第1-3章提优训练2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 苏科版九上数学第1-3章提优训练，聚焦反比例函数、一元二次方程、圆，通过新能源汽车销售、电子秤工作原理等真实情境，融合新定义问题与几何动态探究，考查抽象能力、推理意识和应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/24|一元二次方程定义、反比例函数性质、圆切线性质|基础概念辨析，结合图形直观| |填空|8/24|圆上点距离、方程根与系数关系、反比例函数图像|空间观念与符号意识结合| |解答题|10/52|方程求解、函数几何综合、实际应用（新能源销售/电子秤）、新定义问题|分层设计，从运算能力到创新意识，体现数学建模与推理|

《苏科版九上数学第1-3章提优训练》参考答案 1．C 【分析】一元二次方程需满足两个条件，x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴． 2．C 【分析】根据反比例函数的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小，故A正确，不符合题意； 当时，图象在第一象限，随的增大而减小，故B正确，不符合题意； 当时，， ∵当时，图象在第三象限，随的增大而减小， ∴当时，， 又∵当时，， ∴当时，的取值范围是或，故C错误，符合题意； 若点在函数图象上，则，即， ∴，即点也在函数图象上，故D正确，不符合题意． 3．B 【分析】由作法得：点O为的三边垂直平分线的交点，则为的外接圆，连接，由圆周角定理可得，可得为等边三角形，即可求解． 【详解】解：由作法得：点O为的三边垂直平分线的交点，则为的外接圆， 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 即的半径是5． 4．C 【分析】先利用方程根的定义降次替换二次项，化简代数式后结合韦达定理得到两根之和，整体代入算出结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 5．B 【分析】联立方程组可求得点C坐标，可判断A；由一次函数图象与反比例函数图象相对点C坐标的位置关系可判断B；根据一次函数图象的平移，结合反比例函数图象的位置可判断C；先求得点A、B的坐标，再利用坐标与图形性质求得的面积可判断D，进而可得答案． 【详解】解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点C， ∴联立方程组，解得或（舍去）， ∴点C的坐标为，故A正确； 由图象知，当时，一次函数图象位于反比例函数图象的上方， ∴当时，一次函数的值大于反比例函数的值，故B错误； ∵将直线向上平移k个单位后，直线始终经过第一象限，又反比例函数的图象位于第一象限， ∴将直线向上平移k个单位后与反比例函数的图象一定有交点， 故C正确； ∵点A在反比例函数的图象上，且点A的横坐标为1． ∴当时，，则点A坐标为， 又∵过点A作x轴垂线，垂足为点D，交的图象于点B， ∴点B坐标为， ，如图， 则，故D正确． 6．B 【分析】根据切线长定理得到，，再根据的周长为12得到，即可求出的长． 【详解】解；∵分别和切于两点， ∴， ∵过C作的切线分别交于． ∴， ∴， ∴的周长为12， ∴， ∴ 7．B 【分析】利用反比例函数的几何意义表示三角形面积，结合图形面积的和差关系进行判断． 【详解】解：∵点在反比例函数上，轴， ∴， ∵点、在反比例函数上，轴，轴， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， A、，题目条件无法得出，故本选项不符合题意； B、，本选项符合题意； C、，由题意得，故本选项不符合题意； D、，因为，则，故本选项不符合题意． 8．A 【分析】此题考查的是圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内心和外心定义，掌握圆周角定理和内心定义解决此题的关键． 连接，根据三角形的内心是三角形的内角平分线的交点求得，利用圆周角定理求得，然后利用等边对等角和三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：连接， ∵I是的内心，， ∴， ∵点O是的外心， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 9． 【分析】根据点到圆心的距离与半径的大小关系，判断点在内，点在圆内时，点到圆上各点的最大距离为半径与点到圆心距离的和． 【详解】解：的半径为，， ，即点在内， 点到上各点的最大距离为． 10． 【分析】根据一元二次方程的定义和方程无实数根的条件，求出k的取值范围，再在范围内取一个符合要求的值即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴． ∵原方程没有实数根， ∴根的判别式． 