专题3.1 空间向量及其运算 （4大知识点+11大题型+21题强化）【精英班课程】2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义（沪教版2020选择性必修第一册）

2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题3.1 空间向量及其运算 知识点一、空间向量的有关概念 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 【注】(1)空间中点的一个平移就是一个向量； (2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量. 知识点二、空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝ 减法 a－b＝－＝ 数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 【注】(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并. (2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则. (3)空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量. 知识点三、空间向量的夹角与数量积 1．空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． (2)范围：0≤〈a，b〉≤π. 特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 2．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 3．空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 4．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 知识点四、空间向量数量积的应用 1、求模长：利用公式和，可以解决空间中有关距离或长度的问题； 2、求夹角：利用公式＝可以解决两向量夹角，特别是两异面直线夹角的问题. 3、投影向量或数量投影 在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量． 知识点五、共线向量 1．共线向量 (1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． (2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a. 2.共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb. O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa. 拓展：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中 考点一、空间向量概念 题型一、空间向量的相关概念 【方法点拨】 判断向量相关结论，只围绕模长、方向两大核心条件分析。相等向量必须模长相等且方向一致；相反向量模长相等、方向完全相反；零向量模长为0，方向任意，能与任意向量共线。 区分易混淆概念，共线向量只要求方向同向或反向，和线段摆放位置无关；单位向量仅限制模长为1，方向没有固定要求，对照定义逐一判断正误即可。 【例1】给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】根据空间向量的定义，逐个命题进行判断即可. 【解答过程】对于①，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个球面，故①为假命题； 对于②，根据正方体的定义，上下底面的对角线必定相等，结合向量的方向，所以，故②为真命题； 对于③，根据向量相等的定义，明显成立，故③为真命题； 对于④，向量相等即模相等和方向相同，故空间中任意两个单位向量必相等是假命题，故④为假命题. 故选：B. 【跟踪训练】 1.关于空间向量，，，下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据空间向量数量积的运算律可知选项A，B，C正确；根据与表示的意义可知选项D错误. 【解答过程】由数量积运算的交换律可得,选项A正确. 由数量积运算的分配率可得，选项B正确. 由数量积运算的数乘结合律可得，选项C正确. 表示与共线的向量，表示与共线的向量，与不一定相等，选项D错误. 故选：D. 2.对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B． C．若，则，的夹角是钝角 D． 【答案】B 【解题思路】由空间向量的位置关系可得A错误；由数量积的运算律可得B正确，D错误；当两向量的夹角为时，也成立可得D错误； 【解答过程】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，由数量积的运算律可知，故B正确； 对于C，若，则，的夹角是钝角或反向共线，故C错误； 对于D，由数量积的运算律可知，等号左面与共线，等号右面与，两边不一定相等，故D错误； 故选：B. 3.下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 【答案】D 【详解】选项A：向量是兼具大小与方向的量，本身无法比较大小，仅模可以比较，此说法正确. 选项B：需满足模相等且方向相同，故是的必要不充分条件，此说法正确. 选项C：零向量的定义为模等于0的向量，不存在其他模为0的向量，此说法正确. 选项D：共线的单位向量方向可能相同或相反，方向相反时向量不相等，此说法错误. 故选：D. 考点二、空间向量的线性运算 题型二、空间向量的线性运算 【方法点拨】 向量加法用三角形法则、平行四边形法则，多个向量相加可首尾相连依次合并；减法统一转化为加相反向量，共起点两向量相连终点就是差向量。 数乘向量根据实数正负区分方向，正数同向、负数反向，实数取0时结果为零向量；化简复杂向量式子，直接使用交换律、结合律、分配律分步拆解。 【例2】如图，在正方体中，化简向量表达式：    (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）. （2）因为，， 所以. 【跟踪训练】 1.如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据空间向量加减法法则计算． 【解答过程】由题意， 故选：C． 2.如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的个数是（ ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】根据空间向量的加法法则判断． 【解答过程】由正方体，空间向量的加法法则可得． ；； ；． 故选：D． 3.已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 【答案】(1)，作图见解析 (2)，作图见解析 (3)，作图见解析 【详解】（1）， 向量如图所示.    （2）； 向量如图所示.    （3）， 设是线段的中点， 则. 向量如图所示.    题型三、空间向量的线性表示 【方法点拨】结合几何体等分点、平行线段、中线等几何关系拆分目标向量，将目标向量拆解为两组不共线基底向量的组合形式。 假设存在实数系数构建线性等式，由于基底向量不共线，等式两侧相同基底的系数必然对应相等，依靠等量关系求出未知系数。 【例3】如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，是底面圆的圆心，，为SC的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，为SC的中点， 所以， 故选：C. 【跟踪训练】 1.如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据条件可得出，然后根据空间向量的减法即可得解． 【解答过程】，， 是BC的中点， ， ， 故选： 2.如图，在四面体OABC中，为BC的中点，，且为OG的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据空间向量的线性运算求解即可. 【解答过程】由题意， , 故选：A. 3.如图所示，在平行六面体 中，M是 的中点，点N是CA₁上的点，且 用表示向量 的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形，利用空间向量的加减数乘运算，将用空间的基底表示即可. 【详解】由图可得： . 故选：C. 4.如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的加减法则，将逐步转化为已知向量、、的线性组合. 【详解】是的中点，，又，由，. 故选：. 题型四、由空间向量的线性运算求参数 【例4】平行六面体中，，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】 ， 所以， 故选：C.    【跟踪训练】 1.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M，N分别是的中点，是的中点，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，利用空间向量运算即可求得正确答案. 【详解】连接，因为是的中点，所以，    因为底面为直角三角形的直棱柱， 所以四边形为长方形， 又因M，N分别是的中点， 所以， 则， 又因，所以可得，解得， 所以. 故选：A. 考点三、向量共线的判定及应用 题型五、 空间向量共线的判定 【例5】下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据向量的加法运算可判断A，根据向量的减法以及相反向量可判断B，根据共线向量的定义可判断C，向量的模长相等不一定能推出向量共线，即可判断D. 【解答过程】对于A，对于空间中的任意向量，都有，不能说明三点共线，说法A错误； 对于B，若，则，而，据此可知，即，两点重合，选项B错误； 对于C，，则、、三点共线，选项C正确； 对于D，，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有、、三点共线，选项D错误； 故选：C. 【跟踪训练】 1．下列说法中错误的是（    ） A． 是共线的充分不必要条件 B．若共线，则 C．三点不共线，对空间中任意一点，若，则四点共面 D．若为空间四点，且有（不共线），则是三点共线的充要条件 【答案】B 【分析】由向量数量积运算律及共线判定，结合充分必要性定义判断A，利用共线，则直线AB，CD可能重合判断B，利用四点共面的结论判断C，由向量线性运算及共线判定，结合充分必要性定义判断D. 【详解】对于A：由， 此时，共线，充分性成立， 若，同向共线，且，则，显然不成立， 必要性不成立， 所以“”是“共线”的充分不必要条件，故A正确； 对于B：若共线，则直线AB，CD可能重合，故B错误； 对于C：由，且， 根据空间向量共面的推论知四点共面，故C正确； 对于D：（不共线），若， 则，所以， 即，所以三点共线，反之也成立， 所以是三点共线的充要条件，（本选项也可用三点共线的推论）故D正确. 故选：B 2．有下列命题： ①若，则四点共线； ②若，则三点共线； ③若为不共线的非零向量，，则； ④若向量是三个不共面的向量，且满足等式，则． 其中是真命题的序号是 （把所有真命题的序号都填上）． 【答案】②③④ 【分析】根据共线向量的性质可判断①②的正误，根据共线向量定理可判断③的正误，利用反证法可判断④， 【详解】对于①，当时，不一定在一条直线上，故①错误. 对于②，当时，因共起点，故三点共线，故②正确. 对于③，因为，故，故，故③正确. 对于④，若至少有一个不为零，不妨设， 则，故为共面向量，与题设矛盾， 故全为零，故④正确. 故答案为：②③④. 3.如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．    【答案】证明见解析 【解题思路】把用基底表示后证明它们共线，再由共顶点可得三点共线． 【解答过程】连接，， ∵ ， ， ∴，∴， 又，∴，，三点共线．    题型六、 空间向量共线求参数 【方法点拨】 依据共线向量定理，两个非零向量共线，则存在唯一实数，使。 结合图形线段倍数关系列出向量等量式，通过向量相等的条件建立方程求解参数，同时单独验证向量为零向量的特殊情况。 【例6】设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为. 因为、、三点共线，所以. 所以. 故选：D 【跟踪训练】 1.设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 【答案】 【详解】因为，又A，B，D三点共线， 由向量共线的充要条件得，所以． 2.设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】C 【解题思路】利用向量的线性运算表示，根据、、三点共线可得，建立等量关系可得的值. 【解答过程】∵，，， ∴， ∵、、三点共线， ∴，使得， 即 ， ∴，，解得． 故选：C． 考点四、空间向量数量积的运算 题型七、求空间向量的数量积 【方法点拨】 计算公式：，计算前需要明确两个条件：向量模长，向量夹角。 若向量由几何体线段构成，先根据边长得到模长，平移向量至共起点确定夹角；向量表达式复杂时，先用线性运算化简向量，再代入数量积公式计算，灵活使用向量数量积运算率简化运算。 【例7】已知空间向量，，满足，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由已知得，两边平方利用向量的数量积运算律求解即可. 【解答过程】由得， 两边平方得， 又，所以， 所以. 故选：A. 【跟踪训练】 1.如图，在平行六面体中，，，则（    ） A． B．8 C．-4 D．4 【答案】C 【解题思路】根据空间向量加法的运算性质，结合空间向量数量积的运算性质和定义进行求解即可. 【解答过程】因为，， 所以 . 故选：C. 2.如图，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】B 【解题思路】根据，计算可求数量积. 【解答过程】 . 故选：B. 3.如图，正四面体的棱长为4，平面，为垂足，，延长交于点，则（   ） A．12 B． C．16 D． 【答案】B 【详解】由平面，平面，得， 由题可知， . 故选：B 题型八、求空间向量的模长及参数 【方法点拨】 线段长度等于对应向量的模长，核心公式：，距离问题均可转化为向量模长计算。 将代表线段的向量拆分为基底组合，计算展开后代入基底模长、基底间数量积，算出数值后开平方得到长度；多段线段组合的距离，拆分多个向量分步运算，再合并求解。 【例8】已知平行六面体的所有棱长均为，，则对角线的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据向量的线性运算，可得的表达式，两边平方即可求得. 【解答过程】由已知：平行六面体所有棱长均为， ，则， 又因为：， 同理可得：， 则 ，则. 故选：D. 【跟踪训练】 1.已知空间单位向量，，两两垂直，则（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【解题思路】根据向量数量积的定义和运算律，可求得，由此可得结果. 【解答过程】由题意，，，，， ， . 故选：D. 2.如图，在三棱柱中，与相交于点，，则线段的长度为__________． 【答案】 【详解】是平行四边形，是对角线交点， 则， 已知， ， ． 3.如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1） . （2）依题意，， 则 . 题型九、求空间向量的夹角及参数 【方法点拨】 由数量积公式变形得夹角余弦公式：。 先通过基底运算求出，全部代入式子算出余弦值。再结合夹角范围反求角度，注意几何体中异面线段夹角取锐角或直角，和向量夹角区分开。 【例9】已知空间向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先根据已知化简得出，再两边平方结合数量积公式计算得出夹角余弦进而求出夹角. 【解答过程】设与的夹角为.由，得， 两边平方得，所以， 解得.又，所以. 故选：C. 【跟踪训练】 1. 如图所示，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设向量，且， 可得， 则，所以， ， 所以， 且， 所以. 故选：B. 2.如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点. (1)证明：；（用向量方法证明） (2)求直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）根据空间向量的线性运算易得，，进而结合空间向量的数量积计算即可； （2）利用空间向量的数量积的定义求解即可. 【解答过程】（1）证明：由题意，因为，， 所以 ， 所以，即. （2）由（1）知，， 所以 ， 又， 所以， 即直线与所成角的余弦值为. 【跟踪训练】 1.已知空间向量满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题可知，然后两边同时平方，代入已知数据计算即可. 【解答过程】因为， 所以, 得. 故选：D. 2. 如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角是____    【解题思路】由线面垂直推导出线线垂直，再利用向量运算及夹角公式运算求解. 【解答过程】∵平面，平面，平面， ∴. ∵，，∴， 又，∴E为的中点， ∴. ∵，∴. ∵ ∴＝, 又，∴. 题型十、空间向量的投影与数量投影 【例10】如图，已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，，，则线段的长为______ 【解题思路】先以为基底表示空间向量，再利用数量积运算律求解. 【解答过程】设， 所以， 所以， 所以 ， 所以线段的长为 ． 【跟踪训练】 1. 如图，已知平面，，，则向量在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据线面垂直以及已知角度求出，再结合投影向量可求得结果. 【解答过程】平面ABC，则，， 向量在上的投影向量为. 故选：D. 2. 如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据投影向量的概念，结合长方体的结构，可得答案. 【解答过程】如图，连接，取的中点，连接.易得， 则所求的投影向量为在上的投影向量，易得， 则，所以在上的投影向量为. 故选：C. 3.已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据数量积的运算律可求得，根据投影向量定义直接求解即可. 【解答过程】，，， ，， ，，. 故选：C. 4.已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由空间向量在向量方向上的投影数量为，运算即可得解. 【解答过程】由题意，，，， 则空间向量在向量方向上的投影数量为. 所以所求投影向量的模长为2. 故选：A. 题型十一、空间向量数量积的最值与范围 【例11】正多面体又称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形），数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知正四面体的棱的中点为，且（点为空间中一动点），则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】取的中点，则，根据向量加法的几何性质求出的取值范围即可求解. 【解答过程】取的中点，由题意则， 所以， 又因为，所以，当且仅当方向相同时等号成立； ，当且仅当方向相反时等号成立， 因为正四面体的棱长为2，所以在中，，，， 所以，即， 所以，， 又，所以，即， 所以的最大值为, 故选：B. 【跟踪训练】 1．已知是棱长为6的正方体的一条体对角线，点在正方体表面上运动，则的最小值为（    ） A．0 B．-9 C．-18 D．-36 【答案】C 【分析】求得正方体外接球的半径，根据空间向量的数量积运算求得的表达式，确定的最小值，即得答案. 【详解】如图， 是棱长为6的正方体的一条体对角线，则也是正方体外接球的一条直径，由正方体的特征可得其外接球半径为，设外接球球心为，则， 则 ， 由于点在正方体表面上运动，故的最小值为球心与正方体面的中心连线的长， 即为正方体棱长的一半，为，所以的最小值为. 故选：C 2.正方体的棱长为2，P是空间内的动点，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】取的中点M，连接，取的中点N，连接，则由已知条件可得动点P的轨迹为正方体的外接球，然后由向量的运算可得，从而可求得结果. 【解答过程】取的中点M，连接， 则，则，即， 故动点P的轨迹为以M为球心，为半径的球. 由正方体的棱长为2，可知正方体外接球的半径为3， 即动点P的轨迹为正方体的外接球. 取的中点N，连接， 则 . 由题可知，，则，， 则. 所以的最小值为， 故选：C. 一、填空题 1．已知，是异面直线，且，，分别为直线，的单位方向向量，且，，，则实数的值为_______ 【详解】由于，所以， 即， 所以， 解得. 2．如图，在四面体OABC中，点D为AC的中点，，则 （用来表示） 【答案】 【分析】由及及，即可化简求解. 【详解】由， 故答案为：. 3．已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为_______ 【解题思路】利用空间向量的数量积求向量的夹角. 【解答过程】因为 ； 又，所以，， 设与的夹角为，则 ， 又，所以 . 4．三棱锥的所有棱长都为分别是的中点，则_______ 【解题思路】三棱锥中，由题意可得任意两条棱的夹角为60°，又分别是的中点，再根据数量积的定义求解． 【解答过程】 分别是的中点，且，即， 又三棱锥的所有棱长都为，任意两条棱的夹角为60°， ， 5.若向量满足，则向量在向量上的投影向量可能为_______ 【解题思路】由向量在向量上的投影向量为，利用向量数量积的定义求，进而得的范围，逐一验证即可求解. 【解答过程】由题意有：由向量在向量上的投影向量为， 因为， 因为，所以， 所以， 所以向量在向量上的投影向量可能为， 6.如图，在正三棱柱中，，，则_______ 【解题思路】根据空间向量数量积运算求得正确答案. 【解答过程】依题意可知, . 7.设向量不共面，已知，若三点共线，则________ 【详解】因为三点共线，所以，则存在实数，使得， 由已知得 故 由于不共面，故解得 另解:因为向量不共面，所以， 由已知得 故向量表达式中的系数对应成比例，即，解得． 8.在正方体中，点是的中点，.设在上的投影向量为，则________ 【分析】借助投影向量定义、数量积公式及模长与数量积的关系计算即可得. 【详解】， ， 则 ， ， 故. 9.如图，二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱.若二面角的平面角为，且，，，则__________.    【分析】借助空间向量的线性运算与数量积公式计算即可得. 【详解】由题意可得、、 ， 又， 则 ， 则. 10.在棱长均为1的平行六面体中，，，则________ 【分析】直接由公式即可建立方程求解. 【详解】 设，注意到， 所以，所以. 11.在平行六面体中，底面正方形边长为3，侧棱的长为2，且，则的长为________ 【分析】利用向量的线性运算及数量积的运算律，结合向量的模公式即可求解. 【详解】在平行六面体中， 由，， 得，， 由图知，， 则 . 12.已知正方体的棱长为2，点是正方体外接球的球面上一点，为正方体内切球的球面上的两点，若，则________ 【分析】正方体的中心为，由正方体的棱长求出外接球和内切球的半径，由得到是正方体内切球的直径，从而得到，利用向量的三角形加法法则得到和，求解即可. 【详解】设正方体外接球半径为，内切球半径为，正方体的中心为，则， 所以，所以，即， 因为，所以是正方体内切球的直径，所以， 所以 . 二、选择题 13.给出下列四个命题，其中正确的有（    ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】A 【解题思路】根据题意，由空间向量的相关性质以及运算，逐一判断，即可得到结果. 【解答过程】对于（1），当时，与不一定平行，故（1）错误； 对于（2），空间任意两个单位向量的模长相等，方向不一定相同，故（2）错误； 对于（3），取，满足， 且，但是，故（3）错误； 对于（4），因为与都是常数，所以和表示两个向量， 若与方向不同，则与不相等，故（4）错误； 故选：A. 14．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，已知四棱锥是阳马，平面，且．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合已知条件，根据空间向量的线性运算法则求解即可. 【详解】因为，所以. 因为，所以. 因为， 所以. 故选：A 15.在棱长为1的正方体中，P为正方体内一动点（包括表面），若，且．则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意得点在三棱柱内，设为的中点，由，求出的取值范围可得答案． 【解答过程】满足的点在三棱柱内． 如图，设为的中点，连接相交于点，连接， 因为，，且，平面， 所以平面，又，所以平面，且， ，所以， 所以． 因为，所以的取值范围为． 故选：D. 16.如图所示，正三棱柱的所有棱长均为1，点P、M、N分别为棱、AB、的中点，点Q为线段MN上的动点．当点Q由点N出发向点M运动的过程中，以下结论中正确的是（   ） A．直线与直线CP可能相交 B．直线与直线CP始终异面 C．直线与直线CP可能垂直 D．直线与直线BP不可能垂直 【答案】B 【详解】在正三棱柱中，因为点M、N分别为棱AB、的中点，所以， 又平面，平面，所以平面，因为平面，，，所以四点不共面，所以直线与直线CP始终异面，故A错误，B正确； 对于C，设， 则，， 若直线与直线CP垂直，则， 即， 所以， 即，解得， 因为，所以不存在点使得直线与直线CP垂直，故C错误； 对于D，连接， 因为为的中点，所以，又因平面，平面， 所以，因为平面，所以平面， 又平面，所以， 所以当点在的位置时，直线与直线BP垂直，故D错误. 故选：B. 三、解答题 17．已知平行六面体，化简下列向量表达式 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1） （2）； （3）. 18.如图，在三棱锥中，若，，，点为棱上一点，且，点为线段的中点 (1)求的长度； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据向量的四则运算，用，，表示，结合向量数量积的运算律求解即可； （2）根据向量数量积公式和运算律求解即可. 【解答过程】（1）因为为线段的中点，，所以，， 所以 ， 又因为，， 所以. （2）由（1）得 ， 所以， 则异面直线与所成角的余弦值为. 19. 如图，在平行六面体中，，，，.记向量，，，取的中点. (1)用向量，，表示向量，并求； (2)求向量和向量所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由向量的线性运算，再结合模的计算公式即可求解； （2）只需分别求出，再结合向量夹角的余弦公式即可求解. 【解答过程】（1）， 因为，，，， 所以； （2），所以， ， 所以. 20.在正四面体中，点在平面内的投影为，点是线段的中点，过的平面分别与，，交于，，三点. (1)若，求的值； (2)设，，，求的值. 【答案】(1)0 (2)6 【解题思路】（1）为正的中心，利用空间向量的线性运算，把用表示，可求的值； （2）根据已知条件，把用表示，由，，，共面，可求的值. 【解答过程】（1）正四面体中，在底面内的投影为正的中心， ∴， ∴，，，∴. （2）因为，且，，， 所以，即， 因为，，，共面，所以，即. 21.如图，在棱长为2的正四面体中，已知是线段的中点，点在线段上，且.    (1)用向量表示； (2)求； (3)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解； （2）利用向量的模与数量积的关系求解即可； （3）利用向量的夹角公式计算即可求解. 【解答过程】（1） ； （2） ； （3）因为， 所以 . . 由正四面体的棱长为2，可得， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题3.1 空间向量及其运算 知识点一、空间向量的有关概念 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 【注】(1)空间中点的一个平移就是一个向量； (2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量. 知识点二、空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝ 减法 a－b＝－＝ 数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 【注】(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并. (2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则. (3)空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量. 知识点三、空间向量的夹角与数量积 1．空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． (2)范围：0≤〈a，b〉≤π. 特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 2．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 3．空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 4．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 知识点四、空间向量数量积的应用 1、求模长：利用公式和，可以解决空间中有关距离或长度的问题； 2、求夹角：利用公式＝可以解决两向量夹角，特别是两异面直线夹角的问题. 3、投影向量或数量投影 在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量． 知识点五、共线向量 1．共线向量 (1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． (2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a. 2.共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb. O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa. 拓展：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中 考点一、空间向量概念 题型一、空间向量的相关概念 【方法点拨】 判断向量相关结论，只围绕模长、方向两大核心条件分析。相等向量必须模长相等且方向一致；相反向量模长相等、方向完全相反；零向量模长为0，方向任意，能与任意向量共线。 区分易混淆概念，共线向量只要求方向同向或反向，和线段摆放位置无关；单位向量仅限制模长为1，方向没有固定要求，对照定义逐一判断正误即可。 【例1】给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪训练】 1.关于空间向量，，，下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 2.对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B． C．若，则，的夹角是钝角 D． 3.下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 考点二、空间向量的线性运算 题型二、空间向量的线性运算 【方法点拨】 向量加法用三角形法则、平行四边形法则，多个向量相加可首尾相连依次合并；减法统一转化为加相反向量，共起点两向量相连终点就是差向量。 数乘向量根据实数正负区分方向，正数同向、负数反向，实数取0时结果为零向量；化简复杂向量式子，直接使用交换律、结合律、分配律分步拆解。 【例2】如图，在正方体中，化简向量表达式：    (1)； (2)． 【跟踪训练】 1.如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 2.如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的个数是（ ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 3.已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：  (1)；(2)；(3). 题型三、空间向量的线性表示 【方法点拨】结合几何体等分点、平行线段、中线等几何关系拆分目标向量，将目标向量拆解为两组不共线基底向量的组合形式。 假设存在实数系数构建线性等式，由于基底向量不共线，等式两侧相同基底的系数必然对应相等，依靠等量关系求出未知系数。 【例3】如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，是底面圆的圆心，，为SC的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，，则（    ） A． B． C． D． 2.如图，在四面体OABC中，为BC的中点，，且为OG的中点，则（    ） A． B． C． D． 3.如图所示，在平行六面体 中，M是 的中点，点N是CA₁上的点，且 用表示向量 的结果是（   ） A． B． C． D． 4.如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，，记，则（   ） A． B． C． D． 题型四、由空间向量的线性运算求参数 【例4】平行六面体中，，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【跟踪训练】 1.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M，N分别是的中点，是的中点，若，则（    ）    A． B． C． D． 考点三、向量共线的判定及应用 题型五、 空间向量共线的判定 【例5】下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．下列说法中错误的是（    ） A． 是共线的充分不必要条件 B．若共线，则 C．三点不共线，对空间中任意一点，若，则四点共面 D．若为空间四点，且有（不共线），则是三点共线的充要条件 2．有下列命题： ①若，则四点共线； ②若，则三点共线； ③若为不共线的非零向量，，则； ④若向量是三个不共面的向量，且满足等式，则． 其中是真命题的序号是 （把所有真命题的序号都填上）． 3.如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．    题型六、 空间向量共线求参数 【方法点拨】 依据共线向量定理，两个非零向量共线，则存在唯一实数，使。 结合图形线段倍数关系列出向量等量式，通过向量相等的条件建立方程求解参数，同时单独验证向量为零向量的特殊情况。 【例6】设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 2.设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．8 考点四、空间向量数量积的运算 题型七、求空间向量的数量积 【方法点拨】 计算公式：，计算前需要明确两个条件：向量模长，向量夹角。 若向量由几何体线段构成，先根据边长得到模长，平移向量至共起点确定夹角；向量表达式复杂时，先用线性运算化简向量，再代入数量积公式计算，灵活使用向量数量积运算率简化运算。 【例7】已知空间向量，，满足，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.如图，在平行六面体中，，，则（    ） A． B．8 C．-4 D．4 2.如图，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则（   ） A．4 B．5 C．6 D． 3.如图，正四面体的棱长为4，平面，为垂足，，延长交于点，则（   ） A．12 B． C．16 D． 题型八、求空间向量的模长及参数 【方法点拨】 线段长度等于对应向量的模长，核心公式：，距离问题均可转化为向量模长计算。 将代表线段的向量拆分为基底组合，计算展开后代入基底模长、基底间数量积，算出数值后开平方得到长度；多段线段组合的距离，拆分多个向量分步运算，再合并求解。 【例8】已知平行六面体的所有棱长均为，，则对角线的长为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知空间单位向量，，两两垂直，则（    ） A．1 B． C．3 D． 2.如图，在三棱柱中，与相交于点，，则线段的长度为__________． 3.如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 题型九、求空间向量的夹角及参数 【方法点拨】 由数量积公式变形得夹角余弦公式：。 先通过基底运算求出，全部代入式子算出余弦值。再结合夹角范围反求角度，注意几何体中异面线段夹角取锐角或直角，和向量夹角区分开。 【例9】已知空间向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1. 如图所示，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2.如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点. (1)证明：；（用向量方法证明） (2)求直线与所成角的余弦值. 【跟踪训练】 1.已知空间向量满足，且，则（   ） A． B． C． D． 2. 如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角是____    题型十、空间向量的投影与数量投影 【例10】如图，已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，，，则线段的长为_______ 【跟踪训练】 1. 如图，已知平面，，，则向量在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 2. 如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3.已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 4.已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（    ） A．2 B． C． D． 题型十一、空间向量数量积的最值与范围 【例11】正多面体又称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形），数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知正四面体的棱的中点为，且（点为空间中一动点），则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．已知是棱长为6的正方体的一条体对角线，点在正方体表面上运动，则的最小值为（    ） A．0 B．-9 C．-18 D．-36 2.正方体的棱长为2，P是空间内的动点，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 1．已知，是异面直线，且，，分别为直线，的单位方向向量，且，，，则实数的值为_______ 2．如图，在四面体OABC中，点D为AC的中点，，则 （用来表示） 3．已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为_______ 4．三棱锥的所有棱长都为分别是的中点，则_______ 5.若向量满足，则向量在向量上的投影向量可能为_______ 6.如图，在正三棱柱中，，，则_______ 7.设向量不共面，已知，若三点共线，则________ 8.在正方体中，点是的中点，.设在上的投影向量为，则________ 9.如图，二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱.若二面角的平面角为，且，，，则__________.    10.在棱长均为1的平行六面体中，，，则________ 11.在平行六面体中，底面正方形边长为3，侧棱的长为2，且，则的长为________ 12.已知正方体的棱长为2，点是正方体外接球的球面上一点，为正方体内切球的球面上的两点，若，则________ 二、选择题 13.给出下列四个命题，其中正确的有（    ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 14．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，已知四棱锥是阳马，平面，且．若，，，则（    ） A． B． C． D． 15.在棱长为1的正方体中，P为正方体内一动点（包括表面），若，且．则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16.如图所示，正三棱柱的所有棱长均为1，点P、M、N分别为棱、AB、的中点，点Q为线段MN上的动点．当点Q由点N出发向点M运动的过程中，以下结论中正确的是（   ） A．直线与直线CP可能相交 B．直线与直线CP始终异面 C．直线与直线CP可能垂直 D．直线与直线BP不可能垂直 三、解答题 17．已知平行六面体，化简下列向量表达式 (1)； (2)； (3)． 18.如图，在三棱锥中，若，，，点为棱上一点，且，点为线段的中点 (1)求的长度； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 19. 如图，在平行六面体中，，，，.记向量，，，取的中点. (1)用向量，，表示向量，并求； (2)求向量和向量所成角的余弦值. 20.在正四面体中，点在平面内的投影为，点是线段的中点，过的平面分别与，，交于，，三点. (1)若，求的值； (2)设，，，求的值. 21.如图，在棱长为2的正四面体中，已知是线段的中点，点在线段上，且.    (1)用向量表示； (2)求； (3)求向量与夹角的余弦值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $