第五章 4 二次函数与一元二次方程-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（北师大版·新教材）

4 二次函数与 第1课时 二次函数与 色课内基础闯关 知识点二次函数与一元二次方程之间的 关系 1.二次函数y=x2一2x十2的图象与x轴的 交点个数是 A.0 B.1 C.2 D.不能确定 变式题求抛物线与x轴的交点个数→求 抛物线与坐标轴的交点个数 抛物线y=2x2一3x十1与坐标轴的交点 个数是 ( A.0 B.1 C.2 D.3 2.关于x的方程x2一x一n=0没有实数根，则 抛物线y=x2一x一n的顶点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 易错点漏掉函数是一次函数的情况 3.分类讨论思想若函数y=（a一1)x2 4x十2a的图象与x轴有且只有一个交 点，求a的值. 色课外拓展提高 4.（2025一2026九江都昌期中)如图，P是二次 函数y=a.x2十bx图象的顶点.若关于x的 96 九年级数学BS版 一元二次方程 元二次方程之间的关系 一元二次方程a.x2十bx一1十m=0有实数 根，则下列结论正确的是 A.m的最大值为一6 B.m的最小值为一6 C.m的最大值为8 D.m的最小值为8 第4题图 5.项目式学习小明、小红和小亮三位同学对 问题“关于x的方程x2一2|x|十1=m有实 数根，求实数m的取值范围”提出了自己的 解题思路 【辨析与解答】小明说：“只需分类讨论，将方 程中的绝对值去掉，讨论关于x的一元二次 方程根的情况.”小红说：“用函数思想，设y =x2一2|x|十1，只需m在y的取值范围 内.”小亮说：“可以数形结合，把方程两边分 别看成关于x的函数，利用函数图象来 解决.” (1)根据上述解题思路，实数m的取值范围 是 【应用与拓展】(2)如果关于x的方程x2 2|x|十1=m有四个不同的实数根，那么实 数m的取值范围是 (3)如果关于x的方程|x2一2x一1|=m有 四个不同的实数根，那么实数的取值范围 是 知识要点归纳 已知一元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0)和抛物 线y=ax2+bx十c(a≠0).当b2-4ac>0时，方程 有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交 点；当b2一4ac=0时，方程有两个相等的实数根， 抛物线与x轴有且只有一个交点；当b2一4ac≤0 时，方程没有实数根，抛物线与x轴无交点. 第2课时 利用二次函数图 已课内基础闯关 知识点① 利用二次函数图象求一元二次方 程的近似根 1.下表是一组二次函数y=x2十3.x一5的自变 量x与函数值y的对应值： 1.1 1.21.3 1.4 一1 -0.490.040.591.16 方程x2十3.x一5=0的一个近似根是( A.x=1 B.x=1.1 C.x=1.2 D.x=1.3 知识点② 利用二次函数图象求一元二次不 等式的解集 2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图 象如图所示，则一元二次不等式ax2十bx十( >0的解集是 2 -2-10 12 -32公012元 第2题图 第3题图 3.如图所示的是二次函数y1=a.x2+bx十c(a≠ 0)和一次函数y2=mx十n(m≠0)的图象.当 y1<y2时，x的取值范围是 易错点不会利用对称轴公式 4.二次函数y=2x2十4x一1的图象如图 所示，若方程2x2+4x一1=0的一个近 似根是x=一2.2，则方程的另一个近似 根为 (结果精确到0.1). 210 第4题图 第5题图 象求一元二次方程的近似根 已课外拓展提高 5.如图，对称轴为直线x=1的二次函数y= ax2十b.x十c的图象与x轴负半轴交于点 A,则关于x的方程ax2+bx十c=0的正数 解的范围是 ( A.2<x<3 B.3<x4 C.4<x<5 D.5<x<6 6.模型观念阅读材料，解答问题. 例：解一元二次不等式x2一2x-3>0. 解：设y=x2一2x一3. .a=1>0,∴.抛物线开口 向上. -2-1012B 当y=0时，x2-2x-3=0, 解得x1=一1，x2=3. 由此得到抛物线y=x2一2x 一3的大致图象如右图所示.观察图象可知， 当x<-1或x>3时，y>0,.x2-2x-3 >0的解集是x<-1或x>3. (1)观察图象，直接写出一元二次不等式x 一2x一3<0的解集是 (2)依照上例，解一元二次不等式x2一1>0. 知识要点归纳 利用二次函数y=a.x2十bx十c的图象求一元二 次方程ax2+bx十c=d的近似根的步骤：①画 出函数的图象，并由图象确定方程的根的个数： ②由图象与直线y=d的交点的位置确定交点 横坐标的范围；③通过列表求方程的近似根 上册第五章 97△4 -5(x-35)2+500. ∴.当x=30时，e取得最大值，此时心最大=480， :500>480,∴.当月第15天该农产品的销售额最大， 最大销售额是500元. 4 二次函数与一元二次方程 第1课时二次函数与一元二次方程之间的关系 1.A变式题D 2.A【解析】，抛物线y=x2一x一n的对称轴为直线x -11 =一2×1=2心抛物线的顶点在y轴的右侧。 又，关于x的一元二次方程x2一x一n=0没有实数 根，∴.开口向上的抛物线y=x2一x一n与x轴没有交 点，.抛物线y=x2一x一n的顶点在第一象限. 3.解：当a-1≠0，即a≠1时，令(a-1)x2-4x十2a=0, 则△=（一4）一4(a一1)·2a=一8a2十8a+16=0,解 得a1=-1,a2=2; 当a一1=0，即a=1时，y=一4x+2,此时该函数的图 象与x轴有且只有一个交点. 综上所述，a的值为一1或2或1. 4.C【解析】方程a.x2+bx一1十m=0可化为a.x2+bx =1-m. :关于x的一元二次方程ax2+bx-1十m=0有实 数根， .二次函数y=a.x2+bz图象与直线y=1一m有公 共点 观察图象可知，1一m≥一7， 解得m≤8， ∴.m的最大值为8 5.解：(1)m≥0(2)0<m<1(3)0<m<2 【解析】(1)小明的方法：当x≥0时，原方程为x2-2x +1=m,即x2-2x+1-m=0. ·方程有实数根， ∴.△=(-2)2-4(1-m)≥0，解得m≥0. 当x<0时，原方程为x2+2x+1=m,即x2+2x+1 -m=0. ,方程有实数根，△=2-4(1一m)≥0，解得m≥0. 综上，m≥0. 小红的方法：设y=x2一2|x|十1， 则y=x12-2|x|+1=(|x1-1)2≥0， .∴.m≥0. 小亮的方法：令y1=x2-2|x|+1,y2=m. 当y1=x2-2|x|十1与y2=m的图象有交点时，方程 x2一2|x|十1=m有实数根. 画出函数图象，如图①所示. y1=x2-2l+1 Y=0 4-3-21,0234 图① 42 九年级数学BS版 观察图象可知，当m≥0时，y1=x2一2|x|+1与y:= m的图象有交点， 当方程x2-2引x|十1=m有实数根时，m≥0. (2)观察(1)中小亮的方法中的函数图象可知，当0<m <1时，y1=x2-2|x|十1与y2=m的图象有四个不 同的交点， .当方程x2一2x十1=m有四个不同的实数根时，0 <m<1. (3)令y1=|x2-2x-1|,y2=m. 画出函数图象，如图②所示. y↑ 4 以 y1=x2-2x-1l D /y2=m 43之01234 图② 当x2-2x-1<0时，y1=-x2+2x+1=-(x-1) +2, 图中点D的坐标为(1,2). 观察图象可知，当0<m<2时，y1=|x2-2x-1|与 y2=m的图象有四个不同的交点， .当方程|x2一2x一1|=m有四个不同的实数根时，0 <m<2. 第2课时利用二次函数图象求一元二次 方程的近似根 1.C2.1<x<33.-2<x<14.0.25.C 6.解：(1)一1<x<3 1 (2)设y=x2-1. ,a=1>0,.抛物线开口向上. 当y=0时，x2-1=0,解得x1=1,x: =-1. 由此得到抛物线y=x2一1的大致图 象如图所示 观察图象可知，当x<一1或x>1时，y>0, .x2-1>0的解集是x<-1或x>1. 综合探究专题二次函数与几何的 综合问题（跨单元） 1.解：(1)：抛物线y=-x2十bx过点B(4,一4)， ∴.-16十4b=-4,解得b=3, .抛物线对应的函数表达式为y=一x2+3x. (2)如图，连接BC,在OA上方作 △OMQ,使得∠MOQ=45°，OM= BC,连接BM. B(4,-4),C(0,-4), .OC=BC=4,BC⊥OC, .易得∠CBP=∠COB=45°， .∠CBP=∠MOQ. 由题意，得BP=OQ. 又，∠CBP=∠MOQ,BC=OM, ∴△CBP≌△MOQ, ∴.CP=MQ,