29.2.3圆周角（第2课时 圆内接四边形）（教学设计）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦“圆内接四边形”核心内容，涵盖定义、性质（对角互补、外角等于内对角）及应用。课堂导入通过回顾圆周角定理和四边形内角和，创设圆上四点连四边形情境引出定义，搭建新旧知识学习支架。 此资料以“观察—猜想—证明—应用”为主线，学生动手度量培养几何直观（数学眼光），问题链引导证明发展推理能力（数学思维），分层例题与中考真题提升应用意识（数学语言）。帮助学生掌握转化思想，教师可借易错提醒突破难点，提升教学效率。

29.2.3 圆周角（第2课时　圆内接四边形） （教学设计） 1.教学内容 本节课是人教版（2024版）义务教育教科书数学九年级上册第二十九章圆，第二节圆的有关性质，29.2.3“圆周角”第2课时圆内接四边形.主要内容包括：圆内接四边形的定义：四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角等于它的内对角.性质定理的证明：利用圆周角定理证明圆内接四边形的对角互补.性质定理的应用：运用圆内接四边形性质进行角度计算和几何证明. 2. 内容解析 本节课是“29.2.3圆周角”的第二课时，是在学生掌握了圆周角定理及其推论的基础上，进一步研究圆与四边形的关系.本课直接运用圆周角定理——圆内接四边形的一组对角所对的弧恰好组成一个完整的圆（两条弧合起来是360°），因此这两个角的度数之和为180°。同时，圆内接四边形的外角与内对角的关系，也需借助圆周角定理进行证明.圆内接四边形是圆与多边形结合的重要模型，是后续学习正多边形与圆、四点共圆的判定、直线与圆的位置关系等内容的逻辑基础.同时，圆内接四边形在几何综合题中具有广泛的应用.本节是对圆周角定理的重要应用和延伸，体现了“圆”与“多边形”的融合，是培养学生综合运用知识能力的重要载体. 基于以上分析，本节课的教学重点为：圆内接四边形的性质定理——“对角互补”及其应用. 教学目标 （1）理解圆内接四边形的定义：能准确识别圆内接四边形，并能指出其外接圆. （2）掌握圆内接四边形的性质：能准确叙述并证明“圆内接四边形对角互补”这一性质，理解“外角等于内对角”的结论. （3）灵活运用性质：能运用圆内接四边形的性质进行角度计算和简单的几何证明. （4）发展核心素养：经历“观察—猜想—证明—应用”的探究过程，体会转化思想（将四边形问题转化为圆周角问题），发展逻辑推理和几何直观能力. 2.目标解析 目标1 是概念理解的基础.学生需能在复杂图形中准确识别圆内接四边形，并理解“内接”与“外接”的相对关系. 目标2 是性质掌握的核心.定理的证明需运用圆周角定理，是对上节课知识的直接应用和巩固。“外角等于内对角”是性质的推论，在解题中应用广泛，需重点强调. 目标3 是学以致用的体现.学生需能在具体问题中，通过识别圆内接四边形、应用对角互补或外角性质进行角度推算. 目标4 是素养提升的落脚点.通过圆内接四边形这一模型，让学生体会“圆”作为工具在解决多边形问题中的价值. 学生已掌握圆周角的定义及圆周角定理，能进行基本的圆周角与圆心角的转化计算。同时，学生已学过一般四边形的性质（内角和为360°）.学生已积累了“观察—猜想—证明”的探究经验，对圆中角度关系的分析有一定基础.学生学习障碍： 概念混淆：容易将“圆内接四边形”与“圆外切四边形”混淆（圆外切四边形是四条边都与圆相切，后续学习）.性质证明困难：难以想到将四边形的角转化为圆周角，利用其所对弧的关系进行证明.识图障碍：在较复杂的图形中，不易发现哪些四边形是圆内接四边形，从而无法应用其性质. 基于以上分析，本节课的教学难点为：圆内接四边形性质的证明（需运用圆周角定理，涉及弧的度数转化）.“外角等于内对角”的理解与灵活运用.在复杂图形中，准确识别圆内接四边形并选择恰当的性质进行解题. 创设情景，引入新课 问题1：圆周角定理的内容是什么？（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.） 问题2：四边形有什么基本性质？（内角和为360°.） 情境创设：多媒体展示一个⊙O，在圆上任取四个点A、B、C、D，顺次连接得到一个四边形. 问题3：四边形ABCD的四个顶点在哪里？（都在⊙O上.） 揭示概念：像这样，四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆. 追问：一般四边形的内角和为360°，但具体每个角是多少度不确定.圆内接四边形的四个角由于都在圆上，它们之间会不会有某种特殊的数量关系？ (设计意图：回顾圆周角定理和四边形内角和，为新课的探究和证明提供知识基础.从“圆上四个点连成四边形”引出定义，直观自然.以“圆内接四边形的角是否有特殊关系”为驱动，激发探究欲望.) 探究点1 度量观察猜想性质 活动：在学案上画一个⊙O，在圆上任取四个点A、B、C、D，连接成四边形ABCD。用量角器分别测量∠A和∠C、∠B和∠D的度数. 学生操作后交流汇报数据. 追问1：观察每组对角的度数，你有什么发现？ 学生猜想：∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°，即对角互补. 追问2：延长AB到E，∠CBE是四边形的一个外角.∠CBE与∠D有什么数量关系？ 学生观察发现：∠CBE = ∠D（即外角等于内对角）. （设计意图：通过学生亲自动手度量，获得直观数据支撑，增强猜想的可信度.不仅猜想“对角互补”，还引导观察“外角等于内对角”，为后续学习的应用做铺垫.） 探究点2　　性质的证明 性质：圆内接四边形的对角互补. 已知：四边形ABCD内接于⊙O. 求证：∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°. 分析：追问1：∠A是圆周角，它对的弧是哪条？所对圆心角的度数如何表示？（∠A对，的度数 = 2∠A的度数） 追问2：∠C是圆周角，它对哪条弧？（，的度数 = 2∠C的度数） 追问3：和合起来是多少度？（合起来是整个圆，360°.） 追问4:请用数学式子表达这个关系.（的度数 + 的度数 = 2∠A + 2∠C 的度数= 360°，所以∠A + ∠C = 180°同理：∠B + ∠D = 180°.） 证明：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形.连接OB，OD. ∠A 所对的弧为，∠C 所对的弧为， 又和所对的圆心角的和是周角， ∠A+∠C=×360°=180° 同理∠B+∠D=180°. 这样，利用圆周角定理，得到圆内接四边形的一个性质定理： 圆内接四边形的对角互补. 从前面的观察我们还得出：圆内接四边形的任何一个外角等于它的内对角. 怎样证明这一结论呢？学生交流讨论： 已知：四边形ABCD内接于⊙O，延长AB到E. 求证：∠CBE = ∠D. 证明：∵ ∠CBE + ∠ABC = 180°（邻补角定义）， 又 ∵ ∠ABC + ∠D = 180°（圆内接四边形对角互补）， ∴ ∠CBE = ∠D. 几何符号语言：∵ 四边形ABCD内接于⊙O，∴ ∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°.∴ ∠CBE = ∠D. （设计意图：通过问题链引导学生自主完成证明，每一步都有据可依.证明过程中将圆周角定理、弧的度数、整圆360°等知识综合运用，体现知识的内在联系.用“邻补角 + 对角互补”快速推出“外角等于内对角”，简洁明了.） 典型例题 例1.如图.四边形ABCD是①O的内接四边形，若∠BOD=100°，求∠A和∠C的度数. 【分析】由四边形ABCD是⊙O的内接四边形，得到∠C+∠A=180°，由圆周角定理求出∠A度数. 【详解】解：:在⊙O中，∠A与∠BOD所对的弧都是， ∴∠A=∠BOD=×100°=50°. 又四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠C+∠A=180° ∴∠C=130°. 例2．求证：圆内接菱形是正方形． 【分析】本题主要考查正多边形和圆，根据题意写出已知、求证，并画出图形，证明菱形的内角为直角即可． 【详解】已知：如图，菱形内接于，求证：菱形是正方形． 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵菱形内接于， ∴， ∴， ∴菱形是正方形． （设计意图：例题分层设计，基础辨析题夯实概念核心，解决学生“概念模糊、判断出错”的问题；实际应用题对接课堂导入情境，强化数学建模能力，实现知识从理解到应用的转化.同时通过详细分析与详解，规范学生解题步骤，培养严谨的解题习惯.） 课本课堂练习P131（①②③）. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1.如图，四边形内接于平分，求四边形的面积． 【详解】解：连接， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：． 1．（2026·延安校联考）如图，四边形内接于，、分别在、的延长线上，且，求证：． 【详解】证明：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（2026福建）如图，四边形 内接于， 是延长线上的一点，的延长线交于点，，． (1)求的度数； (2)求证：四边形是平行四边形. 【详解】（1）解： ，， 是等边三角形． ． ∵四边形 是的内接四边形， ． 又， ． ， ． （2）证明：， ． ． ∵四边形是的内接四边形， ． 是等边三角形， ， ． ． ． ∴四边形是平行四边形． （设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 知识技能：定义：四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形.性质：对角互补（∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°）；外角等于内对角（∠CBE=∠D）.遇到圆内接四边形，立即想到“对角互补”或“外角=内对角”. 思想方法：转化思想：将四边形问题转化为圆周角问题，利用弧的度数关系进行证明.方程思想：在比例问题中，通过设未知数列方程求解.类比思想：类比一般四边形的内角和，发现圆内接四边形的特殊性质. 易错提醒：区分概念：圆内接四边形（顶点在圆上）≠圆外切四边形（边与圆相切，后续学习）.找准外角：外角等于内对角——外角必须是“延长某一边”形成的邻补角，内对角是“与这个外角不相邻的内角”.弧的对应：在证明对角互补时，注意∠A对的是（不经过A的弧），不是. (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：课本习题29.2第5、6、12题. 探究性作业：课本习题29.2第13、14题. （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ） 主板书 29.2.3 圆周角（第2课时） 一、定义 二、性质 三、易错提醒 副板书 典型例题 （预留区域，课堂书写化简、检验例题） 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $