专题2.3.2 双曲线的几何性质（2） （4大知识点+10大题型+21题强化） -2026-2027学年高二上学期数学预修提升讲义（沪教版选择性必修第一册）

本讲义聚焦双曲线几何性质（2），系统梳理点与双曲线位置关系、直线与双曲线位置关系（含交点位置讨论）、弦长问题（通径及公式）、中点弦问题（设而不求法）及综合应用，构建从基础到综合的学习支架。 资料通过分层设计（知识点-题型-跟踪训练-综合题），以分类讨论（如直线与双曲线位置关系分斜率是否为渐近线斜率）培养数学思维，规范解题步骤（如韦达定理应用及检验）提升数学语言表达。实例丰富（如中点弦问题例8），课中助力教师系统教学，课后帮助学生强化练习，弥补知识盲点。

2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题2.3.2 双曲线的几何性质（2） 知识点一：点与双曲线的位置关系 1.点在双曲线内<1 2.点在双曲线上=1 3.点在双曲线外>1 知识点二：直线与双曲线的位置关系 (1)研究直线与双曲线的位置关系： 一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断. ①代入②得. 当=0，即时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点. 当0，即时，=. >0直线与双曲线有两个交点,称直线与双曲线相交； =0直线与双曲线有一个交点,称直线与双曲线相切； <0直线与双曲线没有交点,称直线与双曲线相离. (2)对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论： ①若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件； ②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件； ③若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件. 知识点三：弦长问题 ①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d. ②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上. ③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直 线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验. ④双曲线的通径： 过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还 是在y轴上，双曲线的通径总等于. 知识点四：“中点弦问题” “设而不求”法解决中点弦问题： ①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的 这类问题中，则不能确定.要注意检验. ②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将 转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化. 知识点一、直线与双曲线的位置关系 题型一、判断直线与双曲线的位置关系 【例1】已知直线，双曲线，则（　　） A．直线与双曲线有且只有一个公共点 B．直线与双曲线的左支有两个公共点 C．直线与双曲线的右支有两个公共点 D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点 【答案】C 【分析】发现点在双曲线的右顶点的右边，联立直线与双曲线方程并画出图形即可得到答案. 【解析】在同一平面直角坐标系中分别画出与的图象如图所示： 由图可知直线过点，它在双曲线的右顶点的右边， 联立直线与双曲线方程得，解得或， 则直线与双曲线的右支有两个公共点. 故选：C. 【例2】“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】利用定义法，分充分性和必要性分类讨论即可. 【解析】充分性：因为“直线与双曲线有且仅有一个公共点”，所以直线与双曲线相切或直线与渐近线平行.故充分性不满足； 必要性：因为“直线与双曲线相切”，所以“直线与双曲线有且仅有一个公共点”.故必要性满足. 所以“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的必要非充分条件. 故选：B. 【跟踪训练】 1.若直线与曲线有且只有一个交点，则满足条件的直线有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【解题思路】利用双曲线和双曲线渐近线的图像和性质求解即可. 【解答过程】直线，即恒过点， 又双曲线的渐近线方程为， 则点在其中一条渐近线上， 又直线与双曲线只有一个交点， 则直线过点且平行于或过点且与双曲线的右支相切， 即满足条件的直线有条. 故选：C. 2.已知双曲线，过点作直线与双曲线有且只有一个交点，这样的直线可以作 条（填“条数”）． 【答案】4 【分析】明确点与双曲线和双曲线渐近线的位置关系即可得解. 【详解】由题双曲线的渐近线方程为， 因为点在第四象限，在双曲线外，且不在渐近线上， 所以如图过点作与双曲线有且只有一个交点的直线可以作出2条与双曲线右支相切的切线和2条分别与两条渐近线平行的直线. 故答案为：4. 3. 若是双曲线的渐近线上任意一点，下列正确的是（   ）． A．存在过点的直线与该双曲线相切 B．不存在过点的直线与该双曲线相切 C．至多存在一条过点的直线与该双曲线相切 D．至多存在一条过点的直线与该双曲线只有一个交点 【答案】C 【分析】根据题意设切线方程，得到相切的条件，根据条件分析时，点，此时不存在与双曲线相切的直线，时，根据切线过渐近线上的点确定切线的唯一性即可判断ABC，与渐近线平行或与双曲线相切的直线与双曲线都是只有一个交点即可判断D. 【详解】由题易知切线斜率不为零，也不与渐近线平行（平行时只有一个交点，但不相切）， 则设切线方程为， 则， ， 所以， 当时，，解得与题设矛盾， 即当点时，过点的直线不存在与双曲线相切， 当时， ， 又切线过渐近线上的点，由对称性，不妨设点， 则，解得， 所以， 又，所以， 则， 所以每一个点，的值只有一个， 所以至多存在一条过点的直线与该双曲线相切，故C正确，B错误； 对于D，易知当点不在原点时，与另一条渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点， 与双曲线相切时也与双曲线只有一个交点，故D错误； 故选：C. 4.求经过点的双曲线：的切线的方程． 【答案】 【分析】设直线，与双曲线联立，结合判别式分析，即得解 【详解】若直线斜率不存在，过点的直线方程为：，代入可得，与双曲线有两个交点，不是切线； 若直线斜率存在，设的方程是：，即：，将它代入方程整理得：， 由已知，即， 解得：，故所求切线的方程为：，即：． 题型二、根据直线与双曲线的位置关系求参数 【例3】已知双曲线，直线，试确定实数k的取值范围，使： (1)直线l与双曲线有两个公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． 