第二单元 专项突破01：角度的计算问题（计算专项）（6大考点梳理+方法点拨+重难点讲解+巩固提升训练）人教版四年级数学上册（新教材）

该小学数学讲义以人教版四年级上册“角的度量”为核心，通过“考点梳理-方法点拨-重难点讲解-巩固提升”四阶框架构建知识体系，用分类表格呈现6大考点（直接求角、相交线、图形中、折叠、三角尺、钟表）的核心知识点与内在联系，突出从基础角到复杂图形角度计算的递进脉络。 讲义亮点在于“情境化问题+分层训练”设计，如用“4A跳旋转角度”“三角尺拼135°角”等例题培养几何直观与运算能力，通过“整体减部分法”“折叠等角万能公式”等技巧指导发展推理意识。典型例题与变式训练结合，基础学生可掌握步骤，优秀学生能探究复杂图形，助力教师精准教学与学生自主复习。

新教材·人教版四年级数学上册第二单元：角的度量 专项突破01：角度的计算问题（计算专项） （考点梳理+方法点拨+重难点讲解+巩固提升训练） 考点01：直接求角的度数问题 考点02：相交线中角的度数问题 考点03：图形中角的度数问题 考点04：折叠图形中角的度数问题 考点05：三角尺中角的度数问题 考点06：钟表中的角的度数问题 考点01：直接求角的度数问题 1. 核心知识点 （1）角的度量工具是量角器，量角器平均分成360份，1份对应的角是1度，记作1°。 （2）常见基础角的度数：直角=90°，平角=180°，周角=360°。 （3）角度基本关系：1周角=2平角=4直角。 （4）直接求角度题型：已知单个角、直角、平角、周角的拆分组合，直接计算未知角的度数，无复杂图形叠加。 2. 方法技巧 （1）熟记固定角度：直角90°、平角180°、周角360°，是所有直接计算的基础。 （2）整体减部分法：未知角度数=整体角（平角/直角）−已知角的度数。 （3）多个角组合：几个角相加等于整体角，可通过加减法直接推导未知角。 3. 解题思路与步骤 步骤1：观察题目，确定整体是直角、平角还是周角，明确固定度数。 步骤2：找出题目给出的已知角度数。 步骤3：根据“整体−部分=剩余部分”列式计算。 步骤4：检查计算结果，角度数值需符合基础角范围（锐角＜90°、直角=90°、钝角90°~180°）。 【易错点】 （1）混淆平角和直角，误将平角当成90°计算，导致结果全部错误。 （2）计算减法时粗心，出现180°−几十几度数算错的情况。 （3）不会判断角的类型，算出结果后无法自查对错。 （4）周角拆分题型中，误用180°计算，忽略周角是360°。 考点02：相交线中角的度数问题 1. 核心知识点 （1）对顶角：两条直线相交，相对的两个角叫做对顶角，对顶角相等。 （2）邻补角：两条直线相交，相邻的两个角组成一个平角，邻补角和为180°。 （3）两条直线相交，已知一个角的度数，可求出另外三个角的度数。 2. 方法技巧 （1）对顶相等法：看到对顶角，直接抄度数，无需计算。 （2）邻角互补法：相邻未知角=180°−已知角度数。 （3）快速口诀：相交两线四角，对顶相等，邻角互补，知一求三。 3. 解题思路与步骤 步骤1：观察相交图形，标记已知角，区分对顶角和邻补角。 步骤2：与已知角相对的对顶角，度数直接相等。 步骤3：与已知角相邻的两个角，用180°减去已知角度数求出。 步骤4：验证：四个角中，两组对顶角分别相等，相邻两角和为180°。 【易错点】 （1）分不清对顶角和邻补角，错将相邻角当成相等角。 （2）计算邻补角时，误用90°减法，混淆互补和互余。 （3）多条直线相交时，找错对应角，看错相对、相邻关系。 （4）忘记验算，出现角度和不等于180°的错误结果。 考点03：图形中角的度数问题 1. 核心知识点 （1）常见基础图形：长方形、正方形、三角形、平行四边形、组合直线图形。 （2）长方形、正方形的四个角都是直角（90°）。 （3）三角形内角和为180°，直角三角形两个锐角和为90°。 （4）图形中多个角拼接可组成平角、直角，可利用固定角度推算未知角。 2. 方法技巧 （1）抓固定角：优先找图形中的直角、平角，作为计算依据。 （2）拆分组合法：复杂图形拆分为直角、平角、三角形基础模型。 （3）已知两角求第三角：三角形中直接用180°连续减去两个已知角。 3. 解题思路与步骤 步骤1：观察图形，判断图形类型，找出所有固定直角、平角。 步骤2：梳理题目给出的已知角度数，标注在图形对应位置。 步骤3：根据图形角度规律列式计算（直角用90°、平角用180°、三角形用180°内角和）。 步骤4：结合角的类型判断结果是否合理。 【易错点】 （1）忘记长方形、正方形四角为90°，不会利用隐藏直角解题。 （2）混淆三角形内角和与平角度数，误用90°计算三角形角度。 （3）组合图形中漏看隐藏平角、直角，找不到解题突破口。 （4）多个角叠加计算时，加减顺序混乱，计算失误。 考点04：折叠图形中角的度数问题 1. 核心知识点 （1）图形折叠的核心性质：折叠前后对应的角度完全相等。 （2）长方形、正方形折叠后，折叠处的重合角度数相同，平整折痕处一般为平角（180°）或直角（90°）。 （3）折叠题型本质：利用「平角180°」和「折叠等角」两个条件列算式求解。 2. 方法技巧 （1）标记等角：折叠重合的两个角，度数完全一样，统一标注。 （2）平角拆分法：折叠后三个角（两个等角+一个已知角）组成180°平角。 （3）万能公式：未知折叠角=（180°−已知角）÷2。 3. 解题思路与步骤 步骤1：根据折叠特征，找出两组完全相等的重合角。 步骤2：确定所有角共同组成平角（180°）。 步骤3：用180°减去题目已知角，得到两个折叠等角的度数和。 步骤4：除以2，求出单个折叠角的度数。 【易错点】 （1）不理解折叠等角性质，认为折叠后角度发生变化。 （2）算出两角和后忘记除以2，直接将和当成单个角度数。 （3）看错图形，误将直角当成平角计算，公式用错。 （4）复杂多次折叠题型，找不准重合的对应角，思路混乱。 考点05：三角尺中角的度数问题 1. 核心知识点 （1）一副三角尺有两个，固定角度牢记不变： ① 等腰直角三角尺：90°、45°、45° ② 细长三角尺：90°、60°、30° （2）可直接画出/拼出的角度：30°、45°、60°、90°、75°（30+45）、105°（60+45）、120°（90+30）、135°（90+45）、150°（90+60）、180°（90+90）。 （3）可通过角度相减得到15°（45°−30°、60°−45°）。 2. 方法技巧 （1）拼角求和：两个三角尺的角叠加，度数直接相加。 （2）叠角求差：两个角重叠相减，得到差值角度。 （3）识图判角：图形中单独出现为基础角，拼接出现为组合角。 3. 解题思路与步骤 步骤1：识别题目用到的三角尺类型，列出对应三个角度。 步骤2：判断是拼接求和还是重叠求差。 步骤3：对应角度加减计算，得出未知角度数。 步骤4：核对是否为三角尺可拼出的常规角度，排除错误结果。 【易错点】 （1）记错三角尺固定角度，混淆30°、45°、60°。 （2）误以为任意角度都能用三角尺拼出，如20°、40°等无法拼出。 （3）求差值角度时，用大角减小角，反向计算出错。 （4）拼接平角时，忘记两个直角相加为180°。 考点06：钟表中的角的度数问题 1. 核心知识点 （1）钟表表盘为圆形，是360°周角，平均分成12个大格。 （2）每1个大格度数：360°÷12=30°（核心固定值）。 （3）时针每走1大格是1小时，转动30°；分针每走1大格是5分钟，转动30°。 （4）特殊时刻角度：3时、9时整，时针分针夹角90°；6时整，夹角180°；12时整，夹角0°/360°。 2. 方法技巧 （1）万能计算公式：钟表夹角=两大格刻度差×30°。 （2）整时题型：只看时针和分针的格数差，分针永远指向12。 （3）角度取舍：钟表夹角取小于等于180°的角，大于180°用360°减去计算结果。 3. 解题思路与步骤 步骤1：确定时刻，找准时针、分针对应的刻度数字。 步骤2：计算两个指针之间的大格数量差。 步骤3：格数差×30°，算出初步夹角。 步骤4：若结果＞180°，用360°−结果，得到最小夹角。 【易错点】 （1）记错每格度数，误把1大格当成60°、10°。 （2）数错指针之间的大格数量，多算或少算一格。 （3）算出大于180°的角，不会换算成最小夹角。 （4）非整时题型中，忽略时针会随分钟转动，直接按整刻度计算。 考点01：直接求角的度数问题 【典型例题】在花样滑冰中，“4A”全称“阿克塞尔四周跳”，这个动作要求选手向前起跳后落冰，选手需要在空中旋转四周半，即旋转（     ）。 A．1620° B．540° C．400° D．360° 【变式训练1】两个相同的角正好可以拼成一个直角，这两个角的度数都是（     ）。 A．30° B．45° C．90° D．180 【变式训练2】下图中，∠1的度数是∠2的3倍，则∠1＝（     ）°，∠2＝（    ） °。 考点02：相交线中角的度数问题 【典型例题】如下图，已知∠1＝72°，那么∠2＝（ ），∠3＝（ ），∠4＝（ ），∠1＋∠5＝（ ）。 【变式训练1】已知∠1＝90°，∠2＝45°。 ∠4＝（ ），∠5＝（ ），∠1－∠3＝（ ）。 【变式训练2】已知∠1＝50°，则∠2＝_____________，∠3＝_____________。 考点03：图形中角的度数问题 【典型例题】如图，∠1＝（ ）°，∠2＝（ ）°。 【变式训练1】三个正方形的位置如图，∠1的度数是（ ）°。 【变式训练2】如图，已知∠1＝120°，∠3＝（ ）。 考点04：折叠图形中角的度数问题 【典型例题】如图，将一张长方形纸进行折叠，如果∠1＝74°，那么∠2的度数是多少？ 【变式训练1】如图，把一张长方形纸沿对角线对折，如果∠1＝56°，那么∠2＝（     ）。 A．34° B．28° C．24° D．22° 【变式训练2】楼楼在折纸，（如图），是多少度？ 考点05：三角尺中角的度数问题 【典型例题】数学课上，老师让同学们用一副三角尺进行拼角活动，明明拼成的图形如下图，∠1＝‌（ ）。 【变式训练1】下图是由一副三角板拼成的，（ ）°，（ ）°。 【变式训练2】一副三角尺叠放在一起（如下图），∠2的度数是（ ）°。 考点06：钟表中的角的度数问题 【典型例题】《新闻联播》一般每天19：00播出，此时钟面上时针与分针所形成的较小角为（ ）角；19：30结束，此时钟面上时针与分针所形成的较小角为（ ）角。 【变式训练1】从上午11：00到下午2：00，钟表上的时针顺时针旋转了（ ）°。 【变式训练2】钟面上6时整，时针和分针形成的角是（ ）角。（ ）时或（ ）时整，时针和分针形成的是直角。3时30分，时针和分针的夹角（较小角）是（ ）度。 一、选择题 1．数学活动课上，明明用一副三角尺拼出了三种角（如下图）。其中（     ）拼出的是135°的角。 A． B． C． 2．一个长方形，如下图所示翻折后得到，，则（     ）。 A． B． C． 3．如图，已知∠2＝38°，则∠3＝（     ）。 A．38° B．60° C．52° 4．从7时到10时，时针绕中心点顺时针旋转了（     ）°。 A．90 B．120 C．180 5．下图中，∠1＝55°，∠3＝∠1，∠2＝（     ）° A．55° B．70° C．