29.2.3圆周角（第2课时 圆内接四边形）（教学设计）数学新教材人教版九年级上册

29.2.3 圆周角（第2课时　圆内接四边形）

（教学设计）

1.教学内容

本节课是人教版（2024版）义务教育教科书数学九年级上册第二十九章圆，第二节圆的有关性质，29.2.3“圆周角”第2课时圆内接四边形.主要内容包括：圆内接四边形的定义：四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角等于它的内对角.性质定理的证明：利用圆周角定理证明圆内接四边形的对角互补.性质定理的应用：运用圆内接四边形性质进行角度计算和几何证明.

2. 内容解析

本节课是“29.2.3圆周角”的第二课时，是在学生掌握了圆周角定理及其推论的基础上，进一步研究圆与四边形的关系.本课直接运用圆周角定理——圆内接四边形的一组对角所对的弧恰好组成一个完整的圆（两条弧合起来是360°），因此这两个角的度数之和为180°。同时，圆内接四边形的外角与内对角的关系，也需借助圆周角定理进行证明.圆内接四边形是圆与多边形结合的重要模型，是后续学习正多边形与圆、四点共圆的判定、直线与圆的位置关系等内容的逻辑基础.同时，圆内接四边形在几何综合题中具有广泛的应用.本节是对圆周角定理的重要应用和延伸，体现了“圆”与“多边形”的融合，是培养学生综合运用知识能力的重要载体.

基于以上分析，本节课的教学重点为：圆内接四边形的性质定理——“对角互补”及其应用.

教学目标

（1）理解圆内接四边形的定义：能准确识别圆内接四边形，并能指出其外接圆.

（2）掌握圆内接四边形的性质：能准确叙述并证明“圆内接四边形对角互补”这一性质，理解“外角等于内对角”的结论.

（3）灵活运用性质：能运用圆内接四边形的性质进行角度计算和简单的几何证明.

（4）发展核心素养：经历“观察—猜想—证明—应用”的探究过程，体会转化思想（将四边形问题转化为圆周角问题），发展逻辑推理和几何直观能力.

2.目标解析

目标1 是概念理解的基础.学生需能在复杂图形中准确识别圆内接四边形，并理解“内接”与“外接”的相对关系.

目标2 是性质掌握的核心.定理的证明需运用圆周角定理，是对上节课知识的直接应用和巩固。“外角等于内对角”是性质的推论，在解题中应用广泛，需重点强调.

目标3 是学以致用的体现.学生需能在具体问题中，通过识别圆内接四边形、应用对角互补或外角性质进行角度推算.

目标4 是素养提升的落脚点.通过圆内接四边形这一模型，让学生体会“圆”作为工具在解决多边形问题中的价值.

学生已掌握圆周角的定义及圆周角定理，能进行基本的圆周角与圆心角的转化计算。同时，学生已学过一

般四边形的性质（内角和为360°）.学生已积累了“观察—猜想—证明”的探究经验，对圆中角度关系的分析有一定基础.学生学习障碍： 概念混淆：容易将“圆内接四边形”与“圆外切四边形”混淆（圆外切四边形是四条边都与圆相切，后续学习）.性质证明困难：难以想到将四边形的角转化为圆周角，利用其所对弧的关系进行证明.识图障碍：在较复杂的图形中，不易发现哪些四边形是圆内接四边形，从而无法应用其性质.

基于以上分析，本节课的教学难点为：圆内接四边形性质的证明（需运用圆周角定理，涉及弧的度数转化）.“外角等于内对角”的理解与灵活运用.在复杂图形中，准确识别圆内接四边形并选择恰当的性质进行解题.

创设情景，引入新课

问题1：圆周角定理的内容是什么？（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.）

问题2：四边形有什么基本性质？（内角和为360°.）

情境创设：多媒体展示一个⊙O，在圆上任取四个点A、B、C、D，顺次连接得到一个四边形.

问题3：四边形ABCD的四个顶点在哪里？（都在⊙O上.）

揭示概念：像这样，四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆.

追问：一般四边形的内角和为360°，但具体每个角是多少度不确定.圆内接四边形的四个角由于都在圆上，它们之间会不会有某种特殊的数量关系？

(设计意图：回顾圆周角定理和四边形内角和，为新课的探究和证明提供知识基础.从“圆上四个点连成四边形”引出定义，直观自然.以“圆内接四边形的角是否有特殊关系”为驱动，激发探究欲望.)

探究点1   度量观察猜想性质

活动：在学案上画一个⊙O，在圆上任取四个点A、B、C、D，连接成四边形ABCD。用量角器分别测量∠A和∠C、∠B和∠D的度数.

学生操作后交流汇报数据.

追问1：观察每组对角的度数，你有什么发现？

学生猜想：∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°，即对角互补.

追问2：延长AB到E，∠CBE是四边形的一个外角.∠CBE与∠D有什么数量关系？

学生观察发现：∠CBE = ∠D（即外角等于内对角）.

（设计意图：通过学生亲自动手度量，获得直观数据支撑，增强猜想的可信度.不仅猜想“对角互补”，还引导观察“外角等于内对角”，为后续学习的应用做铺垫.）

探究点2　　性质的证明

性质：圆内接四边形的对角互补.

已知：四边形ABCD内接于⊙O.

求证：∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°.

分析：追问1：∠A是圆周角，它对的弧是哪条？所对圆心角的度数如何表示？（∠A对，的度数 = 2∠A的度数）

追问2：∠C是圆周角，它对哪条弧？（，的度数 = 2∠C的度数）

追问3：和合起来是多少度？（合起来是整个圆，360°.）

追问4:请用数学式子表达这个关系.（的度数 + 的度数 = 2∠A + 2∠C 的度数= 360°，所以∠A + ∠C = 180°同理：∠B + ∠D = 180°.）

证明：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形.连接OB，OD.

∠A 所对的弧为，∠C 所对的弧为，

又和所对的圆心角的和是周角，

∠A+∠C=×360°=180°

同理∠B+∠D=180°.

这样，利用圆周角定理，得到圆内接四边形的一个性质定理：

圆内接四边形的对角互补.

从前面的观察我们还得出：圆内接四边形的任何一个外角等于它的内对角.

怎样证明这一结论呢？学生交流讨论：

已知：四边形ABCD内接于⊙O，延长AB到E.

求证：∠CBE = ∠D.

证明：∵ ∠CBE + ∠ABC = 180°（邻补角定义），

又 ∵ ∠ABC + ∠D = 180°（圆内接四边形对角互补），

∴ ∠CBE = ∠D.

几何符号语言：∵ 四边形ABCD内接于⊙O，∴ ∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°.∴ ∠CBE = ∠D.

（设计意图：通过问题链引导学生自主完成证明，每一步都有据可依.证明过程中将圆周角定理、弧的度数、整圆360°等知识综合运用，体现知识的内在联系.用“邻补角 + 对角互补”快速推出“外角等于内对角”，简洁明了.）

典型例题

例1.如图.四边形ABCD是①O的内接四边形，若∠BOD=100°，求∠A和∠C的度数.

【分析】由四边形ABCD是⊙O的内接四边形，得到∠C+∠A=180°，由圆周角定理求出∠A度数.

【详解】解：:在⊙O中，∠A与∠BOD所对的弧都是，

∴∠A=∠BOD=×100°=50°.

又四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠C+∠A=180°

∴∠C=130°.