【答案】(1)或或； (2)或 (3)或 【分析】（1）联立直线方程和双曲线方程，根据直线与双曲线有两交点，则，注意二次项系数不等于0； （2）根据直线与双曲线仅有一交点，分二次项系数等于0和不等于0两种情况讨论.当二次项系数不等于0时，由即可得出答案； （3）根据直线与双曲线没有交点，得，注意二次项系数不等于0. 【详解】（1）联立， 消整理得，（*） 因为直线l与双曲线C有两个公共点， 所以，整理得 解得： 或或. （2）当即时，直线l与双曲线的渐近线平行， 方程（*）化为，故方程（*）有唯一实数解， 即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点，满足题意． 当时， 因为直线l与双曲线C仅有一个公共点， 则，解得； 综上，或. （3）因为直线l与双曲线C没有公共点， 所以， 解得： 或. 【例4】过点与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值集合是 ． 【答案】 【分析】设直线的方程为：，联立双曲线得到，解方程即可. 【详解】设直线的方程为：，联立双曲线得： 当时，方程有唯一解，此时. 当时，令，则 解得． 故答案为：. 【跟踪训练】 1.若直线与双曲线有两个交点，则的值是_____ 【答案】或 【分析】利用双曲线的性质结合条件即可求出结果. 【详解】因为在双曲线中，或，又与双曲线有两个交点， 则或， 2.直线l：与双曲线仅有一个公共点，则实数k的值为______ 【答案】 【分析】根据直线和双曲线有一个公共点，得到直线与双曲线的渐近线平行或直线和双曲线相切，然后进行求解即可． 【详解】解：由得，即双曲线的渐近线为， 当直线l：与渐近线，平行时，直线l：与双曲线仅有一个公共点， 此时时， 当时， 直线l：恒过定点，且在双曲线的内部， 则直线l不可能与双曲线相切， 满足条件的k的值为， 【点睛】本题主要考查直线和双曲线位置关系的应用，结合直线和双曲线只有一个公共点，转化为直线与双曲线的渐近线平行或直线和双曲线相切是解决本题的关键． 3.若直线与曲线C: 交于不同的两点，则k的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】把直线与双曲线方程联立消去，利用和 联立，即可求得的范围. 【解答过程】联立方程组，整理得， 设方程的两根为， 因为直线与双曲线的右支交于不同的两点， 则满足，解得， 又由，解得, 所以的取值范围是. 故选：D. 4.若直线与双曲线的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到，联立直线与曲线方程，设两交点为，，结合韦达定理，以及判别式，即可得出结果. 【详解】由消去得，整理得， 设直线与曲线的两交点为，， 其中，，则，解得， 又，解得， 综上，. 故选：D. 【点睛】方法点睛：本题主要考查由直线与双曲线位置关系求参数，研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式来判定，考查学生的计算能力，属于常考题型. 5.在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，设点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据双曲线的定义求解. （2）设直线的方程为，直线方程代入双曲线方程后分类讨论结合直线与双曲线有且只有一个公共点，计算的值． 【详解】（1）已知点，，， 则，由双曲线定义可知， 点的轨迹为焦点在轴上的双曲线， 实轴长为，焦距为，因为， 所以点的轨迹方程为； （2）过点且斜率为的直线方程为， 代入双曲线方程得： 当二次项系数为时，即，方程为，有唯一解， 此时直线平行于双曲线的渐近线，与双曲线相交于一点. 当二次项系数不为时，即，需判别式， 化简得，解得，此时直线与双曲线相切，有唯一公共点. 综上，实数的值为或. 知识点二、双曲线的弦长与中点弦问题 题型三、双曲线的弦长问题 【例5】已知直线 与双曲线 交于两点，求弦长 。 解：步骤1：沿用上述联立结果 联立化简得： 步骤2：韦达定理取值 步骤3：代入弦长公式 直线斜率 答案：弦长 【例6】过双曲线右焦点的直线交双曲线于两点，若，则这样的直线有 条． 【答案】4 【分析】根据题意，分直线斜率不存在与存在时，设，，联立得，利用弦长公式得到，再根据方程求解即可. 【详解】由题知双曲线右焦点， 当直线斜率不存在时，，此时，不符合题意； 当直线斜率存在时，设，， ， ， ， 则或， 综上，这样的直线有4条. 故答案为：4. 【跟踪训练】 1.若直线与双曲线相交于两点，则______； 【答案】 【分析】联立直线与双曲线方程，利用弦长公式计算即得. 【详解】由消去y并整理得：，， 设，则， 所以. 故答案为： 2.过双曲线的左顶点作倾斜角为的直线与交于另一点，则___________． 【答案】 【分析】求出直线的方程后，联立双曲线方程，计算可得点坐标，再利用两点间距离公式计算即可得解. 【详解】双曲线的左顶点为，则， 联立，消去可得， 则或，由，故，则， 故. 故答案为：. 3.双曲线的左焦点为． (1)点P在双曲线上，求的最小值（请写出必要推导过程）； (2)过点作倾斜角为的直线l与C交于A，B两点，求． 【答案】(1)1 (2)3 【分析】（1）设，得到，结合即可求解； （2）根据直线的倾斜角求得斜率，进而根据点斜式写出直线的方程，与双曲线联立，结合韦达定理以及弦长公式即可求解． 【详解】（1）由题可知，， 设，则，即或， ， 又或，所以时，取得最小值1； （2）双曲线的左焦点，又因为直线的倾斜角为，所以， 则直线的方程为， 联立直线方程与双曲线方程，得， 设，则， 则． 题型四、已知双曲线的弦长求参数 【例7】已知双曲线：，若直线的倾斜角为60°，且与双曲线C的右支交于M，N两点，与x轴交于点P，若，则点P的坐标为 . 【答案】 【分析】设直线的方程为，与双曲线方程联立，利用根与系数的关系及弦长公式列式求解的值，即可求出直线的方程，令即可得出答案. 【详解】双曲线双曲线：的渐近线方程为， 而直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为，可设直线的方程为， 与双曲线方程联立，化简可得， 由，得或． 设，，则，， 则，所以， ，解得：（舍去）或， 所以直线的方程为，令，可得. 故点P的坐标为 故答案为：. 【跟踪训练】 1. 已知双曲线x2－y2＝a2（a＞0）与直线y＝x交于A、B两点，且｜AB｜＝2，则a ＝_____ 【答案】3 【分析】设，根据对称性写出坐标，由弦长及两点距离公式求参数a即可. 【详解】由题设，不妨设，则，且， 所以，可得. 故答案为：3 2.已知双曲线的实轴长为2，右焦点F到渐近线的距离为. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求实数m的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据已知实轴长、焦点与渐近线距离，结合点线距离公式列方程求参数，即可得双曲线方程； （2）联立直线与双曲线，应用韦达定理及弦长公式列方程求参数即可. 