安徽省十教育2027届高三第一次教学质量测评数学试卷

省才教育2027届高三第一次教学质量测评 数 学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：高考范围。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.样本数据2,3,6,4,7的中位数是 A.3 B.4 C.5 D.6 2.已知集合A={x|2x十2<0}，B={xlx2<4},则(CA)∩B A.{x-1≤x<2} B.{xlx>-1} C.xx<2 D.{x|0x2} 3.已知向量a=(cos,-sim石），b-(-2,1),则a与b夹角的余弦值为 B、 /10 5 C.10 10 D.- 10 4.已知圆锥甲的底面半径为r,母线长为3r,圆台乙的上、下底面的半径分别为r和2，母线长 2,则圆锥甲与圆台乙的体积之比宁 A B得 c n装 5.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：g/L)与时间t(单 位：h)的关系为P=P。e:,其中P。,k是正常数.如果在前8h消除了25%的污染物，则污染 物减少50%需要花的时间约为 (参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477) A.18.1h B.18.3h C.19.1h D.19.3h 【高三第一次教学质量测评·数学第1页（共4页）】 6已知F,F是双曲线E:乙-一1的左、右焦点，点M在E上，MF,与E的一条渐近线垂 直，且cos∠MF,F,=青，则E的渐近线方程为 By士 C.y=士√2x D.y=±2√2x 7.在斜三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b(1+3cosC)=2 acos C+ccos A,则 下列等式成立的是 A.a=3b B.b=3a C.cos A=3cos B D.cos B=3cos A 8.甲袋中有2个红球，4个白球，乙袋中有3个红球，3个白球，这些球形状大小完全相同.先从 甲袋中摸一球记下颜色放回，再从乙袋中摸一球记下颜色放回，接着再从甲袋中摸一球记下 颜色放回，再从乙袋中摸一球记下颜色放回，这样依次摸球，连续摸出2个红球停止摸球，最 多摸球6次.记停止摸球时摸球次数为X,则X的数学期望E(X)= A号 B器 c.z n器 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知复数1=1一2i,复数2满足号=3十4i,则 A.=3-41i B.|x2|=√5 C.复数的虚部为1 D.复数2在复平面内的对应点在第一或第三象限 10.已知函数f(x)=|sinx|+cosx,则 A.函数f(x)的值域为[-1，√2] B.函数f(x)的单调递增区间为(2kπ，2kπ十π)，k∈Z C.曲线y=f(x)关于直线x=kπ对称，其中k∈Z D.函数y=f(x)一x有两个零点 11.已知圆C:(x一1)2十(y一1)2=1的圆心为C,圆C:(x+1)2+(y+2)2=1与圆C2:(x+2)2+ (y十1)2=1交于A,B两点，过A作圆C的两条切线，切点为M,N,过B作圆C的两条切 线，切点为P,Q,则 A.|AB引=√2 B.IMN+|PQ1=3V4+222 6 C.当|AC<IBC时，tan∠MAN= 3 D.存在一条直线截三个圆所得的弦长相等 【高三第一次教学质量测评·数学第2页（共4页）】 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)=1+lgx,则f(-1)f(-10)》 13.若函数f(x)=(.x2-ax-a十4)e1,且曲线y=f(.x)在点(1，f(1))处的切线方程为y= -2x+6:其中a,6∈R.则6-一x)在区间[一号，号]上的最大值与最小值之和 为 14.已知在抛物线C:y=2px(p>0)上存在两个不同的点M,N关于直线l:y=3x一2对称，则 MN的最大值是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 某种疾病患者通常选择药物A,B两种中的一种服用治疗.为了了解治疗效果，分别从服用 这两种药物的病人中各随机抽出100人，对用药一段时间后的治疗效果良好与一般的结果 统计如下表： 良好 一般 合计 服用A 85 服用B 20 合计 (1)完成上面的列联表，根据小概率值α=0.01的独立性检验，是否能认为治疗效果良好与 服用A,B药物有关联？ (2)在抽出的200名疾病患者中，随机选出1人，选到治疗效果良好的为事件M,选到服用药 物A的为事件N,求P(M),P(N),P(MN) n(ad-bc)? 附：x=a+bd+0a十c0b+d其中n=a+b+c+d. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 16.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA=AB=BC,AD=2BC,AB⊥BC,AB⊥AD,PA⊥AB, PA⊥CD,E是PA的中点. (1)求证：PA⊥平面ABCD: (2)求证：BE∥平面PCD: (3)求平面PCD与平面BCE的夹角的余弦值. 【高三第一次教学质量测评·数学第3页（共4页）】 17.(本小题满分15分)》 已知数列{an}的前n项和Sn=2+kn,且a1+1,a2+1,a4十1成等比数列，数列{b,}满足 b1=1,am=b-b+1 (1)求数列{b}的通项公式； (2)令G=(an十5)2+1+b,求数列{c,}的前n项和Tn n 18.(本小题满分17分)》 已知椭圆C,2x2+4y-1,直线1：y=k1x一尽与C交于M,N两点，斜率为3的直线2过 4 原点O,与C的交点为P,Q. (1)求C的离心率； （2)若k1k,=一 1 (ⅰ)求证：直线l2平分线段MN; (1)尼知四边形MPNQ的面积为冷，求直线，的方程 19.(本小题满分17分)》 已知函数x)=lnx+r2+ax+1a∈R)的导函数为∫(x). (1)若f(x)在(0，+∞)上单调递增，求a的取值范围； (2)若xo是f(x)在区间(1,2)上的一个零点，设m∈[1，x。)U(x。,2],函数g(x)= f(x)(m-x)-f(m),求证：g(m)g(x)<0: (3)设x1x(<)是函数(x)的两个极值点，且f1)≥ 6 (i)求a的取值范围： (iⅱ)求f(x1)-f(x2)的取值范围. 【高三第一次教学质量测评·数学第4页（共4页）】2027届高三第一次教学质量测评·数学 参考答案、提示及评分细则 1.B将样本数据由小到大排列为2,3,4,6,7，所以中位数为4.故选B. 2.A因为A={x<-1},CRA={xx≥-1}，B={x|-2<x<2},所以(CRA)∩B={x-1≤x<2}.故 选A. aD因为a=(受-m吾)=（合号）b=(-2,10,所以ab-1+号=-子a=号，4=6， 所以easa,6=:6 /10 10 故选D. 4C圆锥甲的商为2E,圆台2的商为后，-号×2区，2,2=吾+4r+2)X5, 3一‘吃=界放选C 73πrVm_26 D由条件知e1-25%,e01-50%,所以12g8g319.3放选D 6.BE的渐近线方程为y=士名，不妨设M,与直线y=合x垂直，垂足为N,由c0s∠M,F=号得 am∠NOF,-名，所以新近线方程为)=士故选B 40 7.A在△ABC中，b(1+2cosC)=2 acos C+ccos A,由正弦定理得sinB+3 sin Bcos C=2 sin Acos C+ sin Ccos A,又sin(A+C)=sinB,sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C),所以3 sin Bcos Ca=sin Acos C,在斜 △ABC中，cosC≠0，所以sinA=3sinB,a=3b.故选A. 8D由条件知X的可能取值为23,45,6，PX=2)=号×号=石，P(X=3)=号×子×号=寸，PX=4) =号×2×号×日+3×2×3×7-b,Px=5)=号××号×号×号+}×7×号×2× +号××号×2×号-是，PX=6)=1-PX=2)-PX=3)-PX=0-PX=5)=8EX) 2PX=2)+3PX=3+4P(X=4)+5P(X=5)+6P(X=6)=.故选D 9.BCD号=(1-2D2=1-4i+4=-3-4i,A不正确：因为212=3十4i=5,所以2=5，B正确：立= 5i1+21=一2十i,虚部为1，C正确：设=a十i,a,b是实数，则号=a2+2abi-?,又号=3+4i,所以a2 b2=3,2ab=4,所以a=2,b=1或a=一2，b=一1，所以2=2十i,或2=一2一i,所以复数2在复平面内的 对应点在第一或第三象限，D正确.故选BCD, 2sin(a+年)，sinx≥0， 10.AC因为f(x)=|sinx+cosx= 所以f(x)是偶函数，且是最小正周期为2π 2cos(x+牙)，sin<0, 的周期函数，画出其在区间[0,2π]上的图象，可知函数f(x)的值域为[一1，w√2]，其图象的对称轴方程为x 【高三第一次教学质量测评·数学参考答案第1页（共6页）】 =x(k∈Z),且在(0，无)上单调递增，在（无，x)上单调递减，所以AC正确，B错误；由函数y=f(x)与 y=x的图象知，函数y=f(x)一x只有一个零点，所以D错误.故选AC 11.ACD圆C与圆C2的交点为(-1，-1)，（一2，一2），所以AB|=√2，A正确；不妨设A(一1，一1)， B(一2，一2)，则以AC为直径的圆与圆C的交点为M,N,则直线MN的方程为2.x+2y-3=0,C到直线 N的随离d=2器-琴，N=2-牙，同样可求得0=每所以N+1Q 3 =3压2屈，B错误：n∠MAC=0-2克 6 2方，tn∠MAC=方：m∠MAN=m2∠MAC 产一品冬〔正确：若存在-条直线旅三个国所行的弦长相等，则此直线斜半行在，方老可设为 y6x十6，且三个圆的圆心到此直线的距离相等，即皆-一牛牛-二6生，取=号， √/+I V2+1 /k2+I b=子满足题意，所以D正确.故选ACD, 12.2因为f(1)=1,f(10)=2,f(x)是奇函数，所以f(-1)=-f(1)=-1,f(-10)=-f(10)=-2,所以 f(-1)f(-10)=2. 13.1(2分)5e-e(3分)f(x)=(x2-ax-a+4+2.x-a)eJ,f(1)=5-2a,f'(1)=7-3a,由条件知 7-3a=-2,a=3,f(1)=-1,切线方程为y十1=-2(x-1),即y=-2x+1,故b=1.且(x)= (x+1)(x-2)e1,f(-1)=f(2)=0,x>2或x<-1时，f(x)>0；-1<x<2时，f(a)<0,所以f(x) 在(-号，-1)与(2，号)上单调递增，在(-1,2)上单调递减，-1D=5e3,f(-号)=9e,f(号) =-e,2)=-e,所以2)<f(号)<0，(-1D>f(-号)>0.所以)在区间[-号，号]上的最 大值为f(-1),最小值为f(2),f(-1)+f(2)=5e2-e. 14.410 33 设M,),N(2,2),线段MN的中点T(为).因为点M和N关于直线L对称，所以直线l 垂直平分线段MN,则可设直线MN的方程为y=一3x十6 (y2=2px, 消去x得y2+6py一6b=0. 32+ 因为M和N是C上的相异两点，所以y≠2，△=(6p)2一4×（一6b)>0,化简得3p+2b>0. 为=少业=-3p. 2 因为T)在直线1上，所以。=号一力 由-30一司（号一-p)+6得6=号-只0： 所以3p+2(号号p)>0,所以装，又p>0,所以p的取值范围是(0，着).MN=而一 【高三第一次教学质量测评·数学参考答案第2页（共6页）】 m+)-为=2√传b-1,因为fp)=专p-11=-1(p最)》°+装，所以 p)在(o,号)上单调递增，在（后，嘉）上单调递减，所以f(p==f(爱)=慧，所以MN1 =410 33 15.解：(1) 良好 一般 合计 服用A 85 15 100 3 分 服用B 80 20 100 合计 165 35 200 零假设为H:治疗效果良好与服用A,B药物无关联， 根据上表可知，X= 200C85X20-80X15)2-20≈0.866<6.635 100×100×165×35 所以根据小概率值α=0.01的独立性检验，不能认为治疗效果良好与服用A,B药物有关联.…7分 (2)因为在200人中治疗效果良好的人数为165，所以P(M0 16533 20040 9分 在200人中服用药物A的人数为100，所以P(N)=00= 2002 11分 因为在20人中有10人服用药物A,且治疗效果食好的有85人，所以P(M)部品 (或PMNW=0,P(MIN)-PO-为. P(V)20 …13分 16.(1)证明：因为平面ABCD中，AB⊥BC,AB⊥AD,所以BC∥AD, ……1分 又AD=2BC,所以四边形ABCD是以BC与AD为底边的梯形，所以AB 与CD相交，…2分 因为PA⊥AB,PA⊥CD,AB,CDC平面ABCD,所以PA⊥平面ABCD. …3分 (2)证明：取PD的中点F,连接CF,EF. 因为E是PA的中点，所以EF∥AD且EF=号AD, 4分 因为BC∥AD且AD=2BC,所以EF∥BC且EF=BC. 5分 所以四边形BCFE是平行四边形，所以CF∥BE.……6分 又因为BEt平面PCD,CFC平面PCD,所以BE∥平面PCD.…7分 (3)解：由PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,知PA,AB,AD两两垂直，所以以A为原点，AB,AD,AP所在直线 分别为x,y,之轴，建立如图所示空间直角坐标系.设AB=1,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0), P00,1D,E0,0,2), 所以B2=(-1,0,),BC=(0,1,0),CD=(-1,1,0),PD=(0,2,-1).…9分 【高三第一次教学质量测评·数学参考答案第3页（共6页）】 设平面PCD的一个法向量n=(x,y,),则n·CD=n·PD=0, 即-x+y=2y-2=0,取x=1,得n=(1,1,2), 11分 设平面BCE的一个法向量m=(a,b,c),则m.BC-m·B配=0， a十7c=0,取c=2,得m=(1,0,2),… 13分 设平面PCD与平面BCE的夹角为0，则os0m m·n/30 6 15分 17.解：(1)由题意知，当n≥2时，am=Sm-Sw1=4n十k-2, 当n=1时，a1=S=2+k,满足上式， 所以aw=4n十k-2,……2分 因为a+1,a2十1，a4+1成等比数列，所以(8+k-2+1)2=(4十k-2+1)(16+k一2+1)，所以k=1, 所以Qn=4n-1.……4分 因为数列{bn}满足b1=1,an=bn一bn+1,所以bn+1=bn一an,b2=b1一a=1一3=一2，…5分 当n>1时，bn=bn-1一aw-1,所以b2+b+…+bn-1十bn=(b1一a1)+(b2-a2)+…+(b-1一am-1), 所以n>1时，bn=b1-(a+a2+…十aw-1)=1-Sm-1=1-2(n-1)2-(n-1)=-2n+31,…7分 b1=1适合上式，所以{bn}的通项公式为bn=一2n2十31.…8分 (2)由(1)知Cn=4(n十1)X2m-21十3，…9分 令Am=2×2+3×23++(n+1)×2+,B,=(-2+3)+(-2×2+3)+…+(-2n+3), 则2An=2×23+3×24+…+(n+1)×2+2, 所以-A,=A,-2A=2X2+2+2+…十2+1-(m十1)X22=4+41-2）-m+1DX22=-nX2+2, 1-2 ………12分 所以An=X2叶2，…13分 又Bn=121十3）=-+2，…… 2 14分 所以Tn=4An十Bn=4n·2m+2一n2+2n. 15分 18.(1)解：设C的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,由C:2x2+4y=1知a2=2,=, 因为d2=B+2,所以a= 2,c- 2 2分 所以C的离心率e=S=夏 2 3分 a (2)(i)证明：设Mx,y),N(2,2),MN的中点为T(x0), 由y=k1x 与22+4y=1联立，整理得2+4r2-2kx =0,…4分 4 2√5k1 则此方程两根为，2，且西十一2十4： 所以xo √3k 2十4kh=后 3 ，…6分 【高三第一次教学质量测评·数学参考答案第4页（共6页）】 所以直线0T的斜率k=业=，-2士4 1 4k 2k1 因为=一豆，所以，=一2右=6， 又直线2过原点O,所以2与直线OT是同一条直线，所以直线2平分线段MN.…8分 (1)解：(1)知西+=编西= 25k1 1 4(2+4) 所以(0-x2)2=(十x2)2-42= 1+8k号 2(1+2k)2, 所以MN=V+1西-=中)0+8D 10分 √2(1+2) 6的方程为y=,由=一号得6的方程为y=一太” 1 由y= 2六x与2x2十4=1联立， 解得P,Q两点坐标为 √1+2’ 2√1+2 √1+2'2√1+2图 …12分 设点P,Q到直线（的距离为d,d2,记 1 =,则P,Q的坐标为(m,n),(一m,一n), √/1+2图 2√1+2 kimn- 4 d+d2 2km-2m_√1+2好 …14分 √1+k图 √/1+ √1+k 1+ 所以四边形MPNQ的面积S=号MN(d+d) 1+8k 5/14 28 ……15分 2/2(1+2k) 解得，=士5又=一令所以= 61 直线2的方程为x十2√5y=0或x-23y=0.…17分 19.(1)解：f(x)=+x十a=2+a+1 …1分 因为f(x)在(0，十o∞)上单调递增，所以∫(x)≥0在(0，十o∞)上恒成立，所以2+a.x十1≥0，-a≤x十 …2分 因为>0，所以x十≥2，当且仅当x=1时，取等号，所以一a≤2,0>-2，即a的取值范围是[-2，十∞). …3分 (2)证明：由g(x)=f(x)(m-x)-fm), g(m)=f(m)(m-zo)-f(m),g()=f(o)(m-)-f(m)................ 4分 令函数H(x)=f(x)(x-xn)一f(x), 记(x)=p(1<<2),则p()=1-子->0，所以f)在[1,2]止单调递增， 则H(x)=p'(x)(x一x). 故当x∈[1，x)时，H(x)<0,H(x)单调递减： 【高三第一次教学质量测评·数学参考答案第5页（共6页）】 当x∈(x,2]时，H(x)>0,H(x)单调递增. 5分 因此，当x∈[1，xn)U(x,2]时， H1(x)>H,(x)=-f(x)=0, 可得H1(m)>0,即g(m)>0. 6分 令函数H2(x)=f(xn)(xx)一f(x), 则H(x)=f(x)-f(x). 因为f(x)在[1,2]上单调递增， 故当x∈[1，x)时，H2(x)>0,H2(x)单调递增： 当x∈(x,2]时，H(x)<0,H2(x)单调递减. 因此，当x∈[1，x)U(x,2]时，H2(x)<H2(xn)=0, 可得H2(m)<0,即g(x)<0,所以g(m)g()<0.… …8分 (3)解：(1)因为f1)=+a+1≥-吕，所以a≥-9， 因为x1,2(x<x2)是函数f(x)的两个极值点，所以，2(<x)是∫(x)=0的两个根，即x,x2(< x2)是方程x2+a.x+1=0的两个正数根， 所以△=d-4>0,函十。=-a>0,所以a<-2,所以a的取值范围是[-号，-2). …11分 (i)x1+x2=-a>0,x12=1,x号+a.x1+1=x2+a.x2+1=0. Kz )-Kx)=Iz)+a(-:) =h西-h西十（防-通）+透-方=h名-lha-(-, 令4=t,则0t长1， 又-》-+2+2=++2， x12x2 由-9≤a<-2得4a2<g,所以4<++2<19， 结合0<1<1解得g≤1<1， 13分 血西-hg=lh分=h,-好==一， 所以m)-f)=n-(-）, 15分 令0)=h-号(：)则0=}(1+）=-2<0. 所以()在[日，1)上单调递减， 因为1)=0，h(日)=h日-2（日-9）-9-2h3, 所以)-)的取值范围是(o,9-2h3] 17分 【高三第一次教学质量测评·数学参考答案第6页（共6页）】