2.2 第4课时 用因式分解法解一元二次方程-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（北师大版·新教材）

@©第4课时 用因式分解法解一元二次方程 基础在线沙知识要点分类练 (3)公式法： …0 (4)因式分解法： 知识点1用因式分解法解一元二次方程 知识点3因式分解法的应用 1.如果二次三项式x2十x十g能分解成(x十3)(x 7.(教材P15练习T2变式)如图，把小圆形场地 一1)的形式，则方程x2十x十q=0的两个根为 的半径增加6m得到大圆形场地，大圆形场地 ( 的面积是原来小圆形场地的2倍.求小圆形场 A.x1=-3,x2=1 B.x1=-3,x2=-1 地的半径. C.x1=3,x2=-1 D.x1=3,x2=1 2.方程(x一2)(x十1)=0的解是 A.x=2 B.x=-1 C.x1=-2,x2=1 D.x1=2,x2=-1 3.方程x2一4x=0的解为 4.用因式分解法解下列方程： (1)x2+16x=0; 易错点1解方程时，方程两边同时除以含有 未知数的代数式导致失根 8.方程(x+1)(x-2)=(x+1)的解是() A.x=2 B.x=3 (2)5x2-10x+5=0. C.x1=-1,x2=2 D.x1=-1,x2=3 易错点2利用换元法整体求代数式的值时， 忽略使代数式有意义而导致出错 9.已知实数x满足(x2一x)2-4(x2一x)-12=0, 知识点2用适当的方法解一元二次方程 则代数式x2一x+1的值为 () 5.解方程2(x+1)2=3(x+1),最适当的方法是 A.7 B.-1 C.7或-1 D.-2或1 A.直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法 ②能力在线沙方法规律察合然 6.已知下列方程，请把它们的序号填在适当解法 10.已知一元二次方程x2一10x+24=0的两个 后的横线上 根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面 ①2(x-1)2=6;②(x-2)2+x2=4; 积为 ) ③(x-2)(x-3)=3;④x2-2x-1=0; A.6 B.10 C.12 D.24 ⑤x2-V2x+}=0,⑥x2-2x-99=0. 11.用因式分解法解方程x2一x一6=0，将左边分 (1)直接开平方法：； 解后有一个因式是x十3，则的值是（) (2)配方法： A.5 B.-5 C.-1 D.1 31探究在线九年级数学（上）·BS 12.若实数k,b是一元二次方程(x十3)(x-1)=0 的两个根，且<b,则一次函数y=kx+b的图 十字交叉相乘的和 与一次项完全吻合 象不经过 A.第一象限 B.第二象限 请你利用此方法尝试解方程4x2一8.x-5=0. C.第三象限 D.第四象限 13.对于任意实数a,b,定义一种运算：ab=a2 十b2一ab,若x☒(x一1)=3，则x的值为 14.用适当的方法解下列方程： (1)(2x-3)2=4; ③拓展在线》塔优援尖提升鳞 16.(廊坊月考)为加强劳动教育，九(1)班准备利 用34m长的篱笆，在学校指定的空地上围成 (2)3x2-6x+1=0; 三个相连且面积相等的矩形菜园.围成的菜 园的形状是如图所示的矩形CDEF、矩形 AGHE和矩形BFHG (1)若整个菜园ABCD(AB≥BC)的面积为 33m,求HG的长； (3)2(x+3)2=x2-9. (2)嘉嘉说：“当整个菜园ABCD(AB≥BC) 的面积为36m时，矩形ABCD是正方形.” 请你判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由. 15.我们知道可以用公式x2十(p十q)x十q=(x 十)(x十q)来分解因式解一元二次方程， (1)x2+6x+8=0,方程分解为 =0,x2一7x一30=0，方程分解为 =0; (2)爱钻研的小明同学发现二次项系数不是1 的方程也可以借助此方法求解.如方程3x2 7x+2=0可分解为(x一2)(3x一1)=0，从而 可以快速求出方程的根. 第二章32整理，得x2-40x十480=0， 8.D9.A △=(-40)2-4X1×480=-320<0, 能力在线 ∴该方程无实数根 10.C11.C12.C13.-1或2 .养殖园的面积不能达到120m. 14.(1)x1=2.5,x2=0.5. 9.k>-2且k≠-1 能力在线 3 °=36 (2)x1=3+6 3 10.B11.D12.k≤-1 （3)x1=-3,x2=-9. 13.1).x=23+ ,=23-6 15.(1)(x+2)(x+4)(x-10)(x+3) 3 3 (2)方程4x2-8x-5=0可分解为(2x-5)(2x十1)=0， (2)原方程无实数根. 14.(1):四边形ABCD是菱形， 2x-5=0或2x+1=0,=号函=-合 ∴AB=AD,即方程t一mx十受-冬-0有两个相等的 拓展在线 16.(1)设HG的长为xm, 实数根， ,矩形CDEF、矩形AGHE和矩形BFHG面积相等， ∴4=(-m2-4(受-）=m-2m+1=m-1y=0, CF-DE-TAE.AE-GH-BF.CD-EF-AB. .m=1. 2x,AB=34-4x .BC=3 故当m=1时，四边形ABCD是菱形， 3 把m=1代入方程，得2-x+子=0， 由题意，得受·与红-， 3 解得==分， 解得五=3，西-号（不符合题意，舍去， “此时菱形ABCD的边长是号 答：HG的长为3m. (2)嘉嘉的说法是正确的，理由如下： (2)把x=2代入原方程，得4一2m+罗-子=0， 设HG的长为ym,则BC-子ym,AB=4与m, 3 解得加=多， 由题意，得号·34与y=36, 3 把m=号代人原方程，得2-号x十1=0， 9 解得=4，=2（不符合题意，舍去)， 解得=2=名AD= 当y=4时，BC=6m,AB=6m,此时矩形ABCD是正方形； 嘉嘉的说法是正确的. “DABCD的周长是2×(2+号)=5. 微专题4一元二次方程的解法 拓展在线 1.C2.C3.C4.x1=-2+√6，x2=-2-√6. 5.D 6.（1)x1=0,x2=2. 15.(1)证明：△=(W2c)2-4ab=2c2-4ab. .a2+b2=c2, （2==号 ∴.2c2-4ab=2(a2+b2)-4ab=2(a-b)2≥0， 7.D ∴.关于x的“勾系一元二次方程”ax2十√2cx十b=0必有 实数根. 8.(1)x=7+13 6 =71E 6 (2)当x=-1时，有a-√2c+b=0, 3 (2)x1=2x=-2 ∴.a+b=√J2c. 四边形ACDE的周长是12， 9.B 10.(1)降次. .2a十2b+√2c=12,∴.2(a+b)+√2c=12, (2)设x2十x=y, .c=2√2，.a十b=4,a2+=c2=8. 原方程化为y(y-14)+24=0. 又.(a+b)2=a2+2ab+b, 解得y1=12,y2=2. .16=8+2ab,∴.ab=4, 当y=12时，x2+x=12,解得x=3或-4； Sc=7b=2. 当y=2时，x2十x=2,解得x=一2或1. .原方程的解是x1=3,x2=一4，x3=一2，x4=1. 第4课时用因式分解法解一元二次方程 11.原方程即[(x-1)(x-4)][(x-2)(x-3)]=48, 基础在线 即(x2-5x+4)(x2-5x+6)=48, 1.A2.D3.x1=0,x2=4 设y=x2-5x+5,则原方程变为(y-1)(y+1)=48. 4.(1)x1=0,x2=-16. 解得y1=7,y2=-7. (2)x1=x2=1. 当x2-5x+5=7时， 5.D6.(1)①(2)④⑥(3)③⑤(4)② 7.设小圆形场地的半径为rm,则大圆形场地的半径为(r十 解得4=5+)y压，4=53 2 2 6)m.由题意，得 当x2-5x+5=-7时，x2-5x+12=0,6-4ac= π(r+6)2=2xr2, (-5)2-4×1×12=一23<0，方程无实数根. 解得n=6十6√2，r2=6-6√2<0（舍去）. 答：小圆形场地的半径为(6十6√2)m. ·原方程的实数根为=5十√3， 2=5-V33 2 20 一探究在线·九年 12.C13.B 3.(1).a=1,b=2,c=1,且b-4ac=4-4=0, 14.1)a=-3+页，，=-3,2② 3 3 函十=-合=-2，=名=1 a (2)a=1,b=√2，c=-3,且b-4ac=2+12=14>0, (2)x1=√5，x2=-√5 ∴西十=-名=-厄，w-=-3, (3)x=②+6 4 =②-6 4 (3)方程化为5x2+x-3=0, 阶段测评2(2.1一2.2) a=5,b=1,c=-3,且b2-4ac=1+60=61>0, 1.A2.C3.C4.A5.C6.D7.x2-9x-1=0 a 5西2=￡=一3 5 8.2+x-2=09.号或110.-203011.1 4.C5.16.-号7.10 3 12.-3或-合 8.(1)m十n=6,mn=7.(2)原式=2.(3)原式=22. 13.(1)直接开平方法：将原方程整理，得(4x一1)2=9，由此 9.A10.211.D 可得4x-1=3,或4x-1=-3, 能力在线 即=1a=-分 12.C13.B14.D15.1016.6 17.(1),一元二次方程x2-4x-2m十5=0有两个不相等 (2)公式法：将原方程整理，得 的实数根， 2x2+8x-1=0. 因为a=2,b=8,c=-1,所以 A=16-4(-2m+5)>0,解得m>2, 1 b2-4ac=82-4X2×(-1)=72>0, (2)设该方程的两个根分别为x,x2, 方程有两个不相等的实数根， 该方程的两个根都是符号相同的整数， x=-8±Y厘=-4±32 .x1x2=-2m+5>0,x1+x2=4, 2×2 2 <m<号， 即1=二4+32 2 x=二4-3v2 2 .m的值为1或2， (3)因式分解法：左边分解因式，得 当m=1时，方程两个根为x1=1,x2=3; 4x(2x-1)=3(1-2x). 当m=2时，方程两个根x1与x2不是整数. 将方程转化为4x(2x-1)+3(2x一1)=0. .m的值为1. 整体分解因式，得(2x-1)(4x十3)=0. 拓展在线 于是2x-1=0,或4x十3=0. 18是 -2 即=分=一是 1 (2)由题意知，n十n=号，m=-合， 3 14.(1):在方程4x2-4m.x十m2-1=0中， △=(-4m)2-4×4×(m2-1)=16>0, ”+m=m+m2-2mn=-13 m n mn 2 ∴.方程4x2一4m.x十m2一1=0有两个不相等的实数根. (3)实数5，t满足2s2-3s-1=0,2:-3t-1=0, (2)将x=2代入原方程中，得16-8m十m2一1=0， .s,t可以看作是方程2x2-3x-1=0的两个根， 即m2-8m=-15, s十t=3 1 ∴.-m2+8m-3=-(m2-8m)-3=12 ,t=-2 15(1)设t秒后点P,D的距离是点P,Q距离的2倍， ∴.PD=2PQ. (1-02=(+)2-4t=7 4 :四边形ABCD是矩形， .∠A=∠B=90°. =9孩亚 2 .'PD2=AP2+AD2 PQ=BP2+BQ. .PD2=4PQ. 当0<t≤5时， .82+(2)2=4[(10-2t)2+]. 当一=-四时，1-上=m. 2 s t st 解得=3,2=7（舍去）. 答：3秒后，点P,D的距离是点P,Q的距离的2倍 综上所述，}-的值为VT或-7。 (2)不存在，理由如下： 微专题5根的判别式及根与系数的关系的应用 设x秒后，△DPQ的面积是16cm2, 1.C2.A3.四 'S△DPQ=S矩形ABcD-SAADP-S△BQp-S△DCQ, 4.,一次函数y=kx十b的图象经过第一、二、四象限， ∴7×8×2z+210-2a）·x+号8-0x10=80-16. .k<0,b>0..bk<0..-bk>0. :方程bx2-2x+k=0中，△=(-2)2-46k=4-4bk>0, 整理，得x2-8x十24=0 ∴方程有两个不相等的实数根 .△=(-8)2一4×24=一32<0，.该方程无解， .不存在时间t使得△DPQ的面积是16cm2. 5.A6.D7.B8.9.D 3一元二次方程的根与系数的关系 10.(1)”一元二次方程x2-(2m+1)x十m2+2=0有两个 基础在线 不相等的实数根， 1.D2.A .△=-4ac=[-(2m十1)]2-4X1×(m2+2)>0. 级数学（上）·BS一