【详解】（1）∵双曲线的实轴长为2，右焦点F到渐近线的距离为， 到直线的距离为， ∴，解得， ，所求双曲线C的方程为. （2）联立，得，    ∵直线被双曲线C截得的弦长为， ∴，设直线与双曲线交于，， 则，，则. 题型五、双曲线的“中点弦”问题 【例8】已知双曲线：，过点的直线与双曲线交于，两点.若点为线段的中点，则直线的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用点差法，设，代入双曲线方程，作差变形，由是线段AB的中点，求得直线的斜率，再用点斜式可得直线方程. 【解析】设，代入双曲线方程， 可得，作差， 因为点为线段的中点，所以 所以，即， 所以直线的方程是，即， 经检验，直线满足题意. 故选：A. 【例9】已知过点的直线与双曲线：交于，两点，且为的中点，则的斜率为（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】A 【解题思路】设由点差法可得直线的斜率，可得答案. 【解答过程】设由AB的中点坐标为，则且 ， 所以. 又A，B两点在双曲线上， 所以由相减可得，即， 所以，即，解得， 所以的斜率为. 故选：A. 【例10】过双曲线右焦点的直线与交于两点．若的中点为，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】设出点坐标，利用点差法列式可得，进而求出值. 【详解】设点，由的中点为，得， 由共线，得， 由，两式相减，得， 则，而双曲线右焦点为，故， 所以. 故选：D 【跟踪训练】 1.已知双曲线，过点作直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程是 ． 【答案】 【分析】利用点差法可求得直线斜率，进而得到方程，与双曲线联立检验即可确定结果. 【详解】设，且， 由得：，即， 为中点，，，， 直线方程为：，即； 由得：， 则，满足题意； 直线的方程为：. 故答案为：. 2. 双曲线的动弦所在直线的斜率为，则中点的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】设，根据题意利用点差法，中点公式等化简即可. 【详解】设， 设直线为，代入，化简得 ， 由，得， 因为为的中点，所以， 所以，所以， 由题意得： ， 两式相减得， 由中点公式，整理得： ，又， 所以，即， 所以中点的轨迹方程为， 故答案为：. 3.已知双曲线的左､右焦点分别为，过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于两点，是的中点，为坐标原点，若直线的斜率为，则的值是 . 【答案】 【分析】利用点差法设，，代入椭圆方程可得可得，计算可得． 【详解】设，，则，， 两式相减得， 是的中点，，， ，又，，， 解得，． 故答案为：. 4.已知直线交双曲线于点，点，若的重心恰好落在双曲线的左焦点上，则直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】设，，先由重心坐标公式求出弦的中点坐标，再由，在双曲线上结合点差法和中点坐标公式以及两点斜率公式即可求解. 【详解】设，， 因为，，由重心坐标公式得，， 所以弦的中点坐标为，，即． 又，在双曲线上，由题意知直线的斜率存在，则， 故，作差得， 将中点坐标代入得． 故答案为： 5.已知双曲线的实轴长为，离心率为.直线与双曲线相交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若的中点为，求直线的方程． 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据题意条件，结合双曲线性质列方程组，联立求解，即可得双曲线的方程； （2）联立直线方程与双曲线方程，利用韦达定理结合中点坐标公式，即可求解. 【解析】（1）根据题意，双曲线的实轴长为，离心率为，则 ，解得， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）知，双曲线的方程为， 设，， 联立，化简得， 则，且，， 由为的中点，得，解得，，且满足， 所以直线的方程为. 知识点三、直线与双曲线的综合性问题 题型六、双曲线中的面积问题 【例11】已知双曲线的实轴长为2，右焦点到渐近线的距离为. (1)求的方程； (2)若直线交于，两点，且的面积为2，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据实轴长、焦点与渐近线距离，结合点线距离公式列方程求得，即可得双曲线方程； （2）联立直线与双曲线，应用韦达定理，弦长公式及三角形面积公式列方程求实数的值即可． 【详解】（1）∵双曲线的实轴长为2，∴，即， ∵右焦点到渐近线的距离为， ∴，即，得， ∴双曲线的方程为． （2）设， 联立，得， ∴，， ∴， 点到直线的距离为， ∴的面积为， 整理得，解得．    【跟踪训练】 1.已知双曲线的离心率为为上一点． (1)求的方程； (2)过的右焦点且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知条件建立关于的方程组解出即可； （2）设，根据条件写出直线的方程，联立直线与双曲线方程求出两点的坐标，求出，利用点到直线的距离公式求出的高，代入公式求解即可. 【详解】（1）由题得:， 解得， 所以双曲线的方程为：. （2）设，如图所示： 由题得直线的方程为， 联立得：， 整理得：， 所以， 所以 所以 又因为点到直线的距离为： ， 所以的面积为. 2.已知双曲线（，）的渐近线方程为，且经过点． (1)求的方程； (2)直线与有且只有一个公共点，求的值； (3)直线与交于两点，是坐标原点．若的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据渐近线方程代入点计算即可求出标准方程； （2）联立直线和双曲线方程，对方程类型进行分类讨论即可求得的值； （3）联立直线与双曲线方程，利用弦长公式以及点到直线距离求出三角形面积表达式，解方程可得的值. 【详解】（1）由已知，则， 代入点得， 所以双曲线的方程为． （2）直线与双曲线有且只有一个公共点， 所以方程组只有一组解，即只有一个解， 当，即时，满足题意． 当时，，解得； 所以 （3）设，，如下图所示： 联立，化简得， 由，解得，且； 所以 原点到直线的距离 所以的面积为 解得. 3. 设，在平面直角坐标系中，已知双曲线 的左焦点为，直线 与双曲线的右支交于两点，与双曲线的渐近线交于两点. (1)求的取值范围； (2)记的面积为的面积为，求取值范围. 【答案】(1).(2). 【分析】（1）根据题意，联立方程组，消去可得，进而利用韦达定理即可求解. （2）记的面积为，由面积为面积的两倍可得，由直线与双曲线的渐近线交于两点，联立方程组消去可得，而利用韦达定理和弦长公式求得值，最后利用的取值范围求得取值范围. 【解析】（1）由题设，联立方程组，可得，消去可得. 因为直线与双曲线的右支交于两点， 所以满足，解得或. 故实数的取值范围. （2）由题设可知，面积为面积的两倍， 记的面积为，所以. 又因为 和的高相同，所以. 由直线与双曲线的渐近线交于两点， 联立方程组，可得，消去可得， 而，则. 由韦达定理可得， 从而有，. 由（1）问可知，，则，所以. 