110° 二、填空题 6．将一个平角分成两个角，这两个角相差30°，则它们分别是（ ）°和（ ）°。 7．从12时整到1时整，分针旋转了（ ）°，时针旋转了（ ）°；7时整，分针和时针的较小夹角是（ ）°。 8．填一填。 9．如图，∠1＝（ ）度，∠2＝（ ）度，∠3＝（ ）度。 10．淘气用一副三角尺拼角，请帮他算出下列各角的度数。 ∠1＋∠2＝（ ）°   ；∠3＝（ ）°  ； ∠4＝（ ）° 11．如图，把长方形的纸这样折起来以后，已知，，则（ ）°。 12．钟面上5时整，时针和分针所成的角是（ ）°。时针和分针所成的角跟它一样大的还有（ ）时整。 13．如图，（ ）°，（ ）°。 14．下图，∠1＝40°，∠2＝（ ），∠4＝（ ）。 15．如图，∠3＝28°，∠2＝（ ）度。 16．将一副三角尺如图叠放在一起，（ ）° 17．钟面上的时间为3时整，这时时针和分针的夹角是（ ）度。 18．如图，∠1＝∠2，那么∠3＝（ ）。 19．将一张长方形纸折成如下图所示的形状，已知∠2＝70°，∠1＝（ ）°。 20．下面用一副三角板拼出的角分别是多少度？       ∠1＝（ ）°        ∠2＝（ ）° ∠3＝（ ）°        ∠4＝（ ）° 21．用一副三角板摆成如图所示，那么∠1＝（ ）°，∠2＝（ ）°，∠3＝（ ）°。其中∠1和∠3构成一个（ ）角。 三、解答题 22．如图，已知∠1＋∠5＝138°，那么，∠1＝（ ），列式：________________。∠2＝（ ），列式：_________________。∠3＝（ ），列式：_________________。 23．如图，已知∠1＝55°，求∠2、∠3、∠4的度数。 24．如图是把一张长方形的纸折起来之后形成的图形。 （1）如果，求的度数。 （2）如果，求的度数。 25．把一张长方形纸折成如图所示的形状。已知∠1＋∠2＋∠3＝220°，求∠1，∠2，∠3的度数。 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 新教材·人教版四年级数学上册第二单元：角的度量 专项突破01：角度的计算问题（计算专项） （考点梳理+方法点拨+重难点讲解+巩固提升训练） 考点01：直接求角的度数问题 考点02：相交线中角的度数问题 考点03：图形中角的度数问题 考点04：折叠图形中角的度数问题 考点05：三角尺中角的度数问题 考点06：钟表中的角的度数问题 考点01：直接求角的度数问题 1. 核心知识点 （1）角的度量工具是量角器，量角器平均分成360份，1份对应的角是1度，记作1°。 （2）常见基础角的度数：直角=90°，平角=180°，周角=360°。 （3）角度基本关系：1周角=2平角=4直角。 （4）直接求角度题型：已知单个角、直角、平角、周角的拆分组合，直接计算未知角的度数，无复杂图形叠加。 2. 方法技巧 （1）熟记固定角度：直角90°、平角180°、周角360°，是所有直接计算的基础。 （2）整体减部分法：未知角度数=整体角（平角/直角）−已知角的度数。 （3）多个角组合：几个角相加等于整体角，可通过加减法直接推导未知角。 3. 解题思路与步骤 步骤1：观察题目，确定整体是直角、平角还是周角，明确固定度数。 步骤2：找出题目给出的已知角度数。 步骤3：根据“整体−部分=剩余部分”列式计算。 步骤4：检查计算结果，角度数值需符合基础角范围（锐角＜90°、直角=90°、钝角90°~180°）。 【易错点】 （1）混淆平角和直角，误将平角当成90°计算，导致结果全部错误。 （2）计算减法时粗心，出现180°−几十几度数算错的情况。 （3）不会判断角的类型，算出结果后无法自查对错。 （4）周角拆分题型中，误用180°计算，忽略周角是360°。 考点02：相交线中角的度数问题 1. 核心知识点 （1）对顶角：两条直线相交，相对的两个角叫做对顶角，对顶角相等。 （2）邻补角：两条直线相交，相邻的两个角组成一个平角，邻补角和为180°。 （3）两条直线相交，已知一个角的度数，可求出另外三个角的度数。 2. 方法技巧 （1）对顶相等法：看到对顶角，直接抄度数，无需计算。 （2）邻角互补法：相邻未知角=180°−已知角度数。 （3）快速口诀：相交两线四角，对顶相等，邻角互补，知一求三。 3. 解题思路与步骤 步骤1：观察相交图形，标记已知角，区分对顶角和邻补角。 步骤2：与已知角相对的对顶角，度数直接相等。 步骤3：与已知角相邻的两个角，用180°减去已知角度数求出。 步骤4：验证：四个角中，两组对顶角分别相等，相邻两角和为180°。 【易错点】 （1）分不清对顶角和邻补角，错将相邻角当成相等角。 （2）计算邻补角时，误用90°减法，混淆互补和互余。 （3）多条直线相交时，找错对应角，看错相对、相邻关系。 （4）忘记验算，出现角度和不等于180°的错误结果。 考点03：图形中角的度数问题 1. 核心知识点 （1）常见基础图形：长方形、正方形、三角形、平行四边形、组合直线图形。 （2）长方形、正方形的四个角都是直角（90°）。 （3）三角形内角和为180°，直角三角形两个锐角和为90°。 （4）图形中多个角拼接可组成平角、直角，可利用固定角度推算未知角。 2. 方法技巧 （1）抓固定角：优先找图形中的直角、平角，作为计算依据。 （2）拆分组合法：复杂图形拆分为直角、平角、三角形基础模型。 （3）已知两角求第三角：三角形中直接用180°连续减去两个已知角。 3. 解题思路与步骤 步骤1：观察图形，判断图形类型，找出所有固定直角、平角。 步骤2：梳理题目给出的已知角度数，标注在图形对应位置。 步骤3：根据图形角度规律列式计算（直角用90°、平角用180°、三角形用180°内角和）。 步骤4：结合角的类型判断结果是否合理。 【易错点】 （1）忘记长方形、正方形四角为90°，不会利用隐藏直角解题。 （2）混淆三角形内角和与平角度数，误用90°计算三角形角度。 （3）组合图形中漏看隐藏平角、直角，找不到解题突破口。 （4）多个角叠加计算时，加减顺序混乱，计算失误。 考点04：折叠图形中角的度数问题 1. 核心知识点 （1）图形折叠的核心性质：折叠前后对应的角度完全相等。 （2）长方形、正方形折叠后，折叠处的重合角度数相同，平整折痕处一般为平角（180°）或直角（90°）。 （3）折叠题型本质：利用「平角180°」和「折叠等角」两个条件列算式求解。 2. 方法技巧 （1）标记等角：折叠重合的两个角，度数完全一样，统一标注。 （2）平角拆分法：折叠后三个角（两个等角+一个已知角）组成180°平角。 （3）万能公式：未知折叠角=（180°−已知角）÷2。 3. 解题思路与步骤 步骤1：根据折叠特征，找出两组完全相等的重合角。 步骤2：确定所有角共同组成平角（180°）。 步骤3：用180°减去题目已知角，得到两个折叠等角的度数和。 步骤4：除以2，求出单个折叠角的度数。 【易错点】 （1）不理解折叠等角性质，认为折叠后角度发生变化。 （2）算出两角和后忘记除以2，直接将和当成单个角度数。 （3）看错图形，误将直角当成平角计算，公式用错。 （4）复杂多次折叠题型，找不准重合的对应角，思路混乱。 考点05：三角尺中角的度数问题 1. 核心知识点 （1）一副三角尺有两个，固定角度牢记不变： ① 等腰直角三角尺：90°、45°、45° ② 细长三角尺：90°、60°、30° （2）可直接画出/拼出的角度：30°、45°、60°、90°、75°（30+45）、105°（60+45）、120°（90+30）、135°（90+45）、150°（90+60）、180°（90+90）。 （3）可通过角度相减得到15°（45°−30°、60°−45°）。 2. 方法技巧 （1）拼角求和：两个三角尺的角叠加，度数直接相加。 （2）叠角求差：两个角重叠相减，得到差值角度。 （3）识图判角：图形中单独出现为基础角，拼接出现为组合角。 3. 解题思路与步骤 步骤1：识别题目用到的三角尺类型，列出对应三个角度。 步骤2：判断是拼接求和还是重叠求差。 步骤3：对应角度加减计算，得出未知角度数。 步骤4：核对是否为三角尺可拼出的常规角度，排除错误结果。 【易错点】 （1）记错三角尺固定角度，混淆30°、45°、60°。 （2）误以为任意角度都能用三角尺拼出，如20°、40°等无法拼出。 （3）求差值角度时，用大角减小角，反向计算出错。 （4）拼接平角时，忘记两个直角相加为180°。 考点06：钟表中的角的度数问题 1. 核心知识点 （1）钟表表盘为圆形，是360°周角，平均分成12个大格。 （2）每1个大格度数：360°÷12=30°（核心固定值）。 （3）时针每走1大格是1小时，转动30°；分针每走1大格是5分钟，转动30°。 （4）特殊时刻角度：3时、9时整，时针分针夹角90°；6时整，夹角180°；12时整，夹角0°/360°。 2. 方法技巧 （1）万能计算公式：钟表夹角=两大格刻度差×30°。 （2）整时题型：只看时针和分针的格数差，分针永远指向12。 （3）角度取舍：钟表夹角取小于等于180°的角，大于180°用360°减去计算结果。 3. 解题思路与步骤 步骤1：确定时刻，找准时针、分针对应的刻度数字。 步骤2：计算两个指针之间的大格数量差。 步骤3：格数差×30°，算出初步夹角。 步骤4：若结果＞180°，用360°−结果，得到最小夹角。 【易错点】 （1）记错每格度数，误把1大格当成60°、10°。 （2）数错指针之间的大格数量，多算或少算一格。 （3）算出大于180°的角，不会换算成最小夹角。 （4）非整时题型中，忽略时针会随分钟转动，直接按整刻度计算。 考点01：直接求角的度数问题 【典型例题】在花样滑冰中，“4A”全称“阿克塞尔四周跳”，这个动作要求选手向前起跳后落冰，选手需要在空中旋转四周半，即旋转（     ）。 A．1620° B．540° C．400° D．360° 【答案】A 【分析】旋转1周对应的角度是360°，计算旋转四周半的总角度，先分别求出4周和半周的角度再求和即可。 【详解】360°×4＋360°÷2 ＝1440°＋180° ＝1620° 选手需要在空中旋转四周半，即旋转1620° 【变式训练1】两个相同的角正好可以拼成一个直角，这两个角的度数都是（     ）。 A．30° B．45° C．90° D．180 【答案】B 【分析】直角的度数是，两个相同的角相加等于直角度数，求单个角的度数用除法计算。 【详解】 【变式训练2】下图中，∠1的度数是∠2的3倍，则∠1＝（     ）°，∠2＝（    ） °。 【答案】 135 45 【分析】根据题意，仔细观察图可知，∠1和∠2形成一个平角，已知∠1的度数是∠2的3倍，可知：∠1＝3×∠2；∠1＋∠2＝180°，那么3×∠2＋∠2＝180°，4×∠2＝180°，∠2＝180°÷4＝45°，最后算出∠1＝3×45°＝135°，以此答题即可。 【详解】根据分析可知： ∠1＝3×∠2 ∠1＋∠2＝180° 3×∠2＋∠2＝180° 4×∠2＝180° ∠2＝180°÷4＝45° ∠1＝3×45°＝135° 下图中，∠1的度数是∠2的3倍，则∠1＝135°，∠2＝45°。 考点02：相交线中角的度数问题 【典型例题】如下图，已知∠1＝72°，那么∠2＝（ ），∠3＝（ ），∠4＝（ ），∠1＋∠5＝（ ）。 【答案】 18° 162° 18° 162° 【分析】观察上图可知，∠5＝90°，已知∠1＝72°，可以求出∠1＋∠5的度数和；∠1与∠4组成直角，可以求出∠4的度数；∠3与∠4组成平角，知道∠4的度数后，可以求出∠3的度数；∠2与∠3组成平角，知道∠3后，可以求出∠2的度数。 【详解】∠4＝90°－72°＝18° ∠3＝180°－∠4 ＝180°－18° ＝162° ∠2＝180°－∠3 ＝180°－162° ＝18° ∠1＋∠5＝72°＋90°＝162° 【变式训练1】已知∠1＝90°，∠2＝45°。 ∠4＝（ ），∠5＝（ ），∠1－∠3＝（ ）。 【答案】 45° 135° 45° 【分析】由题图可知∠2和∠1和∠4组成一个平角即180°，再根据∠1和∠2的度数，即可求得∠4的度数。再由∠4和∠5组成一个平角，即可求得∠5的度数。再由∠3和∠5组成一个平角，可求得∠3的度数，进而可求得∠1－∠3的度数。 【详解】因为∠1＝90°，∠2＝45°，∠2＋∠1＋∠4＝180°，所以∠4＝180°－∠1－∠2＝180°－90°－45°＝45°。 因为∠4＋∠5＝180°，所以∠5＝180°－45°＝135°。 因为∠3＋∠5＝180°，所以∠3＝180°－135°＝45°，所以∠1－∠3＝90°－45°＝45°。 【变式训练2】已知∠1＝50°，则∠2＝_____________，∠3＝_____________。 【答案】 130°/度 40°/度 【分析】平角＝180°，直角＝90°，和组成平角，和组成直角，，。 【详解】 考点03：图形中角的度数问题 【典型例题】如图，∠1＝（ ）°，∠2＝（ ）°。 【答案】 55 95 【分析】因为∠1和125°的角组成平角，平角是180°， 所以用180°减去125°可得到∠1的度数。  计算∠2的度数：由于∠1、∠2和30°的角组成平角，平角为180°，已知∠1的度数，所以用180°减去∠1的度数再减去30°，就能得出∠2的度数。 【详解】因为∠1＋125°＝180°， 所以∠1＝180°－125°＝55°； 因为∠1＋30°＋∠2＝180°， 所以∠2＝180°－55°－30° ＝125°－30° ＝95° 如图，∠1＝55°，∠2＝95°。 【变式训练1】三个正方形的位置如图，∠1的度数是（ ）°。 【答案】15 【分析】正方形的四个角都是直角，观察图中信息可知，∠1＋∠2＝90°－45°、∠1＋∠3＝90°－30°，又∠1、∠2和∠3组成一个直角，据此根据∠1、∠2和∠3之间的关系，可以计算出∠1的度数。 【详解】由分析可知， ∠1＋∠2＝90°－45° ＝45° ∠1＋∠3＝90°－30° ＝60° 可得：（∠1＋∠2）＋（∠1＋∠3）＝45°＋60° 即：∠1＋∠2＋∠1＋∠3＝105° 又：∠1＋∠2＋∠3＝90° （∠1＋∠2＋∠1＋∠3）－（∠1＋∠2＋∠3）＝∠1 可得：∠1＝105°－90° ＝15° ∠1的度数是15°。 【变式训练2】如图，已知∠1＝120°，∠3＝（ ）。 【答案】30度/30° 【分析】首先长方形的底边是一条直线，平角的度数为180°，∠1和∠2在这条平角上，所以∠2＝180°－∠1＝180°－120°＝60°。又因为下方的图形也是长方形，长方形的角是90°，∠2和∠3组成这个直角，所以∠3＝90°－∠2＝90°－60°＝30°。 【详解】∠2＝180°－∠1＝180°－120°＝60° ∠3＝90°－∠2＝90°－60°＝30° 考点04：折叠图形中角的度数问题 【典型例题】如图，将一张长方形纸进行折叠，如果∠1＝74°，那么∠2的度数是多少？ 【答案】53° 【分析】长方形纸条的边缘原本是一条笔直的线，构成一个平角（180°）。将纸张折叠后，折叠部分与被覆盖的部分完全重合，这意味着∠2与下面隐藏的那个角度数完全相等。因此，这一个平角实际上是由一个∠1和两个∠2拼成的。 【详解】180°－74°＝106° 106°÷2＝53° 答：∠2的度数是53°。 【变式训练1】如图，把一张长方形纸沿对角线对折，如果∠1＝56°，那么∠2＝（     ）。 A．34° B．28° C．24° D．22° 【答案】D 【分析】根据题意，∠1＝56°，观察图片可知∠1加上空白角等于，那么空白角等于；一张长方形纸沿对角线对折，观察可得空白角加∠2等于∠1，那么∠1减空白角可得∠2，据此解题。 【详解】 如果∠1＝56°，那么∠2＝。 【变式训练2】楼楼在折纸，（如图），是多少度？ 【答案】是。 【分析】折纸后，∠1与被折叠盖住的角大小相等，这两个角和∠2共同组成平角，和为180°，由此可计算∠1的度数。 【详解】180°−96°＝84° 84÷2＝42° 答：是。 考点05：三角尺中角的度数问题 【典型例题】数学课上，老师让同学们用一副三角尺进行拼角活动，明明拼成的图形如下图，∠1＝‌（ ）。 【答案】105° 【分析】一副三角尺中其中一个是等腰直角三角尺（角度为45°、45°、90°），另一个是直角三角尺（角度是30°、60°、90°）。从图中能看出，∠1和三角尺的45°角、30°角共同组成了一个新的三角形（三角形的内角和为180°），所以可以用180°减去这两个已知角的度数，就能得到∠1的度数。 【详解】180°－45°－30° ＝135°－30° ＝105° 【变式训练1】下图是由一副三角板拼成的，（ ）°，（ ）°。 【答案】 30 30 【分析】根据对三角板的了解可知，其中一个三角板三个角分别是30°、60°和90°，另一个三角板三个角分别是45°、45°和90°，根据题意可知，∠1＝30°；∠2与一个60°的角组成直角，用90°减去60°，即可求出，∠2的度数。 【详解】90°－60°＝30° 所以，30°，30°。 【变式训练2】一副三角尺叠放在一起（如下图），∠2的度数是（ ）°。 【答案】15 【分析】一副三角尺由两个三角尺组成，一个三角尺的三个角分别是45°、90°、45°，另一个三角尺的三个角分别是30°、60°、90°；据此判断图中角是由三角尺上的哪两个角组合起来，然后算出它们的度数即可。 【详解】由分析得： 45°－30°＝15° 所以，一副三角尺叠放在一起（如下图），∠2的度数是15°。 考点06：钟表中的角的度数问题 【典型例题】《新闻联播》一般每天19：00播出，此时钟面上时针与分针所形成的较小角为（ ）角；19：30结束，此时钟面上时针与分针所形成的较小角为（ ）角。 【答案】 钝角 锐角 【分析】钟面为一个周角360°，被平均分成12个大格，每个大格的角度为360÷12＝30°。判断时针与分针形成的角的类型，需先计算夹角的度数，再根据角的分类判断，即0°＜锐角＜90°，直角等于90°，90°＜钝角＜180°，据此解答。 【详解】（1）19：00是晚上7时，此时分针指向12，时针指向7。 时针与分针之间间隔大格数：12－7＝5（个） 夹角度数为：30°×5＝150° 所以，《新闻联播》一般每天19：00播出，此时钟面上时针与分针所形成的较小角为钝角。 （2）19：30是晚上7时30分，分针指向6，时针在7和8的正中间。 时针与分针之间间隔为：1个大格和半个大格。 夹角度数为：30°＋30°÷2 ＝30°＋15° ＝45° 所以，19：30结束，此时钟面上时针与分针所形成的较小角为锐角。 【变式训练1】从上午11：00到下午2：00，钟表上的时针顺时针旋转了（ ）°。 【答案】 【分析】钟面上1大格对应30°，上午11：00到下午2：00时针走几大格，对应度数就是30°乘几。 【详解】上午11：00到下午2：00，，换算成24时计时法是从11：00到14：00，（小时）时针走了3大格，所以钟表上的时针顺时针旋转了： 【变式训练2】钟面上6时整，时针和分针形成的角是（ ）角。（ ）时或（ ）时整，时针和分针形成的是直角。3时30分，时针和分针的夹角（较小角）是（ ）度。 【答案】 平 3 9 75 【分析】小于90°的角是锐角，直角＝90°，大于90°小于180°的角是钝角，平角＝180°，周角＝360°；钟面上有12个数字，以表芯为旋转点，表针转一圈是360°，被12个数字平均分成12份，每两数即一大格之间夹角是30°。 6时整，分针指向12，时针指向6，之间有6个大格；用6×30°即可；再根据角的分类判断是什么角即可； 整点时，分针指向12，要使分针与时针的夹角是直角90°，那么分针与时针之间的格数是3格，据此求出时针指向几； 3时30分，分针指向6，时针在3和4之间，时针和分针相差2个半大格，半格为30°÷2＝15°，即2×30°＝60°，60°＋15°＝75°，据此解答即可。 【详解】6×30°＝180°，所以钟面上6时整，时针和分针形成的角是平角。 3时整和9时整时，时针与分针之间的夹角含3个大格，因此3时或9时整的时候，时针和分针形成的是直角。 2×30°＝60°，60°＋15°＝75°，所以3时30分，时针和分针的夹角（较小角）是75度。 一、选择题 1．数学活动课上，明明用一副三角尺拼出了三种角（如下图）。其中（     ）拼出的是135°的角。 A． B． C． 【答案】C 【分析】一副三角尺的所有内角的固定度数，分别为30°、60°、90°和45°、45°、90°；因为135°可由两个三角尺的角相加得到，所以先判断哪两个角的和为135°，90°＋45°＝135°；逐一观察每个选项中拼接的两个角的度数，判断拼接后的和是否为135°，从而选出正确选项。 【详解】A．图中所示是60°角和45°角，，不是135°的角，不符合题意； B．图中所示是30°角和90°角，，不是135°的角，不符合题意； C．图中所示是90°角和45°角，，是135°的角，符合题意。 2．一个长方形，如下图所示翻折后得到，，则（     ）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】折叠前后角的度数相等，由此可知，∠2＝∠3，又读图可知，∠1、∠2、∠3形成一个平角，用平角的度数减去∠1的度数，再除以2，即可算出∠2的度数。据此解答。 【详解】（180°－40°）÷2 ＝140°÷2 ＝70° ∠2＝70°，选项C正确。 故答案为：C 3．如图，已知∠2＝38°，则∠3＝（     ）。 A．38° B．60° C．52° 【答案】C 【分析】观察图形可知，∠2与∠3组成了一个直角，所以∠3＝90°－∠2，代入数据计算即可。 【详解】∠3＝90°－∠2 ＝90°－38° ＝52° 故答案为：C 4．从7时到10时，时针绕中心点顺时针旋转了（     ）°。 A．90 B．120 C．180 【答案】A 【分析】钟面上共有12个大格，每个大格为（360°÷12），时针每小时走一个大格，从7时到10时，共走了3个大格，据此可求出时针绕中心点顺时针方向旋转了的角度。 【详解】360°÷12×（10－7） ＝30°×3 ＝90° 所以从7时到10时，时针绕中心点顺时针旋转了90°。 故答案为：A 5．下图中，∠1＝55°，∠3＝∠1，∠2＝（     ）° A．55° B．70° C．110° 【答案】B 【分析】1平角＝180°，根据题意可知：∠1＋∠2＋∠3＝180°，因此∠2＝180°－∠3－∠1；而∠3＝∠1，即∠3＝55°，依此计算即可。 【详解】180°－55°－55° ＝125°－55° ＝70° ∠2＝70° 故答案为：B 二、填空题 6．将一个平角分成两个角，这两个角相差30°，则它们分别是（ ）°和（ ）°。 【答案】 105 75 【分析】平角的度数为180°，因此分成的两个角的度数和是180°。已知两个角的度数差为30°，根据和差问题的计算规则，较大角的度数＝（两角和＋两角差）÷2。 【详解】（180°＋30°）÷2 ＝210°÷2 ＝105° 180°－105°＝75° 将一个平角分成两个角，这两个角相差30°，则它们分别是105°和75°。 7．从12时整到1时整，分针旋转了（ ）°，时针旋转了（ ）°；7时整，分针和时针的较小夹角是（ ）°。 【答案】 360 30 150 【分析】从时到时，分针走了一圈，时针走了一大格，钟表上有个数字，每相邻两个数字之间的夹角为，时整，时针指向，分针指向中间间隔个大格，据此解答。 【详解】 从12时整到1时整，分针旋转了°，时针旋转了°；7时整，分针和时针的较小夹角是°。 8．填一填。 【答案】55；55 【分析】观察图形可知，∠1和∠2组成一个直角，∠3和∠2组成一个直角，直角等于90°，用90°－∠2，求出∠1的度数，用90°－∠2，即可求出∠3的度数。 【详解】∠1＝90°－35°＝55° ∠3＝90°－35°＝55° 9．如图，∠1＝（ ）度，∠2＝（ ）度，∠3＝（ ）度。 【答案】 125 55 35 【分析】观察图形可知，∠1和55°角组成一个平角，因为平角＝180°，所以∠1的度数等于180°减去55°； ∠1和∠2组成一个平角，且已求得∠1的度数，所以∠2的度数等于用180°减去∠1的度数； ∠2、∠3和一个直角组成一个平角，直角＝90°，且已求得∠2的度数，所以∠3的度数等于180°减去∠2的度数再减去90°。 【详解】； ； 。 10．淘气用一副三角尺拼角，请帮他算出下列各角的度数。 ∠1＋∠2＝（ ）°   ；∠3＝（ ）°  ； ∠4＝（ ）° 【答案】 105 45 210 【分析】由三角尺可知，三角尺有一个直角，∠1＝60°，∠2＝45°，据此求出∠1＋∠2的度数，∠2＋∠3＋直角＝180°，据此求出∠3的度数，∠4＋∠1＋90°＝360°，据此求出∠4的度数。 【详解】∠1＋∠2＝105° ∠3＝180°－45°－90°＝45° ∠4＝360°－60°－90°＝210° 11．如图，把长方形的纸这样折起来以后，已知，，则（ ）°。 【答案】80 【分析】，因为长方形的纸是如上图折起来的，所以∠1＝∠4＝30°，∠2＝∠5＝20°，且五个角的和是180°，那么∠3＝180－∠1×2－∠2×2。 【详解】180°－30°×2－20°×2 ＝180°－60°－40° ＝80° 12．钟面上5时整，时针和分针所成的角是（ ）°。时针和分针所成的角跟它一样大的还有（ ）时整。 【答案】 150 7 【分析】钟面一周为360°，钟表上有12个数字，分12大格，每相邻两个数字之间的夹角为30°，每个大格30°，从12时到5时，时针走了5大格，时针走一大格是30°，30°×5＝150°；要使时针与分针夹角为150°，时针和分针需间隔5大格，从7时到12时，时针走了5大格，所以7时时针和分针所成的角也是150°，据此解答即可。 【详解】钟面上5时整，时针和分针所成的角是150°。时针和分针所成的角跟它一样大的还有7时整。 13．如图，（ ）°，（ ）°。 【答案】 50 130 【分析】观察这个图形，先看∠1：因为它和40°的角共同组成了一个直角（直角是90°），所以用90°减去40°，就能算出∠1是50°；再看∠2：它和∠1又组成了一个平角（平角是180°），所以用180°减去已经算出的∠1的50°，就能得到∠2是130°。 【详解】∠1＋40°＝90° ∠1＝90°40°＝50° ∠1＋∠2＝180° ∠2＝180°50°＝130° 14．下图，∠1＝40°，∠2＝（ ），∠4＝（ ）。 【答案】 140°/140度 140°/140度 【分析】根据题意，明确平角是180°，可知：∠1＋∠2＝180°，因此∠2＝180°－∠1，求出∠2的度数；∠1＋∠4＝180°，因此∠4＝180°－∠1，求出∠4的度数；列式计算即可。 【详解】根据分析可知： ∠1＝40° ∠1＋∠2＝180° ∠2＝180°－∠1＝180°－40°＝140° ∠1＋∠4＝180° ∠4＝180°－∠1＝180°－40°＝140° 15．如图，∠3＝28°，∠2＝（ ）度。 【答案】62 【分析】因为∠1是直角，直角为90°，且∠1、∠2和∠3三角共线成平角，平角是180°，所以∠2＝180°－∠1－∠3，代入数值计算出结果。据此解答。 【详解】180°－90°－28° ＝90°－28° ＝62° 所以如图，∠3＝28°，∠2＝62度。 16．将一副三角尺如图叠放在一起，（ ）° 【答案】57 【分析】已知平角的两边在一条直线上，1平角＝180°，三角尺中有一个角是直角，直角＝90°。根据题意（如下图），图中∠1、∠2、∠3和36°、21°五个角共同组成一个平角，一共是180°，其中三角尺直角的顶点叠放在一起，则∠1与∠2组成直角一共是90°，∠1与∠3组成直角一共是90°，则36°＋21°＋90°＋∠2＝180°或36°＋21°＋90°＋∠3＝180°，从而可以求出∠2或∠3的度数，即用180°连续减去36°、21°和90°；再用90°减去∠2或∠3的度数，即可求出∠1的度数。据此解答。 【详解】180°－36°－21°－90° ＝144°－21°－90° ＝123°－90° ＝33° 90°－33°＝57° 所以，∠1＝57°。 17．钟面上的时间为3时整，这时时针和分针的夹角是（ ）度。 【答案】90 【分析】用360除以12即可求出每个大格子的度数，3时整，钟面上时针和分针之间有3个大格子，用每个大格子的度数乘3即可求出钟面上时针和分针形成的角的度数。据此解答。 【详解】360÷12＝30（度） 30×3＝90（度） 钟面上的时间为3时整，这时时针和分针的夹角是90度。 18．如图，∠1＝∠2，那么∠3＝（ ）。 【答案】135° 【分析】根据平角＝180°，直角＝90°，由图可知∠1＋∠2＋90°＝180°，则180°－90°＝90°，而∠1＝∠2，则90°÷2＝45°，∠1＝∠2＝45°。由图可知∠1＋∠3＝180°，则∠3＝180°－45°＝135°。据此解答。 【详解】180°－90°＝90° 90°÷2＝45° 180°－45°＝135° 则∠3＝135°。 19．将一张长方形纸折成如下图所示的形状，已知∠2＝70°，∠1＝（ ）°。 【答案】40 【分析】根据题意得到，将长方形折过去得到∠2，那么∠2的度数与∠2左边那个角的度数相等，观察发现∠2左边那个角＋∠2＋∠1＝平角，平角为180°，那么用180°减去∠2左边那个角减去∠2的度数，即可算出∠1的度数。据此解答。 【详解】根据分析得出： 180°－70°－70° ＝110°－70° ＝40° 所以∠1＝40°。 20．下面用一副三角板拼出的角分别是多少度？       ∠1＝（ ）°        ∠2＝（ ）° ∠3＝（ ）°        ∠4＝（ ）° 【答案】 75 15 120 150 【分析】一副三角尺由两个三角尺组成，一个三角尺的三个角分别是90°，45°，45°，另一个三角尺的三个角分别是90°，60°，30°。一平角＝180°。由题意得，将对应的角的度数相加或相减即可算出所求的角的度数。 【详解】∠1＝45°＋30°＝75°； ∠2＝45°－30°＝15°； ∠3＝180°－60°＝120°； ∠4＝180°－30°＝150°。 21．用一副三角板摆成如图所示，那么∠1＝（ ）°，∠2＝（ ）°，∠3＝（ ）°。其中∠1和∠3构成一个（ ）角。 【答案】 30 60 150 平 【分析】根据图片可知，∠2和三角板中90°的角以及30°的角组成一个平角，则∠2＝180°－90°－30°。∠1、∠2和三角板中90°的角组成一个平角，则∠1＝180°－90°－∠2。∠3和三角板中30°的角组成一个平角，则∠3＝180°－30°。∠1和∠3组成一个平角。 【详解】∠2： 180°－90°－30° ＝90°－30° ＝60° ∠1： 180°－90°－60° ＝90°－60° ＝30° ∠3＝180°－30°＝150° 所以，用一副三角板摆成如图所示，那么∠1＝30°，∠2＝60°，∠3＝150°。其中∠1和∠3构成一个平角。 三、解答题 22．如图，已知∠1＋∠5＝138°，那么，∠1＝（ ），列式：________________。∠2＝（ ），列式：_________________。∠3＝（ ），列式：_________________。 【答案】 48°/48度 138°－∠5 42°/42度 90°－∠1 138°/138度 180°－∠2 【分析】利用平角为180°，以及直角为90°的性质，结合已知条件，求出各空答案。 【详解】根据分析： 因为∠1＋∠5＝138°，且∠5＝90°，所以∠1＝138°－90°＝48°，列式：138°－∠5； 因为∠1＋∠2＝90°，∠1＝48°，所以∠2＝90°－48°＝42°，列式：90°－∠1； 因为∠2＋∠3＝180°，∠2＝42°，所以∠3＝180°－42°＝138°，列式：180°－∠2。 23．如图，已知∠1＝55°，求∠2、∠3、∠4的度数。 【答案】∠2是35°，∠3是55°，∠4是125° 【分析】已知∠1＝55°，通过观察图可知∠1和∠2组成一个直角，直角为90°，所以∠2＝90°－∠1。因为∠1和∠4组成一个平角，平角为180°，所以∠4＝180°－∠1。因为∠3和∠4组成一个平角，平角为180°，所以∠3＝180°－∠4，据此解答即可。 【详解】直角为90°，平角为180° ∠2＝90°－∠1 ＝90°－55° ＝35° ∠4＝180°－∠1 ＝180°－55° ＝125° ∠3＝180°－∠4 ＝＝180°－125° ＝55° 答：∠2是35°，∠3是55°，∠4是125°。 24．如图是把一张长方形的纸折起来之后形成的图形。 （1）如果，求的度数。 （2）如果，求的度数。 【答案】（1）55° （2）44° 【分析】，如图所示，∠2＝∠3，∠1、∠2和∠3组成一个平角，则∠2＝（180°－∠1）÷2，∠1＝180°－∠2－∠2。 【详解】（1）（180°－70°）÷2 ＝110°÷2 ＝55° 答：∠2的度数是55°。 （2）180°－68°－68°＝44° 答：∠1的度数是44°。 25．把一张长方形纸折成如图所示的形状。已知∠1＋∠2＋∠3＝220°，求∠1，∠2，∠3的度数。 【答案】∠1＝40°   ∠2＝140°   ∠3＝40° 【分析】观察图片，根据折叠性质可知，平角＝180°，，，代入计算即可解答。 【详解】∠1＝        ＝        ＝ ∠2＝       ＝       ＝ ∠3＝      ＝      ＝ 答：∠1有40°；∠2有140°；∠3有40°。 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $