单元综合复习（一）特殊平行四边形-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（北师大版·新教材）

单元综合复习（一 ■■■热门考点突破■■● 考点1菱形的性质与判定 1.(中考·内江)按如下步骤 作四边形ABCD:(1)画 ∠EAF;(2)以点A为圆 心，1个单位长为半径画弧，分别交AE,AF于 点B,D:(3)分别以点B和点D为圆心，1个 单位长为半径画弧，两弧交于点C;(4)连接 BC,DC,BD.若∠A=40°，则∠BDC的度数是 () A.64° B.66° C.68° D.70° 2.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中 点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交 CE的延长线于点F. (1)求证：四边形ADBF是菱形； (2)若AB=8,菱形ADBF的面积为40，求 AC的长. 21探究在线九年级数学（上）·BS 特殊平行四边形 考点2矩形的性质与判定 3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD交于 点O,点E是BC上一点，且AB=BE,∠1= 15°，则∠2的度数是 0 4.如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线 与中线. (1)求证：AF与DE互相平分； (2)当线段AF与BC满足怎样的数量关系时， 四边形ADFE为矩形？请说明理由， 考点3直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是 AB的中点，过点D作DE⊥BC,垂足为E,连 接CD.若CD=5,BC=8,则DE= 第5题图 第6题图 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，通过尺规 作图得到的直线MN分别交AB,AC于点D, E,连接CD.若CE= 号AE=1,则CD- 考点4正方形的性质与判定 7.下列命题为假命题的是 A.对角线相等的平行四边形是矩形 B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C.有一个内角是直角的平行四边形是正方形 D.有一组邻边相等的矩形是正方形 8.如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD相 交于点O.E,F分别为AC,BD上一点，且OE =OF,连接AF,BE,EF.若∠AFE=25°，则 ∠CBE的度数为 A.50° B.55° C.65° D.70 第8题图 第9题图 9.如图，正方形ABCD中，点E,F分别在边BC, CD上，AE=AF,∠EAF=30°，则∠AEB= °；若△AEF的面积等于1，则AB的值 是 10.如图，在矩形ABCD中，E是BC边上一点， DE平分∠ADC,EF∥DC交AD边于点F, 连接BD, (1)求证：四边形EFDC是正方形； (2)若BE=1,ED=2√2，求BD的长 ■■●核心素养提升●■■ 11.(动手操作)沐沐用七巧板拼了一个对角线长为 2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形 (如图所示)，则长方形的对角线长为 16 ③④⑤⑥ X⑤ ④ ③ ⑦ \⑦/② 12.(应用意识)如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC =6,E,F分别是AD,AB的中点，∠ADC的平 分线交AB于点G,P是线段DG上的一个动 点，则△PEF的周长最小值为 G 第-章22:.CD-BD-AD-7AB, .AF∥BC,.∠AFE=∠DCE. ∠AFE=∠DCE, ∴∠DCB=∠B. 在△AEF和△DEC中， ∠AEF=∠DEC, 又：∠EFD=∠B,∴∠DCB=∠EFD, AE-DE, .EF∥BC. .△AEF≌△DEC(AAS),∴.AF=CD (2)由题意，知∠B=90°-65°=25°， D是BC的中点，.CD=BD,.AF=BD .EF∥BC,.∠FED=∠B=25°， ∴.四边形ADBF是平行四边形. .∴.∠AEF=180°-∠FED=155° ∠BAC=90°，D是BC的中点， 14.(1)证明：CE∥BD,EB∥AC, .四边形OBEC为平行四边形. .AD-BD-BC. 四边形ABCD为菱形，.AC⊥BD, ∴.四边形ADBF是菱形， .∠BOC=90°，∴四边形OBEC为矩形， (2)连接DF交AB于点O,如图 ..OE=CB. 由(1)知，四边形ADBF是菱形 (2)16 15.(1)证明：.四边形ABCD是正方形，FH⊥BH 又S即=合AB·DF=40, ∠ABE=90°，AB=BC,∠EHF=90°. :∠AEF=90°，∠AEB+∠FEH=90° 即2DFX8=40,DF=10, 而∠AEB+∠BAE=90°，∴.∠BAE=∠FEH. 由(1)知，AF=CD,AF∥CD, 又.EF=AE,.△ABE≌△EHF ∴.四边形AFDC为平行四边形， .'BE=FH,AB=EH, ∴.AC=DF=10 ∴.AB=BC=EH,则BC-EC=EH-EC 3.30 .'BE=CH. 4.(1)证明：线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中 (2)作FP⊥CD于点P,连接DF,由(1) 线，点D,E,F分别是AB,AC,BC的中点， 可知EH=AB,∴.CE=3-x. .线段DF与EF也为△ABC的中位线， ..CH=FH=FP=x, .DF∥AC,EF∥AB, ∴.四边形ADFE是平行四边形， ∴.PD=3-x,DF=√/x2+(3-x)2=√2x2-x+9, ∴AF与DE互相平分. 问题解决活动作内嵌于正方形的正八边形 1.(1)A (2)当AF=合BC时，四边形ADFE为矩形.理由如下： (2)如图，正八边形LGFIHKJE即为所 求作. ~线段DE为△ABC的中位线，：DE=号BC, 证明：设AO=a,则AB=BC=CD=AD 由(1)知，四边形ADFE为平行四边形，若口ADFE为矩 =√2a, 形，则AF=DE, .AE=AF=BG-BH=CI=CI=DK- DL=AO=a, :当AF=合BC时，四边形ADFE为矩形。 ..AL=AG=BF-BI=CH=CK=DJ=DE=2a-a, 5.36.√67.C8.C9.603 ∠ALG=∠AGL=∠BFI=∠BIF=∠CHK=∠CKH= 10.(1)证明：，四边形ABCD是矩形， ∠DJE=∠DEJ=45°. ∴.AD∥BC,∠ADC=∠C=90°. ∴.GL=FI=HK=EJ=2a-√2a. EF∥DC,∴.四边形EFDC为平行四边形 ∠GLE=∠LGF=∠GFI=∠FIH=∠IHK=∠HKJ= 'DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE. ∠KJE=∠JEL=135. .AD∥BC,.∠ADE=∠DEC, ,LE=AD-AL-DE=√2a-(√2a-a)-(√2a-a)= .∠CDE=∠DEC, CD=CE,∴.四边形EFDC是菱形， 2a-√2a, 又：∠C=90°，.平行四边形EFDC是正方形. 同理可得GF=IH=KJ=2a-√2a, (2)由(1)知四边形EFDC为正方形， ..GF=FI=IH=HK-KJ=JE=EL=LG. ∴.CD=CE,∠C=90°， ∴八边形LGFIHKJE是正八边形 在Rt△CDE中，CE2+CD2=ED,ED=2√2， 2.1号 ..CD=CE=2, (2)如图. 在Rt△BCD中，BC=1+2=3,CD=2, .BD=BC2+CD2=V13 核心素养提升 11.512.5+/37 第二章一元二次方程 图③ 1认识一元二次方程 (3)60 第1课时 一元二次方程 单元综合复习（一）特殊平行四边形 基础在线 热门考点突破 1.C2.C3.m≠-14.C5.x(x+2)=1686.-1 1.D 能力在线 2.(1)证明：E是AD的中点，.AE=DE 7.D8.1 一探究在线·九年 拓展在线 拓展在线 9.(1)m=-2. 17.1 (2)m≠±2. 第2课时用配方法解二次项系数不为1 第2课时 一元二次方程解的估算 的一元二次方程 基础在线 基础在线 1.B2.43.D4.-4.3 1.2x2-4x=6x2-2x=3x2-2x十12=3+12 能力在线 (x-1)2=4x-1=士23-1 5.B6.x2-3x十2=0（答案不唯一） 2.C3.C 7.(1) x 2 3 40-3a=32 2 x2一3x一1 -3-3 3 (2)x1=8+2√13，x2=8-2W√13. 4 5.-11 3.1 3.2 3.3 3.4 6.小明从步骤①开始出错，小刚从步骤②开始出错 x2-3x-1-0.69-0.36-0.010.36 正确的做题步骤如下： 3.33.4 2x+号x+1=2(x+3x+日)=2[x+3x+(6) (2)33 8.由题意知，a-2≥0,2-a≥0， -()+]=2(+)'+路 故a=2,.b=1. ,方程的一个根是1，a十b十c=0,c=一3. (+)≥0 此一元二次方程为2x2+x一3=0. 拓展在线 2(+）+>0 9.B 2一元二次方程的解法 不论x取什么实数，22+号x+1的值一定是一个正数 第1课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 能力在线 基础在线 7.C8.B9.√2±110.7 1.C2.D 11.(1)x=2√2+√6，x2=2√2-√6. 3.(1)= 3一③ (2)原方程无实数根. 3 12.(1)当h=0时，20t-5t2=0,即2-4t=0,(t-2)2=4, (2)1=-6,x2=-14. 解得t=0或t=4. 465,-46.c 故经过4秒后足球回到地面 (2)由题意，得20t-5=15,即(t-2)2=1, 7.(1)x2+10x+25=-16+25, 解得t=1或t=3. (x+5)2=9, 故经过1秒或3秒时足球的高度为15米. x1=-2,x2=-8. (3)不能.由题意，得20t-5t=21, (2)x2+4x+4=-3+4, 即(t-2)2=- 5<0，此时方程没有实数根， 1 (x+2)2=1, x1=-1,x2=一3. ∴足球的高度不能达到21米。 3x-3x+(-)°=4+(-多)”， 拓展在线 13.设公共实数根为m,则am2+bm十c=0①，bm2+cm+a =0②，cm2+am+b=0③. ①+②+③，得(a+b十c)(m2+m+1)=0. x=4,x2=-1. 8.二x1=-3,x2=-9 m+m+1-(m+2)》'+>0, 9.上述解答过程不正确.正确的解答过程如下：x2十8x一5=0. ∴.a+b+c=0,∴.c=-(a+b), 移项，得x2+8x=5.配方，得x2十8x十16=5十16， 原式=Q++c=。+-(a+b2=-3ab(a+b 即(x十4)2=21.两边开平方，得x十4=士√21， abc abc abc =3. x1=-4+√2I,x2=-4-√/21. 第3课时用公式法解一元二次方程 能力在线 基础在线 10.C11.1或-312.2或-613.314.1或-3 1.A2.±43.D 15.(1)a=-1,x2=2.(2=-8, 3,x2=4. 4.1n=-号为=1.(2)a=2=1 2 1 (3)x1=-1+√5，x2=-1-√5. 5.D6.有两个不相等的实数根7.1 16.设花边宽度是xcm,依题意，得 8.养殖园的面积不能达到120m2.理由如下： (60+3.x)(20+2x)=2250, 设AB=xm,:隔离网的总长为40m, 整理，得 x2+30x-175=0, AD-40 m. 4 解得x1=5,x2=-35(不合题意，舍去) 答：花边的宽度是5cm. 根据题意，得工.40-2=120， 4 级数学（上）·BS一 19