题型七、双曲线中的定点问题 【例12】已知分别是双曲线的左､右焦点，是的右顶点，，且与椭圆有相同的焦点. (1)求的方程； (2)若直线与的公共点个数为1，求的值； (3)已知是上不同的两点，直线的斜率分别为不在直线上，且，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆焦点的定义，得双曲线的焦点，根据双曲线焦点，求出双曲线标准方程即可. （2）分类讨论双曲线与直线只有一个交点的情况，分别计算直线斜率的值. （3）根据直线与圆锥曲线的位置关系和韦达定理，根据已知条件列出参数的方程，证明直线过定点问题. 【详解】（1）椭圆的焦点为，所以双曲线的焦点也为，即. 因为，所以，所以， 故双曲线的方程为. （2）联立，得，即. ①当，即时，直线与的渐近线平行，只有1个交点； ②当，即时， 直线与相切，只有1个交点. 综上，当直线与的公共点个数为1时，或； （3）    易知，如图，设， 显然直线不与轴垂直，则设的方程为，且. 联立，消去得， 显然， 所以， 因为， 所以， 化简得，即， 又，化简得，所以直线过定点. 【跟踪训练】 1. 已知双曲线的左顶点为，离心率为，是上的两点． (1)求的标准方程； (2)若（不在直线上)，证明：直线过定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据离心率及的值，求出的值，代入双曲线方程即可. （2）设出直线方程并与双曲线方程联立，利用韦达定理得到两根之和和两根之积，根据进行化简，进而求出定点坐标. 【解答过程】（1）因为，， 所以，故的标准方程为. （2）证明：设直线的方程为，，. 由，得， 则，，， 又，则，， 因为，所以， 即， 即， 即， 整理得，解得或， 当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去； 当时，直线，则直线过定点. 综上，直线过定点． 2. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角的正切值为，实轴长为． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线的左支交于两点，点与点关于轴对称． （i）求实数的取值范围； （ii）求证：直线过轴上一定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)（i），（ii）证明见解析， 【解题思路】（1）根据渐近线的斜率和实轴长可求方程； （2）（i）联立方程，结合根与系数的关系式可求范围；（ii）求出直线的方程，利用根与系数的关系式，可得直线恒过点. 【解答过程】（1）由题意可知，解得， 所以双曲线的方程为. （2）（i）当时，易知不符合题意； 当时，联立，得， 因为直线与双曲线的左支交于两点，所以， 解得或，故实数的取值范围为. （ii）证明：设，则, 由（i）可知，， 直线的方程为，即， 令可得 把，代入可得， 即直线恒过，所以直线过轴上一定点，该定点的坐标为. 3.已知双曲线的左顶点为，右焦点为，，是上的两点，线段的中点为．当时，． (1)求的标准方程； (2)若，求直线的斜截式方程； (3)若，，三点不共线，且，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）先由条件得到，利用两点式斜率公式求得，结合求出，即可得解； （2）利用点差法求直线的方程即可； （3）设直线，与双曲线方程联立，根据条件得，再通过计算得或，最后进行检验可得出定点. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为，则，由题意， 当时，过点且垂直于轴的直线为， 将代入双曲线方程，得，解得；又，则， 又，所以，结合，得， 解得或， 所以，所以双曲线的标准方程为； （2）易知直线的斜率存在，设， 则，作差可得， 所以， 因为线段AB的中点坐标为，所以， 所以，所以直线的斜率为， 所以直线的斜截式方程为，即. （3）由，，三点不共线，故设直线， 联立，得， 则，，， 因为，则，所以，则， 因，， 所以， 即， 即， 即， 得，解得或， 若，则直线，过点，不符合题意； 若，则直线，满足，则过定点， 则直线过定点. 题型八、双曲线中的定值问题 【例13】已知椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，动点M满足|| MF₁ | -| MF₂|| =4. (1)求动点M的轨迹C的方程： (2)已知点A(-2，0)，B(2，0)，当点M与A，B不重合时，设直线MA，MB的斜率分别为k₁，k₂，证明:为定值. 【解析】（1）由椭圆知： 所以左、右焦点分别为 因为动点M满足|| MF₁ | -| MF₂|| =4 所以动点在以为焦点的双曲线上， 设动点设方程为： 由双曲线的定义得： 所以 所以动点设方程为： （2）设 则 由 所以 所以. 【跟踪训练】 1. 已知双曲线的实轴长等于2，离心率， (1)求双曲线方程； (2)过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为，若直线AB过原点，判断是否为定值?若是，求出定值．若不是，请说明理由． 【解析】（1）由题可得，，解得， 所以双曲线方程为. （2）是定值3，理由如下， 设， 则. 2.已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，实轴长为，点到双曲线的渐近线的距离为1，过的直线与交右支于，两点. (1)求双曲线的方程； (2)证明：存在轴上的一点，使得为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）解：因为实轴长为，故， 而点到双曲线C的渐近线的距离为1，故， 故双曲线的方程为：. （2）证明：设为半焦距，则，故， 因为与双曲线的右支相交于两个不同的点，故可设，， 由可得即， 故且， 所以，又. 设，则，， 故 为定值当且仅当，故， 故存在轴上的一点，使得为定值且定值为. 3.已知双曲线的实轴长为4，离心率为．过点的直线l与双曲线C交于A，B两点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知点，若直线QA，QB的斜率均存在，试问其斜率之积是否为定值？请给出判断与证明． 【答案】(1) (2)斜率之积为定值4，证明见解析 【分析】（1）由双曲线的实轴长和离心率，求出与，可得双曲线C的标准方程； （2）分直线l斜率存在和不存在两种类型，通过联立方程组，设点，利用韦达定理表示直线QA，QB的斜率之积，化简得定值. 【详解】（1）双曲线的实轴长为4，则，即， 双曲线离心率为，则双曲线是等轴双曲线，得． 所以双曲线C的标准方程为. （2）当直线QA，QB的斜率均存在，其斜率之积为定值4，证明如下： 过点的直线l，若斜率不存在，则直线方程为， 与双曲线方程联立解得，，. 直线l斜率存在，设直线斜率为，直线方程为， 双曲线渐近线方程为，当时，直线l与双曲线C交于A，B两点， 由，消去得， 设，，有，， ， ， 当直线QA，QB的斜率均存在， . 所以当直线QA，QB的斜率均存在，其斜率之积为定值4. 