2026-2027学年苏科版九年级上学期数学第一次阶段性检测（无锡专用）（范围：第1,2章）

**基本信息** 聚焦反比例函数与一元二次方程，通过生活情境（如水果购进、商场盈利）和创新问题（如同构二次方程、镜像值）实现基础巩固与能力提升，适配九年级上册阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|反比例函数图像点、一元二次方程定义|第2题以水果购进情境考查函数关系，体现模型意识| |填空题|8/24|根与系数关系、传染问题、同构二次方程|第18题引入“同构二次方程”创新概念，培养抽象能力| |解答题|9/96|方程应用、函数综合、新解法探究|第25题商场盈利问题考查方程实际应用，第26题新解法探究发展推理意识，第28题“镜像值”问题提升创新思维|

2026-2027学年九上第一次阶段性检测（无锡专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：苏科版2024九年级上册第1,2章 一、选择题（30分） 1．点在反比例函数的图象上，则下列各点中，在此函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用已知点坐标求出反比例函数的比例系数，再根据反比例函数图象上点的坐标特征（横纵坐标乘积等于），逐一验证选项即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数图象上的点满足， A选项，，满足条件，该点在此函数图象上； B选项，，不满足条件； C选项，，不满足条件； D选项，，不满足条件． 2．某水果超市准备用300元购进一批橙子进行销售，则购进橙子的数量y（斤）与橙子单价x（元/斤）之间的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，变形得． 3．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，未知数最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，逐个判断选项即可． 【详解】解：A、方程是一元二次方程，符合题意； B、方程含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、方程分母含有未知数，不属于整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、方程未知数最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意． 4．关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程中，，， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 5．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】当，即时，原方程为一元一次方程，满足题意；当，即时，原方程是一元二次方程，利用判别式求出此时m的取值范围即可得到答案． 【详解】解：当，即时，此时原方程为，解得，有实数根，符合题意； 当，即时，原方程是一元二次方程， ∵原方程有实数根， ∴， ∴， 解得，即此时满足条件的范围是且， 综上所述，的取值范围是． 6．已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况，进行讨论，判断即可. 【详解】解：当时，则，则双曲线过一、三象限， ∵，，则直线过一、二、四象限； 当时，则，则双曲线过二、四象限， ∵，，则直线过一、二、三象限； 观察可知，只有选项C的图象符合题意. 7．已知点和都在反比例函数的图像上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，直接代入计算即可．将点A和点B的横坐标代入反比例函数解析式，分别求出，的值，再比较大小． 【详解】解：∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴． ∴． 故选：A． 8．若关于的一元二次方程的解也是（）的解，则与满足的数量关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求解两个一元二次方程，利用两个方程解相同的条件，计算与的和，得到二者的数量关系． 【详解】解：对于方程， ， 对于方程， 变形得 ， 直接开方得 ， 整理得 ， 两个方程的解相同， ， 即． 9．在“文博会”期间，某公司展销如图所示的矩形工艺品，该工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．若丝绸花边所占的面积为，设丝绸花边的宽为，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． 设丝绸花边的宽为，根据“丝绸花边所占的面积为”列出方程即可． 【详解】解：设丝绸花边的宽为， 根据题意，可列方程为． 故选：C． 10．如图，已知A、B是函数图象上的两点，点B位于点A的左侧，，均垂直于x轴，垂足为点M、N，连接，交于点．若，四边形的面积为3，则k的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先设点坐标为，用、表示出的面积，再根据四边形的面积列方程求得的值便可． 【详解】解：设点坐标为，则，，， ， ， ， 轴于， ， 四边形的面积为3， ， 解得． 二、填空题（24分） 11．已知点，都在反比例函数的图象上，比较与的大小：__________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的比例系数判断函数图象经过的象限，以及在每个象限内的函数增减性，结合两点的横坐标比较纵坐标的大小即可． 【详解】解：∵在反比例函数 中，， ∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∵点，的横坐标都为正， ∴这两点都在第一象限， 又∵ ， ∴． 12．如果反比例函数的图象经过点与，那么_____（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】根据题意可得点A，B在第一象限，根据反比例函数增减性即可进行判断． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在第一，三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵，， ∴点A，B在第一象限，且， ∴． 13．已知方程的两个根是和，则________． 【答案】 【详解】解：∵方程的两个根是和， ∴根据一元二次方程根与系数的关系得到． 14．若方程无实数根，则m应满足的条件是______． 【答案】 【分析】一元二次方程无实数根时判别式小于零，列出关于的不等式，求解不等式即可得到满足的条件． 【详解】解：∵方程无实数根， ∴， ∴． 15．一种传染性疾病每一人可传染给若干人，若一人患病经两轮传染后共有49人染上此病，则这种传染性疾病每人每轮平均可传染_______人． 【答案】 6 【分析】本题主要考查列一元二次方程以及求解，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．首先设每人每轮平均传染x人，根据两轮传染后总人数为49，即可列方程求解． 【详解】解：设每人每轮平均传染x人， 开始时1人患病，第一轮后患病人数为，第二轮后患病人数为， 根据题意，得， 整理得， 解得或． 由于传染人数不能为负数， 所以． 故答案为：6． 16．如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，轴，点C是x轴上一点，若的面积为3，则k的值为_________． 【答案】 【分析】连接，，由轴可得，再根据反比例函数的几何意义可知，，即可列方程求解． 【详解】解：连接，， 轴， ， 点A在函数的图象上，点B在函数的图象上， ，， ， 解得． 17．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_____________． 【答案】2024 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数，已知式子的值求代数式的值．根据根与系数的关系，求出和的值，再代入代数式，进行化简计算，即可作答． 【详解】∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴ ，， ∴ ． 故答案为：2024． 18． 把关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则___________． 【答案】 【分析】根据“同构二次方程”的定义，两个方程除完全平方式前的系数不同外其他对应部分相同，由第一个方程可得，因此第二个方程可整理为，通过比较两个方程展开式的对应系数相等建立方程组求解，再计算的值. 【详解】解：∵与是“同构二次方程”， 故方程可化为方程， ， ， ， 解得：， ． 三、解答题（96分） 19．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根的判别式列不等式求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得； （2）解：∵，是该方程的两个根， ∴，， ∴， 解得，， 由（1）可知：， ∴． 20．甲同学在解方程时的解答过程如下： 解：移项，得，……① 两边同除以，得．……② 请说明甲同学的解法错误的原因，并给出正确解答． 【答案】甲同学的解法错误的原因：甲同学未考虑的情况，等式两边不能同时除以， 正确解答： ， ， 或 解得，． 【详解】略 21．给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求与的关系式； (2)当气球内的气压超过时，气球会爆炸，若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式取3）． 【答案】(1) (2)估计气球的半径至少为时气球不会爆炸 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）设，待定系数法进行求解即可； （2）求出时气球的体积，利用体积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：设，把代入，得：， ∴； （2）当时，， ∵， ∴， ∴； 答：估计气球的半径至少为时气球不会爆炸． 22．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． (1)求反比例函数的表达式； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)若点是轴上的一点，的面积是，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）先将点坐标代入一次函数求出纵坐标，得到点完整坐标，再把点坐标代入反比例函数求出值，即可写出反比例函数表达式； （2）先把点坐标代入一次函数求出，得到两个交点坐标，结合函数图象，直接找出一次函数图象位于反比例函数图象上方对应的取值范围； （3）设直线与轴交于点，求出点坐标，设，将面积拆分为与面积之和，列出含绝对值的方程求解，即可得到点坐标． 【详解】（1）解：把代入，得 ， ∴， 把代入，得 ，解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：把代入，得 ，解得， ∴； 又， 由图可知，的解集为或； （3）解：如图，设直线与轴交于点， 令，则， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出，当时x的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，根据函数图象的交点求x的取值范围，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式． （1）先把A点坐标代数求出m得到反比例函数解析式，然后利用待定系数法求一次函数解析式； （2）根据图象即可求得． 【详解】（1）解：反比例函数经过点， ，解得． 反比例函数的表达式为． 在反比例函数图象上， 点B的坐标为． 一次函数的图象经过点和点， 解得 一次函数的表达式为． （2）解：观察图象， 时，x的取值范围或． 24．已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：一元二次方程有实数根； (2)设一元二次方程的一个实数根为．若，求的取值范围． 【答案】(1)证明：∵， ∴一元二次方程有实数根． (2) 【分析】（1）计算出即可证明； （2）求出方程的解，代入即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴， 解得． 25．商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件． (1)当每件盈利元时，每天可销售多少件？ (2)每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到元？ (3)商场日盈利能否达到元？ 【答案】(1)当每件盈利元时，每天可销售件 (2)每件商品降价元时，商场日盈利可达到元 (3)商场日盈利不能达到元 【分析】（1）根据“某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件”，计算出每件盈利元时，每件商品降价的钱数，从而计算出商场每天可多销售的数量，从而计算出每天销售的数量； （2）设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元，则商场每天多销售件，根据“某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件”，列出关于的一元二次方程，解之即可； （3）设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元，则商场每天多销售件，根据“某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件”，列出关于的一元二次方程，结合判别式公式，判断该方程根的情况，即可得到答案． 【详解】（1）解：当每件盈利元时，每件商品降价：（元）， 商场每天可多销售：（件）， 每天销售：（件）， 答：当每件盈利元时，每天可销售件， （2）解：设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元， 则商场每天多销售件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 为减少库存，应舍去， 答：每件商品降价元时，商场日盈利可达到元； （3）解：设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元，则商场每天多销售件， 根据题意得：， 整理得：， ， 该方程无实数根， 即商场日盈利不能达到元， 答：商场日盈利不能达到元． 26．爱思考的小强同学在探索一元二次方程的解法时，发现一种新的解法．如：解方程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或． 所以，原方程的解为：，． (1)下面是小强同学用发现的新解法解方程时，写的解题过程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 请直接写出上述过程中的，的值及方程的根； (2)请用小强同学发现的新解法解方程：． 【答案】(1)，，， (2)， 【详解】（1）解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 即，，，； （2）解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 27．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线经过点B，与x轴交于点D，作关于直线的对称图形，反比例函数的图象经过边的中点E． (1)求证：． (2)求点C的坐标及反比例函数的解析式． (3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：在中，当时，， ∴，， 当时，， ∴， ∴，， 将代入，得， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵与关于直线对称， ∴． (2)， (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）求出．证明．根据与关于直线对称即可得到结论； （2）求出，利用待定系数法即可求出答案； （3）求点P的纵坐标为，即点P的纵坐标为或．由点P在函数的图象上即可求出点P的坐标． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴轴， ∵，， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵点E在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式． （3）存在，点P的坐标为或． 如图，设点P到的高为h， ∵点，，， ∴， ∴， ∴， ∴点P的纵坐标为， 即点P的纵坐标为或． ∵点P在函数的图象上， ∴点P的横坐标为或． ∴点P的坐标为或． 28．对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于，则称为这个代数式的“镜像值”．例如：对于代数式，当时，代数式的值等于；当时，代数式的值等于，我们就称和都是这个代数式的“镜像值”． (1)代数式的镜像值是________； (2)判断代数式是否有镜像值．若有，请求出此代数式的镜像值；若没有，则说明理由； (3)关于的代数式，若此代数式有两个镜像值，且两个镜像值的差为整数，求正整数的值． 【答案】(1)和 (2)代数式没有镜像值， 理由：设代数式的镜像值为， 根据定义得， 整理得， ， 计算根的判别式， 方程没有实数根， 代数式没有镜像值． (3)正整数的值为 【分析】（1）根据定义列一元二次方程求解即可得到镜像值； （2）根据定义列一元二次方程，通过判别式判断方程是否有实根，即可得到结论； （3）根据定义整理方程，推导出两个镜像值差的表达式，结合差为整数，a为正整数的条件求解即可． 【详解】（1）解：设代数式的镜像值为，根据定义得， 整理得， 解得， 即代数式的镜像值是和． （2）略 （3）解：设代数式的镜像值为， 根据定义得， 整理得， 为正整数，代数式有两个镜像值， ，方程是一元二次方程，且， 方程的两个根为， 则两个根差的绝对值为， 两个镜像值的差为整数，是正整数， 是正整数， 为正整数， ， 即， 满足条件的整数平方只有，即， 得，符合要求 正整数的值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九上第一次阶段性检测（无锡专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：苏科版2024九年级上册第1,2章 一、选择题（30分） 1．点在反比例函数的图象上，则下列各点中，在此函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 2．某水果超市准备用300元购进一批橙子进行销售，则购进橙子的数量y（斤）与橙子单价x（元/斤）之间的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 3．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 4．关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 5．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 6．已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 7．已知点和都在反比例函数的图像上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 8．若关于的一元二次方程的解也是（）的解，则与满足的数量关系为（     ） A． B． C． D． 9．在“文博会”期间，某公司展销如图所示的矩形工艺品，该工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．若丝绸花边所占的面积为，设丝绸花边的宽为，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 10．如图，已知A、B是函数图象上的两点，点B位于点A的左侧，，均垂直于x轴，垂足为点M、N，连接，交于点．若，四边形的面积为3，则k的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 二、填空题（24分） 11．已知点，都在反比例函数的图象上，比较与的大小：__________． 12．如果反比例函数的图象经过点与，那么_____（填“”、“”或“”）． 13．已知方程的两个根是和，则________． 14．若方程无实数根，则m应满足的条件是______． 15．一种传染性疾病每一人可传染给若干人，若一人患病经两轮传染后共有49人染上此病，则这种传染性疾病每人每轮平均可传染_______人． 16．如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，轴，点C是x轴上一点，若的面积为3，则k的值为_________． 17．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_____________． 18． 把关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则___________． 三、解答题（96分） 19．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 20．甲同学在解方程时的解答过程如下： 解：移项，得，……① 两边同除以，得．……② 请说明甲同学的解法错误的原因，并给出正确解答． 21．给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求与的关系式； (2)当气球内的气压超过时，气球会爆炸，若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式取3）． 22．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． (1)求反比例函数的表达式； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)若点是轴上的一点，的面积是，求点的坐标． 23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出，当时x的取值范围． 24．已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：一元二次方程有实数根； (2)设一元二次方程的一个实数根为．若，求的取值范围． 25．商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件． (1)当每件盈利元时，每天可销售多少件？ (2)每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到元？ (3)商场日盈利能否达到元？ 26．爱思考的小强同学在探索一元二次方程的解法时，发现一种新的解法．如：解方程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或． 所以，原方程的解为：，． (1)下面是小强同学用发现的新解法解方程时，写的解题过程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 请直接写出上述过程中的，的值及方程的根； (2)请用小强同学发现的新解法解方程：． 27．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线经过点B，与x轴交于点D，作关于直线的对称图形，反比例函数的图象经过边的中点E． (1)求证：． (2)求点C的坐标及反比例函数的解析式． (3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 28．对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于，则称为这个代数式的“镜像值”．例如：对于代数式，当时，代数式的值等于；当时，代数式的值等于，我们就称和都是这个代数式的“镜像值”． (1)代数式的镜像值是________； (2)判断代数式是否有镜像值．若有，请求出此代数式的镜像值；若没有，则说明理由； (3)关于的代数式，若此代数式有两个镜像值，且两个镜像值的差为整数，求正整数的值． 学科网（北京）股份有限公司 $