专题2.2.2 椭圆的几何性质（1） （4大知识点+10大题型+21题强化）-2026-2027学年高二上学期数学预修提升讲义（沪教版选择性必修第一册）

本讲义聚焦椭圆的几何性质核心知识点，系统梳理焦点在x轴与y轴的标准方程、范围、顶点、轴长、焦点、焦距、对称性及离心率，衔接离心率求法与点和椭圆位置关系，构建从定义到应用的知识支架。 特色在于表格对比焦点位置差异培养几何直观，题型分层设计（如由方程研究性质、求离心率范围）提升推理能力，综合题（拱桥、隧道）强化模型意识。课中助力教师系统授课，课后通过跟踪训练与练习题帮助学生查漏补缺。

2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题2.2.2 椭圆的几何性质（1） 知识点一、椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 长轴长＝，短轴长＝ 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝ 对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0) 离心率 e＝(0<e<1) 【说明】 1. 椭圆的通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦叫作椭圆的通径，通径长为. 2. 焦半径：椭圆上的任一点P(x0，y0)与焦点F1 或F2之间的线段的长度叫作椭圆的焦半径. 记r1=PF1，r2=PF2，则 ①当焦点在x轴上时，r1=a+ex0，r2=a-ex0； ②当焦点在y轴上时，r1=a+ey0，r2=a-ey0. 3. 焦点弦：过焦点的直线与椭圆相交形成的弦. 焦点弦中通径最短. 4.椭圆的焦点一定在它的长轴上． 5.椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点． 6.椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c. 知识点二、椭圆的离心率 1、定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率． 2、性质：离心率e的范围是(0,1)．当e越接近于1时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆． 3、求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解． (2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的齐次关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围． 知识点三、点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系 点P在椭圆上⇔＋＝1； 点P在椭圆内部⇔＋<1； 点P在椭圆外部⇔＋>1. 知识点一、椭圆的几何性质 题型一、由椭圆方程研究其几何性质 【例1】求下列椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标和焦点坐标： （1）； （2）； （3）； （4）． 【例2】若椭圆与椭圆，则两椭圆必定（    ）． A．有相等的长轴长 B．有相等的焦距 C．有相等的短轴长 D．长轴长与焦距之比相等 【跟踪训练】 1.已知椭圆与，则两个椭圆（    ） A．有相同的长轴与短轴 B．有相同的焦距 C．有相同的焦点 D．有相同的离心率 2.曲线与曲线的（    ） A．长轴长一定相等 B．短轴长一定相等 C．离心率一定相等 D．焦距一定相等 3.椭圆的长轴长与焦距之差等于（    ） A． B． C． D． 4.椭圆的焦距为4，则的值为（    ） A．12 B．4 C．12或4 D．10或6 题型二、由椭圆几何性质求标准方程 【例3】求满足下列条件的椭圆的标准方程． （1）长轴在x轴上，长轴长为12，离心率为； （2）椭圆过点，离心率； （3）在x轴上的一个焦点与短轴上的两个顶点的连线互相垂直，且焦距为8； （4）与椭圆有相同的焦点，且短轴长为2． 【例4】过点，焦点在x轴上且与椭圆有相同的离心率的椭圆方程为（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1. 分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3； (2)离心率为，且经过点． (3)已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，其离心率为，焦距为8； (4)已知椭圆的离心率为，短轴长为． 2. 已知焦点在轴上的椭圆与椭圆：的离心率相同，且的长轴长比其短轴长大4，则的标准方程为（    ） A．B．C． D． 3.焦点在轴上且中心为原点的椭圆与椭圆：离心率相同，且，在第一象限内公共点的横坐标为1，则的方程 题型三、利用椭圆的有界性求范围或最值 【例5】椭圆上的点的横、纵坐标的范围分别为（    ） A． B． C． D． 【例6】已知是椭圆上一点，，则的最小值为 . 【跟踪训练】 1.若椭圆的方程为，则椭圆上横坐标纵坐标的范围分别为： ； 2.已知椭圆，则椭圆上的点到点的距离的最大值是（    ） A． B． C． D． 3.设，为椭圆：（）的上、下焦点，若在椭圆上存在一点，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.已知椭圆的焦点为，，椭圆上的动点坐标在第一象限，且为锐角，的取值范围为 ． 题型四、椭圆的对称性及其应用 【例7】若点在椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上 C．点在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系 【跟踪训练】 1．下面是关于曲线对称性的一些叙述：①关于x轴对称；②关于y轴对称；③关于原点对称；④关于直线对称. 其中正确叙述的个数为 （　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知分别为椭圆的左､右顶点，点在上，若是一内角为的等腰三角形，则（    ） A． B．1 C． D．2 知识点二、椭圆的离心率 题型五、椭圆离心率的性质 【例8】下列四个椭圆中，形状与圆更接近的一个是（    ） A． B． C． D． 【例9】若椭圆：（）与椭圆：（）的焦距相等，给出如下四个结论： ①和一定有交点； ②若，则； ③若，则； ④设与在第一象限内相交于点，若，则． 其中，所有正确结论的序号是 ． 题型六、求椭圆离心率的值 【例10】若椭圆满足，则该椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 【例11】已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例12】椭圆的两焦点为，若椭圆上存在点使为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C．或 D．或 【例13】已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于点，且，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知椭圆的短轴长为2，焦距为，则该椭圆的离心率为_______ 2.设椭圆的左，右焦点分别为，点P在C上，若，，则C的离心率为______ 3.已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，则椭圆的离心率为 ． 4.已知点F，A，B分别是椭圆的左焦点、右顶点和上顶点，AB的中点为M，若，则椭圆的离心率等于______ 题型七、由椭圆的离心率求参数值 【例14】已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为______ 【跟踪训练】 1.已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为______ 2.已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为___________ 3.若椭圆的离心率为，则实数的值为_______ 题型八、求椭圆离心率的取值范围 【例15】已知点A、B为椭圆的长轴顶点，P为椭圆上一点，若直线PA，PB的斜率之积的范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A．B．C． D． 【例16】已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【例17】已知椭圆上存在点，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例18】设分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，若在直线上存在点P，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知点A、B为椭圆的长轴顶点，P为椭圆上一点，若直线PA，PB的斜率之积的范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A．B．C． D． 2.已知椭圆：，是椭圆上的点，，是椭圆的左右焦点，若恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.设分别为椭圆的左､右焦点，若在直线（c为半焦距）上存在点P，使的长度恰好为椭圆的焦距，则椭圆离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4.已知是椭圆的右焦点，若直线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.已知椭圆的左、右焦点分别为，，半焦距为．在椭圆上存在点使得，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.已知椭圆的左右焦点为，，以为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离心率的范围为（ ）． A． B． C． D． 知识点三、点和椭圆的位置关系 题型九、点与椭圆的位置关系 【例19】点P(4cosα，2sinα)(α∈R)与椭圆C：＋＝1的位置关系是（ ） A．点P在椭圆C上 B．点P与椭圆C的位置关系不能确定，与α的取值有关 C．点P在椭圆C内 D．点P在椭圆C外 【例20】点在椭圆的外部，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.点与椭圆的位置关系为（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．不确定 2.点在椭圆的内部，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十、综合提升 【例21】如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，水面宽度为（    ）    A． B． C． D． 【例22】如图，都是椭圆的顶点，从上一点向轴作垂线，垂足为焦点，且．    (1)求的离心率； (2)若的面积比的面积大，求的方程． 【跟踪训练】 1．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则（    ）      A． B． C． D． 2.如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高5米，隧道全长2500米．隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆． (1)若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少?（结果精确到0.1米） (2)若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高和拱宽?（结果精确到0.1米） 以下结论可以直接使用：①椭圆的面积公式． ②柱体的体积为底面积乘以高，，． 3.已知在椭圆上，分别为的左､右焦点. (1)求椭圆的离心率； (2)若动点均在上，且在轴的两侧，求四边形的周长. 一、填空题 1.椭圆的短半轴的长为_______ 2.椭圆的焦点坐标为_______ 3.若椭圆：的短轴的一个端点为，则椭圆的长轴长为______ 4.若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为 . 5．国家体育场（鸟巢），位于北京奥林匹克公园中心区南部，为2008年北京奥运会的主体育场.某近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知小椭圆的短轴长为，长轴长为，大椭圆的短轴长为，则大椭圆的长轴长为________ 6.焦点在轴上，长轴长为10，离心率为的椭圆的标准方程为________ 7.已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为_______ 8．已知椭圆：的离心率为，，分别为的左、右焦点，为上一点，若的面积等于2，且，则的方程为________ 9．已知椭圆的离心率为是椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，为线段的中点，直线与椭圆交于两点，若的周长为16，则椭圆的标准方程为 ． 10．若椭圆比椭圆更扁，则椭圆的长轴长的取值范围是 ． 11.已知右焦点为的椭圆：上的三点，，满足直线过坐标原点，若于点，且，则的离心率是_______ 12.设椭圆的左､右焦点分别为，点在上（位于第一象限），且点关于原点对称，若，则的离心率为________ 二、选择题 13.若为椭圆上的一点，，分别是椭圆的左、右焦点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 14.下列结论正确的是（ ） A．与有相同的离心率 B．与有相同的焦点 C．与有相同的顶点 D．与有相同的离心率 15.点在椭圆的外部，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16.设，分别是椭圆的左、右焦点，过作轴的垂线与椭圆交于，两点，若为钝角三角形，则离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 三、解答题 17. 求椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、焦点和顶点坐标 18.分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程． (1)已知椭圆的离心率为，短轴长为； (2)椭圆与有相同的焦点，且经过点. 19.（1）求与椭圆的焦点相同，且经过点的椭圆的标准方程. （2）求与椭圆离心率相同，且经过点的椭圆的标准方程. 20．已知圆M：，点，P是圆M一动点，若线段PN的垂直平分线与PM交于点Q． （1）求点Q的轨迹方程C； （2）若点A是曲线C上的动点，求的最大值（其中O为坐标原点）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题2.2.2 椭圆的几何性质（1） 知识点一、椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 长轴长＝，短轴长＝ 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝ 对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0) 离心率 e＝(0<e<1) 1. 椭圆的通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦叫作椭圆的通径，通径长为. 2. 焦半径：椭圆上的任一点P(x0，y0)与焦点F1 或F2之间的线段的长度叫作椭圆的焦半径. 记r1=PF1，r2=PF2，则 ①当焦点在x轴上时，r1=a+ex0，r2=a-ex0； ②当焦点在y轴上时，r1=a+ey0，r2=a-ey0. 3. 焦点弦：过焦点的直线与椭圆相交形成的弦. 焦点弦中通径最短. 4.椭圆的焦点一定在它的长轴上． 5.椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点． 6.椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c. 知识点二、椭圆的离心率 1、定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率． 2、性质：离心率e的范围是(0,1)．当e越接近于1时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆． 3、求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解． (2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的齐次关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围． 知识点三、点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系 点P在椭圆上⇔＋＝1； 点P在椭圆内部⇔＋<1； 点P在椭圆外部⇔＋>1. 知识点一、椭圆的几何性质 题型一、由椭圆方程研究其几何性质 【例1】求下列椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标和焦点坐标： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）长轴长为，短轴长为，离心率为， 顶点坐标为，焦点坐标为； （2）长轴长为，短轴长为，离心率为， 顶点坐标为，焦点坐标为； （3）长轴长为10，短轴长为8，离心率为， 顶点坐标为，焦点坐标为； （4）长轴长为8，短轴长为4，离心率为， 顶点坐标为，焦点坐标为. 【解析】（1）由椭圆方程知，， 所以椭圆的长轴长为，短轴长为，离心率为， 顶点坐标为，焦点坐标为； （2）由椭圆方程知，， 所以椭圆的长轴长为，短轴长为，离心率为， 顶点坐标为，焦点坐标为； （3）椭圆方程可变形为，所以， 所以椭圆的长轴长为10，短轴长为8，离心率为， 顶点坐标为，焦点坐标为； （4）椭圆方程可变形为，所以， 所以椭圆的长轴长为8，短轴长为4，离心率为， 顶点坐标为，焦点坐标为. 【例2】若椭圆与椭圆，则两椭圆必定（    ）． A．有相等的长轴长 B．有相等的焦距 C．有相等的短轴长 D．长轴长与焦距之比相等 【答案】B 【解析】椭圆，可知，，， 长轴长是10，短轴长是6；焦距是8；焦点坐标是；离心率是：． 椭圆中， ，，， 长轴长是，短轴长是；焦距是8；焦点坐标是；离心率是． 椭圆与椭圆关系为有相等的焦距． 故选：B． 【跟踪训练】 1.已知椭圆与，则两个椭圆（    ） A．有相同的长轴与短轴 B．有相同的焦距 C．有相同的焦点 D．有相同的离心率 【答案】D 【解析】将椭圆方程整理得， 其焦点在轴上，，，则，所以． 将椭圆方程整理得，其焦点在轴上，，， 则，所以， 故选:D． 2.曲线与曲线的（    ） A．长轴长一定相等 B．短轴长一定相等 C．离心率一定相等 D．焦距一定相等 【答案】D 【解析】对于曲线：， 对于曲线：， 所以它们的长轴不一定相等，短轴不一定相等，离心率不一定相等，焦距一定相等.故选：D 3.椭圆的长轴长与焦距之差等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的标准方程求出，再求长轴长与焦距之差. 【详解】由题得，，所以，， 所以长轴长，焦距， 所以长轴长与焦距之差等于 ． 故选：B 4.椭圆的焦距为4，则的值为（    ） A．12 B．4 C．12或4 D．10或6 【答案】C 【分析】根据椭圆焦点的位置进行分类讨论，利用标准方程确定的值，进而解得的值. 【详解】由题意得，，，则，即， 当椭圆的焦点在轴上时，有，解得， 当椭圆的焦点在轴上时，有，解得， 综上所述，或， 题型二、由椭圆几何性质求标准方程 【例3】求满足下列条件的椭圆的标准方程． （1）长轴在x轴上，长轴长为12，离心率为； （2）椭圆过点，离心率； （3）在x轴上的一个焦点与短轴上的两个顶点的连线互相垂直，且焦距为8； （4）与椭圆有相同的焦点，且短轴长为2． 【答案】（1）；（2）或；（3）；（4）. 【解析】（1）由题意，可知，，得，，从而， 又长轴在x轴上，故所求椭圆的标准方程为． （2）若焦点在x轴上，则，由，得，所以， 此时椭圆的标准方程为， 若焦点在y轴上，则，由，得， 此时椭圆的标准方程为，故椭圆的标准方程为或． （3）分析知，，故椭圆的标准方程为． （4）椭圆可化为，可知焦点在y轴上，焦点坐标为， 故可设所求椭圆的方程为， 则，又，即，所以， 则所求椭圆的标准方程为． 【例4】过点，焦点在x轴上且与椭圆有相同的离心率的椭圆方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为所求椭圆与椭圆有相同的离心率， 可设所求椭圆的方程为， 又由椭圆过点，代入椭圆的方程，可得，解得， 即所求椭圆的方程为，即.故选：D. 【跟踪训练】 1. 分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3； (2)离心率为，且经过点． (3)已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，其离心率为，焦距为8； (4)已知椭圆的离心率为，短轴长为． 【答案】(1)或．(2)或． (3)，(4)或． 【分析】（1）根据椭圆的几何性质直接写出a，c的值，然后求出b的值即可写出椭圆的标准方程； （2）根据离心率可设，，对椭圆焦点的位置进行分类讨论写出其标准方程即可. （3）根据焦距得到，再根据离心率得到，则得到标准方程； （4）根据短轴长求出，再分两种情况写出椭圆方程即可. 【解析】（1）由题意知，，所以， 又焦点所在坐标轴可为x轴，也可为y轴， 故椭圆的标准方程为或． （2）由题意可得，设，，，则． 又椭圆经过的点为其顶点， 故若点为长轴顶点，则，，椭圆的标准方程为； 若点为短轴顶点，则，，椭圆的标准方程为． （3）设椭圆的标准方程为， 由题意知，，， ， ，从而， 椭圆的标准方程是． （4）设椭圆的标准方程为或， 由得， 又，， 所以，， 所以椭圆的标准方程为或． 2. 已知焦点在轴上的椭圆与椭圆：的离心率相同，且的长轴长比其短轴长大4，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出椭圆的离心率，设椭圆的标准方程为，根据已知列方程即可. 【解析】设焦点在轴上的椭圆：， 由已知得，即①， 又椭圆：的离心率为，所以②， ①②联立解得，， 所以椭圆的标准方程为. 故选：C. 3.焦点在轴上且中心为原点的椭圆与椭圆：离心率相同，且，在第一象限内公共点的横坐标为1，则的方程 【答案】 【解析】椭圆中，，故椭圆的离心率为， 中，令得， 故，在第一象限内公共点的坐标为， 设，将代入可得， 又，解得，， 故答案为：. 题型三、利用椭圆的有界性求范围或最值 【例5】椭圆上的点的横、纵坐标的范围分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将方程化为标准方程，然后根据椭圆的性质分析判断 【解析椭圆上， 所以． 故选：C. 【例6】已知是椭圆上一点，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据两点距离公式，结合二次函数的性质即可求解. 【解析】设, 所以, 由于，故当，取最小值， 故答案为： 【跟踪训练】 1.若椭圆的方程为，则椭圆上横坐标纵坐标的范围分别为： ； 【答案】， 【分析】略 【解析】略 2.已知椭圆，则椭圆上的点到点的距离的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点点距离公式即可结合二次函数的性质求解. 【解析】设是椭圆上的一个动点，则，， 由于，故当时，取最大值， 故选：C 3.设，为椭圆：（）的上、下焦点，若在椭圆上存在一点，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由椭圆的性质知：当在椭圆左右顶点时最大， ∴椭圆上存在一点使，只需在椭圆左右顶点时， 此时，，即，又， ∴，解得，又， ∴. 故选：C. 4.已知椭圆的焦点为，，椭圆上的动点坐标在第一象限，且为锐角，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由已知可得P在以O为圆心，半径为c的圆的外部，写出圆的方程，与椭圆方程联立，消去y求得交点的横坐标，然后可得答案． 【解析】由已知可得P在以O为圆心，半径为c的圆的外部，， 所以该圆的方程为：， 由，消去y得：解得， 又∵P在椭圆上，且由为锐角，可知P不在x轴上， 由于的左右顶点横坐标分别为-3和3， ∴为使为锐角， 的取值范围是 又动点坐标在第一象限， 故答案为：． 题型四、椭圆的对称性及其应用 【例7】若点在椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上 C．点在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系 【答案】C 【分析】根据椭圆的对称性可判断. 【解析】点与点关于原点对称， 点与关于轴对称， 点与关于轴对称， 若点在椭圆上，根据椭圆的对称性，，，三点都在椭圆上， 故选：C. 【跟踪训练】 1．下面是关于曲线对称性的一些叙述：①关于x轴对称；②关于y轴对称；③关于原点对称；④关于直线对称. 其中正确叙述的个数为 （　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】将曲线方程化为，结合椭圆对称性判断①②③，根据直线对称的特征判断④. 【解析】曲线方程可化为，故该曲线为焦点在y轴上的椭圆， 由椭圆的性质，知该曲线关于x轴对称、y轴对称、原点对称. 将曲线方程中的x换成y，y换成x，得，与原曲线方程不同， 故该曲线不关于直线对称. 即正确的为①②③，④错误. 故选：C. 2．已知分别为椭圆的左､右顶点，点在上，若是一内角为的等腰三角形，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】由已知得出点位置，根据已知在中求解，即可得出答案. 【解析】 由已知是等腰三角形结合椭圆的对称性可知，为的上或下顶点，且，所以. 不妨设为的上顶点，则， 所以. 故选：C. 知识点二、椭圆的离心率 题型五、椭圆离心率的性质 【例8】下列四个椭圆中，形状与圆更接近的一个是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由椭圆的性质知，离心率越小，椭圆越接近圆，离心率越大，椭圆越扁， 四个椭圆的离心率分别为，，，，其中离心率最小的为， 所以椭圆的形状与圆更接近．故选:C． 【例9】若椭圆：（）与椭圆：（）的焦距相等，给出如下四个结论： ①和一定有交点； ②若，则； ③若，则； ④设与在第一象限内相交于点，若，则． 其中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】②④ 【解析】通过时的图像可知和没有交点，根据两椭圆相同，结合，得到，根据分析法得到所需条件与矛盾，根据椭圆对称性，结合得到两椭圆之间离心率的关系，从而得到. 【解析】对于结论①，当时，椭圆的图像完全在椭圆的内部， 此时和没有交点，所以①错误； 对于结论②，因为两椭圆的焦距相等，即相等，可得， 因为，所以得到 由可得， 所以得到， 所以得到，所以②正确； 对于结论③，由可得， 即，即， 从而得到，与条件中的矛盾， 所以③错误； 对于结论④，因为两椭圆的相同，若两椭圆的离心率相同， 则根据对称性可知，两椭圆在第一象限的交点，其横纵坐标应相等， 而此时与在第一象限内相交于点，， 则椭圆更接近圆，或椭圆更扁，即， 所以，得到， 所以④正确. 故答案为：②④. 【点睛】本题考查焦距相等的椭圆间的关系，椭圆的几何性质，根据椭圆的形状判断离心率的大小，考查了化归与转化的思想，属于中档题. 题型六、求椭圆离心率的值 【例10】若椭圆满足，则该椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由椭圆离心率的公式计算. 【详解】椭圆满足， 则该椭圆的离心率. 故选：B. 【例11】已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在椭圆中，由椭圆的定义可得， 因为，所以，在中，， 由余弦定理得， 即所以所以的离心率. 故选：C 【例12】椭圆的两焦点为，若椭圆上存在点使为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】当时，为等腰直角三角形，则点位于椭圆的上下顶点，则满足：, 当或者时，此时 ，为等腰直角三角形，则满足 , 故 ， 故选：C 【例13】已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于点，且，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不妨设椭圆方程为，椭圆另一焦点为， 由于是短轴的一个端点，所以， 又，所以， 由椭圆定义可得, 由于，所以， 故， 即，解得，故选：A 【跟踪训练】 1.已知椭圆的短轴长为2，焦距为，则该椭圆的离心率为_______ 【分析】由题求出b、c、a，即可求出离心率. 【详解】由题的， 所以， 所以离心率为， 2.设椭圆的左，右焦点分别为，点P在C上，若，，则C的离心率为______ 【分析】在直角三角形中，，得，由，得，进行求解即可． 【详解】解：如图： 因为，所以， 则在直角三角形中，， 得， 由，得， 即椭圆的离心率为：． 3.已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】利用椭圆的定义，通过假设一条焦半径长，就可以得到其他焦半径的表示，再利用勾股定理来消元假设的字母，最后利用一个角和余弦定理来建立一个的齐次式，求解离心率. 【详解】令椭圆：（）的半焦距为， 设，则，由点在轴上， ，得， 而，，因此， 即，解得， 在中，， 在中，由余弦定理得， 即， 整理得，而， 所以椭圆的离心率为． 故答案为：． 4.已知点F，A，B分别是椭圆的左焦点、右顶点和上顶点，AB的中点为M，若，则椭圆的离心率等于______ 【分析】根据题意，作出图形，取的中点，连接，分别求出和，利用余弦定理即可求得离心率. 【详解】如图，取的中点，连接,则易得，，    在中，，则,又， 在中，由余弦定理，， 即，整理得，， 解得或（舍去），则. 题型七、由椭圆的离心率求参数值 【例14】已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为______ 【分析】首先得到，即可求出，再由离心率公式求出，最后再求出长轴长. 【详解】因为， 依题意可得， 所以， 则离心率，解得，则， 所以椭圆的长轴长为. 【跟踪训练】 1.已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为______ 【分析】由离心率公式首先求得参数的值，进一步可得以及长轴长. 【详解】因为方程表示椭圆，所以， 从而，解得， 所以，则椭圆的长轴长为. 2.已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为___________ 【分析】根据离心率的公式，求解，再根据方程求椭圆的长轴长. 【详解】由条件可知，，，则， 由条件可知，，得， 所以，椭圆的长轴长. 3.若椭圆的离心率为，则实数的值为_______ 【答案】， 【分析】分焦点在轴上和轴上两种情况讨论，再根据条件即可求出结果. 【详解】因为椭圆的离心率为， 当焦点在轴上时，即，得到，由，解得； 当焦点在轴上时，即，得到，由，解得. 题型八、求椭圆离心率的取值范围 【例15】已知点A、B为椭圆的长轴顶点，P为椭圆上一点，若直线PA，PB的斜率之积的范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【解析】由题得：，所以 故选：A． 【例16】已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合点在椭圆内部的特点、椭圆离心率公式进行求解即可. 【详解】根据椭圆的对称性，不妨设焦点在横轴上的椭圆标准方程为：， 设，设， ， 点在椭圆内部，有， 要想该不等式恒成立，只需， 而， 故选：B 【例17】已知椭圆上存在点，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由椭圆的定义得，又∵，∴，， 而，当且仅当点在椭圆右顶点时等号成立， 即，即， 则，即.故选：D． 【例18】设分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，若在直线上存在点P，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用中垂线的性质列出关于的方程，再转化为关于的方程即可. 【详解】由题知，如图所示：    设P，F1（－c，0），F2（c，0）， 由线段PF1的中垂线过点F2得｜PF2｜＝｜F1F2｜， 即＝2c， 得m2＝4c2－＝－＋2a2＋3c2≥0， 即3c4＋2a2c2－a4≥0，得3e4＋2e2－1≥0，解得e2≥， 又0＜e＜1，所以≤e＜1. 故选：D. 【跟踪训练】 1.已知点A、B为椭圆的长轴顶点，P为椭圆上一点，若直线PA，PB的斜率之积的范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【解析】由题得：，所以 故选：A． 2.已知椭圆：，是椭圆上的点，，是椭圆的左右焦点，若恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则，，， ， 因为，所以，又， 所以时，取得最大值， 恒成立，则，变形得， 又，故解得.故选：D. 3.设分别为椭圆的左､右焦点，若在直线（c为半焦距）上存在点P，使的长度恰好为椭圆的焦距，则椭圆离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，椭圆，可得焦距， 因为在直线上存在点P，使的长度恰好为椭圆的焦距， 可得，即，可得，即，解得 又因为椭圆的离心率，所以.故选：B. 4.已知是椭圆的右焦点，若直线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等， 又|FA|= ， ， ，又， ∴. 故选：D. 5.已知椭圆的左、右焦点分别为，，半焦距为．在椭圆上存在点使得，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理及椭圆定义得 ，得，结合，得关于的不等式，从而求出的范围. 【详解】由，得 ，得， 又，则， ∴，即， 又，∴． 故选：B． 6.已知椭圆的左右焦点为，，以为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离心率的范围为（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为以为直径的圆与椭圆有四个交点， 所以，即，，， 所以，即， 又因为，所以椭圆离心率的取值范围为．故选：A． 知识点三、点和椭圆的位置关系 题型九、点与椭圆的位置关系 【例19】点P(4cosα，2sinα)(α∈R)与椭圆C：＋＝1的位置关系是（ ） A．点P在椭圆C上 B．点P与椭圆C的位置关系不能确定，与α的取值有关 C．点P在椭圆C内 D．点P在椭圆C外 【答案】D 【解析】把点P(2cosα，sinα)(α∈R)代入椭圆方程 左边为＋＝4（cos2α＋sin2α）＝4>1， 因此点P在椭圆外．故选:D. 【例20】点在椭圆的外部，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为点在椭圆的外部， 所以,解得,故选：B. 【跟踪训练】 1.点与椭圆的位置关系为（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．不确定 【答案】B 【分析】将点代入椭圆即可求解. 【详解】由于，所以在内， 故选：B 2.点在椭圆的内部，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，解不等式即可得解. 【详解】因为点在椭圆的内部，所以有，即， 解得，则的取值范围是． 故选：B. 【点睛】本题考查点与椭圆的位置关系，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题. 题型十、综合提升 【例21】如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，水面宽度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：，求直线被椭圆所截得的弦长，代入椭圆方程即可求解. 【解析】以图中水面所在的直线为轴，水面的垂直平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，根据已知条件可知：桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：， 当水位上升时，水面的宽度也即当时，直线被椭圆所截的弦长. 把代入椭圆方程可得：， 所以当水位上升时，水面的宽度为， 故选：. 【例22】如图，都是椭圆的顶点，从上一点向轴作垂线，垂足为焦点，且．    (1)求的离心率； (2)若的面积比的面积大，求的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，求出，，又，即可得到，，进而求出离心率； （2）由题意，，结合图形可得，解得，，得出椭圆方程. 【详解】（1）由题意可得， ，． 由，，解得，， 故椭圆的离心率为． （2）由题意， 又因为，， 所以， 化简得 又因为， 所以， 解得，， 所以椭圆. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是应用转化思想注意图形特征得出，再结合已知化简计算求解得出，即可. 【跟踪训练】 1．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意先求得短半轴长，再根据正弦定理求得，进而根据离心率的公式求解即可 【解析】因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上， 由图可知，椭圆的短半轴长， 在中，， 由正弦定理得： ， 所以，    故选：D. 2.如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高5米，隧道全长2500米．隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆． (1)若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少?（结果精确到0.1米） (2)若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高和拱宽?（结果精确到0.1米） 以下结论可以直接使用：①椭圆的面积公式． ②柱体的体积为底面积乘以高，，． 【解题思路】（1）建立直角坐标系，设椭圆方程为，依题意可得，将点代入椭圆方程，即可求解； （2）由点在椭圆上或在椭圆内得，利用基本不等式即可求出半椭圆的面积的最小值，从而得解. 【解答过程】（1）如图建立平面直角坐标系， 依题意可得点在椭圆上， 又，将点代入椭圆方程得，解得， 此时， 因此隧道设计的拱宽约为米； （2）设隧道上方半椭圆部分的面积为， 由椭圆方程且点在椭圆上或椭圆内部，得， 因为，即，当且仅当时取等号， 所以， 由于隧道长度为米，故隧道上方半椭圆部分的土方工程量， 当取得最小值时，有且，得，， 此时，， 即拱高和拱宽，隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小. 3.已知在椭圆上，分别为的左､右焦点. (1)求椭圆的离心率； (2)若动点均在上，且在轴的两侧，求四边形的周长. 【解题思路】（1）把给定点的坐标代入椭圆方程，建立方程组并求解即得. （2）根据给定条件，利用椭圆定义计算即得. 【解答过程】（1）由点在椭圆上， 得，解得，则半焦距， 所以的离心率为. （2）因为动点均在上，且在轴的两侧， 所以由椭圆的定义得，四边形的周长为. 一、填空题 1.椭圆的短半轴的长为_______ 【解析】由，可得椭圆标准方程为， 即，所以短半轴长为. 2.椭圆的焦点坐标为_______ 【解析】由题设，故椭圆的焦点在轴上，且， 所以焦点坐标为. 3.若椭圆：的短轴的一个端点为，则椭圆的长轴长为______ 【分析】由题意可知椭圆焦点在轴上，将端点代入椭圆方程即可求解. 【解析】由题意知C的焦点在x轴上，椭圆C的标准方程为，且， 所以，所以C的方程为，所以其长轴长为. 4.若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为 . 【答案】或 【分析】根据题意，分类讨论和两种情况，结合椭圆方程的性质与离心率公式求解即可. 【详解】因为椭圆的离心率为，易知， 当时，椭圆焦点在轴上，，， 所以，解得，则，所以椭圆的长轴长为. 当时，椭圆焦点在轴上，，， 所以，得，满足题意， 此时，所以椭圆的长轴长为. 故答案为：或. 5．国家体育场（鸟巢），位于北京奥林匹克公园中心区南部，为2008年北京奥运会的主体育场.某近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知小椭圆的短轴长为，长轴长为，大椭圆的短轴长为，则大椭圆的长轴长为________ 【分析】由两椭圆扁平程度相同可得两椭圆的离心率相等，由条件可求小椭圆的离心率，设大椭圆的长轴长为，根据离心率的定义列方程可求，由此可得结论. 【解析】由大椭圆和小椭圆的扁平程度相同，可得两椭圆的离心率相同. 由小椭圆的短轴长为，长轴长为，可得其焦距长为，故离心率. 设大椭圆的长轴长为，又大椭圆的短轴长为， 所以，解得， 故大椭圆的长轴长为. 6.焦点在轴上，长轴长为10，离心率为的椭圆的标准方程为________ 【解析】因为长轴长为，故长半轴长，因为，所以半焦距， 故， 又焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为. 7.已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为_______ 【解析】设椭圆的标准方程为，焦距为， 由得，由得， 故， 所以该椭圆的方程为． 8．已知椭圆：的离心率为，，分别为的左、右焦点，为上一点，若的面积等于2，且，则的方程为________ 【分析】利用椭圆离心率，可设，，在中结合余弦定理，面积公式可以求出，进而求出椭圆方程. 【解析】因为椭圆离心率为，故可设，， 则椭圆的方程为. 由椭圆的定义可知，， 在中，， 由余弦定理可知， 所以， 即， 所以， 又因为，， 所以， 所以， 解得， 所以椭圆的方程为. 9．已知椭圆的离心率为是椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，为线段的中点，直线与椭圆交于两点，若的周长为16，则椭圆的标准方程为 ． 【答案】 【解析】设椭圆的焦距为， 由题意有，有， 所以，可得为等边三角形， 又为线段的中点，可得是线段的垂直平分线， 所以， 又的周长为16，有，所以， 所以椭圆的标准方程为. 故答案为： 10．若椭圆比椭圆更扁，则椭圆的长轴长的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由椭圆可得其离心率， 由椭圆可得其离心率为， 由于比椭圆更扁， 故的离心率满足，即，解得， 故长轴长为. 故答案为：． 11.已知右焦点为的椭圆：上的三点，，满足直线过坐标原点，若于点，且，则的离心率是_______ 【分析】根据椭圆的对称性，结合平行四边形的判定定理和性质、椭圆的定义、勾股定理、椭圆的离心率公式进行求解即可. 【详解】设椭圆左焦点为，连接 ，，， 设，，结合椭圆对称性得， 由椭圆定义得，，则. 因为，， 则四边形为平行四边形， 则，而，故， 则，即， 整理得，在中，， 即，即， ∴，故.      【点睛】关键点睛：本题的关键是利用椭圆的对称性和定义. 12.设椭圆的左､右焦点分别为，点在上（位于第一象限），且点关于原点对称，若，则的离心率为________ 【解析】由点关于原点对称，得线段互相平分，则四边形为平行四边形， 由，得， 则是矩形，，， 设，由，得， 由，得，整理得， 而 所以的离心率． 二、选择题 13.若为椭圆上的一点，，分别是椭圆的左、右焦点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易知当点为椭圆与轴的交点时，最大， 因为椭圆方程为，所以、， 此时，， 所以， 所以为等腰直角三角形，所以． 故选：D 14.下列结论正确的是（ ） A．与有相同的离心率 B．与有相同的焦点 C．与有相同的顶点 D．与有相同的离心率 【答案】B 【解析】A：离心率为；离心率为，离心率不同，错误； B：焦点为；焦点为，焦点相同，正确； C：顶点为；顶点为，顶点不同，错误； D：离心率为；离心率为，离心率不同，错误. 故选：B 15.点在椭圆的外部，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为点在椭圆的外部， 所以,解得, 故选：B. 16.设，分别是椭圆的左、右焦点，过作轴的垂线与椭圆交于，两点，若为钝角三角形，则离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到，得到，转化为，进而求得椭圆的离心率的取值范围. 【详解】由，分别是椭圆的左、右焦点，过作轴的垂线与椭圆交于两点， 可得，即， 因为为钝角三角形，则，可得，即，即， 又因为，可得，即， 即，且，解得， 即椭圆的离心率的取值范围为. 故选：A. 三、解答题 17. 求椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、焦点和顶点坐标 【答案】答案见解析 【分析】将椭圆方程化为标准方程，求出、、的值，可写出椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、焦点和顶点坐标； 【解析】椭圆的标准方程为，，，， 该椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为， 焦点坐标为、，顶点坐标为、、、， 18.分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程． (1)已知椭圆的离心率为，短轴长为； (2)椭圆与有相同的焦点，且经过点. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）由题意得，解出该方程组即可由椭圆焦点在x轴上或在y轴上得解； （2）先求出椭圆焦点即可得椭圆焦点坐标为，进而可设圆方程为且，解出和即可得解. 【详解】（1）由题得， 所以椭圆的标准方程为或. （2）椭圆满足，故该椭圆焦点坐标为， 因为椭圆与有相同的焦点，且经过点， 所以可设椭圆方程为，且，解得， 故，解得（舍去）或，故. 所以椭圆的标准方程为. 19.（1）求与椭圆的焦点相同，且经过点的椭圆的标准方程. （2）求与椭圆离心率相同，且经过点的椭圆的标准方程. 【答案】（1）；（2）或 【解析】（1）椭圆焦点为，设所求椭圆的标准方程为且， 由点在椭圆上，得，整理得， 而，解得，所以所求椭圆的标准方程为. （2）椭圆离心率， 令所求椭圆的长短半轴长分别为，则，， 当所求椭圆的焦点在轴上时，设椭圆方程为， 于是，解得，方程为； 当所求椭圆的焦点在轴上时，设椭圆方程为， 于是，解得，方程为， 所以所求椭圆的标准方程为或. 20．已知圆M：，点，P是圆M一动点，若线段PN的垂直平分线与PM交于点Q． （1）求点Q的轨迹方程C； （2）若点A是曲线C上的动点，求的最大值（其中O为坐标原点）． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）圆的圆心，半径为， 由题意可知，又点是圆上的点，则， 且，则， 由椭圆的定义可知，点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，，， 则点的轨迹方程； （2）设，则， 进而① 又，所以，将其代入①得 ， 由椭圆的有界性可知 ，所以当 时，取最大值 1 学科网（北京）股份有限公司 $