【点睛】方法点睛： 解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情况，强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 题型九、双曲线中的定直线问题 【例14】已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．记的左、右顶点分别为、. (1)求双曲线的方程； (2)双曲线上任意一点（不与、重合），求证：为定值； (3)过点的直线与的左支交于、两点，直线与交于点．证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的方程； （2）设，可得出，利用直线的斜率公式可证得为定值； （3）分析可知，直线与轴不重合，设直线的方程为，设点、，将该直线方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，求出直线、的方程，联立这两直线的方程，求出点的横坐标，即可证得结论成立. 【解析】（1）设双曲线的方程为， 由题意可得，解得，所以，双曲线的方程为． （2）由（1）可得、，设，则，可得， 因为，，所以，为定值. （3）设点、， 若直线与轴重合，此时，直线与双曲线的交点为双曲线的左、右顶点，不合乎题意， 设直线的方程为， 联立可得， 由于直线与双曲线的左支有两个不同的交点， 则，解得， 由韦达定理可得，， 直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即，据此可得点在定直线上运动． 【跟踪训练】 1. 已知双曲线的中心为坐标原点，左、右顶点分别为，，虚轴长为6．    (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与的右支交于，两点，若直线与交于点．证明：点在定直线上； 【答案】(1)；(2)证明见解析 【分析】（1）由直接求出双曲线方程即可； （2）设直线方程和设，直曲联立表示出韦达定理，利用点在双曲线上代入化简表示出直线方程，联立两方程化简即可； 【解析】（1）设双曲线的标准方程为， 依题意有， 所以双曲线方程为. （2）    (i)证明:设直线方程为:，设， 联立方程，消去得:， ， ， 是双曲线上的点， ， 直线，同理直线， 联立方程得 ， 解得，故点在定直线上. 2．已知双曲线的离心率为，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)设双曲线的左、右两个顶点为A、B，过右焦点的直线交双曲线于P，Q两点，直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题设条件建立的方程组，求解即得双曲线的方程； （2）设直线PQ的方程为，，，，利用韦达定理推得，，即有，由直线，直线，代入点，即得，进行联立，化简计算，即可求得定直线方程． 【详解】（1）由题意，，，， 联立解得， 双曲线的标准方程为． （2）因为直线PQ过右焦点，且与双曲线交于P，Q两点，故直线PQ不与x轴平行， 设直线方程为，设，， 由消去可得， 因,，， 则有（*） 由题知，，，设， 则直线，直线， 将代入两式，可得，， 两式相除得,将（*）代入，可得 , 即，解得， 所以点在定直线上． 题型十、双曲线中的最值与范围问题 【例15】设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为3． (1)求点M的轨迹方程C； (2)若直线l与C交于P，Q两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点，由可得轨迹方程； （2）当直线l斜率不存在，可得；当直线l斜率存在，设其方程为，设，，将直线与轨迹方程联立，由韦达定理结合，可得，据此可得关于的表达式，然后可得取值范围. 【详解】（1）设点，，则，， 所以，化简得， 所以点M的轨迹方程为． （2）当直线l斜率不存在时，可设，． 则，， 将其代入双曲线方程得， 又，解得，此时， 当直线l斜率存在时，设其方程为，设，， 联立，. 由韦达定理：，. 则 ， 化简得，此时， 所以 ， 当时，此时，当时，此时， ，，故， 因此，综上可得． 【跟踪训练】 1.已知双曲线的渐近线方程为，且其焦距为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于不同的两点，且在由点与构成的三角形中，，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程与的关系即可得双曲线的方程； （2）根据直线与双曲线交点坐标关系，结合三角形几何性质以及可得的关系，从而可得实数的取值范围. 【详解】（1）渐近线方程为. 又， 双曲线的方程为. （2）直线与双曲线交于不同的两点， 由 ，得， ，且 ， ，且. 设，则， ， 线段的中点坐标为， 线段的垂直平分线的方程为，即， 又在由点与构成的三角形中，， 点不在直线上，而是在线段的垂直平分线上， ， 又， 且，解得，或， 实数的取值范围是. 一、填空题 1. 直线与双曲线的位置关系是______ 【解题思路】联立直线方程和双曲线方程消去y然后可解出x，从而得出直线和双曲线位置关系，得出答案. 【解答过程】由得  整理得，； 所以，故直线和双曲线只有一个交点； 又双曲线的渐近线方程为： 与双曲线的一条渐近线平行且与双曲线只有一个交点. 所以直线和双曲线的位置关系为相交． 2．直线与双曲线交于不同的两点，则斜率的取值范围是_______ 【解题思路】将直线与双曲线有两个不同的交点转化为方程有两个不同的根，再用一元二次方程根的判别式解得. 【解答过程】将直线代入双曲线中，整理得， 因为直线与双曲线交于不同的两点， 所以,，解得， 所以斜率的取值范围是. 3.双曲线的一弦中点为，则此弦所在的直线的方程为__________ 【解题思路】设直线的方程为，联立双曲线，应用韦达定理及中点坐标求得，即可得直线方程. 【解答过程】设直线的方程为，即， 联立方程组，消元得， 且，可得， 所以，解得，显然满足， 直线的方程为. 4.直线与双曲线相交于，两点，且线段的中点为，则直线 的方程是___________． 【答案】 【解题思路】设出两点，代入双曲线方程，利用点差法，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，即可确定直线的方程. 【解答过程】设，则有，两式相减，可得， 为线段的中点，故有， 即，若，则，即两点重合，不满足题意， 故，因此可得直线的斜率为， 又因为直线过， 故直线，整理得， 故答案为：. 5．设为双曲线上的两点，线段的中点为，则_________ 【答案】. 【解题思路】设点，利用中点弦问题求出直线斜率，并求出该直线方程，再与双曲线方程联立求出弦长. 【解答过程】设双曲线上的点，线段的中点为，则， 则，且， 两式相减，得，即， 则直线斜率，直线的方程为：， 由，消去，得，解得， . 6.已知双曲线及直线，若与交于A，B两点，是坐标原点，且的面积为，则实数的值________ 【答案】或， 【解题思路】联立方程组，利用设而不求法，三角形面积公式表示的面积，列方程求的值． 【解答过程】联立，消去整理得：， 由已知，所以或， 设， 则，. 由题意，直线恒过点． ① 若，则， ② 若，则， 所以， 即， 解得或， 经检验，或均满足题意， 故或， 二、选择题 7.已知直线与双曲线交于、两点，且弦的中点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法可求得中点弦方程. 【详解】设，， 则①，②， 又弦的中点为， 所以，， ①②得， 即有， 可得直线的斜率为， 即有直线的方程为，化简得，经检验满足题意， 故选：D 7. “”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线与双曲线只有一个公共点代入计算，即可得到的取值，再由充分条件，必要条件的定义，即可得到结果. 【解答过程】联立方程，整理可得， 当时，即，方程有一解，即只有一个公共点； 当时，，解得； 所以直线与双曲线只有一个公共点时，或， 所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充分不必要条件， 故选：A. 8. 已知是双曲线的左焦点，过倾斜角为的直线与双曲线渐近线相交于、两点，为坐标原点，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不妨设点在直线上，点在直线上，将直线的方程与两渐近线方程联立，求出点、的坐标，分析可知，，求出、的值，利用三角形的面积公式可求得的面积. 【解析】在双曲线中，，，则， 则，双曲线的渐近线方程为， 不妨设点在直线上，点在直线上， 由题意可知，直线的方程为， 联立可得，即点， 联立可得，即点， ， 因为，，则，所以，， 且，所以，， 故选：D. 9. 双曲线的左､右焦点分别为，过的直线l与双曲线的左､右两支分别交于A，B两点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出双曲线的焦点坐标及渐近线的方程，设出直线并与双曲线方程联立，求出的纵坐标比值即可得解. 【解析】在双曲线中，，渐近线方程为， 由对称性，不妨令点在第一象限，设直线的方程为，， 由消去得，设，， 则，令，联立消去得， 整理得，而，即，解得， 因此，所以的取值范围是. 故选：B. 三、解答题 10.已知双曲线的实轴长为2，焦距为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于两点，为坐标原点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可得到双曲线的标准方程； （2）根据题意，得到直线为，联立方程组，得到，利用弦长公式和点到直线的距离公式，求得弦长和三角形的高，结合三角形的面积公式，即可求解. 【解答过程】（1）解：因为双曲线的实轴长为，焦距为 可得，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）解：由直线过点且倾斜角为，可得直线的方程为 联立方程组，整理得， 设，则且， 由弦长公式，可得， 又由原点到直线的距离为， 所以的面积为. 11.已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若（不在直线上），证明：直线过定点. 【答案】(1) (2). (3)证明见解析 【详解】（1）因为，， 所以，故的标准方程为· （2） 设，，根据题意易得. 因为是上的两点，所以 两式相减得，即 因为， 所以 所以直线的方程为 经检验，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为. （3）证明：依题意可设直线的方程为. 由，得 则，， ，由（2）知， 因为，所以 即 即 即，得，解得或. 当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去； 当时，直线，满足，则直线过定点 故直线过定点 12. 过双曲线x21的右支上的一点P作一直线l与两渐近线交于A、B两点，其中P是AB的中点． （1）求双曲线的渐近线方程； （2）若P纵坐标为2时，求直线l的方程； （3）求证：|OA|•|OB|是一个定值． 【解题思路】（1）求出双曲线的a，b，由双曲线的渐近线方程为y＝±x，即可得到所求； （2）令y＝2代入双曲线的方程可得P的坐标，再由中点坐标公式，设A（m，2m），B（n，﹣2n），可得A，B的坐标，运用点斜式方程，即可得到所求直线方程； （3）设P（x0，y0），A（m，2m），B（n，﹣2n），代入双曲线的方程，运用中点坐标公式，求得m，n，运用两点的距离公式，即可得到定值． 【解答过程】解：（1）双曲线x21的a＝1，b＝2， 可得双曲线的渐近线方程为y＝±x， 即为y＝±2x； （2）令y＝2可得x02＝12，解得x0，（负的舍去）， 设A（m，2m），B（n，﹣2n）， 由P为AB的中点，可得m+n＝2，2m﹣2n＝4， 解得m1，n1， 即有A（1，22）， 可得PA的斜率为k2， 则直线l的方程为y﹣2＝2（x）， 即为y＝2x﹣2为所求； （3）证明：设P（x0，y0），即有x021， 设A（m，2m），B（n，﹣2n）， 由P为AB的中点，可得m+n＝2x0，2m﹣2n＝2y0， 解得m＝x0y0，n＝x0y0， 则|OA|•|OB||m|•|n|＝5|mn|＝5|（x0y0）（x0y0）| ＝5|x02|＝5为定值． 13.已知双曲线（，）经过点，，直线交的右支于，两点，且线段的中点为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点的坐标为，求直线的方程； (3)若直线经过的右焦点，以为直径的圆与直线相交于，两点，证明：为定值． 【答案】(1) (2) (3)由双曲线得，右焦点， ①当直线的斜率存在时，设直线，，中点. 联立​，整理得, 由韦达定理得：， 因此：， 因为圆以为直径，圆心为，半径​，所以， 设，将代入圆方程， 得，故， 所以 ， 因为，所以，且，代入上式， 所以 . ②当直线斜率不存在时，，易得， 所以，仍成立. 综上，为定值. 【分析】（1）直接由待定系数可求得双曲线方程； （2）直接用点差法求中点弦的方程并检验可得； （3）分直线的斜率存在或不存在两种情况讨论：当直线的斜率存在时，设直线，，中点，结合根与系数关系得，，再圆的方程中令，设，所以由根与系数关系得，进而可将，再将代入可得；当直线的斜率不存在时，得，进而可得所求值，综上可得所证结果. 【详解】（1）将点、代入双曲线方程，得， 令，​，解得​，即. 因此，双曲线的标准方程. （2）设，且两点均在双曲线上，故 两式相减得点差公式：，即. 又因为中点为，故，代入上式得，即. 若，则，则重合，且中点，则三点重合， 这与直线交的右支于，两点矛盾. 所以，因此直线斜率. 又因为直线经过点，由点斜式得直线方程，整理得. 联立​，得，判别式， 且，所以两根均为正根，符合交右支于两点的条件. 因此直线的方程为. （3）略 14.已知双曲线：的离心率为，且经过点． (1)求的方程； (2)若上两点，关于点对称，求直线的方程； (3)过的右焦点作两条互相垂直的直线和，且和分别与的右支交于点，和点，，设的斜率为，求四边形的面积（用表示） 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据双曲线的离心率和所经过的点求得双曲线的方程. （2）利用点差法求得正确答案. （3）设直线，其中，根据题中条件确定，再将的方程与联立，利用根与系数的关系，用表示，的长，再利用 【详解】（1）依题意，双曲线：的离心率为，且经过点， 所以，解得， 所以双曲线的方程为. （2）依题意，上两点，关于点对称， 由，两式相减并化简得， 所以直线的方程为. 由消去得，， 因此直线必与双曲线有两个交点，所以直线的方程为. （3）根据题意，直线的斜率都存在且不为，双曲线的右焦点为， 设直线，其中， 因为均与的右支有两个交点，所以，所以， 将的方程与联立，可得. 设，则， 所以 ， 同理， 所以,.    1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题2.3.2 双曲线的几何性质（2） 知识点一：点与双曲线的位置关系 1.点在双曲线内<1 2.点在双曲线上=1 3.点在双曲线外>1 知识点二：直线与双曲线的位置关系 (1)研究直线与双曲线的位置关系： 一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断. ①代入②得. 当=0，即时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点. 当0，即时，=. >0直线与双曲线有两个交点,称直线与双曲线相交； =0直线与双曲线有一个交点,称直线与双曲线相切； <0直线与双曲线没有交点,称直线与双曲线相离. (2)对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论： ①若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件； ②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件； ③若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件. 知识点三：弦长问题 ①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d. ②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上. ③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直 线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验. ④双曲线的通径： 过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还 是在y轴上，双曲线的通径总等于. 知识点四：“中点弦问题” “设而不求”法解决中点弦问题： ①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的 这类问题中，则不能确定.要注意检验. ②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将 转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化. 知识点一、直线与双曲线的位置关系 题型一、判断直线与双曲线的位置关系 【例1】已知直线，双曲线，则（　　） A．直线与双曲线有且只有一个公共点 B．直线与双曲线的左支有两个公共点 C．直线与双曲线的右支有两个公共点 D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点 【例2】“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【跟踪训练】 1.若直线与曲线有且只有一个交点，则满足条件的直线有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 2.已知双曲线，过点作直线与双曲线有且只有一个交点，这样的直线可以作 条（填“条数”）． 3. 若是双曲线的渐近线上任意一点，下列正确的是（   ）． A．存在过点的直线与该双曲线相切 B．不存在过点的直线与该双曲线相切 C．至多存在一条过点的直线与该双曲线相切 D．至多存在一条过点的直线与该双曲线只有一个交点 4.求经过点的双曲线：的切线的方程． 题型二、根据直线与双曲线的位置关系求参数 【例3】已知双曲线，直线，试确定实数k的取值范围，使： (1)直线l与双曲线有两个公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． 【例4】过点与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值集合是 ． 【跟踪训练】 1.若直线与双曲线有两个交点，则的值是_____ 2.直线l：与双曲线仅有一个公共点，则实数k的值为______ 3.若直线与曲线C: 交于不同的两点，则k的取值范围是（  ） A． B． C． D． 4.若直线与双曲线的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，设点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的值. 知识点二、双曲线的弦长与中点弦问题 题型三、双曲线的弦长问题 【例5】已知直线 与双曲线 交于两点，求弦长 。 【例6】过双曲线右焦点的直线交双曲线于两点，若，则这样的直线有 条． 【跟踪训练】 1.若直线与双曲线相交于两点，则______； 2.过双曲线的左顶点作倾斜角为的直线与交于另一点，则___________． 3.双曲线的左焦点为． (1)点P在双曲线上，求的最小值（请写出必要推导过程）； (2)过点作倾斜角为的直线l与C交于A，B两点，求． 题型四、已知双曲线的弦长求参数 【例7】已知双曲线：，若直线的倾斜角为60°，且与双曲线C的右支交于M，N两点，与x轴交于点P，若，则点P的坐标为 . 【跟踪训练】 1. 已知双曲线x2－y2＝a2（a＞0）与直线y＝x交于A、B两点，且｜AB｜＝2，则a ＝_____ 2.已知双曲线的实轴长为2，右焦点F到渐近线的距离为. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求实数m的值. 题型五、双曲线的“中点弦”问题 【例8】已知双曲线：，过点的直线与双曲线交于，两点.若点为线段的中点，则直线的方程是（　　） A． B． C． D． 【例9】已知过点的直线与双曲线：交于，两点，且为的中点，则的斜率为（   ） A．5 B．6 C． D． 【例10】过双曲线右焦点的直线与交于两点．若的中点为，则 A．3 B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知双曲线，过点作直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程是 ． 2. 双曲线的动弦所在直线的斜率为，则中点的轨迹方程是 ． 3.已知双曲线的左､右焦点分别为，过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于两点，是的中点，为坐标原点，若直线的斜率为，则的值是 . 4.已知直线交双曲线于点，点，若的重心恰好落在双曲线的左焦点上，则直线的斜率为 ． 5.已知双曲线的实轴长为，离心率为.直线与双曲线相交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若的中点为，求直线的方程． 知识点三、直线与双曲线的综合性问题 题型六、双曲线中的面积问题 【例11】已知双曲线的实轴长为2，右焦点到渐近线的距离为. (1)求的方程； (2)若直线交于，两点，且的面积为2，求实数的值. 【跟踪训练】 1.已知双曲线的离心率为为上一点． (1)求的方程； (2)过的右焦点且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，求的面积. 2.已知双曲线（，）的渐近线方程为，且经过点． (1)求的方程； (2)直线与有且只有一个公共点，求的值； (3)直线与交于两点，是坐标原点．若的面积为，求的值． 3. 设，在平面直角坐标系中，已知双曲线 的左焦点为，直线 与双曲线的右支交于两点，与双曲线的渐近线交于两点. (1)求的取值范围； (2)记的面积为的面积为，求取值范围. 题型七、双曲线中的定点问题 【例12】已知分别是双曲线的左､右焦点，是的右顶点，，且与椭圆有相同的焦点. (1)求的方程； (2)若直线与的公共点个数为1，求的值； (3)已知是上不同的两点，直线的斜率分别为不在直线上，且，证明：直线过定点. 【跟踪训练】 1. 已知双曲线的左顶点为，离心率为，是上的两点． (1)求的标准方程； (2)若（不在直线上)，证明：直线过定点． 2. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角的正切值为，实轴长为． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线的左支交于两点，点与点关于轴对称． （i）求实数的取值范围； （ii）求证：直线过轴上一定点，并求出该定点的坐标. 3.已知双曲线的左顶点为，右焦点为，，是上的两点，线段的中点为．当时，． (1)求的标准方程； (2)若，求直线的斜截式方程； (3)若，，三点不共线，且，证明：直线过定点． 题型八、双曲线中的定值问题 【例13】已知椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，动点M满足|| MF₁ | -| MF₂|| =4. (1)求动点M的轨迹C的方程： (2)已知点A(-2，0)，B(2，0)，当点M与A，B不重合时，设直线MA，MB的斜率分别为k₁，k₂，证明:为定值. 【跟踪训练】 1. 已知双曲线的实轴长等于2，离心率， (1)求双曲线方程； (2)过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为，若直线AB过原点，判断是否为定值?若是，求出定值．若不是，请说明理由． 2.已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，实轴长为，点到双曲线的渐近线的距离为1，过的直线与交右支于，两点. (1)求双曲线的方程； (2)证明：存在轴上的一点，使得为定值. 3.已知双曲线的实轴长为4，离心率为．过点的直线l与双曲线C交于A，B两点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知点，若直线QA，QB的斜率均存在，试问其斜率之积是否为定值？请给出判断与证明． 题型九、双曲线中的定直线问题 【例14】已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．记的左、右顶点分别为、. (1)求双曲线的方程； (2)双曲线上任意一点（不与、重合），求证：为定值； (3)过点的直线与的左支交于、两点，直线与交于点．证明：点在定直线上． 【跟踪训练】 1. 已知双曲线的中心为坐标原点，左、右顶点分别为，，虚轴长为6．    (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与的右支交于，两点，若直线与交于点．证明：点在定直线上； 2．已知双曲线的离心率为，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)设双曲线的左、右两个顶点为A、B，过右焦点的直线交双曲线于P，Q两点，直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 题型十、双曲线中的最值与范围问题 【例15】设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为3． (1)求点M的轨迹方程C； (2)若直线l与C交于P，Q两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围． 【跟踪训练】 1.已知双曲线的渐近线方程为，且其焦距为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于不同的两点，且在由点与构成的三角形中，，求实数的取值范围. 一、填空题 1. 直线与双曲线的位置关系是______ 2．直线与双曲线交于不同的两点，则斜率的取值范围是_______ 3.双曲线的一弦中点为，则此弦所在的直线的方程为__________ 4.直线与双曲线相交于，两点，且线段的中点为，则直线 的方程是___________． 5．设为双曲线上的两点，线段的中点为，则_________ 6.已知双曲线及直线，若与交于A，B两点，是坐标原点，且的面积为，则实数的值________ 二、选择题 7.已知直线与双曲线交于、两点，且弦的中点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 7. “”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8. 已知是双曲线的左焦点，过倾斜角为的直线与双曲线渐近线相交于、两点，为坐标原点，则的面积为（　　） A． B． C． D． 9. 双曲线的左､右焦点分别为，过的直线l与双曲线的左､右两支分别交于A，B两点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 三、解答题 10.已知双曲线的实轴长为2，焦距为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于两点，为坐标原点，求的面积. 11.已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若（不在直线上），证明：直线过定点. 12. 过双曲线x21的右支上的一点P作一直线l与两渐近线交于A、B两点，其中P是AB的中点． （1）求双曲线的渐近线方程； （2）若P纵坐标为2时，求直线l的方程； （3）求证：|OA|•|OB|是一个定值． 13.已知双曲线（，）经过点，，直线交的右支于，两点，且线段的中点为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点的坐标为，求直线的方程； (3)若直线经过的右焦点，以为直径的圆与直线相交于，两点，证明：为定值． 14.已知双曲线：的离心率为，且经过点． (1)求的方程； (2)若上两点，关于点对称，求直线的方程； (3)过的右焦点作两条互相垂直的直线和，且和分别与的右支交于点，和点，，设的斜率为，求四边形的面积（用表示） 1 学科网（北京）股份有限公司 $