即， ∴， 解得， 故满足条件的可以为． 11．17 【分析】先得出，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两根， ∴， 则原式 ． 12．或 【分析】先求出点的坐标，再找出一次函数图象在反比例函数图象的下方部分即可． 【详解】解：将代入反比例函数的解析式得， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数解析式得， ∴， ∴， ∵直线与双曲线交于点和点， ∴由函数图象可得，不等式的解集是或． 13．/50度 【分析】连接，由圆周角定理可得的度数，由切线的性质得到，再由直角三角形两锐角互余可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵与相切于点B， ∴， ∴ ． 14． 【分析】过点、分别作轴的垂线，利用等腰直角三角形斜边上的高等于斜边一半的性质，设出点、的坐标，代入反比例函数解析式求出相关线段长度，进而求得点的坐标． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， ∵是等腰直角三角形，斜边在轴上， ∴， 设的坐标为，代入得， ， ∴， ∴，即点的坐标为， ∵是等腰直角三角形，斜边在轴上， ∴， 设，则点的横坐标为，纵坐标为，即， 将点坐标代入得， 整理得， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标是． 15． 【分析】设反比例函数的解析式为，代入得出反比例函数的解析式为： ，当时得出，得出，得出，由对称的性质，得，进而求得的长． 【详解】根据题意可知， ． 设反比例函数的解析式为 将点 代入，得 ． 反比例函数的解析式为： ∵ ， ∴当时， ． 解得．经检验，是分式方程的解． ∴ ． ∴． 由对称的性质，得． ∴ 16． 【分析】取的中点，连接，取的中点，连接，，利用三角形中位线定理求出的长，确定点的轨迹，再求出点到的距离，从而得到点到距离的取值范围，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：取的中点，连接，取的中点，连接，， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点在半径为4的上， ∴， ∴，即点在以为圆心，2为半径的圆上运动， 设点到的距离为， ∵点在以为圆心，2为半径的圆上，且圆心到的距离为4 ， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 17．(1) (2) 【分析】（1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， 直接开平方，得． 即或， 解得． （2）解：， 移项，得． 因式分解，得， 即， 解得． 18．(1)， (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）先求得直线与y轴的交点坐标，再利用坐标与图形的性质，结合三角形的面积公式求解即可； （3）找出函数的图象位于直线下方部分的点的横坐标的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：由题意，将代入中，得， ∴； 将代入中，得， ∴， 将，代入中，得， 解得， ∴； （2）解：如图，设直线与y轴的交点为D， 当时，，则， ∴， ∴； （3）解：由图象可知，当或时，． 19．(1)解：按照步骤完成作图如下； (2)证明：连接，如图， 由作图可知：为的直径， ∴． ∴ ∵为的半径， ∴直线为的切线； (3) 【分析】（1）根据题意步骤做出图形即可． （2）根据作图步骤证明即可证明直线为的切线． （3）根据直径对应圆周角是直角得到直角三角形利用勾股定理求出，设，利用垂直平分线定理，表示出，再次利用勾股定理求出即可求出长度． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接，，如图， ∵， 在中根据勾股定理得． 由图知为的垂直平分线， ∴ 设，则． 在中根据勾股定理，， ∴，解得， 故的长为． 20．(1) (2)万元 【分析】（1）由平均增长率问题的解法，列一元二次方程求解即可； （2）设下调后每辆汽车的售价为万元，由等量关系列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 根据题意，得， 解得，（负值不符合题意，舍去）， 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为； （2）解：设下调后每辆汽车的售价为万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆， 根据题意，得， 解得，， 此次销售尽量让利于顾客， ， 答：下调后每辆汽车的售价为21万元． 21．(1)解：选择①，， 连接，如解①图； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是圆的半径， ∴是的切线， 选择②， 如解②图，连接并延长交圆于点，连接， ∵， ∴， ∵ ∴ ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， 即， ∵是圆的半径， ∴是的切线； (2) 【分析】（1）选择①连接，由可得，由可得，进而可证明是的切线，选择②连接并延长交圆于点，证明，从而证明，即可得出结论，③平分，无法得出结论； （2）连接，，证明，求得，进而求出． 【详解】（1）略； （2）解：连接，． ∵， ∴， ，，， ， ， ． 22．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据倒方程定义，交换二次项系数与常数项，直接写出倒方程； （2）先写出原方程的倒方程，再将解代入倒方程，解方程求出参数； （3）先写出倒方程，利用方程根的意义得到，整体代入降次，求出代数式的值． 【详解】（1）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是； （2）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的解， ∴把代入方程， 得， 解得； （3）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的一个实数根， ∴把代入方程， 得， ∴． 【点睛】本题为新定义题型，读懂“倒方程”：交换二次项系数和常数项，一次项系数不变，再结合方程根的意义、整体代入法求解． 23．(1) (2)两种思路求出来的r的表达式在数值上是相等的． 理由：要证明， 只需证， 即证， 故只需证， 故即证， 又∵为直角三角形，由勾股定理显然有， ∴原等式成立，即． 【分析】（1）按照题目要求求解即可． （2）利用勾股定理证明两式相等即可． 【详解】（1） 如图，连接，，， ∵为的内切圆，且点D、E、F分别为切点， ∴，，， ， 即， ∴， 解得． （2）略． 24．(1) (2) (3) 【分析】（1）设关于的一次函数解析式为，代入图3给出的两组坐标点，求解待定系数得到函数关系式． （2）设关于的反比例函数解析式为，先利用已知条件时的值，结合第一步得到的与的关系求出对应的，再计算总电阻，代入反比例式求解，得到与的函数关系式． （3）因为电流越大总电阻越小，越小则物体质量越大，所以取电流最大值，代入与的关系式求出最小总电阻，再减去得到对应的，最后代入与的关系式求出最大质量． 【详解】（1）解：设关于的一次函数为． 由图3可知，该函数过点和： 把代入， 得； 把和代入， 得， 解得． ∴函数关系式为：． （2）解：已知与成反比例，设（为定值，对应电源电压）． 当物体质量时，代入（1）的结论， 得， 总电阻， 此时． 将、代入反比例式， 得． ∴函数关系式为：． （3）解：由可知，随的增大而减小：电流越大，总电阻越小，由知，对应的物体质量越大， ∴最大质量对应电流最大值． 把代入， 得， 解得总电阻； 由， 得； 把代入， 得， 解得， ∴电子秤可称量的最大质量为． 25．(1) (2)平方米 (3)解：有危险，理由如下： 如图，连接并延长一定长度过点E， 米，， （米）， 、之间的距离为3米， （米），延长线与弧的交点到的距离为（米）， 四边形是正方形， ，， ， ， 小明有危险． 【分析】（1）运用扇形面积的公式计算即可； （2）根据题意补全图形，则四边形，均是正方形，进而得到，代入计算即可； （3）如图所示，连接并延长一定长度过点E，由勾股定理得到（米），则（米），再根据勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：后内轮转弯半径米，， 弧围成的扇形面积为（平方米）； （2）解：当时，后内轮转弯半径米，前内轮转弯半径米，， 如图，补全内轮所在半圆的正方形，则四边形，均是正方形， 弧围成扇形面积为（平方米），正方形的面积为（平方米），正方形的面积为（平方米）， （平方米）； （3）略 26．(1)证明：∵是直径, ∴. ∵， ∴(相等的圆周角所对的弦相等)， 在和中，, ∴； (2) (3)①   ② 【详解】（1）略 （2）解：如图，过D作于H， ∵半圆O中，直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴； （3）解：①如图2，连接，，，过M作于E． ∵直径，弦， ∴， ∴是等边三角形， ∵M是的中点， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴当最大时，最小， 而当C与A重合（或D与B重合）时，最大，如图3． ∵是等边三角形，M是的中点， ∴， ∴，即点M到的距离的最小值是； ②如图4． 由①知，， ∴M的轨迹是以O为圆心，为半径的弧， 当C与A重合时，， 同理，当D与B重合时，， ∴, ∴点M的运动路径长为 ． 27．(1)或 (2) (3)或． 【分析】（1）利用对称性求出点的对称点的坐标为，根据题意，点到点的距离为，即，解方程即可； （2）先求出射线的解析式，再求出线段关于直线的对称线段的解析式，从而求出交点坐标，根据题意可得，代入求出的取值范围； （3）先求出点，则线段的解析式为，再求出点关于直线的对称点的坐标为，容易判断关于直线对称，因此线段与有公共点时，即可满足图形与线段互为关联．设点是线段与的公共点，利用半径为可得，则该方程在内有实数根．由可得，由根与系数的关系可得，，．分为两根都在内，较大根在内和较小根在内三种情况讨论，分别写出、需满足的条件，列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点关于直线的对称点的坐标为， 根据题意，点在上，且的半径为， ∴，即， 解得或； （2）解：设射线的解析式为， 将点代入，得， ∴射线的解析式为， 线段关于直线的对称线段为， 将代入，得， ∵，且， ∴， ∴，解得； （3）解：将代入，得， ∴线段的解析式为， 点关于直线的对称点的坐标为， ∵点在直线上， ∴关于直线对称， 根据题意可得，线段与有公共点时，即可满足图形与线段互为关联， 设点是线段与的公共点， ∵， ∴由勾股定理可得，， 整理，得， ∴该方程在内有实数根， ， 整理得， 解得， 设方程的两根为， ， 由根与系数的关系可得，，， ①当时， ∴， 解得， ∵， ∴； ②当时， ∴， 该不等式组无解； ③当时， ∴， 解得或， 当时，，不符合题设，故舍去， ∴； 综上所述，的取值范围为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏科版九上数学第1-3章提优训练 测试内容：反比例函数、一元二次方程、圆；时间：120分钟 一、单选题 1．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D．或 2．关于反比例函数，下列说法错误的是（     ） A．函数图象在第一、三象限 B．当时，y的值随x的增大而减小 C．当时， D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 3．如图，在中，．观察图中尺规作图的痕迹，则的半径是（   ） A． B．5 C．6 D．10 4．若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 5．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交的图象于点B，点A的横坐标为1．则下列说法错误的是（     ） A．点C的坐标为 B．当时，一次函数的值小于反比例函数的值 C．将直线向上平移k个单位长度后与反比例函数的图象一定有交点 D．连接，，则的面积为12 6．如图所示，P是外一点，分别和切于两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于．若的周长为12，则的长为（     ） A．12 B．6 C．8 D．4 7．如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B、C为反比例函数上不同的三点，连接、、，过点A作y轴于点D，过点B、C分别作，垂直x轴于点E、F，与相交于点M，记、、四边形的面积分别为、、，则（     ） A． B． C． D． 8．如图，点O，I分别是的外心、内心，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知的半径为，是内一点，，则点到上各点的最大距离是_________． 10．已知关于x的一元二次方程没有实数根，请你写出一个满足条件的k的值：_________． 11．已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是 _____． 12．如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是________． 13．如图，是的弦，与相切于点B，圆心O在线段上，已知，则的度数是________． 14．如图，，是等腰直角三角形，点在函数的图象上，斜边、都在横轴上，则点的坐标是______． 15．火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1)，它的纵截面是如图2所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，其中曲线和曲线分别是两个反比例函数图象的一部分，若冷却塔的高度为，，上口宽 ，则底部直径的长为____． 16．如图，在中，，，，点D是半径为4的上一动点，点M是的中点，则的取值范围是________． 三、解答题 17．解方程： (1)； (2)． 18．反比例函数的图象与直线相交于点，， (1)求反比例函数与直线的解析式； (2)连接，，求的面积S． (3)直接写出当x取何值时，． 19．在学习完《切线的性质与判定》后，数学老师布置一题：“已知：如图所示，及外一点．求作：直线，使与相切于点．”李蕾同学经过探索，给出了如下的一种作图方法：连接，分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于、两点（、分别位于直线的上下两侧）；②作直线，交于点；③以点为圆心，为半径作，交于点（点位于直线的上侧）；④连接，交于点，则直线即为所求． (1)请按照步骤完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)结合图形，说明是切线的理由； (3)若半径为2，，依据作图痕迹求的长． 20．随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆．某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆，售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元． (1)求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)为推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 21．如图，是的外接圆，连接，过点C作一条射线． (1)请从以下条件中：①，；②；③平分．选择一组能证明是的切线的条件，并写出证明过程； (2)若，，，求的度数． 22．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 23．如图，在中，，为的内切圆，切点分别为D、E、F，的半径为r．试用含a、b、c的代数式表示r． 小亮的思路：连接、．因为为的内切圆，切点分别为D、E、F，所以，且，易证四边形ODCE为正方形，所以．因为 ，所以，即． 小丽的思路是分别连接、和，把分割成3个小三角形：、和，利用这3个小三角形的面积之和等于的面积求出r． (1)尝试按照小丽的思路求出r； (2)小亮感到很奇怪：“我发现按照小丽的思路求出的结果与我求出的结果‘不一样’，但是它们都等于的半径呀！这是怎么回事呢？”请你给出解释． 24．图为某电子秤的实物图，图为其工作电路图，其工作原理为：电源两端电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知：①可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）满足图所示的一次函数关系；②定值电阻，总电阻；③电路中的电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例；④当在电子秤上放置质量为的物体时，电流表显示电流为． (1)求可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间满足的函数关系式； (2)求电流（单位：）与总电阻（单位：）之间满足的函数关系式； (3)已知该电子秤正常工作的电流范围为（单位：），求该电子秤可称量物品的最大质量． 25．汽车盲区是造成交通事故的罪魁祸首之一，它是指驾驶员位于正常驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．如图1，有一种汽车盲区叫做内轮差盲区，内轮差是车辆在转弯时前内轮转弯半径与后内轮转弯半径之差，由于内轮差的存在，汽车在转弯时都会产生这种盲区．为了安全，许多路口都设置右转“危险区”标线．图2是货车在路口右转“危险区”的示意图，后内轮转弯半径米，前内轮转弯半径米，． (1)图2中、，弧围成的扇形面积为_______平方米；（结果保留） (2)用a的代数式表示“危险区”的面积，并求出当时，“危险区”的面积（结果保留）； (3)小明站在线段的延长线上，且与的距离为米的地方，若、之间的距离为3米，请判断小明是否有危险，并说明理由．（取） 26．已知，在半圆O中，直径，点C，D在半圆上运动，弦． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，若时，求图中阴影部分（弦、直径、弧围成的图形）的面积； (3)如图3，取的中点M，点C从点A开始运动到点D与点B重合时结束，在整个运动过程中：①点M到的距离的最小值是________； ②直接写出点M的运动路径长________． 27．在平面直角坐标系中，对于两个图形，和直线，若在图形上存在点，在图形上存在点，使得点和点关于直线对称，就称图形和互为关联． (1)若的半径为1，点与为关联，则的值为 ； (2)已知点，射线与线段为关联，求的取值范围； (3)已知⊙的半径为2，直线与轴，轴分别交于点，，若关于对称的图形与线段互为关联，直接写出的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $