专题3.3 空间向量的坐标表示 （4大知识点+11大题型+21题强化） 【精英班课程】2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义（沪教版2020选择性必修第一册）

2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题3.3 空间向量的坐标表示 知识点一、空间直角坐标系 1、空间直角坐标系：从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面． 2、右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 3、空间点的坐标：在空间直角坐标系中， 为坐标向量，对空间任一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk，则(x，y，z) 叫做点A在空间直角坐标系中的坐标．记作A(x，y，z)，其中x叫点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 知识点二、空间直角坐标系中点的坐标 1、空间直角坐标系中点的坐标的求法 通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标． 特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为． 2、空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点，则有 点关于原点的对称点是； 点关于横轴（x轴）的对称点是； 点关于纵轴（y轴）的对称点是； 点关于竖轴（z轴）的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是． 知识点三、空间向量的坐标运算 1. 空间中向量的坐标表示： 若，则 2. 空间线段中点坐标 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为． 3. 向量加减法、数乘的坐标运算 若，则 ①； ②； ③； 4. 向量数量积的坐标运算 若，则 即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和． 5. 空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，则 （1）． （2）． 【诠释】 ①夹角公式可以根据数量积的定义推出： ，其中的范围是 ②． ③用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）． 6．空间向量的模长的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，则，即. 7．空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则. 8. 空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 规定：与任意空间向量平行或垂直 作用：证明线线平行、线线垂直． 考点一、求空间点的坐标与向量的坐标 题型01：求空间中点的坐标 【方法点拨】空间中确定点坐标的方法 1.投影法（射影法）：先将点投到对应的坐标轴面，再过射影点向坐标轴做垂线，根据对应长度确定点坐标 2.特殊点坐标：如中点、等分点等，可以用中点坐标公式等进行求解 3.向量法：已知向量坐标可反推点坐标 【例1】在空间直角坐标系中，点在x轴上的射影和在平面上的射影分别点M，N，则点M，N的坐标分别为（    ） A． B． C． D． 【例2】在空间直角坐标系Oxyz中，点到x轴的距离为___________. . 【跟踪训练】 1.如图，在长方体中，. 以这个长方体的顶点为坐标原点，射线分别为轴，轴和轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则长方体顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2.若点是点在平面内的射影，则（   ） A． B． C． D． 3.设点，，，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型02：求空间中向量的坐标 【例3】已知空间直角坐标系中，O为坐标原点，点，则向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.三角形中，，，，则边上的中线向量为（   ） A． B． C． D． 2.如图所示，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为 . . 题型03：空间点的对称问题 【例4】如图，在长方体中，，以直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则下列结论中不正确的是（    ） A．点关于直线对称的点为 B．点关于点对称的点为 C．点的坐标为 D．点关于平面对称的点为 . 【跟踪训练】 1．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3. 在空间直角坐标系中，已知，，若点与点关于平面对称，则（   ） A． B． C． D． 4. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 考点二、空间向量的坐标运算 题型04：空间向量线性运算的坐标表示 【例5】已知向量，则等于（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知，，则等于（   ） A． B． C． D． 2. 已知空间中三点，，，则（   ） A． B． C． D． 已知，，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型05：空间向量的数量积运算的坐标表示 【例6】已知空间向量，，则（    ） A． B． C． D． 【例7】已知，，且，则（   ） A．-5 B．1 C．3 D．5 【跟踪训练】 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则___________． 2. 设向量，，若，则正实数的值为（   ） A． B． C． D． 3.若，，则（   ） A． B． C．8 D．10 4.在中，，，. （1）求顶点、的坐标； （2）求； （3）若点在上，且，求点的坐标. 知识点三、利用空间向量的坐标运算解决几何问题 题型06：空间向量模的坐标运算 【例8】在空间直角坐标系中，已知，则 ． 【例9】如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点．则棱锥的体积为___________．当时，长度为___________ 【跟踪训练】 1. 若空间向量，，则（   ） A． B．3 C． D．2 2.在正方体中，分别过作直线的垂线，垂足分别为M，N，则（   ） A． B． C． D． 题型07：空间向量夹角的坐标运算 方法技巧 1．夹角余弦公式： 2．取值范围：夹角，为锐角，为钝角，垂直。 3．关键限制：公式仅适用于向量不平行于任意坐标平面，若向量竖坐标等特殊情况不能直接套用通用简化形式。 【例10】已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1. 已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2. 设向量，，若，则正实数的值为（   ） A． B． C． 3. 设空间两个单位向量与向量的夹角等于，则向量夹角的余弦值等于（   ） A． B． C． D． 4.如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 题型08：空间投影向量的坐标运算 【例11】已知向量，，，当时，向量在向量上的投影的数量为（    ） A． B． C．3 D． 【跟踪训练】 1.已知向量与的夹角为，，则在方向上的投影向量为 . 2.已知向量，则在方向上投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型09：空间向量平行、共线的坐标表示 【方法点拨】方法技巧 1．平行判定条件：存在实数，使，即（分母不为0）。 2．特殊处理：若某坐标为0，则对应另一向量坐标也必须为0，再根据剩余坐标找比例系数。 3．应用场景：证明线线平行、求共线点坐标、参数求值。 【例12】已知，，且，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪训练】 1.已知向量，，且，则（    ） A．1 B．0 C． D． 2.已知向量，，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 3.已知空间中三点共线，则（    ） A．2 B．0 C．1 D．-1 4.已知，，．是否存在点D，使四边形ABDC为等腰梯形，且?若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 题型10：空间向量垂直的坐标表示 【例14】已知，，若，则实数λ的值为（   ） A．2 B． C． D． 【例15】在棱长为1的正方体中，是棱的中点，、分别为线段，上的点，且. (1)求的长度； (2)若，，求的值. 【跟踪训练】 1. 已知向量，，若，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 2. 设，向量，，，且，，则（　　） A． B． C．3 D．4 题型11：空间向量共面的坐标表示 【例16】已知空间中，，，四点共面，则（    ） A． B． C．1 D． 【跟踪训练】 1. 已知，，，若，，三个向量共面，则实数的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2.已知点，，，在平面内，则x值为（   ） A． B． C．1 D． 3.已知空间向量，若点在平面内，则（    ） A．11 B．8 C．6 D．12 考点四、综合提升 题型12：空间向量模的最值范围（坐标法） 【例17】如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，若，则的取值范围是__________． 【跟踪训练】 1.在边长为2的正方体中，，分别为，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点）满足，则线段的长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.如图，在棱长为4的正方体中， E为棱BC的中点，P是底面ABCD内的一点（包含边界），且，则线段的长度的取值范围是______． 3.如图，四棱锥中，平面，底面是边长为1的正方形，且，点是线段上异于的点，当为钝角时，的取值范围为______． 题型13：空间向量数量积的最值范围（坐标法） 【方法点拨】 1．设动点坐标含参数，写出两个向量坐标，代入数量积公式，化简为函数。 2．根据参数取值范围，结合二次函数开口、对称轴或者基本不等式求最大、最小值。 【例18】如图，正方体中，底面是边长为2的正方形，动点P在线段上运动（包括端点），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1. P是棱长为2的正方体上底面上的一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2.已知正六棱柱的底面边长为1，是正六棱柱内（不含表面）的一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3.在直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是________. 4.在三棱锥中，，，两两垂直，且.若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D．    题型14：综合提升 【例19】已知，，，设，. (1)求； (2)若，求实数的值； (3)在方向上的投影数量. ， 【跟踪训练】 1. 已知向量，． (1)求与的夹角； (2)若与互相垂直，求实数t的值． ， 2.已知空间三点，设． (1)若，求的值； (2)若向量满足，且，求向量的坐标． 3.已知，，，，. (1)求； (2)若与互相垂直，求实数k的值； (3)若，，求的坐标. ，. 4.已知空间中三点，，． (1)设，且，求的坐标； (2)若四边形ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标； (3)求的面积． 一、填空题 1.在以为原点，为单位正交基底的空间直角坐标系中，已知点，若，则点坐标为_________ 2.已知空间直角坐标系中，O为坐标原点，点，则向量的坐标为_____ 3.在空间直角坐标系中，已知，，则________ 4.若向量，，，则的值为________. 5.已知，，，若、、共面，则 . 6.已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是__________ 7.已知，，，则实数的值为_______ 8.若三点共线，则________ 9.已知，，且，则________ 10.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为______ 11.已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为_______ 12.如图，正方体中，底面是边长为2的正方形，动点P在线段上运动（包括端点），则的取值范围是________ 二、选择题 13.在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标为（    ） A． B． C． D． 14. 已知向量，且向量的夹角为锐角则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 15. 已知，向量，，，且，，则的值为（  ） A． B． C． D． 16. 如图，在边长为3的正方体中，，点在底面正方形上移动（包含边界），且满足，则线段的长度的最大值为（ ）    A． B． C． D． 三、解答题 17.已知：，，，，，求： (1)，，； (2) 18.已知向量， (1)若，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 19.已知 (1) ，求的坐标； (2)求； (3)若与互相垂直，求实数的值. 20.如图，在棱长为1的正方体中，点是侧面上的一个动点（包含边界）． (1)若，求的最小值； (2)若，． 21.已知向量. (1)求； (2)求； (3)求向量与的夹角． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题3.3 空间向量的坐标表示 知识点一、空间直角坐标系 1、空间直角坐标系：从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面． 2、右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 3、空间点的坐标：在空间直角坐标系中， 为坐标向量，对空间任一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk，则(x，y，z) 叫做点A在空间直角坐标系中的坐标．记作A(x，y，z)，其中x叫点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 知识点二、空间直角坐标系中点的坐标 1、空间直角坐标系中点的坐标的求法 通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标． 特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为． 2、空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点，则有 点关于原点的对称点是； 点关于横轴（x轴）的对称点是； 点关于纵轴（y轴）的对称点是； 点关于竖轴（z轴）的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是． 知识点三、空间向量的坐标运算 1. 空间中向量的坐标表示： 若，则 2. 空间线段中点坐标 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为． 3. 向量加减法、数乘的坐标运算 若，则 ①； ②； ③； 4. 向量数量积的坐标运算 若，则 即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和． 5. 空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，则 （1）． （2）． 【诠释】 ①夹角公式可以根据数量积的定义推出： ，其中的范围是 ②． ③用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）． 6．空间向量的模长的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，则，即. 7．空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则. 8. 空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 规定：与任意空间向量平行或垂直 作用：证明线线平行、线线垂直． 考点一、求空间点的坐标与向量的坐标 题型01：求空间中点的坐标 【方法点拨】空间中确定点坐标的方法 1.投影法（射影法）：先将点投到对应的坐标轴面，再过射影点向坐标轴做垂线，根据对应长度确定点坐标 2.特殊点坐标：如中点、等分点等，可以用中点坐标公式等进行求解 3.向量法：已知向量坐标可反推点坐标 【例1】在空间直角坐标系中，点在x轴上的射影和在平面上的射影分别点M，N，则点M，N的坐标分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间中点在坐标轴和坐标平面上的射影的特点进行求解. 【详解】点在x轴上的射影横坐标不变，纵坐标和竖坐标为0，即， 点在平面上的射影横坐标和竖坐标不变，纵坐标为0，即. 故选：D. 【例2】在空间直角坐标系Oxyz中，点到x轴的距离为___________. 【答案】 【详解】已知，所以点到轴的距离为； 故答案为：. 【跟踪训练】 1.如图，在长方体中，. 以这个长方体的顶点为坐标原点，射线分别为轴，轴和轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则长方体顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据空间直角坐标系的定义求出坐标. 【解答过程】因为，，， 所以，， 因为点在平面上的射影是，点的横坐标、纵坐标和点的横坐标、纵坐标相同， 又点在轴上的射影是，它的竖坐标与点的竖坐标相同， 所以点的坐标为. 故选：A. 2.若点是点在平面内的射影，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为点是点在平面内的射影， 所以,所以. 故选：A. 3.设点，，，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则，且， 因为，可得，解得，即点. 故选：B. 题型02：求空间中向量的坐标 【例3】已知空间直角坐标系中，O为坐标原点，点，则向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用向量的坐标表示得解. 【详解】依题意，. 故选：A 【跟踪训练】 1.三角形中，，，，则边上的中线向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】中点，则. 故选：B. 2.如图所示，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为 . 【答案】 【分析】根据题目条件确定长度关系标注坐标即可； 【详解】因为的坐标为， 所以 所以,, 故答案为：. 题型03：空间点的对称问题 【例4】如图，在长方体中，，以直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则下列结论中不正确的是（    ） A．点关于直线对称的点为 B．点关于点对称的点为 C．点的坐标为 D．点关于平面对称的点为 【答案】C 【分析】利用空间点的对称性即可逐项判断得出结论. 【详解】由图可得，则点关于直线对称的点为，故A正确； 由于，所以点关于点对称的点为，故B正确； 点的坐标为，故C不正确； 由于点，则点关于平面对称的点为，故D正确. 故选：C. 【跟踪训练】 1．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因空间中的点的横坐标、纵坐标、竖坐标分别是该点在轴上的投影的坐标， 故点关于平面对称的点的横坐标、纵坐标不变，竖坐标为原竖坐标的相反数， 故所求点坐标为. 故选：B. 2. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据点关于轴对称的坐标性质进行判断即可. 【解答过程】点关于轴对称的点的坐标为， 所以点关于轴对称的点的坐标为. 故选：C. 3. 在空间直角坐标系中，已知，，若点与点关于平面对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由点与点关于平面对称，得，所以. 故选：A. 4. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】点关于平面对称的点的坐标为. 【解答过程】点关于平面对称的点的坐标为. 故选：B. 考点二、空间向量的坐标运算 题型04：空间向量线性运算的坐标表示 【例5】已知向量，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由向量的坐标运算即可求解. 【解答过程】由， 可得：， 所以. 故选：D. 【跟踪训练】 1.已知，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的坐标进行空间向量的线性运算即可. 【详解】由，,可得：， 故选：A. 2. 已知空间中三点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用空间向量的坐标规则进行线性运算即可. 【解答过程】因为，，， 所以 故选：D. 3. 已知，，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得. 题型05：空间向量的数量积运算的坐标表示 【例6】已知空间向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据空间向量坐标运算求解即可. 【解答过程】， . 故选：C. 【例7】已知，，且，则（   ） A．-5 B．1 C．3 D．5 【答案】A 【解题思路】根据空间向量的数量积的坐标表示求参数即可. 【解答过程】已知，，且， 所以. 解得. 故选：A. 【跟踪训练】 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则___________． 【答案】 【详解】已知点 ，则其关于平面的对称点的坐标为 ， 因此 ， ， 2. 设向量，，若，则正实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的夹角公式结合向量的数量积与模长公式进行计算即可. 【详解】因为，则有， ， 解得，由题得，故. 故选：B 3.若，，则（   ） A． B． C．8 D．10 【答案】A 【解题思路】先求出和的向量坐标，再利用向量的数量积公式计算. 【解答过程】 则. 故选：A. 4.在中，，，. （1）求顶点、的坐标； （2）求； （3）若点在上，且，求点的坐标. 【答案】（1），；（2）；（3）. 【解题思路】（1）利用向量的坐标运算可求得点、的坐标； （2）计算出向量、的坐标，利用空间向量数量积的坐标运算可求得的值； （3）由可得，可求得向量的坐标，进而可求得点的坐标. 【解答过程】（1）设点为坐标原点，， 则. ，则； （2），则， 又，因此，； （3）设点为坐标原点，，则， 则， 所以，点的坐标为. 知识点三、利用空间向量的坐标运算解决几何问题 题型06：空间向量模的坐标运算 【例8】在空间直角坐标系中，已知，则 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 所以. 故答案为： 【例9】如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点．则棱锥的体积为___________．当时，长度为___________ 【答案】 【详解】在棱长为1的正方体中，是棱上的动点， ，因此棱锥的体积； 以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设，于是， 由，得，解得，因此， 所以长度为. 【跟踪训练】 1. 若空间向量，，则（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【解题思路】据向量的坐标运算求，进而可求模长. 【解答过程】，所以. 故选：C. 2.在正方体中，分别过作直线的垂线，垂足分别为M，N，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在正方体中， 以为坐标原点，以所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则， 则，，， 设，所以， 所以，解得，所以. 设，所以， 所以，解得，所以. 所以. 题型07：空间向量夹角的坐标运算 方法技巧 1．夹角余弦公式： 2．取值范围：夹角，为锐角，为钝角，垂直。 3．关键限制：公式仅适用于向量不平行于任意坐标平面，若向量竖坐标等特殊情况不能直接套用通用简化形式。 【例10】已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用夹角是锐角的向量关系计算即可. 【详解】因为空间向量，， 若与的夹角是锐角，则且不成立， 所以或. 故选：C. 【跟踪训练】 1. 已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】应用夹角是锐角的向量关系计算即可. 【解答过程】因为空间向量，， 若与的夹角是锐角，则且不成立， 所以或. 故选：C. 2. 设向量，，若，则正实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由向量的夹角公式结合向量的数量积与模长公式进行计算即可. 【解答过程】因为，则有， ， 解得，由题得，故. 故选：B. 3. 设空间两个单位向量与向量的夹角等于，则向量夹角的余弦值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由题意结合向量数量积定义和模长坐标计算公式得到和，再结合向量夹角余弦公式即可计算求解. 【详解】因为空间两个单位向量与向量的夹角等于， 所以， 所以，结合得 则向量夹角的余弦值为. 故选：D. 4.如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，以D为原点，分别以，，所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为3，则，，，， 所以，， 故， 所以向量与夹角的余弦值为.   题型08：空间投影向量的坐标运算 【例11】已知向量，，，当时，向量在向量上的投影的数量为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由向量数量积的几何意义即可求. 【详解】向量，，， 所以，解得，所以，， 所以向量在向量上的投影的数量为. 故选：B. 【跟踪训练】 1.已知向量与的夹角为，，则在方向上的投影向量为 . 【答案】/ 【分析】根据投影向量的定义求解． 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 所以在方向上的投影向量为． 故答案为：． 2.已知向量，则在方向上投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，得，， 则， 所以在方向上的投影向量为. 故选：B 题型09：空间向量平行、共线的坐标表示 【方法点拨】方法技巧 1．平行判定条件：存在实数，使，即（分母不为0）。 2．特殊处理：若某坐标为0，则对应另一向量坐标也必须为0，再根据剩余坐标找比例系数。 3．应用场景：证明线线平行、求共线点坐标、参数求值。 【例12】已知，，且，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】求得，，结合，得到，列出方程组，即可求解. 【详解】由向量，， 可得，， 因为，所以存在实数使得， 即，解得. 故选：B. 【例13】已知，，三点在同一条直线上，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】先利用空间向量的坐标运算求出与的坐标，再利用列方程求解即可. 【详解】因为，， 所以，， 又因为，，三点共线， 所以，， 解得，，所以， 故选：C 【跟踪训练】 1.已知向量，，且，则（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【解题思路】依题意可得，即可得到方程组，解得即可. 【解答过程】因为，且， 所以，即，解得，所以. 故选：A. 2.已知向量，，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先根据空间向量线性坐标公式求解，再根据空间向量平行的坐标表示列式求解即可. 【解答过程】因为，，所以， 又，且， 则，解得. 故选：A. 3.已知空间中三点共线，则（    ） A．2 B．0 C．1 D．-1 【答案】B 【解题思路】由三点共线可得，进而根据空间向量平行的坐标表示求解即可. 【解答过程】因为三点共线，所以， 因为，所以，解得. 故选：B. 4.已知，，．是否存在点D，使四边形ABDC为等腰梯形，且?若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】不存在，理由见解析 【详解】由已知得，，则三点不共线. 假设存在点满足条件， 则，． 因为四边形是等腰梯形，且，所以． 即 所以， 解得或． 当，，时， ，且三点不共线， 故此时四边形为平行四边形，不合题意； 当，，时，点与点重合，不合题意． 故假设不成立，即不存在满足条件的点． 题型10：空间向量垂直的坐标表示 【例14】已知，，若，则实数λ的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得，据此可得答案. 【详解】由题可得. 注意到， 则. 故选：A 【例15】在棱长为1的正方体中，是棱的中点，、分别为线段，上的点，且. (1)求的长度； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向， 建立空间直角坐标系，如图， 则， 由题意，可设点P的坐标为，因为3＝， 所以，所以，解得， 所以点P的坐标为，所以， 所以，即的长度为. （2）由题意可设点Q的坐标为， 因为，所以＝0， 所以·＝0，即，解得 ， 所以点Q的坐标为， 因为，所以＝λ， 所以，故. 【跟踪训练】 1. 已知向量，，若，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【解题思路】根据向量的减法和数量积的坐标运算化简求出. 【解答过程】由题意得， 则，解得. 故选：B. 2. 设，向量，，，且，，则（　　） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为向量，，， 若，则，解得，所以； 且，则，解得，所以； 可得，所以. 故选：C. 题型11：空间向量共面的坐标表示 【例16】已知空间中，，，四点共面，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解析】因为，，，， 所以，，， 因为四点共面，所以与共面， 而、不共线，则存在唯一实数对，使得， 所以， 所以，解得． 故选：D. 【跟踪训练】 1. 已知，，，若，，三个向量共面，则实数的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解题思路】应用向量共面的充要条件存在满足，列式计算求解. 【解答过程】由题意得，，， 若，，三个向量共面，则存在满足， 则，所以， 故选：B. 2.已知点，，，在平面内，则x值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】由题意可得， 又因为四点共面， 所以，则， 所以，解得， 所以. 3.已知空间向量，若点在平面内，则（    ） A．11 B．8 C．6 D．12 【答案】A 【详解】因为， 所以与不共线， 又因为点在平面内， 所以存在实数，使得， 即， 所以，解得. 故选：A 考点四、综合提升 题型12：空间向量模的最值范围（坐标法） 【例17】如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，若，则的取值范围是__________． 【答案】 【详解】因为正三棱柱的底面边长为2，为的中点， 所以，过点作轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，， 因为，设，， ， 所以， 所以， 所以，， 所以， 当时，有最小值，当时，有最大值， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【跟踪训练】 1.在边长为2的正方体中，，分别为，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点）满足，则线段的长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设，，其中，， 则，， ，， 据此可得，，， 由空间中两点之间距离公式可得 ， 当时，，当时，， 结合二次函数的性质可得线段的长度的取值范围为. 故选：B. 2.如图，在棱长为4的正方体中， E为棱BC的中点，P是底面ABCD内的一点（包含边界），且，则线段的长度的取值范围是______． 【答案】 【详解】以D为原点，以DA，DC，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，， 设，则， ，又，所以， 即，则． 当时，，设，所以点P在底面ABCD内的轨迹为一条线段AF， 所以，， ， 当时，，当时，， 所以线段的长度的取值范围是． 故答案为： 3.如图，四棱锥中，平面，底面是边长为1的正方形，且，点是线段上异于的点，当为钝角时，的取值范围为______． 【答案】 【分析】 【详解】如图，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系： 则，， 设，，则， 故，所以， 则， 因为为钝角，而三点不共线， 故， 解得，即的取值范围为. 故答案为：. 4.已知正方体的棱长为，点在线段上（不含端点）.若是锐角，则线段长度的取值范围为______. 【答案】 【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，，，， 设，，则，则， 所以，， 显然与不可能同向， 因为是锐角，所以， 则，解得或， 又，所以，又， 所以，即线段长度的取值范围为. 故答案为： 题型13：空间向量数量积的最值范围（坐标法） 【方法点拨】 1．设动点坐标含参数，写出两个向量坐标，代入数量积公式，化简为函数。 2．根据参数取值范围，结合二次函数开口、对称轴或者基本不等式求最大、最小值。 【例18】如图，正方体中，底面是边长为2的正方形，动点P在线段上运动（包括端点），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系. 则. . 点在线段上运动， ，且. ， ， ， 即， 故选：A. 【跟踪训练】 1. P是棱长为2的正方体上底面上的一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，由正方体的棱长为2，且为上底面上一点， 可设，其中，且， 所以， 则， 因为，可得， 所以取得最小值为，最大值为，所以取值范围为. 故选：C. 2.已知正六棱柱的底面边长为1，是正六棱柱内（不含表面）的一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】以为坐标原点，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 且， 由正六边形的性质可得，，，，， 设，其中， 所以，， 所以，所以的取值范围. 故选：D. 3.在直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是________. 【答案】 【详解】解法一：由题可知三棱柱为正三棱柱， 如图取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系， 设，其中，，又，， 所以，， ， 当，且或1时，取得最大值1， 当，且时，取最小值，所以的取值范围为. 解法二： 取CC1中点为D，由极化恒等式得， 又，， 所以的取值范围为. 4.在三棱锥中，，，两两垂直，且.若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【解题思路】首先将三棱锥放置在正方体中，并建立空间直角坐标系，利用转化向量的方法求数量积，再代入坐标运算，即可求解. 【解答过程】如图，将三棱锥放置在正方体中，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，球心为正方体对角线的交点，    ，，，，，， 设三棱锥外接球的半径为，，则， ， ， ，，， ，， ， 所以， 当时，取得最大值. 故选：C. 题型14：综合提升 【例19】已知，，，设，. (1)求； (2)若，求实数的值； (3)在方向上的投影数量. 【解析】（1）由题意得，，， 所以，， 可得，，， 所以. （2）由题意得，， 因为，所以， 即，解得或. （3）可知，， 所以，， 所以在方向上的投影数量为. 【跟踪训练】 1. 已知向量，． (1)求与的夹角； (2)若与互相垂直，求实数t的值． 【解析】（1）由，得， 则，，， 因此，而， 则，所以与的夹角为. （2）依题意，，，由与互相垂直， 得，即， 所以. 2.已知空间三点，设． (1)若，求的值； (2)若向量满足，且，求向量的坐标． 【解析】（1）由题意知， 所以． 又， 所以， 解得． （2）因为， 又， 设， 又，所以，解得， 当时，； 当时，， 所以向量的坐标为或． 3.已知，，，，. (1)求； (2)若与互相垂直，求实数k的值； (3)若，，求的坐标. 【解析】（1）因为，， ，， 所以，， 则. （2）因为，， 所以，. 又与垂直， 所以， 解得或. （3）由题可知，， 由，知存在实数，使得，即. 因为，所以，解得， 所以或. 4.已知空间中三点，，． (1)设，且，求的坐标； (2)若四边形ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)或 (2) (3) 【解题思路】（1）由，可设，根据模长求得即可求解； （2）设，由ABCD是平行四边形可得，利用向量相等即可解出点坐标； （3）根据空间向量模长及夹角公式，再利用公式求解. 【解答过程】（1）由已知得． 因为，所以可设， 所以，解得， 所以或． （2）设，因为ABCD是平行四边形，所以， 由，，， 得，， 所以，故． （3）由题可得，， 所以，， 所以， 又，所以， 所以的面积． 一、填空题 1.在以为原点，为单位正交基底的空间直角坐标系中，已知点，若，则点坐标为_________ 【解析】由题得， 故. 又， 则， 故点坐标为． 2.已知空间直角坐标系中，O为坐标原点，点，则向量的坐标为_____ 【分析】根据给定条件，利用向量的坐标表示得解. 【详解】依题意，. 3.在空间直角坐标系中，已知，，则________ 【分析】运用向量坐标运算计算即可. 【解析】解：因为向量，， 则 4.若向量，，，则的值为________. 【分析】利用空间向量的坐标运算律计算即得. 【解析】由，，得，而， 所以. 5.已知，，，若、、共面，则 . 【答案】 【分析】根据空间向量共面的充要条件以及坐标运算即可求解. 【解析】若、、共面，则， 即， 则，解得. 故答案为： 6.已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是__________ 【分析】根据已知求出，进而即可根据投影向量求出答案. 【解析】由已知可得，，， 所以，向量在向量上的投影向量是. 7.已知，，，则实数的值为_______ 【解题思路】根据向量垂直的坐标表示得到方程，解得即可. 【解答过程】因为，所以，即，解得， 8.若三点共线，则________ 【解题思路】由空间向量的坐标表示与共线定理，有，即可解得的值，进而可求的值. 【解答过程】. 因为三点共线，所以，即，解得， 则. 9.已知，，且，则________ 【解题思路】利用空间向量垂直的坐标表示求出的值，可求出的坐标，利用空间向量的模长公式可求得的值. 【解答过程】因为，，且，则，解得， 所以，故，故， 10.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为______ 【解题思路】根据空间向量的数量积运算、向量模长计算、投影向量的定义与公式计算可得. 【解答过程】在上的投影向量为 . 11.已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为_______ 【解题思路】使用向量的模的公式与向量的夹角公式即可求解. 【解答过程】因为，， 所以，，， 又向量与夹角的余弦值为， 所以，解得. 12.如图，正方体中，底面是边长为2的正方形，动点P在线段上运动（包括端点），则的取值范围是________ 【解题思路】建立空间直角坐标系，设，即可求出，再根据的范围，求出 的取值范围. 【解答过程】以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系. 则. . 点在线段上运动， ，且. ， ， ， 即， 二、选择题 13.在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据坐标平面内投影点坐标的特点可得结果. 【解答过程】在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标为. 故选：D. 14. 已知向量，且向量的夹角为锐角则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】夹角为锐角，则，排除平行的情况即可. 【解析】因为向量的夹角为锐角， 则，得， 当时，，得， ∴的取值范围为． 故选：B. 15. 已知，向量，，，且，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量平行和垂直的坐标运算求解. 【解析】因为向量， ，， 由，则，解得， 由，则，解得，则． 故选：A． 16. 如图，在边长为3的正方体中，，点在底面正方形上移动（包含边界），且满足，则线段的长度的最大值为（ ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出点P的轨迹结合函数求最值即可. 【解析】   依据题意可以建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设， 所以， 即，所以， 而， 由二次函数的单调性可知， 当时，，则. 故选：B 三、解答题 17.已知：，，，，，求： (1)，，； (2) 【解题思路】（1）根据平行关系设，求出，利用向量垂直得到； （2）利用向量夹角余弦公式求出答案． 【解答过程】（1）因为，所以设，即， 故，解得， ， ， ∴，解得， ； （2）， . 18.已知向量， (1)若，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 【答案】(1) (2)且 【解题思路】（1）先求出，，根据向量共线得到方程，求出； （2）由题意得到，且与不同向共线，从而得到不等式，求出答案. 【解答过程】（1）因为，， 所以，， 因为，所以，解得：； （2）因为向量与所成角为锐角， 所以，且与不同向共线， 由（1）知，，， 故， 解得且，即的取值范围为且. 19.已知 (1) ，求的坐标； (2)求； (3)若与互相垂直，求实数的值. 【答案】(1)或 (2) (3)或 【解题思路】（1）由空间向量平行，得出，设，再利用列方程，进而求得； （2）先求得，，再利用公式即可求得的值； （3）利用空间向量垂直充要条件列出关于的方程，解之即可求得的值． 【解答过程】（1）由题可知，， 由，得，设， 因为， 所以，解得， 所以或． （2）因为、、，，， 所以，， 则. （3）因为，， 又与垂直， 所以， 解得或． 20.如图，在棱长为1的正方体中，点是侧面上的一个动点（包含边界）． (1)若，求的最小值； (2)若，求与夹角的最大值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】以为原点，，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，根据题设及向量模的求法，线线夹角的求法可得结果． 【解答过程】（1）以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设． ，， 由于，所以，即． 又，所以， 由于，所以当时取得最小值 ． （2），， 因为，所以，即． 又． 由于，所以（利用二次函数的性质求解）， 即当或1时，取得最小值，因此的最大值为， 即与夹角的最大值为． 21.已知向量. (1)求； (2)求； (3)求向量与的夹角． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据空间向量的坐标运算及向量模的坐标表示求解； （2）根据空间向量的数量积的坐标运算求解； （3）根据空间向量垂直的坐标表示计算即可得解. 【详解】（1）∵， ， . （2）， ， 则. （3）， ， ， 则， 所以向量与的夹角为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $