5.4二次函数与一元二次方程第2课时（教学课件）数学新教材北师大版九年级上册

第五章 二次函数 5.4 二次函数与一元二次方程 第2课时 学 习 目 标 1.利用二次函数的图象求一元二次方程近似解;（重点） 2.经历探索用二次函数图象求解一元二次方程近似解的过程，体会用二次函数函数图象求一元二次方程解的方法.（难点） 知识回顾 1.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系? 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac 有两个交点 两个相异的实根 b2-4ac > 0 有一个交点 两个相等的实根 b2-4ac = 0 没有交点 没有实数根 b2-4ac < 0 2.抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的 就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，反之亦然． 横坐标 情境引入 思考:一元二次方程x2＋2x－10＝0的根与二次函数y＝x2＋2x－10的图象(右图所示)与x轴交点的横坐标有什么关系？能否从图象中直接得到方程的根呢？ 一元二次方程x2＋2x－10＝0的根是二次函数y＝x2＋2x－10的图象与x轴交点的横坐标． 这样，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数图象与x轴交点的横坐标即可，但是根据图象我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算，本节课我们将学习利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根． 新知探究 探究：利用图象法求一元二次方程的近似根 右图是二次函数y＝x2＋2x－10的图象.你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2＋2x－10＝0的根吗？ 由图象可知方程x2＋2x－10＝0有两个根，一个根在-5和-4之间，另一个在2和3之间. x -4.1 -4.2 -4.3 -4.4 y -1.39 -0.76 -0.11 0.56 因此，x=-4.3是方程的一个近似根. 注意：之所以取 x=-4.3 作为方程的近似根而不是 x=-4.4，是因为当x=-4.3时，其函数值更接近0. (1)先求-5和-4之间的根.如图,利用计算器进行探索: 新知探究 (2)另一个根可以类似的求出： x 2.1 2.2 2.3 2.4 y -1.39 -0.76 -0.11 0.56 因此，x=2.3是方程的另一个近似根. (3)我们得出的结论是否正确？你能用我们学过的知识进行验证吗？ 可以利用一元二次方程的求根公式进行验证. . ∴x1=,x2=. 用图象法求一元二次方程的近似根时，结果只取到十分位. 新知探究 利用图象法求一元二次方程的近似根 知识归纳 (1)画出二次函数的图象； (2)确定抛物线与x轴交点的个数，看交点的横坐标在哪两个数之间； (3)列表，在两个数之间取值估计，并用计算器估算近似根，近似根在对应y值的正负(或负正)过渡的地方，当x由x1取到x2时，若对应的y值出现y1>0，y2<0(或y1<0，y2>0)，则x1，x2中必有一个是方程的近似根，再比较和。若<，则x1是方程的近似根；若>，则x2是方程的近似根。一般需要我们求近似根的方程的根往往是无理数，所以列表时不能取到精确根。 1.根据下列表格的对应值，判断ax2+bx+c(a≠0，a,b,c为常数)的一个解x的取值范围是(     ) A. 4<x<5 B. 5<x<6 C. 6<x<7 D. 无法判断 新知探究 x  4 5 6 7   ax2+bx+c -16  -6   10 19 B 图1 （1）如何利用图1所示的二次函数图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根？你是怎么做的？ 新知探究 一元二次方程x2+2x-10=3可化为x2+2x-13=0，由题图抛物线可知y=x2+2x-13可知，一元二次方程的一个根在-5和-4之间，另一个根在2和3之间。 推断方法如下： 首先求-5和-4之间的根，利用计算器进行探索： x -4.9 -4.8 -4.7 -4.6  x2+2x-13 1.21 0.44 -0.31 -1.04 因此，x=-4.7是方程的一个近似根. 图1 新知探究 然后求2和3之间的根，利用计算器进行探索： x 2.5 2.6 2.7 2.8  x2+2x-13 -1.75 -1.04 -0.31 0.44 因此，x=2.7是方程的另一个近似根. 新知探究 （2）你还能利用图2求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根吗？ 图2 y=3 ①作直线y=3； ②观察估计抛物线y=x2+2x-10和直线y=3的交点的横坐标； 由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7(可将单位长再十等分，借助计算器确定其近似值). ∴方程x2+2x-10=3的近似根为：x1≈-4.7，x2≈2.7. 2.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，顶点坐标为(－1，－3.2)，由图象可知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是x1＝1.3，x2＝________． 新知探究 －3.3 新知探究 一次函数与二元一次方程的关系、二次函数与一元二次方程的关系，这两者在研究内容和研究方法方面有什么异同?与同伴进行交流。 相同点：都用数形结合，把函数图象和方程联系起来，函数图象上点的坐标是方程的解，既可以代数计算，也可以看图分析。 不同点：一次函数对应二元一次方程，一条直线有无数组解，和x轴最多一个交点；二次函数对应一元二次方程，抛物线和x轴可能 0、1、2 个交点，可以用Δ判断根的情况，情况更复杂。 (2)另一个根可以类似的求出： ∴x≈1.3是方程的另一个近似根. 典例分析 利用二次函数的图象求一元二次方程x2+x-3＝0的近似根． 例1 (1)求-3和-2之间的根，利用计算器进行探索： ∴x≈-2.3是方程的一个近似根. 解:画出二次函数y=x2+x-3的图象，如图所示． 由图象可知方程有两个根，一个在-3和-2之间，另一个在1和2之间. x -2.1 -2.2 -2.3 -2.4 -2.5  x2+x-3 -0.69 -0.36 -0.01 0.36 0.75 x 1.1 1.2 1.3 1.4  x2+x-3 -0.69 -0.36 -0.01 0.36 综上，原方程的近似根为x1≈-2.3，x2≈1.3. 典例分析 利用二次函数的图象求一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的近似根． 例2 分析：当 y＝－x2＋2x－3的函数值为－8时，对应点的横坐标即为一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的根，如图所示． 解：在平面直角坐标系内作函数 y＝－x 2＋2x－3的图象，如图，由图象可知方程－x 2＋2x－3＝－8的根是抛物线y＝－x 2＋2x－3与直线y＝－8的公共点的横坐标，左边的公共点横坐标在－1与－2之间，右边的公共点横坐标在3和4之间． 典例分析 (1)先求在－1和－2之间的根，利用计算器进行探索： x －1.1 －1.2 －1.3 －1.4 －1.5 y －6.41 －6.84 －7.29 －7.76 －8.25 ∴x＝－1.4是方程－x2＋2x－3＝－8的一个近似根． (2)另一根可以类似地求出： x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 y －6.41 －6.84 －7.29 －7.76 －8.25 ∴x＝3.4是方程－x2＋2x－3＝－8的另一个近似根． 一元二次方程－x 2＋2x－3＝－8的近似根为：x1≈-1.4，x2≈3.4. 2.如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c的图象，图象上有两点分别为A(2.18,−0.51)，B(2.68,0.54)，则方程ax2+bx+c=0的一个解只可能是(     ) A. 2.18 B. 2.68 C. −0.51 D. 2.45 1.已知二次函数y=ax2+bx+c中部分x和y的值如下表所示： 则方程ax2+bx+c=0的一个较大的根的范围是（     ） A．−0.5<x<−0.4 B．−0.6<x<−0.5 C．2.4<x<2.5 D．2.5<x<2.6 巩固练习 x -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3  y 0.89 0.56 0.25 -0.04 -0.31 A D 巩固练习 4.如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c≥0的解集是（　　） A．1＜x＜5 B．x≤5 C．﹣1≤x≤5 D．x＜﹣1或x＞5 C 3.小颖用计算器探索方程ax2+bx+c=0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x=-3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（　　） A．4.4 B．3.4 C．2.4 D．1.4 D 巩固练习 6.在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a＞0)的部分图象如图所示，直线x=1是它的对称轴.若一元二次方程ax2＋bx＋c=0的一个根x1的取值范围是2<x1<3，则它的另一个根x2的取值范围是 ． 5.小明用数学软件探索方程ax2＋bx＋c（a≠0，a，b，c为常数）的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根为x=−3.4，则方程的另一个近似根为  (精确到0.1). x=1.4 -1<x2<0 8.抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+c相交于如图所示的A，B两点，则不等式ax2+bx≤mx的解集为 . 巩固练习 0≤x≤3 7.观察下表: 则一元二次方程x2－2x－2＝0在精确到0.1时的一个近似根是 ，利用抛物线的对称性，可推知该方程的另一个近似根是 . x 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 y＝x2－2x－2 －1.31 －1.04 －0.75 －0.44 －0.11 0.24 0.61 2.7 -0.7 巩固练习 9.用图象法求一元二次方程x2+x-1＝0的近似根（精确到0.1）. 解：画出x2+x-1=0的图象，如图所示，由图象知，方程有两个根，一个在-2和-1之间，另一个在0到1之间.通过计算器估算，可得到抛物线与x轴交点的横坐标大约为-1.6和0.6. 即一元二次方程的实数根为x1≈-1.6，x2≈0.6. 巩固练习 10.求一元二次方程x2-2x-1=3的近似根（精确到0.1）. 解：y=x²-2x-4的图象如图所示. 由图象可知方程的一根在3到4之间，另一根在-1到-2之间. (1)先求3到4之间的根.利用计算器进行探索： x … 3.2 3.3 … y … -0.16 0.29 … 因此，x=3.2是方程的一个近似根. (2)可类似地求出另一个根为x=-1.2. 2 4 x y O -4 -2 课堂小结 总结：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤是怎样的？ (1)画出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象； (2)确定抛物线与x轴交点的个数，看交点的横坐标在哪两个数之间； (3)列表，在两个数之间取值估计，并用计算器估算近似根，近似根在对应y值的正负(或负正)过渡的地方，当x由x1取到x2时，若对应的y值出现y1>0，y2<0(或y1<0，y2>0)，则x1，x2中必有一个是方程的近似根，再比较和。若<，则x1是方程的近似根；若>，则x2是方程的近似根。 作业布置 1.必做题：随堂练习第1题。 2.探究性作业：习题5.4第2题。 感谢聆听! $