角坐标系，再求出坐标，进而求出向量求出模长； （2）应用向量法得出线线垂直，再根据线面垂直判定定理证明即可. 【解答过程】（1）因为平面，，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，所以，. （2）依题意得， 所以， 则，即， 又因为，平面，所以平面. 3. 如图，在三棱锥中，平面，，，，是棱上一点，且，为棱的中点．证明：平面； 【答案】证明见解析 【详解】以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系． 由已知：，得． 在上且，故，. 为中点，则．计算向量：． ， . 又，平面，故平面． 题型08：用向量法证明面面垂直 【例10】如图所示，是一个正三角形，平面，，且． (1)求平面的法向量； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明见解析 【解题思路】（1）以为原点建立空间直角坐标系，根据法向量与平面垂直求出法向量即可； （2）证明两平面的法向量垂直即可. 【解答过程】（1）因为平面，平面，所以， 以为原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量是， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为. （2）设平面的一个法向量是， 则，令，则， 因为，所以， 所以平面平面. 【跟踪训练】 1.已知，，分别是平面的一个法向量，则三个平面中互相垂直的有________对． 【答案】0 【详解】因为，，， 所以 中任意两个都不垂直，即中任意两个都不垂直． 故答案为： 2.如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，，，分别为棱，的中点，.用向量法证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【解题思路】根据题干条件及线面垂直的判定定理可证明平面，利用线面垂直的性质可得，，两两垂直，故以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用证明面面垂直的向量法即可证明. 【解答过程】证明：在直三棱柱中，. 又，，平面，∴平面. ∵平面，平面，∴，，∴，，两两垂直. 以点为坐标原点，以，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则由题可得，，，，，， ∴，，，. 设平面的法向量为， 则，即，即， 令，则，∴平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则，即，即， 令，则，∴平面的一个法向量为. ∴， ∴平面平面. 题型09：向量法探究垂直关系的存在性问题 【方法点拨】（1）设参建模：棱、面上动点设含单参数坐标，写出直线方向向量、平面法向量，结合垂直向量等式列方程。 （2）求解检验：解方程得到参数后，一定要验证参数取值范围，保证动点落在对应线段、平面内。 【例11】如图，在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，点，分别在棱，上移动，且. (1)当时，证明：直线平面； (2)是否存在，使平面平面？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】 【详解】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下空间直角坐标系， 则、、、，， 所以，，则，故，即， 又平面，平面，因此平面； （2）由（1）知、、、、， 设平面的一个法向量为，，， 由，可得，取，则， 设平面的一个法向量为，，， 由，可得，取，则， 当平面平面时，则. 所以，整理可得，，解得. 所以当时平面平面. 【跟踪训练】 1.如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】 【详解】（1）证明：设的中点为，连接， 因为P为的中点，Q为的中点， 所以，，， 在直三棱柱中，，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面， 又平面平面，平面， 所以. （2）在直三棱柱中，平面，， 故可以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 则，， 又，则， 所以， 若平面，则， 则，解得， 所以线段上存在点P，使得平面，此时. 2.如图，直三棱柱中，，，分别为，的中点．    (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使平面？若存在，求；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见详解； (2)Q是的中点, 即. 【解题思路】（1）（2）根据给定的几何体，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即可. 【解答过程】（1）在直三棱柱中，，直线两两垂直， 以C为原点，以直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，    设，则， ，设是平面的一个法向量， 则，令，得， 显然，即，而平面， 所以平面. （2）假定线段上存在点满足条件，由（1）设，， ， 则，， 设是平面的一个法向量， 则，令，得， 由平面，得，即存在实数，满足： ，即，解得，因此，即Q是的中点， 所以线段上存在点，使平面，. 一、填空题 1.已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则值为____ 【解题思路】由已知可得，设，列方程求. 【解答过程】因为直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，， 所以，设， 则， 所以，. 2.已知点，，，则平面的法向量是_______ 【解题思路】利用待定系数法，设出法向量，取平面中两个不共线向量，根据向量点积建立方程，可得答案. 【解答过程】由已知得，．设， 则即令，则，，所以． 3.已知，分别是平面，的法向量，若，则________ 【解题思路】根据法向量定义得到，进而得到，得到方程，求出答案. 【解答过程】，故， 故，解得. 4．如图，在棱长为1的正方体中，已知，若，则_____ 【解题思路】以为原点，建立空间直角坐标系，设，得到和，结合，利用向量的数量积的公式，列出方程，即可求解. 【解答过程】以为原点，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，， 设，则，， 因为，所以，即，解得. 5.已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面和平面的位置关系是___________． 【答案】平行 【详解】由题意, 因，即平面和平面的法向量是共线向量，故两平面互相平行. 故答案为：平行. 6.如图，在平行六面体中，，，则下列直线与平面垂直的是________ 【解题思路】设，，，根据空间向量的数量积运算可得，进而可得平面. 【解答过程】设，，， 则为空间所有向量的一个基底，且，，， 因为，， 所以，， ，， ，又 ，平面， 平面. 7.在长方体中，，，，是的中点，点满足，当平面时，的值为 . 【答案】 【解题思路】建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法即可求解. 【解答过程】 根据已知条件，建立如图所示： 以为坐标原点，、、分别为、、轴的空间直角坐标系， ，，，，， ，， ， ， 设平面的一个法向量， ，，则， 令，有，，所以， 平面，则，即， 解得. 故答案为：. 8. 已知､分别为不重合的两直线､的方向向量，､分别为不重合的两平面､的法向量，则下列所有正确结论的序号是___________. ①；②；③；④. 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】 根据直线的方向向量与平面向量的法向量的定义判断即可； 解：因为､分别为不重合的两直线､的方向向量，､分别为不重合的两平面､的法向量； 直线，的方向向量平行（垂直）等价于直线､平行（垂直），故①、②正确； 平面，的法向量平行（垂直）等价于平面，平行（垂直）、故③、④正确； 故答案为：①②③④ 9. 如图所示，正方体的棱长为，、分别为和上的点，，则与平面的位置关系是______． 【答案】平行 【解析】 【分析】 以为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求得的方向向量和平面的法向量，由向量法即可判断. 因为是正方体，且棱长为， 故以为坐标原点建立空间直角坐标系，如下所示： 则， 由题可知，设点坐标为， 则，故可得，即； ，设点坐标为， 则，故可得，即； 故所在的方向向量为， 又平面的一个法向量， 故，故直线//面. 故答案为：平行. 10. 如图，在正方体中，点E是线段上的动点，则以下所有正确结论的序号是___________. ①当点E与点重合时，； ②当点E与线段的中点重合时，与异面； ③无论点E在线段的什么位置，都有； ④若异面直线与AD所成的角为，则的最大值为. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】 建立空间直角坐标系，设出正方体棱长，利用空间向量证明垂直关系，得到①③正确；利用空间向量得到，从而得到与共面，②错误；利用异面直线的夹角公式得到，换元后结合求出余弦的最大值. 以A坐标原点，AB，AD，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为，则， 当点E与点重合时，， 所以，故，①正确； 当点E与线段的中点重合时，， 则，，则， 所以∥，则与共面，②错误； 设，， 则， 所以， 所以无论点E在线段的什么位置，都有，③正确； ， 令，则， 当时，，此时取得最大值为，③正确； 故答案为：①③④ 二、选择题 11. 已知空间向量和三个不同的点、、，且，则“点在直线上”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为空间向量和三个不同的点、、，且， 若点在直线上，则，故存在实数使得. 由题设可得，， 即“点在直线上”“”， 若，不妨假设点不在直线上，则为平面的一个法向量，符合题意， 所以“点在直线上”“”， 故“点在直线上”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 12.已知分别是平面的法向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．7 【答案】D 【解题思路】根据两平面垂直可得法向量垂直，即可根据坐标运算求解. 【解答过程】由，所以， ，解得. 故选：D. 13.如图，下列正方体中，为底面的中点，为所在棱的中点，、为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．③④ B．①② C．②④ D．②③ 【答案】D 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断的值即可. 【解答过程】设正方体的棱长为， 对于①：如图建立空间直角坐标系，则， 可得，则， 所以与不垂直，即与不垂直，所以①错误； 对于②：如图建立空间直角坐标系，则， 可得，则， 所以，即，所以②正确；    对于③：如图建立空间直角坐标系，则， 可得，则， 所以，即，所以③正确； 对于④：如图建立空间直角坐标系，则， 可得，则， 所以与不垂直，即与不垂直，所以④错误； 故选：D. 14.已知为平行四边形外的一点，且，则（   ） A． B．与同向的单位向量为 C． D．平面的一个法向量为 【答案】C 【解题思路】A，由题可得，即可得判断选项正误；B，由可得与其同向的单位向量；C，由图可得向量；D，由，结合法向量定义可判断选项正误. 【解答过程】对于A，由题，又， 因为，所以与不平行，A错误； 对于B，因，则， 得与同向的单位向量为，故B错误； 对于C，由图可得，故C正确； 对于D，由，设， 则， 则，与不垂直，这与法向量定义不符，故D错误. 故选：C. 15.如图，在正方体中，点分别为所在棱的中点，则（    ） A． B．平面 C．直线与为异面直线 D．平面 【答案】D 【解题思路】首先以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法，判断垂直和平行关系. 【解答过程】如图，建立空间直角坐标系，设棱长为， A.，，，，，， ，所以与不垂直，故A错误； B.平面的法向量为，，所以与平面的法向量不垂直，则与平面不平行，故B错误； C.，，，，所以，则，故C错误； D.，，，，， ，，，平面，所以平面，故D正确. 故选：D. 16.如图，在正方体中，点分别为棱的中点，平面交棱于点，则下列结论中正确的是（    ）   A．直线与直线异面 B．直线平面 C．平面平面 D．截面是直角梯形 【答案】B 【解题思路】根据线面平行可判断是的中点，，即可建立空间直角坐标系，求解向量的坐标，即可根据向量的垂直求解BD，根据面面平行求解C. 【解答过程】取的中点，则是的中点，（理由如下：） 由于是的中点，则,故，因此在同一平面，故是的中点， 对于A，连接,则，故，故直线与直线共面，A错误， 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则, 故, 由于，， 故，，平面 故直线平面，B正确， 对于C，由于，平面，平面，故平面，又平面，平面，故平面，平面，故平面平面，但由于平面与平面相交，故平面与平面不可能平行，C错误， 由于， ,, 故不垂直，且不垂直，又，故四边形不是直角梯形， 故选：B. 三、解答题 17．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点． (1)证明：B1D⊥平面ABD； (2)证明：平面EGF∥平面ABD. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】 【分析】 （1）建立空间直角坐标系，利用向量法来证得平面. （2）利用向量法证得平面平面. (1) 以B为坐标原点，BA、BC、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，设BA＝a，则A(a,0,0)， 所以＝(a,0,0)，＝(0,2,2)，＝(0,2，－2)， ·＝0，·＝0＋4－4＝0，即B1D⊥BA，B1D⊥BD. 又BA∩BD＝B，因此B1D⊥平面ABD. (2) 由(1)知，E(0,0,3)，G，F(0,1,4)，则＝，＝(0,1,1)， ·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0，即B1D⊥EG，B1D⊥EF. 又EG∩EF＝E，因此B1D⊥平面EGF.     结合(1)可知平面EGF∥平面ABD. 18.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.证明：平面PQC⊥平面DCQ. 证明：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，DA，DP，DC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz. 则D(0，0，0)，Q(1，1，0)，C(0，0，1)，P(0，2，0)，则＝(1，1，0)，＝(0，0，1)，＝(1，－1，0)，∴·＝0，·＝0，即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，又DQ∩DC＝D，DQ，DC⊂平面DCQ，∴PQ⊥平面DCQ，又PQ⊂平面PQC，∴平面PQC⊥平面DCQ. 19.如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得∥平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，当与重合时，使得∥平面. 【解题思路】（1）连接交于点，则由四边形为菱形，得，由平面，得，再利用线面垂直的判定定理可结论； （2）由题意可证得两两垂直，则以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【解答过程】（1）证明：连接交于点， 因为四边形为菱形，所以， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面， 所以平面； （2）解：取的中点，连接， 因为四边形为菱形，，所以为等边三角形， 所以， 因为平面，平面，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系， 设，则， 所以， 假设存在点，使得∥平面， 设，则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 由，得， 此时与重合，平面， 所以存在点，当与重合时，使得∥平面. 20.如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形所在的平面互相垂直，已知，. (1)求证：； (2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【解题思路】（1）根据题意，由线面垂直的判定定理可得平面，再由其性质定理即可证明； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【解答过程】（1） 证明：∵平面平面，平面， ，平面，∴平面. ∵平面，∴， 过A作于H， 则， ∴，∴，∴. ∵，平面， ∴平面. ∵平面，∴. （2） 存在.理由：由（1）知，两两垂直， 以A为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 假设在线段BE上存在一点P满足题意，则易知点P不与点B，E重合， 设，则， 由，可求得. 设平面PAC的一个法向量为，则， 由， 可得， 即，令，则，所以为平面PAC的一个法向量. 又， 设平面BCEF的一个法向量为， 则，可得， 所以为平面BCEF的一个法向量. 当，即时，平面平面，故存在满足题意的P， 此时. 21. 如图，在长方体中，.    (1)求证：平面平面.（使用向量方法） (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，为线段的中点 【解题思路】（1）以为原点建系，求出两个平面的法向量，证明其平行即可； （2）设，利用平面的法向量与垂直即可求出. 【解答过程】（1）证明：由题可以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，， 则. 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，即，所以平面平面. （2）设线段上存在点，使得平面， 设， 由（1）得，平面的一个法向量为， 所以， 令，解得， 所以当为线段的中点时，平面. 22. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，先通过线面垂直的判定定理说明向量为平面的一个法向量，再利用可得线面平行； （2）分别求出平面和平面的法向量，利用法向量垂直可证得面面垂直. 【解答过程】（1） 依题意，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，． 由E为棱的中点，得． 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以向量为平面的一个法向量，而， 所以，又平面，所以平面． （2）设平面的一个法向量为， 则，即 不妨令，可得为平面的一个法向量． 设平面的法向量，又向量，， 则，即， 不妨令，可得为平面的一个法向量． 因为，所以． 所以平面平面． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题3.4.1 空间向量在立体几何中的应用 --判断空间直线、平面的位置关系 知识点一、直线的方向向量与平面的法向量 1.直线的方向向量：与直线平行的任何非零向量 2.平面的法向量：垂直于平面的任何非零向量 3.平面法向量的求法 要求一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系,如果已有直线与平面垂直,那就直接得到平面 的法向量.如果没有明显直线与平面垂直,一般用待定系数法求法向量,其步骤如下: (1)设平面法向量为; (2)找出平面内的两个不共线向量 (3)根据法向量的定义建立方程组; (4)解方程组,取其中一个解,得到(因为有无数个,常在方程组的解中取一个比较简单的解作为平面的一个法向量,一般令,,) 建立空间直角坐标系的注意点: 选取原点时,要以坐标计算简便为标准,要注意找到两两垂直且交于一点的三条直线 知识点二、用空间向量研究直线、平面的平行关系 1．空间中直线、平面的平行 (1)线线平行的向量表示：设分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔⇔∃λ∈R，使得. (2)线面平行的向量表示：设是直线 l 的方向向量，是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔⊥⇔·＝0. (3)面面平行的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔⇔∃λ∈R，使得. 2．利用向量证明线线平行的思路： 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 3．证明线面平行问题的方法： (1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内； (2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内； (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内． 4．证明面面平行问题的方法： (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 知识点三、用空间向量研究直线、平面的垂直关系 1．空间中直线、平面的垂直 (1)线线垂直的向量表示：设 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则l1⊥l2⇔⇔. (2)线面垂直的向量表示：设是直线 l 的方向向量，是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔∥⇔∃λ∈R，使得＝λ. (3)面面垂直的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔⇔. 2．证明两直线垂直的基本步骤： 建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 3．用坐标法证明线面垂直的方法及步骤： (1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直． (2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 4．证明面面垂直的两种方法： (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 考点一 直线方向向量、平面的法向量的概念与求解 题型01：直线的方向向量 【例1】若A（﹣1，0，1），B（1，4，7）在直线l上，则直线l的一个方向向量为（　　） A．（1，2，3） B．（1，3，2） C．（2，1，3） D．（3，2，1） 【跟踪训练】 1.（1）已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于__________. (2)在如图所示的坐标系中，ABCD­A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为________，直线BC1的一个方向向量为________． 2．从点A(2，－1，7)沿向量a＝(8，9，－12)的方向取线段长||＝34，则B点的坐标为(　　) A．(18，17，－17) B．(－14，－19，17) C. D. 3．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线l是两平面与的交线，则下列向量可以为直线l的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 题型02：平面法向量的的概念与求解 【方法点拨】法向量的求解： （1）直接求解法：几何体中存在垂直平面的棱，直接提取棱的方向向量作为法向量，只需先证明该棱与平面内两条相交直线垂直。 （2）待定系数坐标法：设平面内两相交直线方向向量，设法向量，联立方程组，赋值求解一组非零解即为平面法向量。 【例2】已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则的值（    ） A． B． C．1 D．4 【例3】已知点，，，则平面的法向量是（    ） A． B． C． D． 【例4】如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD＝2，PD⊥底面ABCD，且PD＝AD，求：平面PAB的一个法向量． 【跟踪训练】 1．在空间直角坐标系中，是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则________ 2.已知，则平面ABC的一个法向量可以为________. 3.直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量为，，，则、、的值依次为 . 4.空间直角坐标系中，已知，，，则“”是“为平面的法向量”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 考点二 向量法证明空间中的平行 题型03：用向量法证明线面平行 【例5】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，在阳马中，侧棱平面，且，E为BC的中点，F为DP上的点，．当时，证明：平面． 【跟踪训练】 1.已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则实数的值为_______ 2.直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若平面，则_______ 3.如图，已知矩形所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且.设点为棱的中点，求证：平面. 4.如图，已知多面体是由正四棱锥P-ABCD与正方体组合而成的，且.    (1)求证：平面； (2)若，求四棱锥的体积. 题型04：用向量法证明面面平行 【例6】如图，在八面体中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面∥平面QBC，二面角与二面角的大小都是，，．证明：平面∥平面QAB． 【跟踪训练】 1.已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为_______ 2.已知平面平面，与的法向量分别为，，且，，则__________. 3.如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 题型05：向量法探究空间中的平行关系 【方法点拨】（1）设参建模：棱、面上动点设含单参数坐标，写出直线方向向量、平面法向量，结合平行向量等式列方程。 （2）求解检验：解方程得到参数后，一定要验证参数取值范围，保证动点落在对应线段、平面内。 【例7】如图，长方体中，，， (1)求证：平面平面; (2)线段上，是否存在点，使得平面. 【跟踪训练】 1. 如图，在长方体中，，，点在棱上运动. (1)证明：； (2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由. 2. 在四棱锥中，平面平面，，，，，，. (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 考点三 向量法证明空间中的垂直 题型06：用向量法证明线线垂直 【例8】如图，在正方体中，，分别是，的中点，则直线与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．异面垂直 D．异面不垂直 【跟踪训练】 1.如图所示，平面，底面边长为1的正方形，2，P是MC上一点，且. (1)建立适当的坐标系并求点坐标； (2)求证：. 题型07：用向量法证明线面垂直 【例9】如图，四棱锥P­ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F分别为PB，AD中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是________. 【跟踪训练】 1.如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点. (1)求的长； (2)求证： 平面. 3. 如图，在三棱锥中，平面，，，，是棱上一点，且，为棱的中点．证明：平面； 题型08：用向量法证明面面垂直 【例10】如图所示，是一个正三角形，平面，，且． (1)求平面的法向量； (2)求证：平面平面． 【跟踪训练】 1.已知，，分别是平面的一个法向量，则三个平面中互相垂直的有________对． 2.如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，，，分别为棱，的中点，.用向量法证明：平面平面. 题型09：向量法探究垂直关系的存在性问题 【方法点拨】（1）设参建模：棱、面上动点设含单参数坐标，写出直线方向向量、平面法向量，结合垂直向量等式列方程。 （2）求解检验：解方程得到参数后，一定要验证参数取值范围，保证动点落在对应线段、平面内。 【例11】如图，在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，点，分别在棱，上移动，且. (1)当时，证明：直线平面； (2)是否存在，使平面平面？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由. 【跟踪训练】 1.如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 2.如图，直三棱柱中，，，分别为，的中点．    (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使平面？若存在，求；若不存在，说明理由． 一、填空题 1.已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则值为____ 2.已知点，，，则平面的法向量是_______ 3.已知，分别是平面，的法向量，若，则________ 4．如图，在棱长为1的正方体中，已知，若，则_____ 5.已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面和平面的位置关系是___________． 6.如图，在平行六面体中，，，则下列直线与平面垂直的是________ 7.在长方体中，，，，是的中点，点满足，当平面时，的值为 . 8. 已知､分别为不重合的两直线､的方向向量，､分别为不重合的两平面､的法向量，则下列所有正确结论的序号是___________. ①；②；③；④. 9. 如图所示，正方体的棱长为，、分别为和上的点，，则与平面的位置关系是______． 10. 如图，在正方体中，点E是线段上的动点，则以下所有正确结论的序号是___________. ①当点E与点重合时，； ②当点E与线段的中点重合时，与异面； ③无论点E在线段的什么位置，都有； ④若异面直线与AD所成的角为，则的最大值为. 二、选择题 11. 已知空间向量和三个不同的点、、，且，则“点在直线上”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 12.已知分别是平面的法向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．7 13.如图，下列正方体中，为底面的中点，为所在棱的中点，、为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．③④ B．①② C．②④ D．②③ 14.已知为平行四边形外的一点，且，则（   ） A． B．与同向的单位向量为 C． D．平面的一个法向量为 15.如图，在正方体中，点分别为所在棱的中点，则（    ） A． B．平面 C．直线与为异面直线 D．平面 16.如图，在正方体中，点分别为棱的中点，平面交棱于点，则下列结论中正确的是（    ）   A．直线与直线异面 B．直线平面 C．平面平面 D．截面是直角梯形 三、解答题 17．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点． (1)证明：B1D⊥平面ABD； (2)证明：平面EGF∥平面ABD. 18.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.证明：平面PQC⊥平面DCQ. 19.如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得∥平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 20.如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形所在的平面互相垂直，已知，. (1)求证：； (2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 21. 如图，在长方体中，.    (1)求证：平面平面.（使用向量方法） (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 22. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 1 学科网（北京）股份有限公司 $