精品解析：山东省烟台某中学2025届高三上学期开学调研考试数学试题

数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，则集合的子集个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 无数个 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式得到集合A，由集合中元素个数判断子集个数. 【详解】解不等式，得，所以， 则集合的子集个数是. 故选：C. 2. 样本数据的第60百分位数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的计算公式进行求解即可. 【详解】样本数据按照从小到大排列为3，4，5，6，8，11共6个数据，. 所以百分位数取第4位数字6， 故选：C. 3. 设复数，其中，若在复平面内对应的点位于第四象限，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先表示复数，再根据其对应的点位于第四象限，列不等式组可求的取值范围. 【详解】由题意. 因为在复平面内对应的点位于第四象限， 所以. 故选：D 4. 下列函数为偶函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指、对数函数奇偶性的定义判断各选项即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，，所以为奇函数，故A错误； 对于B，由可得，所以函数的定义域为， ，所以为奇函数，故B错误； 对于C，函数的定义域为， ， 所以为偶函数，故C正确； 对于D，函数的定义域为，，所以不是偶函数，故D错误. 故选：C. 5. “”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数求出在上单调递增的值范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】函数，求导得， 若函数在上单调递增，则对恒成立， 而当时，，则，因此， 所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A 6. 已知首项为1的数列，其前n项积是公差为3的等差数列，则＝（ ） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的前n项积为等差数列，得等差数列的通项，进而得所求项. 【详解】因为数列的首项为1，且其前n项积是公差为3的等差数列. 所以，令，得. 所以数列是公差为3，首项为1的等差数列. 故，即. 所以. 故选：C. 7. 已知，，则（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据和差的正切函数进行化简求解即可. 【详解】因为， 所以，化简得. ①+②得，①-②得. 所以. 故选：C. 8. 微扰级数是物理学中用于处理非线性系统的重要方法，对于小扰动参数，可得系统的能量，若为常数，则（ ） A. 当取最小值时， B. 当取最大值时， C. 无最小值 D. E无最大值 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得，然后利用导数，研究，单调性，可判断选项正误. 【详解】. 令，， 则. 令，， 则， 则在上单调递减，又注意到，则， 从而，则在上单调递增. 则，则E无最大值，有最小值，取最小值时. 故ABC错，D正确. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ） A. |OP|的最大值为 B. |OP|的最小值为 C. |MN|最大值为6 D. |MN|最小值为2 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意可得：所以，，计算可得A，B选项，设圆心C到直线的距离为,结合图形可知：当为直径时，，当时，,结合弦长公式即可求出的最小值和最大值. 【详解】由于P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点,所以点在圆内， 所以，故A正确；所以，故B正确； 设圆心C到直线的距离为,则,当为直径时，，所以,故C正确； 由于时,所以,故D不正确； 故选：ABC 10. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植同一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量与田块数的关系（单位：），并整理下表 亩产量 田块数 6 12 18 30 24 10 据表中数据，下列结论正确的是（ ） A. 100块稻田亩产量的中位数小于 B. 100块稻田中亩产量低于的稻田所占比例低于 C. 100块稻田亩产量的极差介于至之间 D. 100块稻田亩产量的平均值介于至之间 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，计算出前三段频数即可判断；对于B，计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断；对于C，根据极差计算方法即可判断；对于D，根据平均值计算公式即可判断． 【详解】对于A，根据频数分布表可知，，所以亩产量的中位数不小于1050kg，故A错误； 对于B，亩产量不低于1100kg的频数为，所以低于1100kg的稻田占比为，故B正确； 对于C，稻田亩产量的最大在区间内，最小在区间内，故极差在范围内，故C正确； 对于D，由频数分布表可得，平均值为，故D错误。 故选：BC． 11. 已知函数，且在区间上单调递增.记的最大值为，设，且在中，，其内切圆的半径为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的外接圆的面积为 C. 的最大值为 D. 若平面内一动点满足，则当取得最大值时，的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】由求得，再根据正切函数的单调性求得的范围得解可判断A；由正弦定理求出外接圆半径得出面积可判断B；由余弦定理可得与的关系，利用等面积法可得，结合基本不等式求得的最大值判断C；由题可知点在以为直径的圆上，根据三点共线求最值判断D. 【详解】，由可知，故， 由，则， 由在区间上单调递增可知，得到， 代入可知题设条件成立，故，于是，故A正确； 因为，由可得，由正弦定理得外接圆直径 ，所以的外接圆面积为，故B错误； 不妨记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，由余弦定理可得，即，故， 由等面积法可得，于是， 而，故， 于是，故， 故， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为，故C错误； 当取得最大值时，，记的中点为，如图， 由，可知点在以为直径的圆上（除去B、C），则，由等腰三角形性质可知，故且， 当且仅当A，P，O三点共线时等号成立，故的取值范围是，故D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，，若，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：. 13. 某数学兴趣小组的6名同学排成一排照相，其中甲、乙两名同学必须彼此相邻，丙不在队伍两头的安排方式共有__________（用数字作答）种. 【答案】144 【解析】 【分析】利用捆绑法、分步乘法计数原理和间接法求解. 【详解】6名同学排成一排照相，其中甲、乙相邻的安排方式有（种）， 6名同学排成一排照相，其中甲、乙相邻，丙在队伍两头的安排方式有（种）， 所以6名同学排成一排照相，其中甲、乙两名同学彼此相邻，丙不在队伍两头的安排方式共有（种）. 故答案为：144. 14. 如图，在中，，D，E是线段上的两个点，为正三角形，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意设，可证，得到，继而得到，由余弦定理可求，再利用正弦定理可得，然后求即可． 【详解】设，则， 又为正三角形，所以， 则，又， 所以，则， 故，则，即，所以，即， 所以， ，即， 在中，，即， 解得，又，则为锐角， 所以． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知抛物线C：（p＞0）的焦点为F，过点F作直线l与抛物线C交于A，B两点O为坐标原点．当直线l⊥y轴时，|AB|＝4． （1）求抛物线C的标准方程； （2）若直线AB的斜率为1，求△ABO的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)依题意分析当直线l⊥y轴时，用表示A、B两点坐标，根据,可求得的值,进而得到抛物线C的标准方程. (2)联立直线与抛物线方程，可得到两点坐标关系，进而求得△ABO的面积. 【小问1详解】 由题可知：. 当直线l⊥y轴时，可得，.所以. 因为,所以2p＝4，解得p＝2，故抛物线C的标准方程为． 【小问2详解】 由（１）知：，所以直线. 联立直线l与抛物线C方程，得， 设点A，B,则，， 所以. 所以△ABO的面积． 16. 已知. （1）当时，，求中的最大值； （2）若，求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据二项展开式得，则，分析为偶数时，取得最大值，再列出不等式组，解出即可； （2）法一：两边同时求导后再代入即可；法二：首先得，，再根据恒等式计算即可. 【小问1详解】 当时，， ，则， 显然为奇数时，；为偶数时，； 则当取到最大值时，为偶数， 设为最大项，其中．当时， 得，即， 解得，又因为，经验证得：． 又因为，所以最大项为． 【小问2详解】 法一：因为， ， 令，得：，所以：． 法二： 则，因为，所以， 所以 17. 已知数列的前项和为，且.正项等比数列的首项为1，为其前项和，且. （1）求，； （2）当时，若对任意的恒成立，求实数的最大值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系求解，结合等比数列的求和公式及题设分，两种情况求解； （2）转化问题为对任意的恒成立，进而利用不等式组求得的最小值，即可求解. 【小问1详解】 由， 当时，， 当时，，满足上式，所以. 由，正项等比数列的首项为1， 当公比时，，，不满足； 当公比，且时，，解得，此时. 综上所述，. 【小问2详解】 由，，则， 即对任意的恒成立， 当时，， 当时，设数列在第项取得最小值， 则，解得， 而，则，此时取得最小值， 由于，即， 则实数的最大值为. 18. 如图，四棱锥中，底面为矩形，为中点，为的交点，点在上，且．直线与平面所成的角分别为． （1）证明：平面； （2）若，，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面角得到点在平面上的射影为与的交点，从而平面； （2）根据正切值，不妨设，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而利用线面角的正弦公式进行求解，得到答案. 【小问1详解】 直线与平面所成的角分别为， 故在平面上的射影为，故点在平面上的射影在上， 同理可得点在平面上的射影在上， 所以点在平面上的射影为与的交点， 所以平面； 【小问2详解】 因为，， 不妨设， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 其中，则，，， ， 故，， 设平面的一个法向量为， 则， 解得，令，则，故， 又，设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19. 已知函数（，，）. （1）当，时，求函数的最小值； （2）当时，若存在两个极值点，，求证：； （3）设，为函数的极值点，且，若，，是一个三角形的三边长，求的取值范围. 【答案】（1）； （2） 当时，则且， 可得， 由存在两个极值点，， 则是在上的两个不同根， 所以，可得， 由 ， 所以，， 所以， 令，，则， 令，则在上单调递增， 故， 所以在上单调递增， ， 所以在上单调递增，， 综上，，即，得证； （3）. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，研究导数的区间符号确定单调性，进而求最小值； （2）对函数求导，根据已知有是在上的两个不同根，进而得到，结合基本不等式有，利用导数证明，即可证结论； （3）对函数求导，由已知得，进而得且，则，利用三角形三边关系缩小范围，且并利用单调性求其范围. 【小问1详解】 当，时，且， 则， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题设且， 因为，为函数的极值点， 则， 所以，即， 显然，则， 由，则， 故，易知， 由，，是一个三角形的三边长，则，即， 所以， 令且，则， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， ，， 又，故时， 综上，，而， 由在上单调递增， 当，则， 当，， 则， 故，即的范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，则集合的子集个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 无数个 2. 样本数据的第60百分位数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 3. 设复数，其中，若在复平面内对应的点位于第四象限，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数为偶函数是（ ） A. B. C. D. 5. “”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知首项为1的数列，其前n项积是公差为3的等差数列，则＝（ ） A. 4 B. 3 C. D. 7. 已知，，则（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 8. 微扰级数是物理学中用于处理非线性系统的重要方法，对于小扰动参数，可得系统的能量，若为常数，则（ ） A. 当取最小值时， B. 当取最大值时， C. 无最小值 D. E无最大值 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ） A. |OP|的最大值为 B. |OP|的最小值为 C. |MN|最大值为6 D. |MN|最小值为2 10. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植同一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量与田块数的关系（单位：），并整理下表 亩产量 田块数 6 12 18 30 24 10 据表中数据，下列结论正确的是（ ） A. 100块稻田亩产量的中位数小于 B. 100块稻田中亩产量低于的稻田所占比例低于 C. 100块稻田亩产量的极差介于至之间 D. 100块稻田亩产量的平均值介于至之间 11. 已知函数，且在区间上单调递增.记的最大值为，设，且在中，，其内切圆的半径为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的外接圆的面积为 C. 的最大值为 D. 若平面内一动点满足，则当取得最大值时，的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，，若，则_________. 13. 某数学兴趣小组的6名同学排成一排照相，其中甲、乙两名同学必须彼此相邻，丙不在队伍两头的安排方式共有__________（用数字作答）种. 14. 如图，在中，，D，E是线段上的两个点，为正三角形，，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知抛物线C：（p＞0）的焦点为F，过点F作直线l与抛物线C交于A，B两点O为坐标原点．当直线l⊥y轴时，|AB|＝4． （1）求抛物线C的标准方程； （2）若直线AB的斜率为1，求△ABO的面积． 16. 已知. （1）当时，，求中的最大值； （2）若，求. 17. 已知数列的前项和为，且.正项等比数列的首项为1，为其前项和，且. （1）求，； （2）当时，若对任意的恒成立，求实数的最大值. 18. 如图，四棱锥中，底面为矩形，为中点，为的交点，点在上，且．直线与平面所成的角分别为． （1）证明：平面； （2）若，，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知函数（，，）. （1）当，时，求函数的最小值； （2）当时，若存在两个极值点，，求证：； （3）设，为函数的极值点，且，若，，是一个三角形的三边长，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $